Aula 10 - Números Indices

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Disciplina: Análise Estatística
Aula 10: Números Índices
Apresentação
Nesta aula, veremos os números-índice, ou simplesmente índices, que se apresentam
em muitos aspectos do nosso dia a dia, seja em reportagens de jornais e revistas,
seja em situações cotidianas, auxiliando a tomar decisões de ordem profissional e
pessoal.
Inúmeros são os casos em que a utilização de números relativos é mais bem
empregada do que números absolutos, principalmente na análise e apresentação de
dados ou fenômenos quantitativos. Isto ocorre, naturalmente, quando é necessário
fazer comparações dos valores de uma mesma variável em épocas ou regiões
diferentes.
Essas comparações, que denominamos números-índices, são usadas, de um modo
geral na economia, para medir as variações de preços, a quantidade física de
mercadorias produzidas ou vendidas; relacionar-se a conceitos produtividade,
inteligência e eficiência; bem como nas ciências físicas, químicas, naturais e sociais.
Objetivos
Aprender o conceito de números índices, bem como sua importância como
ferramenta a ser utilizada por administradores;
Entender o conceito de relativo – relação de preços, relação de quantidade e
relação de valor;
Estabelecer o emprego de índices, tais como: índices agregativos simples,
ponderado e de preços;
Identificar o deflacionamento de dados.
Premissa
Um exemplo simples de números absolutos e relativos pode esclarecer melhor
essa ideia. Imagine uma determinada faculdade que possua os cursos A, B, C,
D e E. Uma pesquisa identifica a quantidade de alunos que trancaram a
matrícula no ano anterior.
Curso Alunos Trancados Total
A 90 1.543
B 83 997
C 150 2.352
D 60 717
E 110 1.766
 
Com a necessidade de comparar os cursos para análise, esta tabela, com
números absolutos, não ajuda muito. Entretanto, ao apresentarmos uma
tabela com números relativos, temos:
Curso Alunos Trancados
A 5,83%
B 8,32%
C 6,38%
D 8,37%
E 6,23%
O que nos permite facilmente verificar que o
curso D apresentou o maior índice de alunos que
trancaram a matrícula.
 Fonte: Shutterstock
Conceito
É a relação entre dois ou mais estados de uma variável, que está sujeita à
variação no tempo ou no espaço. Ou seja, é a razão entre uma variável numa
determinada data e esta mesma variável em outra data. Esta razão é obtida
dividindo o valor da variável na data desejada pelo valor da variável na data
base. O resultado é então multiplicado por 100.
Vejamos a tabela a seguir, que mostra a análise de um estabelecimento de
ensino sobre a quantidade de alunos matriculados no período de 2006 a 2010.
Anos 2006 2007 2008 2009 2010
Matriculados 1050 1160 1230 1440 1580
Número-
índice
100,00 110,5 117,1 137,1 150,5
 
Observando a tabela, verifica-se que os números-índices mostram a evolução
percentual, permitindo-nos perceber imediatamente a variação relativa sofrida
pelo número de alunos matriculados ao longo do período escolhido.

Comentário
A tabela mostra um aumento, em relação ao ano de 2006, de 10,5% em
2007; 17,1% em 2008; 37,1% em 2009; e 50,5% em 2010. Observe
que, por convenção, o símbolo de percentagem (%) não é utilizado.
Relativos de preços
Sempre que é necessário analisar a variação no preço, na quantidade ou no
valor de um determinado bem, é possível fazer uso do que chamamos de
relativos de preço, de quantidade ou de valor. Fazemos isso através da
variação percentual do item a ser analisado.
Vamos considerar o índice o para representar a data-base e o índice t para
representar a época atual (ou a ser analisada).
Determinando o relativo de preços, temos:
p : preço na época-base | p : preço na
época atual
A fórmula é determinada a partir de uma regra de três simples, na qual
fazemos o preço na data-base ser equivalente a 100, como segue:
o t
p (relativo de preço): é um indicador que reflete a variação de preços de um
conjunto de bens e serviços entre momentos no tempo.
q (relativo de quantidade): representa as variações das quantidades de
conjunto de bens ou serviços produzidos, vendidos ou consumidos entre
momentos no tempo.
v (relativo de valor): é um indicador que representa as variações dos preços
em relação às quantidades em momentos diferentes do tempo.
Elos relativos
Consideramos que os relativos de base móvel formam elos quando cada um
deles é calculado tomando como base a data imediatamente anterior.
Suponha que certo produto tenha apresentado os seguintes preços no período
de 2008 a 2011: R$ 88,00, R$ 110,00, R$ 132,00, R$ 198,00. Vejamos quais
são os elos relativos de preços:
o,t
  =     ×  100po,t
pt
po
o,t
  =     ×  100qo,t
qt
qo
o,t
  =     ×  100vo,t
vt
vo
= × 100 = ×100 =125p08,09
p09
p08
110
88
 
