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PROTEÇÃO DE SISTEMAS 
ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
Prof. Dr. Eduardo M. dos Santos 
 Universidade Federal do Pampa - Campus Alegrete - Curso de Engenharia Elétrica 
2019 
 
I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO À DISCIPLINA DE 
PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2019
Sumário 
Parte 1: Estudo de Curto-Circuito ............................................................................................................................... 7 
REVISÃO DE SEP ....................................................................................................................................................... 8 
1.1. Fasores ............................................................................................................................................................... 8 
1.2. Impedância Complexa ....................................................................................................................................... 9 
1.3. Admitância Complexa ........................................................................................................................................ 9 
1.4. Potência Complexa ............................................................................................................................................ 9 
1.5. Fator de Potência ............................................................................................................................................. 10 
1.6. Tensões e Correntes em Sistemas Trifásicos Equilibrados .............................................................................. 10 
1.6.1. Ligação em Estrela (Y) ............................................................................................................................... 11 
1.6.2. Ligação em Delta (Δ) ................................................................................................................................. 12 
1.7. Valores em Por Unidade (p.u) ......................................................................................................................... 13 
1.8. Equivalente Y-Δ ................................................................................................................................................ 14 
Exercícios do Capítulo 1 .......................................................................................................................................... 14 
REPRESENTAÇÃO DE SEP .................................................................................................................................... 19 
2.1. Modelagem de Componentes ......................................................................................................................... 21 
2.1.1. Gerador ..................................................................................................................................................... 21 
2.1.2. Transformador .......................................................................................................................................... 21 
2.1.3. Linhas de Transmissão .............................................................................................................................. 22 
2.2. Dados de Equipamentos Aplicáveis a Cálculos em p.u. ................................................................................... 23 
2.2.1 Alternador Monofásico .............................................................................................................................. 23 
2.2.2. Motor Monofásico .................................................................................................................................... 24 
2.2.3. Transformador Monofásico de Dois Enrolamentos ................................................................................. 24 
2.2.4. Alternador Trifásico .................................................................................................................................. 25 
2.2.5. Motor Trifásico ......................................................................................................................................... 26 
2.2.6. Transformador Trifásico de Dois Enrolamentos ....................................................................................... 26 
2.2.7. Banco de Transformadores ...................................................................................................................... 27 
2.2.8. Transformador Trifásico de Três Enrolamentos ....................................................................................... 29 
2.3. Diagrama de Reatâncias por Fase de um Sistema de Potência ....................................................................... 31 
Exercícios do Capítulo 2 .......................................................................................................................................... 32 
CURTO-CIRCUITO SIMÉTRICO ............................................................................................................................ 34 
3.1. Tipos de Curtos-Circuitos ................................................................................................................................. 34 
3.2. Causas de Curtos-Circuitos .............................................................................................................................. 35 
3.3. Ocorrência ....................................................................................................................................................... 35 
3.4. Hipóteses Simplificadoras ................................................................................................................................ 36 
3.5. Cálculo de Curto-Circuito Simétrico (Trifásico)................................................................................................ 36 
3.5.1. Teorema da Superposição ........................................................................................................................ 36 
III 
 
3.5.2. Teorema de Thevènin ............................................................................................................................... 36 
3.5.3. Cálculo de Curto-Circuito Simétrico (Trifásico) ........................................................................................ 36 
3.6. Simetria e Assimetria das Correntes de Curto-Circuito ................................................................................... 38 
3.7. Seleção de Disjuntores .................................................................................................................................... 41 
3.8. Potência de Curto-Circuito .............................................................................................................................. 42 
Exercícios do Capítulo 3 .......................................................................................................................................... 43 
COMPONENTES SIMÉTRICAS .............................................................................................................................. 52 
4.1. Definição de Componentes Simétricas ............................................................................................................ 52 
4.2. Componentes Simétricas Aplicadas a Sistemas ............................................................................................... 52 
4.3. Determinação Analítica das Componentes Simétricas .................................................................................... 53 
4.4. Considerações sobre Componentes de Sequência Zero ................................................................................. 56 
4.5. Reatâncias de Sequência dos Elementos em SEP ............................................................................................56 
Exercícios do Capítulo 4 .......................................................................................................................................... 58 
CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICO ....................................................................................................................... 60 
5.1. Curto-Circuito Monofásico (1ϕ) ...................................................................................................................... 60 
5.2. Curto-Circuito Bifásico (2ϕ) ............................................................................................................................. 65 
5.3. Curto-Circuito Bifásico-Terra (2ϕ-g) ................................................................................................................ 67 
5.4. Potência de Curto-Circuito .............................................................................................................................. 70 
Exercícios do Capítulo 5 .......................................................................................................................................... 71 
ANÁLISE DE FALTAS POR MATRIZ DE IMPEDÂNCIA NODAL .................................................................... 75 
6.1. Determinação da Matriz de Impedância Nodal ............................................................................................... 75 
6.2. Cálculo de Curto-Circuito Trifásico Utilizando Zbus .......................................................................................... 77 
6.3. Curto-Circuito Monofásico .............................................................................................................................. 78 
6.4. Curto-Circuito Bifásico ..................................................................................................................................... 81 
6.5. Curto-Circuito Bifásico-Terra ........................................................................................................................... 83 
Exercícios do Capítulo 6 .......................................................................................................................................... 85 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................................... 86 
Parte 2: Esquemas de Proteção ................................................................................................................................. 87 
TRANSFORMADOR DE CORRENTE .................................................................................................................... 88 
1.1. Modelagem do TC ............................................................................................................................................ 88 
1.1.1. TC .............................................................................................................................................................. 88 
1.1.2. Circuito Equivalente do Transformador de Corrente ............................................................................... 90 
1.1.3. Fator de Sobrecorrente (F.S.) ................................................................................................................... 90 
1.1.4. Característica de Excitação do TC ............................................................................................................. 91 
1.1.5. Ponto de Joelho da Curva de Excitação (“knee-point”) ............................................................................ 92 
1.1.6. Classificação dos TCs quanto à Exatidão .................................................................................................. 93 
IV 
 
1.1.7. Cargas Padrão para TCs ............................................................................................................................ 95 
1.1.8. Tipos Construtivos .................................................................................................................................... 95 
1.2. Especificação de TCs quanto a Relação de Transformação ............................................................................. 96 
1.2.1. Critério da Corrente Nominal de Carga do Alimentador .......................................................................... 97 
1.2.2. Critério do Curto-Circuito ......................................................................................................................... 97 
1.3. Saturação de TCs ............................................................................................................................................. 97 
1.3.1. Características Dinâmicas ......................................................................................................................... 98 
1.3.2. Os Efeitos do Fluxo Remanescente ........................................................................................................ 100 
1.3.3. Efeitos da Saturação Sobre os Principais Tipos de Proteção .................................................................. 101 
1.4. Considerações Finais...................................................................................................................................... 104 
Exercícios do Capítulo 1 ........................................................................................................................................ 105 
TRANSFORMADOR DE POTENCIAL ................................................................................................................. 109 
2.1. Dimensionamento ......................................................................................................................................... 109 
2.2. Carga Nominal do TP ..................................................................................................................................... 110 
2.3. Classificação dos TPs Quanto ao Tipo de Ligação Elétrica ............................................................................. 111 
2.4. Diferença Entre Transformador de Força e TP .............................................................................................. 111 
2.5. Potência Térmica de TP ................................................................................................................................. 111 
2.6. Divisor Capacitivo de Potencial e TP Indutivo ............................................................................................... 111 
2.6.1. Transmissor e Receptor Carrier .............................................................................................................. 113 
2.7. Transdutores .................................................................................................................................................. 114 
2.8. Considerações Finais...................................................................................................................................... 114 
Exercícios do Capítulo 2 ....................................................................................................................................... 115 
RELÉ DE SOBRECORRENTE ............................................................................................................................... 117 
3.1. Características dos Esquemas de Proteção ................................................................................................... 117 
3.2. Relé de Sobrecorrente ................................................................................................................................... 118 
3.2.1. Princípio Básico de Funcionamento da Proteção de Sobrecorrente ...................................................... 118 
3.2.2. Esquema Funcional em CA de um Sistema de Proteção ........................................................................ 119 
3.2.3. Esquema Funcionalou Esquemático em DC .......................................................................................... 119 
3.2.4.Classificação dos Relés de Sobrecorrente ............................................................................................... 119 
3.2.5.Ajuste de Tempo do Relé de Sobrecorrente de Tempo Inverso ............................................................. 125 
3.2.6. Ajuste da Corrente de Atuação do Relé de Sobrecorrente de Tempo Inverso ...................................... 131 
3.2.7. Relé de Sobrecorrente Instantâneo (50) ................................................................................................ 135 
3.2.8. Relé de Sobrecorrente Temporizado (51) .............................................................................................. 135 
3.2.9. Relé de Sobrecorrente Temporizado com Elemento Instantâneo (50/51) ............................................ 135 
3.2.10. Relé de Sobrecorrente de Neutro ........................................................................................................ 137 
3.2.11. Exemplo Geral de Ajuste de Relés de Sobrecorrente ........................................................................... 139 
V 
 
