Associação de resistores

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Associação de resistores 
É comum nos circuitos elétricos a existência de vários resistores, que encontram-se associados. Os 
objetivos de uma associação de resistores podem ser: 
 a necessidade de dividir uma corrente; 
 a necessidade de dividir uma tensão; 
 a necessidade de obter um valor de resistência não disponível comercialmente (ver notas de 
aula: Resistores). 
Associação em série 
Numa associação em série os resistores formam uma seqüência linear, de tal forma a fazer a mesma 
corrente elétrica passar por todos os componentes da associação. 
Observe o circuito abaixo, que apresenta uma associação em série de resistores. 
 
Aplicando a lei das malhas, obtemos 
 
Pela primeira lei de Ohm, podemos fazer 
 
Então, substituindo na equação anterior, 
 
Mas vimos que numa associação em série é a mesma corrente que passa por todos os resistores,ou 
seja, 
 
Isso nos permite colocar a intensidade da corrente em evidência, 
 
Isso nos permite colocar a intensidade da corrente em evidência, 
 
onde 
 
que é a resistência equivalente da associação. 
Assim, chamamos de resistor equivalente o resistor (teórico) que, sozinho, vale por toda a 
associação. 
Fatos importantes sobre a associação em série: 
 Todos os resistores são atravessados pela mesma corrente. Logo, a intensidade da corrente é 
igual para todos. 
 A queda de tensão do resistor equivalente é a soma das quedas de tensão de cada resistor da 
associação. 
 A resistência do resistor equivalente é a soma das resistências de cada resistor da associação. 
Ou seja, 
 
Exemplo 
Observe o circuito abaixo. 
 
 
 
Determine: 
a. A resistência equivalente do circuito. 
b. A intensidade da corrente i fornecida pelo gerador E. 
c. A queda de tensão que cada um dos resistores provoca. 
Trata-se de uma associação em série de resistores. Então, para resolver o item (a) basta somar as 
resistências individuais. Então, 
 
Substituindo todas as resistências pelo resistor equivalente, o circuito acima reduz-se a 
 
Logo, o item (b) pode ser resolvido através da aplicação da primeira lei de Ohm, 
 
Como é uma associação em série, todos os resistores receberão a mesma intensidade de corrente 
elétrica. Assim, resolvemos o item (c) usando novamente a primeira lei de Ohm. 
Para o primeiro resistor: 
 
Para o segundo resistor: 
 
Para o resistor número 3: 
 
Finalmente, para o último resistor: 
 
Associação em paralelo 
Numa associação em paralelo os resistores são arranjados de tal forma a terem 2 pontos de contato 
entre eles. Isso faz com que todos os membros da associação apresentem a mesma queda de tensão, 
e a corrente seja dividida entre eles. 
Observe o circuito abaixo, que apresenta uma associação em paralelo de resistores. 
 
 
 
Como ambos os resistores estão ligados aos mesmos dois pontos, a queda de tensão é igual para os 
dois. Ou seja, 
 
 
Daí, a equação para resistência equivalente num sistema paralelo será: 
 
 
 
 
Figura 2: Ernst Werner von Siemens (fonte: Wikipedia). 
 
5
200Req200
5
R
1
eq 
 
 
Os fatos importantes para a associação em paralelo são: 
 A corrente que passa pelo resistor equivalente é a soma das correntes que atravessam os 
resistores individuais. 
 A queda de tensão do resistor equivalente é igual às quedas de tensões dos resistores 
individuais. 
Observe que a última equação acima pode ser escrita como 
 
Exemplo 
Observe o circuito abaixo, com três resistores em paralelo. 
 
Determine: 
a. A resistência equivalente do circuito. 
b. A intensidade da corrente i fornecida pelo gerador E ao circuito. 
c. A intensidade da corrente que passa através de cada resistor. 
Sendo uma associação em paralelo de resistores, podemos determinar a resistência do resistor 
equivalente a partir da soma das condutâncias. 
Então, 
 
 
 
 
 
Atalho para o cálculo da resistência equivalente em associações em paralelo 
Uma das grandes dificuldades apresentadas pelo vestibular é a imposição de um limite de tempo 
relativamente curto para a resolução dos problemas propostos. Assim, a existência de alguns atalhos 
pode ser muito bem-vinda, desde que não comprometa o resultado da questão. 
Vejamos dois casos especiais em associações em paralelo. 
Associação de n resistores iguais em paralelo 
Suponha uma associação em que há n resistores, todos com o mesmo valor. Calculemos a 
resistência equivalente como proposto acima. 
 
Conclusão: quando houver n resistores iguais associados em paralelo, a resistência equivalente é 
obtida tomando-se o valor de um dos resistores e dividindo pelo número de componentes da 
associação. 
Por exemplo, considere uma associação em paralelo com 5 resistores de 40 Ω cada. A resistência 
equivalente será 
 
Associação de 2 resistores diferentes em paralelo 
Vamos calcular a resistência equivalente de uma associação em paralelo composta por 2 resistores 
de valores diferentes, R1 e R2. 
 