Com os resultados, podemos formar a tabela de elos:
Anos 2008 2009 2010 2011
Relativos 100 125 150 225
Houve um aumento em 2009 de 25% em relação
a 2008, de 20% de 2010 em relação a 2009 e
50% de 2011 em relação a 2010.
Relativos em cadeia
Quando desejamos saber o incremento ocorrido, não entre os anos sucessivos,
mas entre todos os períodos e o período-base, que pode ser o primeiro ou
qualquer um da lista de observações.
O relativo em cadeia é o índice de base fixa, sendo usado quando desejamos
comparar um determinado ano, considerado importante ou significativo, com
todos os anos anteriores e consecutivos.
Observando o exercício anterior, podemos formar a tabela dos relativos em
cadeia:
= × 100 = × 100 =120p09,10
p10
p09
132
88
= × 100 = × 100 =150p10,11
p11
p10
198
132
= × 100 = ×100 =125p08,09
p09
p08
110
88
 
Anos 2008 2009 2010 2011
Relativos 100 125 150 225
O gráfico a seguir mostra a evolução do preço do bem em questão:
Tipos de índice
Índices agregativos
Até agora, vimos índices utilizados apenas para caracterizar a evolução do
preço de um só bem. No entanto, exige-se um índice que sintetize a
variação dos preços de um conjunto de bens (agregado). Para cumprir
essa finalidade, utilizamos o índice agregativo. 
 
= × 100 = × 100 =150p08,10
p10
p08
132
88
= × 100 = × 100 =150p08,11
p11
p08
198
88
Muitas são as formas de determinar os índices agregativos, apesar de os
fundamentos básicos serem constantes. Na verdade, o que varia são os
aspectos relacionados com o campo de aplicação do índice. Um exemplo
clássico é o índice de inflação, que considera diversas variáveis, com
pesos distintos. 
 
• Índice agregativo simples 
Este índice é calculado a partir da média aritmética dos relativos, obtendo
assim o índice médio dos relativos.
Bens A(m) B(kg) C( )
Relativos 150 125 160 435
 
• Índice agregativo ponderado 
Este índice é calculado levando em conta a importância relativa dos bens,
enquanto que o índice simples considera todos os índices do agregado em
um mesmo nível. Na prática, sempre temos bens de maior importância do
que outros, razão pela qual devemos considerar os coeficientes de
ponderação, atribuindo a cada item a importância que lhe cabe. 
 
Para o cálculo do índice agregativo ponderado, existem várias fórmulas,
como por exemplo, de Laspeyres, de Paasche, de Fisher etc. Vamos
aplicar o método de ponderação considerado um dos mais usuais na
investigação econômica: a fórmula de Laspeyres. A fórmula de
Laspeyres ou método da época-base é obtida ponderando os relativos
do preço pelos valores (po . qo) do ano base.
l ∑
= = = 145Ip̄
150+125+160
3
435
3
L = =po.t
∑ × .
pt
po
po qo
∑ .po qo
∑ .po qo
∑ .po qo
Índice de preços
Para se construir um índice de preços, independentemente da finalidade,
devemos considerar alguns pontos básicos: 
a) Objetivo do índice: o objetivo do índice deve ser definido com
bastante precisão, definindo o que está sendo medido e a que se refere. A
partir daí, é possível selecionar os produtos que comporão o índice. 
b) Produtos a serem incluídos: na escolha dos produtos a serem
incluídos, deve-se procurar os mais representativos e importantes, dentre
aqueles que integram o setor para o qual o índice será calculado. 
c) Preços a serem incluídos: após identificar o setor para o qual vão
ser determinados os preços (atacado,varejo etc.), deve-se decidir a
forma de cotação e como serão coletados os preços. 
d) Fórmula: a fórmula de Laspeyres é a mais usada nos casos de índices
de preços, pois emprega pesos fixos, permitindo a revisão periódica de
seus valores. Desta forma, as comparações podem ser feitas diretamente
ou através de elos de relativos.
Índice de custo de vida
O índice de custo de vida, também chamado de índice de preço ao
consumidor, mede a variação de preços de um conjunto de bens e
serviços necessários à vida do consumidor final padrão. 
 