3.2.12. Tempo de Restabelecimento do Relé ................................................................................................... 142 
3.3. Coordenação de Relés de Sobrecorrente ...................................................................................................... 144 
3.3.1. Tempo de Coordenação ......................................................................................................................... 144 
3.3.2. Coordenação de Relés de Sobrecorrente de Tempo Definido ............................................................... 145 
3.3.3. Coordenação de Relés de Sobrecorrente de Tempo Definido com Elemento Instantâneo .................. 146 
3.3.4. Coordenação de Relés de Sobrecorrente de Tempo Inverso ................................................................. 147 
3.3.5. Coordenação de Relés de Sobrecorrente de Tempo Inverso com Elemento Instantâneo .................... 149 
3.4. Exemplo Geral de Coordenação de Relés de Sobrecorrente ........................................................................ 153 
3.5. Considerações Finais...................................................................................................................................... 153 
Exercícios do Capítulo 3 ........................................................................................................................................ 154 
RELÉ DIRECIONAL ............................................................................................................................................... 157 
4.1. Relé de Sobrecorrente Direcional (67) .......................................................................................................... 157 
4.2. Princípio de Funcionamento do Relé de Sobrecorrente Direcional .............................................................. 157 
4.4. Polarização do Relé Direcional ...................................................................................................................... 160 
4.4.1. Polarização em quadratura ou a 90º ...................................................................................................... 160 
4.4.2. Polarização a 30º ..................................................................................................................................... 160 
4.4.3. Polarização a 60º ..................................................................................................................................... 161 
4.5. Proteção com Relé de Sobrecorrente e Relé de Sobrecorrente Direcional .................................................. 161 
4.6. Relé Direcional de Potência (32) ................................................................................................................... 162 
4.7. Relé Direcional de Sequência Zero ................................................................................................................ 162 
4.8. Coordenação de Sistema em Anel com Relés de Sobrecorrente e Direcionais ............................................ 164 
4.9. Considerações Finais...................................................................................................................................... 165 
Exercícios do Capítulo 4 ........................................................................................................................................ 165 
RELÉ DE DISTÂNCIA ........................................................................................................................................... 166 
5.1. Subalcance, Sobrealcance e Proteção de Distância ...................................................................................... 166 
5.2. Impedância Aparente e Diagrama R-X ........................................................................................................... 167 
5.3. TIPOS DE RELÉS DE DISTÂNCIA ...................................................................................................................... 169 
5.3.1. Relé de Impedância ................................................................................................................................ 169 
5.3.2. Relé de Admitância ou Mho ................................................................................................................... 171 
5.3.3. Relé de Reatância ................................................................................................................................... 175 
5.3.4. Relé Quadrilateral ................................................................................................................................... 175 
5.4. Arco Elétrico .................................................................................................................................................. 176 
5.5. Curto-Circuito e Oscilação de Potência ......................................................................................................... 176 
5.6. Demais Tipos de Relés de Distância .............................................................................................................. 177 
5.7. Considerações Finais...................................................................................................................................... 178 
Exercícios do Capítulo 5 ........................................................................................................................................ 178 
VI 
 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................................... 183 
ANEXO 1 .................................................................................................................................................................... 185 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte 1: Estudo de Curto-Circuito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Capítulo 1 
 
 
 
REVISÃO DE SEP 
 
 
 
O presente Capítulo apresenta uma breve revisão a cerca de elementos essenciais para os estudos 
de curto-circuito e de proteção em Sistemas Elétricos de Potência (SEP). Para tais estudos, faz-se 
necessário o pleno conhecimento sobre o tratamento matemático fasorial de circuitos, bem como sobre o 
comportamento das tensões e correntes ao longo de sistemas trifásicos em suas diferentes ligações. Sendo 
assim, torna-se imprescindível o entendimento das grandezas complexas envolvidas nos respectivos 
estudos. Além disso, o domínio sobre o tratamento das grandezas envolvidas em por unidade (p.u.) é uma 
das bases dos assuntos aqui abordados. Com intuito de prover tais capacidades, cada subunidade deste 
Capítulo apresenta, suscintamente, umdeterminado tema relevante para o andamento da disciplina, sendo 
estes aqui tratados em caráter de revisão. Ao final, são propostos exercícios para fixação dos conceitos 
apresentados nesta Seção. 
 
1.1. Fasores 
 Levando-se em conta a identidade de Euller, dada por: 
 
ejωt = cos ωt + j. sen ωt 
 
onde: 𝑗 = √−1. 
 
Pode-se expressar uma senóide da seguinte maneira: 
 
i(t) = Im. sen ωt = Imag(Im. e
jωt) = Imag(Im. cos ωt + j. Im. sen ωt) 
 
onde Imag representa a parte imaginária. 
Considere agora um sinal senoidal da forma: 
 
r(t) = Rm. sen(ωt + θ) 
 
Ele pode ser expresso por: 
 
r(t) = Rm. sen(ωt + θ) = Imag[Rm. cos(ωt + θ) + j. Rm. sen(ωt + θ)] 
= Imag[Rm. e
j(ωt+θ)] = Imag[Rm. e
jωt. ejθ] = √2. Imag [
Rm
√2
. ejωt. ejθ] 
= √2. Imag[R̅. ejωt] 
 
9 
 
onde R̅ representa o FASOR do sinal r(t) e é dado por: 
R̅ =
Rm
√2
. ejθ = R∠θ = R. cos θ + j. R. sen θ 
 
R representa o módulo e θ o ângulo do fasor R̅. 
 
1.2. Impedância Complexa 
Z̅ =
V̅
I̅
= R + jX 
 
 Parte Real de Z̅  Resistência (R); 
 Parte Imaginária de Z̅  Reatância (X). 
 
Resistor ZR=R Indutor ZL=jωL Capacitor ZC=-j/ωL
 
Figura 1.1 – Impedância dos elementos passivos. 
 
Na Figura 1: 
 
 ω = 2πf; 
 L é a indutância (H); 
 C é capacitância (F); 
 
1.3. Admitância Complexa 
Y̅ =
1
Z̅
=
1
R + j. X
= G + j. B 
 
Onde: 
 
 Parte real de Y̅ é a condutância  Re[Y̅] = G; 
 Parte imaginária de Y̅ é a susceptância  Imag[Y̅] = B. 
 
1.4. Potência Complexa 
 Tendo os fasores de tensão V̅ = V∠α e de corrente I̅ = I∠β, define-se como potência complexa: 
 
S̅ = V̅. I̅∗ 
 
Assim: 
 
S̅ = V̅. I̅∗ = V∠α. I∠(−β) = V. I∠(α − β) = V. I∠ϕ 
 
O módulo de S̅ é denominado POTÊNCIA APARENTE: 
 
|S̅| = S = VI em VA. 
10 
 
 
Na forma retangular, a potência complexa é dada por: 
 
S̅ = V. I. cos ϕ + j. V. I. sen ϕ 
 
Onde: 
 
 P = V. I. cos ϕ = Re[S̅]  POTÊNCIA ATIVA em W; 
 Q = V. I. sen ϕ = Imag[S̅]  POTÊNCIA REATIVA em VAr. 
1.5. Fator de Potência 
F. P. = cos ϕ =
P
S
 
 
Onde ϕ é o ângulo entre a tensão e a corrente. 
 
P
QS
ϕ
 
Figura 1.2 – Triângulo de Potências. 
 
1.6. Tensões e Correntes em Sistemas Trifásicos Equilibrados 
REDE
A
(ativa)
REDE
B
(passiva)
Fase A
Fase B
Fase C
Neutro
VAN
VBN
VCN
IA
IN
IC
IB
 
Figura 1.3 – Redes trifásicas interligadas por quatro condutores. 
 
 Tensão de fase (ou tensão fase-neutro) �̅�𝑓  tensão existente entre qualquer condutor fase e o 
neutro (exemplo: �̅�𝑓 = �̅�𝐴𝑁 = �̅�𝐴); 
 Tensão de linha (ou tensão fase-fase) �̅�𝑙  tensão existente entre duas fases (exemplo: �̅�𝑙 = �̅�𝐴𝐵); 
 Corrente de linha 𝐼�̅�  corrente que circula entre as duas redes (exemplo: 𝐼�̅� = 𝐼�̅�); 
 Corrente de fase 𝐼�̅�  corrente que circula em cada impedância que compõem a carga (depende 
do tipo de ligação); 
 Corrente de neutro 𝐼�̅�  corrente que circula pelo neutro. 
11 
 
Observações: 
 
 Sequência direta ou positiva de fases: a,b,c; 
 Sequência inversa ou negativa de fases: a,c,b. 
 
1.6.1. Ligação em Estrela (Y) 
 
ZY ZY
ZY
N
A
B
C
IA
IB
IC
IN
 
Figura 1.4 – Ligação em estrela. 
 
 Tensões de fase (fase A como referência): 
 
V̅A = V∠0
o V̅B = V∠−120
o V̅C = V∠120
o 
 
 Tensões de linha: 
 
V̅AB = V̅A − V̅B = √3. V∠30
o = V̅A. √3∠30
o 
 
V̅BC = V̅B − V̅C = √3. V∠ − 90
o = V̅B. √3∠30
o 
 
V̅CA = V̅C − V̅A = √3. V∠150
o = V̅C. √3∠30
o 
 
 Corrente de neutro: 
 
IN̅ = IA̅ + IB̅ + IC̅ = 0 
 
 Diagrama fasorial das tensões: 
 
 
Figura 1.5 – Diagrama fasorial das tensões para ligação em Y. 
12 
 
1.6.2. Ligação em Delta (Δ) 
ZΔ ZΔ
ZΔ
IA
IB
IC
IAB
IBC
ICA
A
B
C
 
Figura 1.6 – Ligação em Delta. 
 
 
 Tensões: 
 
V̅AB = V∠0
o V̅BC = V∠−120
o V̅CA = V∠120
o 
 
 Correntes de fase: 
 
IA̅B =
V̅AB
Z̅∆
=
V∠0o
Z̅∆
 IB̅C =
V̅BC
Z̅∆
=
V∠(−120o)
Z̅∆
 IC̅A =
V̅CA
Z̅∆
=
V∠120o
Z̅∆
 
 
 Correntes de linha: 
 
IA̅ = IA̅B − IC̅A =
V∠0o − V∠120o
Z̅∆
=
V
Z̅∆
. √3∠(−30o) = IA̅B. √3∠(−30
o) 
 
IB̅ = IB̅C − IA̅B =
V∠(−120o) − V∠0o
Z̅∆
=
V
Z̅∆
. √3∠(−150o) = IB̅C. √3∠(−30
o) 
 
IC̅ = IC̅A − IB̅C =
V∠120o − V∠(−120)o
Z̅∆
=
V
Z̅∆
. √3∠90o = IC̅A. √3∠(−30
o) 
 
 Diagrama fasorial das correntes (considerando IAB como referência): 
 
 
Figura 1.7 – Diagrama fasorial das correntes para ligação em Δ. 
13 
 
1.7. Valores em Por Unidade (p.u) 
Valor em p. u. =
Valor Absoluto
Valor Base
 
 
 Para circuitos monofásicos: 
 
Base {
Vbase−1ϕ = Vfase
Sbase−1ϕ = S
 
 
Logo: 
 
Ibase−1ϕ =
Sbase−1ϕ
Vbase−1ϕ
 
 
Zbase−1ϕ =
Vbase−1ϕ
Ibase−1ϕ
=
Vbase−1ϕ
Sbase−1ϕ
Vbase−1ϕ
=
(Vbase−1ϕ)
2
Sbase−1ϕ
 
 
Tem-se ainda que: 
 
Zp.u. =
Z(Ω)
Zbase−1ϕ
=
Z(Ω). Sbase−1ϕ
(Vbase−1ϕ)
2 
 
 Para circuitos trifásicos: 
 
Base {
Vbase−3ϕ = Vlinha = √3. Vbase−1ϕ
Sbase−3ϕ = 3. Sbase−1ϕ = √3. Vlinha. Ilinha = √3. Vbase−3ϕ. Ibase−3ϕ
 
 
Logo: 
 
Ibase−3ϕ = Ilinha =
Sbase−3ϕ
√3. SVbase−3ϕ
 
 
Zbase−3ϕ =
Vbase−1ϕ
Ibase−1ϕ
=
Vbase−3ϕ
√3
Sbase−3ϕ
√3. Vbase−3ϕ
=
(Vbase−3ϕ)
2
Sbase−3ϕ
 
 
E: 
 
Zp.u. =
Z(Ω)
Zbase−3ϕ
=
Z(Ω). Sbase−3ϕ
(Vbase−3ϕ)
2 
 
 Mudança de Bases (Impedância): 
 
Zpu−novo = Zpu−velho.
Sbase−nova
Sbase−velha
. (
Vbase−velha
Vbase−nova
)
2
 
14 
 
1.8. Equivalente Y-Δ 
Z2Z3
Z1
Zc Za
Zb
a
bc
 
Figura 1.8 - Equivalente Y-Δ.
 