Conclusão: quando houver 2 resistores diferentes associados em paralelo, a resistência equivalente 
é obtida tomando-se o produto entre as resistências e dividindo-o pela soma dos referidos valores. 
Por exemplo, sejam 2 resistores, um de resistência 6 Ω e outro de resistência 3 Ω, associados em 
paralelo. A resistência equivalente será 
 
 
 
 
Observação importante! 
Duas regrinhas interessantes para lembrar, que ajudam a verificar o resultado obtido. 
 Numa associação em série, a resistência equivalente é maior do que a maior resistência 
presente no circuito. 
 Numa associação em paralelo, a resistência equivalente é menor do que a menor resistência 
presente no circuito. 
Associação mista 
Uma associação mista de resistores nada mais é do que a reunião desses dispositivos através de 
ligações em série e em paralelo. 
Para a resolução de circuitos deste tipo deve-se tomar o máximo de cuidado com a configuração 
apresentada, já que não existe um procedimento padrão para o cálculo das grandezas envolvidas. 
Uma maneira de proceder é calculando por etapas, redesenhando o circuito com os resultados 
obtidos. 
Exemplo 
Considere o circuito apresentado abaixo. 
 
Determine sua resistência equivalente. 
 
Observe que os resistores destacados estão em paralelo. Como são dois resistores diferentes, 
usemos um dos atalhos apresentados. 
 
Assim, podemos substituir os resistores de 30 Ω e 60 Ω por um só de 20 Ω. Eis o novo circuito: 
 
O destaque agora apresenta uma associação em série. Seu equivalente é 
 
Substituindo a associação pelo equivalente, o circuito fica assim: 
 
Resolvendo os dois resistores em paralelo, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente substituindo a associação pelo equivalente, obtemos 
 
Resolvendo a série, chegamos a 
 
e o circuito fica 
 
Finalmente, resolvendo a associação em paralelo, chegamos à resistência equivalente do circuito 
completo, que é 
 
 
 
 
 
 
Outras associações 
Existem outras maneiras segundo as quais os resistores podem associar-se além de série e paralelo. 
Quando aparecem essas outras associações, o cálculo torna-se um pouco mais difícil, como veremos 
a seguir. 
Configuração estrela 
Dizemos que os resistores estão associados segundo a configuração estrela quando há três 
resistores que se dispõem como a figura a seguir. 
 
 
Figura 3: configuração estrela. 
Observe como os resistores foram nomeados segundo o nó periférico ao qual eles se conectam. 
Configuração triângulo 
Três resistores associados como na figura a seguir formam o que denominamos configuração 
triângulo.Figura 4: configuração triângulo. 
Novamente os resistores foram nomeados segundo os nós aos quais estão conectados. 
 
Conversão entre configurações 
Uma associação em estrela pode ser convertida em uma associação em triângulo e vice-versa, sem 
que as características elétricas do circuito se alterem. Isso pode facilitar na resolução de circuitos 
complexos. 
Conversão de estrela para triângulo 
Usando as figuras anteriores como referência, cada resistor da associação em triângulo é obtido 
segundo as equações seguintes: 
 
 
 
A lógica não é difícil. Peguemos uma das equações para entendê-la. 
 
O destaque representa uma das resistências da associação em triângulo (aquela ligada aos nós 2 e 
3). 
 
No numerador vai a soma dos produtos de todos os resistores da estrela, dois a dois. 
 
No denominador vai a resistência da estrela cujo número não está no primeiro membro da equação. 
 
 
 
 
 
 
Conversão de triângulo para estrela 
Para a conversão no sentido inverso, as equações são 
 
Vamos entender a lógica de cada equação. 
 
O primeiro membro é uma das resistências da estrela (aquela ligada ao nó 3). 
 
No numerador vai o produto das resistências do triângulo que têm o número da resistência da estrela 
que se está calculando. No exemplo, estamos determinando R3, que tem o número 3. Então fazemos 
o produto de R13 e R23, pois ambos têm também o número 3. 
 
No denominador vai a soma de todas as resistências do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Converta a seguinte associação estrela em associação triângulo. 
 
Apenas para organizar os dados, façamos R1 = 120 Ω (ligado ao nó 1), R2 = 240 Ω (ligado ao nó 2) 
e R3 = 360 Ω (ligado ao nó 3). Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a associação triângulo equivalente é 
 
Exemplo 
Observe o circuito a seguir. 
 
Determine: 
a. sua resistência equivalente; 
b. a intensidade da corrente fornecida pelo gerador. 
respondendo, assim, ao item (a). 
 
Para resolver o item (b), basta aplicar a primeira lei de Ohm ao circuito equivalente, obtendo 
 
 
RESPOSTA!