Unidade 4 - Critério de Resistência

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Projetos de Máquinas
UNIDADE 4 - COEFICIENTES DE 
SEGURANÇA E NORMAS DE PROJETOS E 
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 1
Plano de aula
PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 2
1. Conceito de tensão admissível
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 A tensão limite de escoamento ou resistência ao escoamento
representa os materiais que foram testados e ensaiados no ensaio de
tração.
 Mas o material real que vai ser utilizado pode ter imperfeições ou
particularidades que revelem uma resistência menor do que a
revelada nos testes.
 Outro problema típico é o uso inadequado ou abuso por parte do
usuário. Você já viu um elevador com mais pessoas que o permitido?
 Para compensar essas dificuldades de ordem prática o engenheiro
deve limitar a tensão do material a um nível seguro.
 Este nível seguro é conhecido como tensão admissível e é obtido
com auxílio do Fator de Segurança (F.S.) ou Coeficiente de
Segurança (N).
 A tensão admissível é o valor máximo de tensão que um material
pode resistir.
2. Coeficiente de segurança
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 Uma vez que pode haver mais de uma forma de falha em potencial
para qualquer elemento da máquina, pode haver mais de um valor
para o coeficiente de segurança N.
 O menor valor de N para qualquer peça é o mais importante, já que
ele prevê a forma mais provável de falha.
 Quando N é reduzido a 1, a tensão sobre a peça é igual à
resistência do material (ou a carga aplicada é igual à carga que
provoca falha, etc.), e a falha ocorre.
 Portanto, desejamos que N seja sempre superior a 1.
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑆𝑦
𝑁
Resistência ao escoamento em 
tração ou compressão
3. Critérios de falha
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 A avaliação das tensões e deformações sempre é feita em função de
certas propriedades do material. Entretanto, não basta apenas
calcular essas grandezas.
 É necessário confortar com limites pré-estabelecidos para verificar o
estado de tensão em que o material se encontra, após as solicitações
que venha sofrer, e identificar os valores de tensão e deformação que
levarão o material a falhar.
 “Falha” pode significar que a peça:
1. Se separou/rompeu em dois ou mais pedaços;
2. Tornou-se permanentemente distorcida, prejudicando sua
geometria.
3. Teve sua confiabilidade depreciada;
4. Teve sua função comprometida.
3. Critérios de falha
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 Para o caso de um elemento estrutural sujeito a um estado uniaxial
de tensões, a condição para que ele não falhe, é simples.
 Mas, e para um caso de solicitação mais geral e/ou complexa, como
a mostrada abaixo?
3. Critérios de falha
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Para analisar as tensões atuantes nas estruturas de engenharia e conseguir
projetar materiais adequados para específica aplicação, prever falhas dúcteis e
frágeis do material etc., os engenheiros frequentemente fazem aproximações ou
simplificações das cargas que agem sobre um corpo de modo que a tensão
produzida em um elemento estrutural ou mecânico possa ser analisada em um
único plano. Quando isso ocorre, diz-se que o material está sujeito a tensões no
plano.
Estado Plano de Tensões
3. Critérios de falha
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O estado plano de tensões em um ponto é representado exclusivamente por três
componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação
específica neste ponto.
3. Critérios de falha
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As tensões principais 𝜎1 e 𝜎2 representam a tensão normal máxima e a tensão
normal mínima no ponto, respectivamente.
Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, nenhuma
tensão de cisalhamento age sobre o elemento.
3. Critérios de falha
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 Portanto, quando o elemento está submetido a um estado multiaxial
de tensões já não é tão simples assim!
 Nesses casos, é necessário considerar o mecanismo real de falha, ou
seja, é necessário identificar qual combinação de todas as
componentes de tensão presentes no elemento estrutural (tração,
compressão, cisalhamento) levará o material a falhar.
 Infelizmente, não há uma teoria universal de falha para o caso geral
de propriedades de materiais e estados de tensão.
 Várias hipóteses foram propostas e testadas ao longo dos anos,
levando em consideração práticas aceitas na atualidade. Sendo
aceitas, caracterizaremos esses práticas como teorias, tal como o
fazem muitos projetistas.