 
 Delta 
 
�̅�𝑎 =
�̅�1. �̅�2 + �̅�2. �̅�3 + �̅�1. �̅�3
�̅�3
 
 
�̅�𝑏 =
�̅�1. �̅�2 + �̅�2. �̅�3 + �̅�1. �̅�3
�̅�1
 
 
�̅�𝑐 =
�̅�1. �̅�2 + �̅�2. �̅�3 + �̅�1. �̅�3
�̅�2
 
 Estrela: 
�̅�1 =
�̅�𝑎. �̅�𝑐
�̅�𝑎 + �̅�𝑏 + �̅�𝑐
 
 
�̅�2 =
�̅�𝑎. �̅�𝑏
�̅�𝑎 + �̅�𝑏 + �̅�𝑐
 
 
�̅�3 =
�̅�𝑏 . �̅�𝑐
�̅�𝑎 + �̅�𝑏 + �̅�𝑐
Exercícios do Capítulo 1 
 
1) Represente as seguintes equações de tensão e corrente como fasores trifásicos no diagrama polar. 
Trace os sinais da fase A no diagrama de tempo, determinando a diferença de fase e a impedância 
equivalente: 
 
a) v(t) = 0,8 ∙ cos(ωt) e i(t) = 0,4 ∙ cos (ωt −
𝜋
4
) 
 
15 
 
b) v(t) = 0,6 ∙ sen(ωt − 60°) e I̅ = 0,2∠60° 
 
 
c) V̅ = e−𝑗
𝜋
6 e v(t) = 0,25 ∙ sen(ωt − 45°) 
 
 
2) Determine os valores V, I, R e X em p.u. para os circuitos abaixo, considerando a base de 220 V e 1 
kVA: 
 
 
(a) (b) 
 
3) Determine as impedâncias em p.u. do sistema elétrico a seguir, considerando uma base de 23 kV e 
100 MVA na barra 1. 
 
16 
 
 
 
 
4) Certo transformador trifásico de 30 MVA, 69 kV/18 kV, apresenta reatância de 9%. Pergunta-se: 
a) Qual é o valor da sua reatância em ohms, referida ao lado de 69 kV? 
b) Qual é o valor da sua reatância em p.u., nas bases de 100 MVA e 20 kV no secundário? 
 
5) Adotando como bases 500 VA e 100 V, determinar os valores em p.u. das impedâncias dos elementos 
do circuito da figura abaixo. 
 
5 Ω 8 Ω
3 Ω1 0º V
 
 
6) Determinado alternador trifásico tem tensão de linha igual 2,2 kV e atende às seguintes cargas em 
paralelo: 
 
- Carga 1: 210 kVA, fator de potência 0,85 (atrasado); 
- Carga 2: 180 kVA, fator de potência 0,95 (adiantado); 
 
Determine os valores em p.u. das cargas e suas respectivas impedâncias nas bases de 150 kVA e de 
1000 V. 
 
7) Adotando as bases 25 MVA e 80 kV (na linha de transmissão), determine os valores de reatância em 
p.u. dos elementos do sistema da figura abaixo, conhecendo os seguintes dados dos equipamentos: 
 
- Gerador: 15 MVA, 13,8 kV, X = 0,12 p.u.; 
- Motor: 10 MVA, 12,5 kV, X = 0,08 p.u.; 
- Transformador 1: 20 MVA, 15/132 kV, X = 0,12 p.u.; 
- Transformador 2: 15 MVA, 13/115 kV, X = 0,12 p.u.; 
- Linha: 220 Ω por fase. 
 
T1 T2
M
 
17 
 
8) Dado o sistema da figura abaixo, determine os valores em p.u. das reatâncias de cada componente, 
considerando como bases 25 MVA e 110 kV na LT 1. 
 
50 MVA
0,23 p.u.
37,5 MVA
0,26 p.u.
G1 G2
25 MVA
0,1 p.u.
25 MVA
0,13 p.u.
T1
T3
20 MVA
0,15 p.u.
15 MVA
0,18 p.u.
T2
T4
110 kV LT133,5 Ω
66 kV LT2 31,6 Ω
13,8 kV 13,8 kV
 
 
9) Determine o equivalente Y dos elementos conectados conforme as situações abaixo: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
18 
 
10) Determine o equivalente Δ para o sistema abaixo: 
 
 
19 
 
Capítulo 2 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SEP 
 
 
 
 
Uma rede elétrica pode ser representada integralmente a partir dos chamados diagramas 
multifilares, os quais apresentam as impedâncias de cada elemento por fase. Além disso, tais diagramas 
podem conter as impedâncias do neutro quando este existir. 
 Nesse contexto, sistemas trifásicos equilibrados podem ser representados de forma simplificada 
com o uso de apenas uma das linhas e o neutro, no chamado equivalente monofásico. Entretanto, o neutro 
é comumente suprimido, o que resulta no Diagrama Unifilar de Impedâncias. Assim, a rede trifásica é 
desenhada com traço único e os componentes são identificados por símbolos padronizados, conforme a 
Figura 2.1. Também, nesse diagrama são indicados os tipos de ligação, tendo-se assim os dados mais 
significativos do sistema representado. 
 
M
B
B1 B2
Máquina Rotativa
Gerador C.A.
Motor
Barra ou Barramento B
Transformador de 2 
Enrolamentos
Transformador de 2 Enrolamentos 
(Notação Alemã)
Transformador de 3 
Enrolamentos
Transformador de 3 Enrolamentos 
(Notação Alemã)
Ligação em Estrela ou Y
Ligação em Estrela Aterrado ou Y 
Aterrado
Ligação em Estrela Aterrado ou Y 
Aterrado através da Impedância ZN 
Ligação em Delta ou Triângulo Δ
Linha de Transmissão entre as Barras 
B1 e B2
Disjuntor a Óleo
Disjuntor a Ar
Chave Seccionadora
Transformador de Potencial
Transformador de Corrente
Carga
Fusível
Barra Retificadora de um Link C.C.
Barra Inversora de um Link C.C.
Pára-raios
Terra
ZN
 
Figura 2.1 – Simbologia padrão. 
20 
 
A Figura 2.2 apresenta o diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência radial, o qual 
contém 3 geradores, uma linha de transmissão, dois transformadores e carga concentrada. Note que os 
tipos de conexão estão indicados no diagrama unifilar. 
 
G1
G2
G3
T1 T2
 
Figura 2.2 – Diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência. 
 
 A partir do diagrama unifilar, utilizando os modelos dos componentes do sistema elétrico, obtém-
se o Diagrama de Unifilar de Impedâncias (Figura 2.3), o qual é utilizado para análise de sistemas de 
potência. 
 
VG1 VG2 VG3
RG2RG1 RG3
XG2 XG3XG1
R1T2 R2T2R1T1 R2T1 X1T2 X2T2X2T1X1T1
RMT2RMT1 XMT2XMT1
RLT XLT
Y
2
Y
2 RCarga
XCarga
Geradores 1 e 2
Transformador 1 Transformador 2Linha de 
Transmissão Gerador 3
Carga
 
Figura 2.3 – Diagrama de impedâncias do sistema da Figura 1. 
 
 A utilização de hipóteses simplificadoras, como a omissão de cargas estáticas, reduz o circuito da 
Figura 2.3 a um Diagrama de Unifilar de Reatâncias (Figura 2.4). Tal diagrama é empregado nos 
cálculos de curto-circuito. 
 
VG1 VG2 VG3
XG2 XG3XG1
XeqT1 XeqT2XLT
 
Figura 2.4 – Diagrama de reatâncias simplificado para o sistema da Figura 2.2. 
21 
 
2.1. Modelagem de Componentes 
 Para cálculos de curto-circuito e estudos de proteção, a modelagem dos elementos componentes de 
um sistema elétrico de potência inclui a simplificação de seus circuitos equivalentes, por fase, conforme 
as subseções seguintes. 
2.1.1. Gerador 
O modelo para gerador síncrono é simplesmente constituído por uma fonte de tensão em série com 
uma reatância sub-transitória, conforme a Figura 2.5. Ressalta-se que este modelo também é válido para 
motores síncronos. 
 
VG
X''d
 
Figura 2.5 – Modelo do Gerador. 
 
2.1.2. Transformador 
O modelo completo para um transformador, em seu tap nominal, por fase, é mostrado na Figura 
2.6, onde: 
 
R1, R2 – representam as resistências dos enrolamentos primário e secundário, respectivamente; 
X1, X2 – representam as reatâncias dos enrolamentos primário e secundário, respectivamente; 
Rm – é a resistência elétrica que representa as perdas no núcleo (histerese e correntes parasitas); 
Xm – representa a reatância de magnetização; 
Ie – é a corrente de excitação. 
 
R1 R2X2X1
Rm Xm
Ie
 
Figura 2.6 – Modelo completo do transformador. 
 
Para grandes transformadores não saturados, costuma-se desprezar a corrente de excitação uma 
vez que esta é muito menor do que as correntes de curto-circuito. Por isso, pode-se desprezar o ramo de 
magnetização sem grandes erros nos cálculos, resultando no modelo mostrado na Figura 2.7(a). Como a 
resistência equivalente Re é muito pequena quando comparada a reatância equivalente de dispersão Xe, a 
22 
 
corrente de curto-circuito fica limitada, praticamente, pela reatância equivalente do transformador. Assim, 
o modelo final resulta naquele mostrado na Figura 2.7(b). 
 
Re Xe Xe
(a) (b)
 
Figura 2.7 – Representação simplificada do transformador. 
2.1.3. Linhas de Transmissão 
De modo geral, as linhas de transmissão funcionam como cargas trifásicas equilibradas. Mesmo 
não sendo transpostas e não tendo espaçamento equilateral, a assimetria resultante é desprezível e suas 
fases podem ser supostas equilibradas. 
A modelagem das linhas de transmissão depende do comprimento, do nível de tensão e da 
capacidade da respectiva linha. A classificação das linhas de transmissão em função do nível de tensão e 
do comprimento está resumida na Tabela 2.1. 
 