Os principais itens devem ser considerados, tais como: alimentação,
vestuário, mobiliário, habitação, lazer, saúde, higiene, além dos gastos
com água, luz, transporte, educação e outros. 
 
As famílias, por meio de pesquisas, determinam a lista de bens e serviços
consumidos por elas e a percentagem de gastos com os respectivos itens.
A partir desses dados, é fixado um índice de preço (Laspeyres) para cada
grupo. 
 
Após todos os dados coletados, calcula-se a média aritmética ponderada
dos índices de preços dos grupos, onde os pesos são os valores
percentuais dos gastos com cada grupo na despesa total da família
padrão.
Índice de preços ao consumidor (IPC)
É um índice que reflete os gastos das famílias com renda de até 8 salários
mínimos, onde o chefe da família é assalariado em sua ocupação
principal. Os gastos são agrupados em categorias de consumo de mesma
natureza, como alimentação, habitação, vestuário, higiene, transporte,
luz, combustível, educação, recreação e diversos. 
 
A coleta de preços é feita pelo IBGE, em dez regiões metropolitanas. O
período pesquisado é do dia 16 do mês ao dia 15 do mês seguinte.
IPC da FIPE
FIPE é a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da USP, que
pesquisa o custo de vida em São Paulo para famílias que possuem renda
de dois a seis salários mínimos. A FIPE compara os preços médios de
quatro semanas com as quatro semanas imediatamente anteriores. 
 
É o índice mais antigo do Brasil e, na opinião de alguns especialistas, é o
que melhor mede a inflação, refletindo a variação dos preços de
alimentos, aluguel, vestuário, transporte etc.
Índice de cesta básica (ICB)
É um índice bimestral usado para a correção do salário mínimo. Tem uma
metodologia semelhante ao do IPC, porém representa os gastos de
famílias com renda de até dois salários mínimos.
Índice geral de preços (IGP)
É um índice calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) através da
média ponderada dos seguintes índices, com seus respectivos pesos:
índice de preços por atacado (60%), índice de custo de vida (30%) e
índice de custo da construção civil na cidade do Rio de Janeiro (10%). 
 
O período de coleta é do 1º ao 30º dia do mês de referência. É o mais
usado como indexador de contratos de longo prazo, públicos e privados.
Deflacionamento de dados
O aumento dos preços tem como consequência uma baixa no poder de compra
ou no valor da moeda, gerando a necessidade de realizar uma manutenção no
poder de compra dos salários.
Assim, embora os salários nominais estejam sempre aumentando, os
salários reais podem diminuir, devido ao aumento do custo de vida
(inflação), e, consequentemente, tendo o seu poder aquisitivo reduzido.
Supondo a situação em que um trabalhador, em 1º de maio de 2011, ganhava
X reais por mês, qual deveria ser seu salário mensal, em 1º de janeiro de
2012, para que ele se encontrasse em situação equivalente à anterior?
Este é um problema típico de conversão de salário nominal em salário real, de
grande importância quando há inflação.
Desta forma, sabendo-se que um assalariado, em dezembro de 2010, tinha
salário de R$1.071,00 e o índice de preços de dezembro de 2010, com base
em novembro, era de 101,24%, calcular qual o valor real do salário em
dezembro com base em novembro.
SR  =   × 100 = × 100 = 1057, 88St
IPt
1071
101,24
Ou seja, seu valor aquisitivo é de R$ 1.058,00.

Saiba mais
Esse procedimento é denominado deflacionamento de salários, e o
índice de preços usado na determinação do salário real é chamado
deflator.
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
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