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Aula 1 - Teoria das Falhas Estáticas (2)

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FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
• Cálculo das tensões principais: 
• 𝜎 á / = 𝜎 / = ± 𝜏 á
• 𝜎 á = 𝜎 =
.
+ 15.079𝑝𝑠𝑖 → 𝜎 = 24.115𝑝𝑠𝑖
• 𝜎 = 𝜎 =
.
− 15.079𝑝𝑠𝑖 → 𝜎 = −6.043𝑝𝑠𝑖
V. Calcular a tensão equivalente de Von Mises para tensões combinadas.
𝜎 = 𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 → 𝜎 = 24115 − 24115(−6043) + (−6043) → 𝜎 = 27.636𝑝𝑠𝑖
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
• A máxima tensão de cisalhamento, na flexão, em uma viga maciça, com seção transversal circular 
é, na linha neutra:
𝜏 á =
4𝑉
3𝐴
→ 𝜏 á =
4.1000𝑙𝑏𝑓
3
𝜋(1,5𝑖𝑛)
4
→ 𝜏 á = 755𝑝𝑠𝑖
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• Tensão de cisalhamento total no ponto B: soma algébrica do cisalhamento devido 
à força cortante e o cisalhamento devido à torção, que atuam no mesmo plano e 
sentido do elemento infinitesimal como mostrado na figura (c) ao lado:
𝜏 á = 𝜏 ã + 𝜏 çã → 𝜏 á = 12.072𝑝𝑠𝑖 + 755𝑝𝑠𝑖 → 𝜏 á = 12.827𝑝𝑠𝑖
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
VI. Calcular coeficiente de segurança usando a energia de distorção para cisalhamento puro e a teoria da 
máxima tensão de cisalhamento e compará-las.
• Coeficiente de segurança da teoria da energia de distorção para cisalhamento puro:
𝑁 =
𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,577𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,577(47.000𝑝𝑠𝑖)
12.827𝑝𝑠𝑖
→ 𝑵 = 𝟐, 𝟏
• Coeficiente de segurança teoria da máxima tensão de cisalhamento:
𝑁 =
𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,5𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,5(47.000𝑝𝑠𝑖)
12.827𝑝𝑠𝑖
→ 𝑵 = 𝟏, 𝟖
V. Coeficiente de segurança N para que o estado de tensões esteja dentro da elipse de falha por tensões.
𝑁 =
𝑆
𝜎
→ 𝑁 =
47.000𝑝𝑠𝑖
27.636𝑝𝑠𝑖
→ 𝑵 = 𝟏, 𝟕
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Exercício 1
A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa. Determinar a 
largura b da viga, sabendo-se que L = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N, segurança N=1,7, para que o 
estado de tensões esteja dentro da elipse de falha por tensões.
Dados: 𝑀 = 𝑃. 𝐿; 𝜎 = ; 𝐼 = ; 𝑁 =; ; 𝜏 =
Projeto: teoria da energia de distorção, logo:
𝑁 =
0,577𝑆
𝜏 á
Solução:
I. Elaborar o diagrama de esforços encontrando o valor do momento fletor máximo (para 
carregamentos mais complexos)
II. Encontrar a largura pela teoria de energia de distorção devido à força cortante.
III. Cálculo da largura b da viga pelo momento fletor máximo.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Exercício 1
Solução:
II. Encontrar a largura pela teoria da energia de distorção 
devido à força cortante.
𝜏 á = 𝜏 =
3𝑉
2𝐴
→ 𝜏 á =
3𝑉
2𝑏ℎ
, mas:
𝑁 =
0,577𝑆
𝜏 á
∴
3𝑉
2𝑏ℎ
=
0,577𝑆
𝑁
→ 𝑏 =
3𝑉𝑁
0,577𝑆 2ℎ
𝑏 =
3𝑉𝑁
0,577𝑆 2ℎ
𝑏 =
3(100.000𝑁)(1,7)
0,577 150. 10 𝑁 𝑚⁄ 2(0,35𝑚)
𝑏 = 8,4𝑚𝑚
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Segmento de uma viga sob flexão e força cortante – detalhe em torno do ponto A
Exercício 1
Solução:
III. Cálculo da largura b da viga pelo momento fletor 
máximo.
𝜎 =
𝑀𝑐
𝐼
→ 𝜎 =
𝑃. 𝐿. ℎ 2
𝑏ℎ
12
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜎 =
𝑆
𝑁
, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝑆
𝑁
=
𝑃. 𝐿. ℎ 2
𝑏ℎ
12
∴ 𝑏 = 6
𝑃. 𝐿. 𝑁
ℎ . 𝑆
→ 𝑏 = 6
(100.000𝑁)(1,5𝑚)(1,7)
(0,35𝑚) 150. 10 𝑁 𝑚⁄
→ 𝒃 = 𝟖𝟑, 𝟐𝟔𝒎𝒎
Conclusão: 𝒃 ≥ 𝟖𝟑, 𝟐𝟔𝒎𝒎
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• Razão: a combinação de tensões em qualquer elemento particular dentro da seção transversal 
raramente origina um estado de tensão pior que aquele existente nas fibras externas.