Tabela 2.1 – Classificação das LTs em função do nível de tensão e do comprimento 
 VL<150 150<VL<400 VL>400 
Linha Curta L<80 L<40 L<20 
Linha Média 80<L<200 40<L<200 20<L<100 VL – Tensão da Linha (kV) 
Linha Longa L>200 L>200 L>100 L – Comprimento da Linha (km) 
 
 O circuito que representa a LT contém um ramo de natureza indutiva ligado em série entre as 
barras terminais e um ramo de natureza capacitiva ligado em derivação nos terminais. Para linhas curtas, 
a pequena capacitância em derivação pode ser desprezada sem causar grandes erros nos cálculos. O 
modelo para linhas curtas é mostrado na Figura 2.8. 
 
RLT XLT
 
Figura 2.8 – Modelo de linha de transmissão curta. 
 
Linhas de transmissão médias podem ser representadas de duas maneiras. Na representação com o 
modelo π, a impedância série encontra-se entre dois capacitores ligados em paralelo, conforme mostrado 
na Figura 2.9. Nessa figura, Y̅ representa a admitância total, em derivação, da LT. 
 
RLT XLT
Y
2
Y
2
 
Figura 2.9 – Modelo π de linha média. 
23 
 
 No modelo T de linha média (Figura 2.10), a admitância total em derivação aparece concentrada 
no ramo central (em paralelo) e a impedância série aparece igualmente dividida entre os outros dois 
ramos restantes. 
 
ZLT
2
Y
ZLT
2
 
Figura 2.10 – Modelo T de linha média. 
 
 Linhas longas podem ser representadas pelo modelo π, com modificações destinadas a considerar 
parâmetros uniformemente distribuídos ao longo da linha, ao invés de concentrados. 
 Nos cálculos de curto-circuito, costuma-se desprezar os elementos transversais (em paralelo) 
muito menores do que os longitudinais. Para elevados níveis de tensão, pode-se ainda desprezar o valor 
da resistência série, em presença da reatância série da linha de transmissão. Para sistemas com baixos 
valores de tensão, não se pode desprezar a resistência das linhas, como, por exemplo, nos sistemas de 
distribuição. Dessa forma, o modelo simplificado resultante é mostrado na Figura 2.11. 
 
XLT
 
Figura 2.11 – Modelo simplificado de linha de transmissão. 
 
Em cálculos de curto-circuito as cargas dos sistemas de potência podem ser desprezadas. Além 
disso, costuma-se admitir que a tensão do sistema antes da ocorrência do curto é igual à tensão nominal, 
já que esse valor deve ser mantido em situações normais de funcionamento. Também, supõe-se que a 
corrente do sistema seja nula antes da falta. Na verdade, a corrente antes da falta é muito menor que a 
corrente de curto-circuito e está quase em fase com a tensão. 
 Por outro lado, a corrente de curto-circuito é bastante elevada e muitoindutiva, o que ocorre em 
decorrência das reatâncias presentes no sistema, fazendo com que a corrente de curto-circuito tenha 
defasagem de quase 90º em relação à tensão. Sendo assim, pode-se desprezar a corrente de carga para 
cálculos de curto-circuito. 
 Por fim, vale ressaltar que a consideração da impedância da carga terá pouca influência no valor 
da corrente de curto-circuito. 
2.2. Dados de Equipamentos Aplicáveis a Cálculos em p.u. 
 Os fabricantes de equipamentos costumam fornecer dados de interesse para cálculos em p.u., 
referentes a sistemas de potência. Explicações sobre esses dados são expostas a seguir: 
2.2.1 Alternador Monofásico 
São fornecidos os valores correspondentes a: 
 Potência aparente nominal; 
 Tensão nominal; 
24 
 
 Frequência; 
 Reatâncias sub-transitória (X”), transitória (X’) e síncrona (X), expressas em valores 
percentuais ou em p.u., tendo como valores bases a potência nominal da máquina e sua tensão 
nominal. 
 
Exemplo 1: Determine a reatância sub-transitória, em ohms, de um alternador monofásico de 150 kVA, 
600 V, cujo fabricante informa ser esta reatância igual 20%. 
Solução: 
 
X"(Ω) = X"(p.u.). Zbase = 0,20.
Vbase
2
Sbase
= 0,20.
6002
150. 103
= 0,48 Ω 
2.2.2. Motor Monofásico 
São fornecidos os valores referentes à: 
 Potência nominal (mecânica, disponível no eixo); 
 Tensão nominal; 
 Frequência; 
 Reatâncias sub-transitória (X”), transitória (X’) e de regime (X), expressas em valores 
percentuais ou em p.u., tendo como bases a tensão nominal e a potência aparente, 
correspondente à potência mecânica nominal fornecida no eixo da máquina. Normalmente, as 
potências no eixo dos motores são expressas em HP ou CV. Portanto, a potência aparente pode 
ser determinada através do rendimento (η) e do fator de potência (cos ϕ) da máquina. 
 
Observações: 
 
1 CV -------- 736 W 
1 HP -------- 746 W 
 
Exemplo 2: Certo motor síncrono de 500 HP, 600 V, reatância sub-transitória igual a 10%, funciona à 
plena carga com fator de potência unitário e rendimento igual a 88%. Determine o valor em ohms da sua 
reatância sub-transitória. 
Solução: 
 
Sentrada =
Psaída
η. cos ϕ
=
500.0,746
0,88.1
= 423,86 kVA 
 
X"(Ω) = X"p.u.. Zbase = 0,1.
6002
423,86. 103
= 0,085 Ω 
 
2.2.3. Transformador Monofásico de Dois Enrolamentos 
São fornecidos os valores correspondentes à: 
 Potência aparente nominal; 
 Tensão nominal do lado de alta; 
 Tensão nominal do lado de baixa; 
 Reatância equivalente de dispersão, em % ou p.u. 
 
25 
 
A placa de identificação ou o catálogo de um transformador apresenta apenas um valor de 
reatância de dispersão, dado em p.u. Isso ocorre porque o valor dessa reatância em p.u. é o mesmo, 
referido tanto do lado de AT quanto ao lado de BT. 
 
Observações: 
 
V1
V2
=
N1
N2
 
 
I1
I2
=
N2
N1
 
 
Z1
Z2
= (
N1
N2
)
2
 
 
Onde: 
𝑁1
𝑁2
 é a relação de espiras do transformador. 
 
Exemplo 3: Um transformador monofásico com relação de espiras igual a 10, potência aparente 10 MVA 
e tensão nominal de 138/13,8 kV, cuja reatância equivalente referida ao secundário, Xe2, foi obtida 
através do ensaio de curto-circuito e é igual a 5 Ω. Calcular o valor desta reatância em p.u. em ambos os 
lados do transformador, tendo como base a tensão nominal do secundário. 
Solução: 
 
Xe2 (p.u.) = Xe2 (Ω).
Sbase
Vbase
2 = 5.
10
13,82
= 0,2625 p. u. 
 
A reatância equivalente, referida ao lado primário, será: 
 
Xe1 (Ω) = Xe2 (Ω). (
N1
N2
)
2
= 5. 102 = 500 Ω 
 
Xe1 (p.u.) = Xe1 (Ω).
Sbase
Vbase
2 = 500.
10
1382
= 0,2625 p. u. 
 
Logo, verifica-se que a reatância em p.u. do transformador têm valor único, não importando o lado 
ao qual esteja referido. Em p.u., tudo se passa como se o transformador tivesse relação de espiras igual a 
1. Assim, a escolha adequada de bases para circuitos interligados ao transformador irá facilitar os cálculos 
em p.u. Basta que a potência base seja a mesma para todo o sistema e que as tensões base dos circuitos 
interligados por transformador tenham a mesma relação existente entre as tensões do respectivo 
transformador. Isso permite a combinação de todas as reatâncias do sistema em um único diagrama de 
reatâncias com valores em p.u. 
2.2.4. Alternador Trifásico 
São fornecidos valores referentes à: 
 Potência aparente nominal trifásica (total das três fases); 
 Tensão de linha nominal; 
 Frequência; 
 Reatâncias sub-transitórias (X”d e X”q) 
 Reatâncias transitórias (X’d e X’q); e 
 Reatâncias síncronas (Xd e Xq), 
26 
 
Sendo as reatâncias, por fase, expressas em % ou p.u., tendo como valores base a potência 
nominal da máquina e sua tensão nominal. 
 
Exemplo 4: De um alternador trifásico são conhecidos os seguintes valores nominais: potência aparente = 
150 MVA; tensão = 13,8 kV; reatância transitória X’d = 20 %. Obtenha: a) o valor da reatância transitória 
em ohms; b) o valor da reatância transitória em p.u., tendo por base 50 MVA e 11 kV. 
Solução: 
a) 
X′d (Ω) = X′d (p.u.). Zbase = X′d (p.u.).
Vbase
2
Sbase
= 0,2.
13,82
150
= 0,254 Ω 
 
b) 
X′d (p.u.) = 0,2.
50
150
. (
13,8
11
)
2
= 0,105 p. u. 
 
2.2.5. Motor Trifásico 
São informados os valores correspondentes à: 
 Potência nominal (mecânica, total, disponível no eixo); 
 Tensão de linha nominal; 
 Frequência; 
 Reatâncias sub-transitória (X”d e X”q), transitória (X’d e X’q) e de regime (Xd e Xq), por fase, 
expressas em % ou p.u., tendo como bases a tensão nominal do motor e a potência aparente, 
correspondente à potência nominal fornecida no eixo da máquina. Normalmente, as potências 
dos motores são especificadas em HP ou em CV, no eixo, e, portanto, a potência aparente 
pode ser determinada a partir do rendimento e do fator de potência da máquina. Na falta de 
dados completos, podem-se usar as seguintes relações: 
 
- Motor de indução: kVA = HP; 
- Motor síncrono com fator de potência unitário: kVA = 0,85.HP; 
- Motor síncrono com fator de potência 0,8: kVA = 1,1.HP. 
 
Exemplo 5: Certo motor síncrono cuja tensão nominal é de 6,9 kV, tem potência de 3000 HP, reatância 
sub-transitória X”d igual a 15% e fator de potência igual a 0,8. Determine: a) o valor da reatância sub-
transitória em ohms; b) o valor da reatância sub-transitória em p.u., na base de 5000 kVA e 12,5 kV. 
Solução: 
 
a) 
kVAmotor = 1,1.3000 = 3300 kVA 
 
X"d (Ω) = X"d (p.u.). Zbase = 0,15.
6,92
3,3
= 2,164 Ω 
 
b) 
X"d (p.u) = 0,15.
5000
3300
. (
6,9
12,5
)
2
= 0,069 p. u. 
2.2.6. Transformador Trifásico de Dois Enrolamentos 
São fornecidos os valores referentes à: 
 Potência aparente nominal trifásica (total das três fases); 
 Tensão de linha nominal, do lado de alta; 
27 
 
 Tensão de linha nominal, do lado de baixa; 
 Reatância de dispersão equivalente, por fase em % ou p.u., tal como ocorre para o 
transformador monofásico de dois de enrolamentos, o transformador trifásico apresenta um 
único valor de reatância em p.u. tanto para o lado de alta tensão, quanto para o lado de baixa 
tensão. 
 
Exemplo 6: Os valores nominais de um transformador trifásico de dois enrolamentos são os seguintes: 
 
- Potência: 5 MVA; 
- Tensão: 138 kV Y/13,8 kV Δ; 
- Reatância de dispersão por fase: X = 12%. 
 
Qual o valor da reatância de dispersão em ohms: 
a) Referida do lado de alta tensão? 
b) Referida do lado de baixa tensão? 
 
Solução: 
 
a) 
Zbase AT =
1382
5
= 3808,8 Ω 
 
XΩ AT = 0,12 . 3808,8 = 457,06 Ω 
 
b) 
Zbase BT =
13,82
5
= 38,088 Ω 
 
XΩ BT = 0,12 . 38,088 = 4,57 Ω 
2.2.7. Banco de Transformadores 
Utilizado frequentemente em sistemas de potência, o banco de transformadores é composto por 3 
transformadores monofásicos, interligados de modo a se ter um equivalente trifásico. São possíveis as 
seguintes ligações: 
 
- Y-Y: Pouco usual, por envolver problemas com a corrente de excitação; 
- Δ-Δ: Apresenta a vantagem de permitir a remoção de um dos transformadores, sem interrupção do 
fornecimentode energia (ligação em V aberto). Com a remoção de um dos transformadores, a potência 
nominal do banco fica reduzida a 58% da potência inicial; 
- Y-Δ: normalmente empregada para transformar tensão elevada em tensão média ou tensão baixa. 
Permite aterramento do neutro no lado de alta tensão; 
- Δ-Y: geralmente utilizada para elevação de tensão. 
 
 Dos transformadores monofásicos são fornecidos: 
 
 Potência aparente nominal; 
 Tensão nominal, do lado de alta; 
 Tensão nominal do lado de baixa; 
 Reatância de dispersão em % ou em p.u. 
 
A potência do banco é igual a 3 vezes a potência individual dos transformadores monofásicos e a 
tensão de linha do banco depende do tipo de ligação dos transformadores monofásicos componentes. A 
reatância em p.u. do banco de transformadores, qualquer que seja o tipo de ligação, é igual à reatância em 
p.u. que cada transformador monofásico apresenta, conforme pode ser visto nos exemplos a seguir. 
28 
 
 
Exemplo 7: Determine a reatância em p.u. do banco de transformadores monofásicos ligado em Y-Y, 
mostrado na Figura 2.12. A reatância de dispersão de cada transformador monofásico é de 10%, tendo por 
base suas grandezas nominais. 
 
X
X
X
138 3 13,8 3kV kV
(a) Banco Y-Y
10 MVA
138/13,8 kV
X = 10%
(b) Trafo Monofásico
 
Figura 2.12 – Banco de transformadores monofásicos, ligação Y-Y. 
 
Solução: 
 
 A reatância em ohms de cada transformador do banco no lado primário é: 
 
X(Ω,TR 1ϕ) = 0,1 .
1382
10
 Ω 
 
A partir dos dados dos transformadores monofásicos, pode-se obter a reatância do banco: 
 
Sbanco = 3 .10 = 30 MVA 
 
Vbanco = Vbase = √3 . 138 kV 
 
Xbase =
(√3 . 138)
2
30
Ω 
 A reatância em p.u. do banco é: 
 
X(p.u,banco) =
X(Ω,TR 1ϕ)
Xbase
= 0,1 .
1382
10
 .
30
(√3 .138)
2 = 0,1 = 10% 
 
Portanto, a reatância em p.u. do banco tem o mesmo valor da reatância em p.u. de cada 
transformador que integra o banco. Para as demais ligações, chega-se a mesma conclusão. Pode-se dizer 
então que a reatância em p.u. do banco tem o mesmo valor da reatância em p.u do transformador 
monofásico que o compõe, independentemente do tipo de ligação. 
 
29 
 
2.2.8. Transformador Trifásico de Três Enrolamentos 
O transformador trifásico de três enrolamentos costuma ser utilizado com uma das seguintes 
finalidades: 
 
- Interligação de três sistemas com níveis de tensão diferentes; 
- Interligação de dois sistemas com níveis de tensão diferentes e, adicionalmente, através do terciário, 
atendimento dos serviços auxiliares de subestações; 
- Interligação de dois sistemas com níveis de tensão diferentes e, adicionalmente, através do terciário 
operando em vazio, funcionando como filtro de sequência zero para fins de proteção. 
 
 No circuito equivalente por fase, em p.u., do transformador trifásico de três enrolamentos, 
mostrado na Figura 2.13, são considerados apenas os parâmetros longitudinais, tal como ocorre para o 
transformador de dois enrolamentos. Por outro lado, as impedâncias Z̅P, Z̅S e Z̅T, em p.u., não levam em 
conta as resistências dos enrolamentos, pois estas são muito pequenas em relação às reatâncias dos 
mesmos. O ponto comum é fictício e nada tem a ver com o neutro do sistema. 
 
V1
V3
V2
P
S
T
ZP
ZS
ZT
Barra de referência
 
Figura 2.13 – Circuito equivalente do transformador trifásico de três enrolamentos. 
 
 Os valores das impedâncias que constam do circuito equivalente são obtidos a partir de ensaios de 
curto-circuito do equipamento, usando dois enrolamentos e deixando o terceiro em aberto. Deste modo, 
os referidos ensaios fornecem: 
 
Z̅PS - impedância de curto-circuito medida no primário, com o secundário curto-circuitado e o terciário 
aberto; o valor em ohms é referido ao primário (lado em que se fez a medida); 
 
Z̅PT - impedância de curto-circuito medida no primário, com o terciário curto-circuitado e o secundário 
aberto; o valor em ohms é referido ao primário (lado em que se fez a medida); 
 
Z̅ST - impedância de curto-circuito medida no secundário, com o terciário curto-circuitado e o primário 
aberto; o valor em ohms é referido ao secundário (lado em que se fez a medida). 
 
 Após referir os valores obtidos nos ensaios a um mesmo enrolamento, podem-se obter seus 
valores em p.u. adotando-se potência base única e tensões base cujos valores mantenham as relações 
existentes entre as tensões de linha dos enrolamentos do transformador. Com as impedâncias Z̅PS, Z̅PT e 
Z̅ST expressas em p.u. e sendo: 
 
Z̅PS = Z̅P + Z̅S 
 
Z̅PT = Z̅P + Z̅T 
 
Z̅ST = Z̅S + Z̅T 
30 
 
 Calculam-se as impedâncias Z̅P, Z̅S e Z̅T, em p.u., através das seguintes expressões: 
 
Z̅P =
1
2
 . (Z̅PS + Z̅PT − Z̅ST) 
 
Z̅S =
1
2
 . (Z̅PS + Z̅ST − Z̅PT) 
 
Z̅T =
1
2
 . (Z̅PT + Z̅ST − Z̅PS) 
 
Exemplo 8: Certo transformador trifásico de três enrolamentos possui como características: 
 
- Primário: Ligação Y; 13,8 kV, 15 MVA; 
- Secundário: Ligação Y; 34,5 kV, 10 MVA; 
- Terciário: Ligação Δ; 4,2 kV; 7,5 MVA. 
 
 Ensaios de curto-circuito realizados em laboratório indicaram os seguintes resultados, 
desprezando-se as resistências dos enrolamentos: 
 
- medidas no primário: Z̅PS = j 0,768 Ω, Z̅PT = j 0,834 Ω; 
- medidas no secundário: Z̅ST = j 6,532 Ω. 
 
 Apresente o circuito equivalente por fase, em p.u., adotando Sbase = 15 MVA e Vbase = 13,8 kV. 
 
Solução: 
 
 O circuito equivalente (Figura 2.14) solicitado deve ser feito com valores em p.u. na mesma base. 
Tem-se então: 
 
Z̅PS (p.u.,referido ao primário) =
Z̅PS (Ω)
Zbase
= Z̅PS (Ω) .
Sbase
Vbase
2 = j 0,768 .
15
13,82
= j 0,06 p. u. 
 
Z̅PT (p.u.,referido ao primário) =
Z̅PT (Ω)
Zbase
= Z̅PT (Ω) .
Sbase
Vbase
2 = j 0,834 .
15
13,82
= j 0,066 p. u. 
 
Z̅ST (p.u.,referido ao secundário) =
Z̅ST (Ω)
Zbase
= Z̅ST (Ω) .
Sbase
Vbase
2 = j 6,532 .
10
34,52
= j0,055 p. u. 
 
Z̅ST (p.u.,referido ao primário) = Z̅ST (p.u.,referido ao secundário) .
Sbase,primário
Sbase,secundário
= j 0,055 .
15
10
= j 0,082 p. u. 
 
Assim: 
 
Z̅P =
1
2
 . (j0,006 + j0,066 − j0,082) = 𝑗0,022 𝑝. 𝑢. 
 
Z̅S =
1
2
 . (j0,06 + j0,082 − j0,066) = 𝑗0,038 𝑝. 𝑢. 
 
Z̅T =
1
2
 . (j0,066 + j0,082 − j0,06) = 𝑗0,044 𝑝. 𝑢. 
31 
 
P
S
T
j0,022 p.u.
Barra de referência
j0,038 p.u.
j0,044 p.u.
 
Figura 2.14 – Resultado do Exemplo 8. 
2.3. Diagrama de Reatâncias por Fase de um Sistema de Potência 
 Para concluir o presente tema, apresenta-se um diagrama completo de reatâncias em p.u., por fase, 
de um sistema de potência. O respectivo diagrama unifilar aparece na Figura 2.15. 
 Inicialmente, adota-se uma potência base para todo o sistema. Em seguida, escolhe-se uma tensão 
base num trecho do sistema e, a partir desse valor, resultam as tensões base nos demais trechos, em 
decorrência das relações de tensão nos transformadores. Dessa forma, cada trecho possui sua respectiva 
base de tensão. Uma vez resolvido o problema, pode-se voltar aos valores reais multiplicando os valores 
em p.u. pela base da respectiva grandeza em cada lugar da rede. 
 Na Figura 2.15, escolheu-se como base: 
- Potência base: 200 MVA (para todo o sistema); 
- Tensão base: 120 kV (na linha de transmissão); 
 
100 MVA
0,2 p.u.
50 MVA
0,2 p.u.
75 MVA
0,1 p.u.
75 MVA
0,1 p.u.
13,8/138 kV
X = 40 Ω
50 MVA
0,1 p.u.
138/13,8 kV
G1
G2
G3
T1
T2
T3
50 MVA
0,1 p.u.
 