• Regra prática: tensão de cisalhamento devido à força cortante em uma viga será suficientemente 
pequena a ponto de poder ser ignorada se a razão comprimento-altura da viga for igual ou 
superior a 10.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da máxima tensão normal
• a falha ocorrerá quando a tensão normal em uma peça atingir algum limite de resistência normal, 
como tensão normal de escoamento ou tensão normal de ruptura.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
A teoria da máxima tensão normal – incorreta 
para materiais dúcteis no 2° e no 4° quadrantes.
• No primeiro e no terceiro quadrantes,
a envoltória da teoria da máxima
tensão normal coincide com a da
teoria da tensão máxima de
cisalhamento.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
• A falha ou resistência de materiais frágeis apresenta deformação verdadeira na fratura de 0,05 ou 
menos.
• Materiais normalmente dúcteis podem desenvolver uma fratura frágil ou trinca, se usados abaixo 
da temperatura de transição.
• Uma ferramenta de aço totalmente encruado, podem ser frágeis, tendem a ter resistência à 
compressão igual a sua resistência à tração → materiais uniformes
• Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinzento, são frágeis, mas têm sua resistência à 
compressão muito maior que sua resistência à tração → materiais não uniformes
1 -28
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Um corpo de prova para ensaio de tração, material 
dúctil, aço doce, antes e depois da ruptura.
plano de falha está a 45° da tensão de 
tração aplicada, indicando que uma 
falha de cisalhamento ocorreu
Círculo de Mohr para tensão de tração unidirecional.
A falha de um componente de máquina sujeito a uma carga axial
pode ser prevista por um simples ensaio de tração.
A falha de um componente de máquina sujeito a uma carga axial
pode ser prevista por um simples ensaio de tração.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
plano de falha é normal à tensão de 
tração aplicada, indicando que uma 
falha de tração ocorreu.
Corpo de prova para ensaio de tração, material 
frágil, ferro fundido antes e depois da ruptura.
Círculo de Mohr para tensão de tração unidirecional.
1 -28
Corpo de prova sujeito a torção: a resistência à quebra na torção é chamada
de resistência ao cisalhamento ou tensão limite de ruptura no cisalhamento
puro.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Corpos de prova para torção antes e apos falha: (a) aço dúctil (b) ferro fundido frágil.
ferro fundido frágil falha em uma 
forma espiral ao longo de planos 
inclinados de 45° do eixo da peça.
O corpo de prova de aço dúctil falha em um plano 
normal ao eixo do torque aplicado, pois materiais 
dúcteis são mais fracos sob cisalhamento.
Círculo de Mohr para torção pura
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Graficamente → Círculos de Mohr para testes de tração e compressão, mostrando as envoltórias de 
falha em vermelho.
materiais não uniformes: 𝜎 𝑆 > 𝜎 𝑆 .
materiais uniformes: 𝜎 𝑆 = −𝜎 𝑆
𝜎 𝑆 = −𝜎 𝑆 𝜎 𝑆 𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEISGraficamente → Duas representações gráficas da teoria da tensão normal máxima.
O circulo de Mohr principal deve 
situar-se entre esses limites para 
evitar a falha
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
𝜎
𝜎
Gráfico 𝜎 − 𝜎 para tensões bidimensionais (isto é. 
quando 𝜎 = 0) o ponto de coordenadas (𝜎 , 𝜎 ) 
deve situar-se no interior da área sombreada para 
evitar a falha
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEISTeoria da tensão normal máxima (MNS)
Algebricamente podemos considerar dois conjuntos de 
equações para linhas de carregamento, em que 𝜎 > 𝜎 , como
𝑁 = , no campo de ação de carregamento: 1º e 2º 
quadrantes e;
𝜎
𝜎
≤
𝜎
𝜎
𝑁 = − , no campo de ação de carregamento: 2º e 3º 
quadrantes e;
𝜎
𝜎
>
𝜎
𝜎
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
𝜎
𝜎
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Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎
𝜎
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
Gráfico 𝜎 − 𝜎 para tensões bidimensionais (isto é. quando 𝜎 = 
0) o ponto de coordenadas (𝜎 , 𝜎 ) deve situar-se no interior da 
área sombreada para evitar a falha
O circulo de Mohr principal deve 
situar-se entre esses limites para 
evitar a falha
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
Teoria de Coulomb-Mohr para materiais frágeis
Essa teoria foi recomendada para materiais frágeis, para os quais a 
resistência à compressão é bem