Figura 2.15 – Diagrama unifilar do sistema elétrico de potência. 
 
 Nos trechos dos geradores G1, G2 e G3, a tensão base terá valor 12 kV, já que os transformadores 
têm relação de transformação igual a 10. 
 Fazendo as devidas mudanças de base, obtém-se: 
 
XG1 = 0,2 .
200
100
 . (
13,8
12
)
2
= 0,529 p. u. 
 
XG2 = 0,2 .
200
50
 . (
13,8
12
)
2
= 1,058 p. u. 
 
XG3 = 0,1 .
200
50
 . (
13,8
12
)
2
= 0,529 p. u. 
32 
 
XT1 = XT2 = 0,1 .
200
75
 . (
13,8
12
)
2
= 0,353 p. u. 
 
XT3 = 0,1 .
200
50
 . (
138
120
)
2
= 0,529 p. u. 
 
XLT =
40
1202
200
=
40 . 200
1202
= 0,556p. u. 
 
O diagrama de reatâncias em p.u., por fase, nas bases estabelecidas, aparece na Figura 2.16. Note 
que muitos cálculos seriam evitados se: 
a) Fosse escolhida como potência base 50 MVA, na qual já estão expressas as reatâncias de G1, 
G2 e G3; 
b) Fosse escolhido como tensão base na linha de transmissão o valor de 138 kV, dispensando 
mudanças de base de tensão. 
 
VG1 VG2 VG3
(G1) (G2) (G3)
(T1)
(T2)
(LT) (T3)
j 0,529 p.u. j 1,058 p.u.
j 0,529 p.u.
j 0,529 p.u.
j 0,353 p.u.
j 0,353 p.u.
j 0,556 p.u.
 
Figura 15 – Diagrama de reatâncias resultante. 
Exercícios do Capítulo 2 
Determine os valores em p.u. de cada elemento dos sistemas abaixo e desenhe os diagramas unifilares de 
impedâncias para cada caso. Onde a base não for especificada, adote uma de sua preferência. 
 
1) 
G1
2000MVA
X”d = 20%
T1
2200MVA
X = 10%
1
2 3
4
5 6
T2
500MVA
X = 10%
G2
400MVA
X”d = 30%
T3
1000MVA
X = 12%
13,8 kV
500 kV 500 kV
230 kV
500 kV 138 kV
LT 1 220 km
LT 2 220 km
LT3
150 km
Z = 0,025+j0,327 Ω/km
Z = 0,03+j1,4 Ω/km
Z = 0,025+j0,327 Ω/km
 
33 
 
2) Dados: 
- Impedância das linhas de transmissão – 0,12 + j0,5 Ω/km; 
- T1 – 13,8/230 kV; 800 MVA; X = 12%; 
- T2 – 18/230 kV; 150 MVA; X = 10%; 
- Carga: 100 + j26 Ω 
- Bases: S = 600 MVA e V = 230 kV na LT1. 
 
600 MVA
10%
G1
T1 T2
100 MVA
20%
G2
LT1 100 km
LT2
60 km
13,8 kV 230 kV
230 kV
230 kV 18 kV
1 2 3 4
5
 
 
3) 
50 MVA
0,21 p.u.
G1
T1 T2
37,5 MVA
0,25 p.u.
G2
LT1 40 mi
13,8 kV 13,8 kV
1 2 3 4
T3
25 MVA
0,1 p.u.
25 MVA
0,1 p.u.
LT2 40 mi
110 kV
0,833 Ω/mi
66 kV
0,823 Ω/mi
T4
20 MVA
0,09 p.u.
15 MVA
0,08 p.u.
5 6
 
4) 
 
100 MVA
10%
G1
50 MVA
0,2 p.u.
G2
T1
T2
15 MVA
0,1 p.u.
75 MVA
0,1 p.u.
13,8 kV 138 kV
150 MVA
0,3 p.u.
G3
T2
100 MVA
138/13,8 kV
0,2 p.u.
138 kV
50 mi
0,43 + j0,8 Ω/mi
1 2
3 4
 
34 
 
Capítulo 3 
 
 
 
CURTO-CIRCUITO 
SIMÉTRICO 
 
 
 
 
No Capítulo 2, foi apresentada a representação de sistemas elétricos de potência segundo 
diagramas unifilares e valores em p.u, uma vez que a maioria dos estudos nessa área utiliza esses recursos 
para o cálculo das grandezas envolvidas. Nesse contexto, a análise de curtos-circuitos, a qual é de 
fundamental importância para a proteção de sistemas, vale-se desses conceitos, bem como da notação 
fasorial, que simplifica os cálculos e permite a utilização das leis e teoremas aplicados na análise de 
circuitos elétricos em regime permanente. 
Um curto-circuito nada mais é do que o contato acidental ou proposital entre condutores sob 
potenciais diferentes, ou o contato entre apenas um condutor e o solo. Tal contato pode ser direto 
(metálico) ou indireto (através de arco voltaico). 
Além disso, curtos-circuitos são geralmente chamados de defeitos ou faltas. Ressalta-se que tais 
eventos ocorrem de maneira aleatória nos sistemas de potência e que suas consequências podem 
prejudicar severamente o sistema, caso não sejam eliminados pelos dispositivos de proteção, provocando 
danos irreversíveis a seus componentes. 
Dessa forma, o estudo de curto-circuito objetiva: 
 
 Permitir o dimensionamento dos diversos componentes do sistema, quando sujeitos às solicitações 
dinâmicas e efeitos térmicos decorrentes das correntes de curto-circuito; 
 Possibilitar a seleção de disjuntores; 
 Permitir a execução da coordenação e o ajuste dos relés de proteção; 
 Possibilitar a especificação de para-raios. 
3.1. Tipos de Curtos-Circuitos 
 Curto-circuito Trifásico (ou simétrico - 3ϕ ou 3ϕ-g) – Não provoca desequilíbrio no sistema e 
envolve as três fases. Admite-se que todos os condutores da rede são solicitados igualmente, 
conduzindo o mesmo valor eficaz da corrente de curto. Por isso, é classificado como simétrico ou 
equilibrado. Seu cálculo pode ser efetuado por fase, considerando apenas o circuito equivalente de 
sequência positiva (sequência direta), sendo indiferente se o curto envolve ou não o condutor 
neutro ou a terra; 
 Curto-circuito Bifásico (2ϕ) – É curto assimétrico, isto é, desequilibrado, envolvendo duas fases 
do sistema. Seu cálculo é realizado com o uso de componentes simétricas; 
35 
 
 Curto-circuito Bifásico-Terra (2ϕ-g) – Também é assimétrico, envolvendo contato de duas fases 
com a terra. 
 Curto-circuito Monofásico (1ϕ) – Curto assimétrico, envolvendo uma das fases do sistema e a 
terra. 
 
A Figura 3.1 ilustra como ocorrem os diferentes tipos de curto-circuito. 
 
CARGA
 
 
 
 
 
 
Curto 3ϕ e 3ϕ-g
 
 
 
Curto 2ϕ
Curto 2ϕ-g
 
Curto 1ϕ
 
Figura 3.1 – Tipos de curto-circuito. 
 
Além disso, os curtos-circuitos são classificados de acordo com sua duração, podendo ser: 
 
- Temporários: desaparecem após a atuação da proteção, permitindo o restabelecimento imediato do 
sistema (exemplo: galho tocando um alimentador); ou 
- Permanentes: exigem a intervenção de equipes de manutenção antes que se possa religar o sistema 
(exemplo: rompimento e queda de uma linha de transmissão). 
3.2. Causas de Curtos-Circuitos 
 As causas mais frequentes de curtos-circuitos em sistemas de potência são: 
 
 Descargas atmosféricas; 
 Falhas mecânicas em cadeias de isoladores; 
 Fadiga e/ou envelhecimento de materiais; 
 Ação do vento, neve ou similares; 
 Poluição e queimadas; 
 Queda de árvores sobre redes; 
 Colisão de veículos com elementos de sustentação de linhas; 
 Inundações; 
 Desmoronamentos e vandalismo; 
 Entrada de animais em equipamentos; 
 Manobras incorretas. 
3.3. Ocorrência 
 Estudos estatísticos indicam os seguintes valores médios para a ocorrência dos diferentes tipos de 
curto-circuito em sistemas de potência: 
 
 Curtos-circuitos 3ϕ – 5%; 
 Curtos-circuitos 2ϕ – 15%; 
 Curtos-circuitos 2ϕ-g – 10%; 
 Curtos-circuitos 1ϕ – 70%. 
 
Em grandes sistemas de potência, a maior corrente de curto-circuito pode ser verificada nas faltas 
entre linhas ou na falta monofásica. Em sistemas industriais, normalmente, a maior corrente de curto-
circuito ocorre para faltas trifásicas. 
36 
 
3.4. Hipóteses Simplificadoras 
 Para o cálculo de curto-circuito em sistemas de transmissão e sub-transmissão, normalmente são 
adotadas as seguintes simplificações: 
 
- Desprezam-se as resistências dos elementos componentes; 
- Admite-se impedância nula no ponto de ocorrência do curto (pior situação); 
- Desprezam-se as correntes de carga existentes antes do curto (esta simplificação não é aceita em 
cálculos de grande precisão); 
- Admite-se que todas as tensões geradas por vários geradores em paralelo estejam em fase e sejam iguais 
em módulo e ângulo. 
3.5. Cálculo de Curto-Circuito Simétrico (Trifásico) 
3.5.1. Teorema da Superposição 
 “Numa rede linear com várias f.e.m., a corrente (e a d.d.p.) entre dois pontos de um ramo qualquer 
é a soma das correntes (e a soma das d.d.p.) que resultarão de cada f.e.m. aplicada à rede, sendo as demais 
f.e.m. anuladas e mantidas suas impedâncias internas.” 
 O Teorema da Superposição é aplicado nos cálculos de curto-circuito em que se deseja alta 
precisão, levando-se em conta a corrente de carga do sistema antes da ocorrência do defeito. 
3.5.2. Teorema de Thevènin 
 “Se entre dois pontos quaisquer de uma estrutura linear ativa, A e B, se colocar uma impedância 
exterior Z̅, essa impedância será percorrida por uma corrente igual a d.d.p. que existia entre A e B antes 
da entrada de Z̅, dividida pela soma de Z̅ com a impedância Z̅Th, que é a impedância equivalente da rede 
vista dos pontos A e B, com as fontes curto-circuitadas (f.e.m. consideradas iguais a zero) e substituídas 
por suas impedâncias internas.” 
 Sendo assim, a estrutura da Figura 3.2(a) pode ser substituída pelo chamado equivalente Thevènin, 
que consiste em uma única fonte de tensão V̅AB = V̅Th, em série com uma impedância Z̅Th, como mostra a 
Figura 3.2(b). A tensão equivalente de Thevènin V̅Th é a tensão em circuitoaberto, medida nos terminais 
A e B. 
 
A
B
ZA ZB
ZC ZD ZAV
(a)
ZTh
VTh
A
B
(b)
 
Figura 3.2 – Equivalente Thevènin. 
 
 Para o Teorema de Thevènin, é válida a seguinte equação: 
 
I̅ =
V̅AB
Z̅ + Z̅Th
=
V̅Th
Z̅ + Z̅Th
 
3.5.3. Cálculo de Curto-Circuito Simétrico (Trifásico) 
 Nos cálculos de curto-circuito, aplica-se o Teorema de Thevènin. Para tal, utiliza-se a tensão pré-
falta como V̅Th, geralmente, igual a 1∠0
o. A impedância de Thevènin Z̅Th é igual à impedância 
equivalente vista do ponto onde ocorre o curto-circuito com as fontes de tensão curto-circuitadas. Além 
disso, uma impedância de falta ou de arco e até uma impedância de terra podem ser consideradas. 
37 
 
Sendo assim, tem-se a seguinte equação para cálculo da corrente curto-circuito trifásico: 
 
Icc 3ϕ =
Vpré−falta
ZTh + Zfalta + Zterra
 
 
A impedância de falta ou de arco corresponde à impedância do elemento que ocasiona o curto-
circuito. Já a impedância de terra corresponde a impedância do solo em que ocorre a falta à terra. Quando 
a impedância de falta é igual a zero, o curto-circuito é dito franco. Além disso, para sistemas de 
transmissão e sub-transmissão, costuma-se considerar a impedância de terra igual a zero, obtendo-se 
assim a maior corrente de falta possível. 
 
Exemplo 1: Dado o sistema da Figura 3.3, calcule o valor da corrente de curto-circuito trifásico em 
Ampères para faltas nos pontos 1 e 2. 
 
6,6/66 kV
30 MVA
X = 0,25 p.u.
30 MVA
X = 0,07 p.u.
 
66 kV
 
1 2
 
Figura 3.3 – Sistema do exemplo 1. 
 
Solução: 
Para o curto 3ϕ no ponto 1, adotando Vpré-falta = 1 p.u., tem-se: 
 
Icc 3ϕ (p.u.)1
=
Vpré−falta
ZTh
=
1∠0o
j0,25
= 4∠ − 90o p. u. 
 
Adotando Sbase = 30 MVA, obtém-se: 
 
Ibase =
Sbase
√3 . Vbase
=
30 . 106
√3 .6,6. 103
= 2624 A 
 
Logo, a corrente de curto-circuito trifásico em Ampères será de: 
 
Icc 3ϕ (A)1
= Icc 3ϕ (p.u.)1
 . Ibase = 4∠−90
o × 2624 = 10497∠−90o A 
 
Para o curto 3ϕ no ponto 2, lado de alta do transformador, tem-se: 
 
Icc 3ϕ (p.u.)2
=
Vpré−falta
ZTh
=
1∠0o
j0,25 + j0,07
= 3,125∠−90o p. u. 
 
Adotando Sbase = 30 MVA, obtém-se: 
 
Ibase =
Sbase
√3 . Vbase
=
30 . 106
√3 .66. 103
= 262,4 A 
 
Logo, a corrente de curto-circuito trifásico em Ampères será de: 
 
Icc 3ϕ (A)2
= Icc 3ϕ (p.u.)2
 . Ibase = 3,125∠−90
o × 262,4 = 820∠−90o A 
 
38 
 
Exemplo 2: Determine o valor da corrente de curto-circuito trifásico no ponto F da Figura 3.4. A potência 
base é de 10 MVA e todas as reatâncias já se encontram referidas a esta base. 
 
13,8 kV
X = 0,25 p.u.
X = 0,07 p.u.
69 kV
X = 0,03
 
F
X = 0,07 p.u. 13,8 kV
X = 0,25 p.u.
 
Figura 3.4 – Sistema do exemplo 2. 
 
Solução: 
 
 Primeiro, deve-se desenhar o diagrama de reatâncias e, a partir deste diagrama, obter o equivalente 
Thevènin do sistema. A Figura 3.5 ilustra esse processo. 
 
VG1
j 0,25 p.u.
VG2
j 0,25 p.u.
j 0,07 p.u. j 0,03 p.u. j 0,07 p.u.
 
F
(a)
j 0,25 p.u. j 0,25 p.u.
j 0,07 p.u. j 0,03 p.u. j 0,07 p.u.
 
F
(b)
j 0,32 p.u. j 0,35 p.u.
 
F
(c)
j 0,167 p.u.
 
F
(d)
1 0º
 
Figura 3.5 – Obtenção do equivalente Thevènin. 
 
ZTh =
j0,32 × j0,35
j0,32 + j0,35
= j0,167 p. u. 
 
A corrente de curto-circuito trifásico no ponto F, em p.u., será de: 
 
ICC 3ϕ (p.u.)F
=
Vpré−falta
ZTh
=
1∠0o
j0,167
= 5,982∠−90o p. u. 
 
 Em Ampères: 
 
Ibase =
Sbase
√3 . Vbase
=
10 . 106
√3 .69. 103
= 83,67 A 
 
Icc 3ϕ (A)F
= Icc 3ϕ (p.u.)F
 . Ibase = 5,982∠−90
o × 83,67 = 500,5∠−90o A 
3.6. Simetria e Assimetria das Correntes de Curto-Circuito 
A curva que tangencia os picos do sinal de corrente é chamada de envoltória. Uma corrente é 
simétrica quando suas envoltórias são simétricas em relação ao eixo zero, conforme é mostrado na Figura 
3.6. 
39 
 
ENVOLTÓRIA
ENVOLTÓRIA
EIXO
ZERO
 
Figura 3.6 – Forma de onda da corrente de curto-circuito simétrica e suas envoltórias. 
 
 Uma corrente é dita assimétrica quando não existe simetria entre suas envoltórias em relação ao 
eixo zero. Dessa forma, pode-se ter uma corrente totalmente assimétrica ou uma corrente parcialmente 
assimétrica (Figura 3.7). 
 
EIXO
ZERO
EIXO
DE
SIMETRIA
ENVOLTÓRIAS
ENVOLTÓRIAS
EIXO DE SIMETRIA
EIXO
ZERO
(a) Corrente totalmente assimétrica.
(b) Corrente parcialmente assimétrica.
 
Figura 3.7 – Correntes assimétricas de curto-circuito. 
 
 Na prática, as correntes de curto circuito costumam ser assimétricas. Tendo em vista que nos 
sistemas de potência a reatância indutiva é muito maior do que a resistência, a corrente de curto circuito 
está aproximadamente 90º atrasada em relação à tensão da fonte. O ângulo da corrente de curto-circuito é 
determinado pela relação X/R do circuito, que é predominantemente indutivo, e não pelo ângulo da carga. 
 A corrente de curto-circuito é simétrica quando o curto ocorre no instante em que a tensão da 
fonte é máxima, conforme a Figura 3.8. A corrente de curto-circuito é totalmente assimétrica quando a 
falta ocorre no instante em que a tensão da fonte é nula (Figura 3.9). 
 
e(t)  Tensão da fonte
i(t)  Corrente de Curto-Circuito
tempo (t)
Instante da 
ocorrência da 
falta
 
Figura 3.8 – Curto-circuito ocorrendo em um máximo de tensão. 
40 
 
i(t)
e(t)
tempo (t)
Instante da 
ocorrência da 
falta
 
Figura 3.9 – Curto-circuito ocorrendo em um zero de tensão. 
 
 Na prática, as correntes de curto são parcialmente assimétricas, conforme a Figura 3.10. A 
corrente de curto-circuito, na verdade, é a soma entre duas componentes: uma componente unidirecional 
exponencialmente decrescente (componente “contínua” ou DC) e uma componente alternada (permanente 
ou simétrica), que varia senoidalmente com o tempo. 
 
Corrente de curto-circuito
Componente alternada
Componente unidirecional
t
i(t)
 
Figura 3.10 – Corrente de curto-circuito. 
 
Os cálculos de curto-circuito determinam o valor da componente alternada (simétrica). A partir 
desse valor, com uso de fatores apropriados para incorporar o efeito da componente unidirecional, obtém-
se a corrente assimétrica necessária ao dimensionamento de equipamentos de interrupção do curto-
circuito (disjuntores, religadores, chaves-fusíveis, etc.). 
O valor eficaz da corrente assimétrica é dado por: 
 
Iassimétrica = Isimétrica. FA 
 
Onde FA é o Fator de Assimetria e é obtido por: 
 
FA =
Iassimétrica
Isimétrica
=
√
1 + 2e
−
4πft
X
R 
 
O FA, obtido pela equação acima, representa a pior condição de curto-circuito, ou seja, quando 
ocorre um chaveamento na condição em que a o ângulo entre a tensão e a corrente é igual a 90º. Esse FA 
depende da frequência elétrica da rede, da relação X/R e do tempo considerado após o chaveamento. 
A obtenção da corrente real (assimétrica), objetivando o projeto quanto às iterações dinâmicas das 
forças eletromagnéticas nas instalações e a capacidade de fechamento do disjuntor, deve considerar o 
valor máximo da corrente de curto-circuito. Esse valor ocorre no primeiro meio ciclo elétrico. Durante 
esse intervalo, para a frequência elétrica de 60 Hz, o valor do FA é dado por: 
 
t1
2
 ciclo
=
1
2
.
1
60
=
1
120
 s 
41 
 
FA = 
√
1 + 2e
−
4.π.60.
1
120
X
R = √1 + 2e−
2πR
X 
Para o caso de abertura do disjuntor, o FA deve ser obtido pela expressão 
√
1 + 2e
−
4πft
X
R , 
considerando o tempo de atuação da proteção, somado ao tempo de atuação dos mecanismos de abertura 
do disjuntor e ao tempo de extinção do arco elétrico no interior da câmara do disjuntor. Se esse tempo 
estiver dentro do período sub-transitório, considerar X”d. Caso esteja dentro do período transitório, deve-
se considerar X’d. A Figura 3.11 ilustra os períodos de uma corrente de curto-circuito. 
 
 
Figura 13 – Períodos da corrente de curto-circuito. 
3.7. Seleção de Disjuntores 
Na prática, as correntes resultantes de um curto-circuito trifásico são assimétricas em pelo menos 
duas fases, como decorrência da defasagem natural do sistema. Portanto,normalmente a corrente a ser 
interrompida por disjuntores é assimétrica, ou seja, contém uma componente unidirecional 
exponencialmente decrescente. Quando o fator de assimetria (FA) ou a relação X/R do sistema forem 
desconhecidos, pode-se recorrer a fatores de multiplicação (m), os quais são aplicados à corrente eficaz 
simétrica calculada e dão valores aproximados da corrente de curto assimétrica. 
 
 Corrente Instantânea de um Disjuntor: é a corrente que o disjuntor deve suportar imediatamente 
após a ocorrência do curto-circuito. Na sua determinação, despreza-se a corrente que circula antes 
da falta e utiliza-se as reatâncias sub-transitórias de geradores e motores. O cálculo da corrente 
instantânea é feito utilizando a seguinte expressão: 
 
ICC assiminstantânea = ICC sim . m 
 
Onde m é o fator multiplicação dado segundo a relação a seguir: 
 
- Caso geral  m = 1,6; 
- Tensões menores ou iguais a 5 kV  m = 1,5; 
- Disjuntores a ar com VNOMINAL menor do que 600 V  m = 1,25. 
 
42 
 
 Corrente Nominal de Interrupção (ou Capacidade de Ruptura) de um Disjuntor: é a corrente que 
o disjuntor deve ser capaz de interromper no instante em que seus contatos se separam. É menor 
do que a corrente instantânea e depende da velocidade do disjuntor (8, 5, 3 ou 2 ciclos - representa 
o tempo máximo transcorrido entre a ocorrência da falta e a extinção do arco elétrico). Na sua 
determinação devem ser usadas: 
 
- Para geradores – reatâncias sub-transitórias; 
- Para motores – reatâncias transitórias. 
 
O cálculo da corrente nominal de interrupção é feito aplicando-se à corrente eficaz simétrica 
calculada ao fator de multiplicação relacionado a seguir: 
 
- Disjuntores de 8 ciclos ou mais lentos  m = 1,0; 
- Disjuntores de 5 ciclos  m = 1,1; 
- Disjuntores 3 ciclos  m = 1,2; 
- Disjuntores de 2 ciclos  m = 1,4; 
 
INOMInterrupção = Isimétrica . m 
 
Para disjuntores localizados na barra do gerador, sendo a potência trifásica superior a 500 MVA, 
os fatores dados anteriormente devem ser acrescidos de 0,1. 
3.8. Potência de Curto-Circuito 
 Como a tensão no ponto de ocorrência de curto-circuito é nula, a potência no ponto da falta 
também será nula. Entretanto, é comum definir como potência de curto-circuito (ou capacidade de curto-
circuito, ou capacidade de ruptura) como sendo o produto: 
 
SCC−3ϕ = √3 . Vl . ICC−3ϕ 
 
 Onde o valor de SCC-3ϕ é dado em MVA e: 
 
Vl – tensão pré-falta no ponto de ocorrência do curto circuito, em kV; 
ICC−3ϕ - corrente de curto-circuito trifásico, kA; 
 
 Em p.u., tem-se: 
 
SCC−3ϕ (p.u.) =
SCC−3ϕ
Sbase
=
√3 . Vl . ICC−3ϕ
Sbase
=
Vl . ICC−3ϕ
Vbase
√3 . Vbase
 . Sbase
=
Vl
Vbase
.
ICC−3ϕ
Sbase
√3 . Vbase
=
Vl
Vbase
.
ICC−3ϕ
Ibase
= V(p.u.) . ICC−3ϕ (p.u.) 
 
Desprezando-se a corrente de carga pré-falta e adotando-se V(p.u.) = 1 p.u., chega-se a: 
 
SCC−3ϕ (p.u.) = ICC−3ϕ (p.u.) =
1
XTh
 
Observação: 
 
Em transformadores Y-Δ ou Δ-Y, para a sequência positiva, considerar: 
 
𝐼𝐴𝑇 = 𝐼𝐵𝑇∠ + 30
o 
43 
 
Exercícios do Capítulo 3 
1) Considere o circuito apresentado na Figura abaixo. Obtenha o valor da corrente de curto-circuito 
trifásico, em Ampères, no ponto F, sob tensão nominal e a vazio. Adote: Sbase = 150 MVA; Vbase = 
138 kV na linha de transmissão. 
 
13,8 kV
X”d = 0,2 p.u.
13,8/138 kV
XT = 0,15 p.u.
 
F
150 MVA100 MVA
 
 
2) Considere o sistema da Figura abaixo, onde as linhas de transmissão apresentam reatância de 0,327 
Ω/km. Desprezando a corrente de carga antes da falta e admitindo tensão nominal no instante em que 
ocorre o defeito, determine: 
 
a) A corrente de curto-circuito trifásico franco no ponto F, localizado na LT 2, a 30 km da Barra 2; 
b) A corrente que flui do gerador G1, em consequência do curto citado no item anterior; 
c) A corrente de curto-circuito trifásico no ponto F, considerando uma reatância de falta de 5 ohms. 
 
Considere as bases de 1000 MVA e 500 kV (na linha de transmissão). 
 
G1
2000MVA
X”d = 20%
T1
2200MVA
X = 10%
1
2 3
4
5 6
T2
500MVA
X = 10%
G2
400MVA
X”d = 30%
T3
1000MVA
X = 12%
13,8 kV
500 kV 500 kV
230 kV
500 kV 138 kV
LT 1 220 km
LT 2 220 km
LT3
150 km
 
F
 
 
3) Determine a corrente de curto-circuito trifásico franco no ponto F do sistema apresentado na Figura a 
seguir, sendo conhecidos os seguintes valores de reatâncias: 
 
- Gerador G1......................12,5%; 
- Gerador G2......................15%; 
- Transformador T1...........10%; 
- Transformador T2...........10%; 
- Linha...............................0,7 Ω/mi. 
 
25 MVA 30 MVA
11/132 kV
 
F
20 MVA
132/11 kV
15 MVA
6 mi 4 mi
G1 G2T1 T2
 
 
Utilize como bases S = 30 MVA e V = 132 kV na LT. 
44 
 
4) Para o sistema da Figura abaixo, calcular: 
 
a) Corrente de curto-circuito trifásico franco em cada barra; 
b) Potência de curto-circuito trifásica em cada barra. 
 
Dados: 
 
- Reatância das linhas de transmissão – 0,5 Ω/km; 
- T1 – 13,8/230 kV; 800 MVA; X = 12%; 
- T2 – 18/230 kV; 150 MVA; X = 10%; 
- Bases: S = 600 MVA e V = 230 kV na LT1. 
 
600 MVA
10%
G1
T1 T2
100 MVA
20%
G2
LT1 100 km
LT2
60 km
13,8 kV 230 kV
230 kV
230 kV 18 kV
1 2 3 4
5
 
5) Obtenha a corrente de curto-circuito trifásico franco para a barra assinalada no sistema da abaixo. 
(Bases: S = 100 MVA e V = 110 kV na LT1) 
 
50 MVA
0,21 p.u.
G1
T1 T2
37,5 MVA
0,25 p.u.
G2
LT1 40 mi
13,8 kV 13,8 kV
1 2 3 4
T3
25 MVA
0,1 p.u.
25 MVA
0,1 p.u.
LT2 40 mi
110 kV
0,833 Ω/mi
66 kV
0,823 Ω/mi
T4
20 MVA
0,09 p.u.
15 MVA
0,08 p.u.
5 6
Icc-3ϕ
 
 
6) Calcular, para a barra indicada no sistema da Figura abaixo, a corrente de curto-circuito simétrico 
franco e a potência de curto-circuito trifásica. Adote 200 MVA como potência base e 138 kV como 
tensão base na linha. 
 
100 MVA
10%
G1
50 MVA
0,2 p.u.
G2
T1
T2
15 MVA
0,1 p.u.
75 MVA
0,1 p.u.
13,8 kV 138 kV
150 MVA
0,3 p.u.
G3
T2
100 MVA
138/13,8 kV
0,2 p.u.
138 kV
50 mi
0,8 Ω/mi
Icc-3ϕ
1 2
3 4
 
45 
 
7) Os valores nominais de um alternador e de um motor síncrono são os seguintes: 
 
- Potência: 30 MVA; 
- Tensão: 13,2 kV; 
- Reatância sub-transitória: 0,2 p.u. 
 
Eles estão interligados por uma linha cuja reatância é igual a 0,1 p.u., tendo por bases os valores 
nominais das máquinas citadas. O motor está com tensão terminal de 12,5 kV, quando ocorre um curto-
circuito trifásico em seus terminais. Obtenha o valor dessa corrente de curto-circuito. 
 
8) Um motor de indução trifásico está funcionando à plena carga. Sabendo que sua reatância 
subtransitória é de 0,16 p.u., determine a contribuição do motor para um curto-circuito trifásico em 
seus terminais. 
 
9) Faça o diagrama unifilar de reatâncias em p.u. para o sistema abaixo, utilizando como base as 
características nominais do gerador 1 e determine: 
a) As correntes de curto-circuito trifásico em todas as barras do sistema; 
b) O valor da corrente de curto-circuito na barra C referenciada ao lado delta do transformador T1; 
c) Qual o valor da corrente de curto-circuito trifásico para uma falta em 40% da LTBC. 
d) Determine as contribuições dos geradores e do motor para o curto-circuito da questão c. 
1Ω
G1 T1
T2
T3 M1
G2
2Ω
A B
C D
E F
LTBC
LTCE
30 MVA
13.8 kV
X1=15%
35 MVA
13.2 /138kV
X1=10%
X1=90Ω
X1=40Ω
15 MVA
138 /13.2kV
X1=12%
20 MVA
138 /18kV
X1=10%
10 MVA
13.8kV
X1=12%
20 MVA
18kV
X1=13%
 
10) Calcule as correntes de curto-circuito trifásico, em p.u e kA, para todas as barras do sistema abaixo, 
adotando como base 200 MVA e 140 kV nas LTs. Calcule também a contribuição dos geradores para 
uma falta em 50% de uma das LTs nos lados de baixa tensão. 
G1
100 MVA
13.8 kV
X1=20%
G2
100 MVA
13.8 kV
X1=20%
T1
100 MVA
13.8 /138kV
X1=10%
T2
100 MVA
13.8 /138kV
X1=10%
50 MVA
14 /140kV
X1=15%
G3
50 MVA
13.8kV
X1=13%
T3
80 km
0.5Ω/km
A B
C
D
 
46 
 
11)

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