3.1 Teorias de falha para materiais dúcteis e frágeis
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Materiais Dúcteis
Teoria da Tensão máxima 
de cisalhamento (MSS) –
Teoria de Tresca
Teoria da Energia de 
Distorção (DE)– Teoria de 
Von Mises
Teoria de Coulomb-Mohr
para materiais dúcteis 
(DCM)
Materiais Frágeis
Teoria da Tensão Normal 
Máxima (MNS)
Teoria de Mohr
Modificada (BCM)
3.2 Características de materiais dúcteis
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Suportam grandes deformações 
antes de romper.
A falha se dá por escoamento, 
após a ocorrência de 
deformações plásticas 
(irreversíveis).
Exemplos: Aço, cobre, ouro, etc.
3.2.1 Teoria de Tresca
 Aplicada para materiais dúcteis.
 Também chamada de Teoria da Tensão Máxima de
Cisalhamento.
 O critério de Tresca se enuncia como:
“Um elemento estrutural (dúctil) irá falhar se a tensão cisalhante 
máxima ultrapassar a máxima tensão cisalhante obtida em um 
ensaio de tração uniaxial realizado no mesmo material”.
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Resistência ao escoamento 
em cisalhamento
Resistência ao escoamento em 
tração ou compressão
3.2.1 Teoria de Tresca
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𝜎1 − 𝜎2
2
≥
𝑆𝑦
2
𝜎1 − 𝜎2 ≥ 𝑆𝑦
= 0
Estado plano de tensão
𝜏𝑚á𝑥 =
𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛
2
Onde:
𝑆𝑦 = Resistência ao escoamento em tração ou compressão
𝜎1 = Tensão normal máxima (principal)
𝜎2 = Tensão normal mínima (principal)
Coeficiente de segurança pela Teoria de Tresca
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Para propósito de projeto, pode ser modificada para incorporar um
fator de segurança N.
𝑁 =
𝑆𝑦
𝜎1 − 𝜎2
Estado plano de tensão
𝜎1
𝜎2
𝑁 =
𝑆𝑦
𝜎𝑎𝑑𝑚
3.2.2 Teoria de Von-Mises
 Aplicada para materiais dúcteis.
 Também chamada de Teoria da Energia de Distorção.
 O critério de Von-Mises se enuncia como:
“Um elemento estrutural (dúctil) irá falhar se a energia associada à 
mudança de forma de um corpo, submetido a um carregamento 
multiaxial, ultrapassar a energia de distorção de um corpo de prova 
submetido a um ensaio uniaxial de tração”.
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Resistência ao escoamento em 
tração ou compressão
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎2 − 𝜎3
2 + 𝜎3 − 𝜎1
2
2
 1 2
≥ 𝑆𝑦
Estado triaxial de tensão
No caso bidimensional, ou seja, para o estado plano de tensões:
𝜎3 = 0
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𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎2 − 𝜎3
2 + 𝜎3 − 𝜎1
2
2
 1 2
≥ 𝑆𝑦
𝜎1
2 − 2𝜎1𝜎2 + 𝜎2
2 + 𝜎2
2 + 𝜎1
2
2
 1 2
≥ 𝑆𝑦
𝜎1
2 − 𝜎1𝜎2 + 𝜎2
2 1 2 ≥ 𝑆𝑦
3.2.2 Teoria de Von-Mises
Onde:
𝑆𝑦 = Resistência ao escoamento em tração ou compressão
𝜎1 = Tensão normal máxima (principal)
𝜎2 = Tensão normal mínima (principal)
Coeficiente de segurança pela Teoria de Von-Mises
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Para propósito de projeto, pode ser modificada para incorporar um fator de segurança N.
𝑁 =
𝑆𝑦
𝜎12 − 𝜎1𝜎2 + 𝜎22
 1 2
Estado plano de tensão
𝜎1
𝜎2
A resistência ao escoamento 
prevista pela Teoria de Von-Mises é 
15% maior que a prevista pela 
Teoria de Tresca.
𝑁 =
𝑆𝑦
𝜎𝑎𝑑𝑚
3.2.3 Teoria de Coulomb-Mohr para ductéis
 Baseia-se na premissa de que nem todos materiais têm
resistências à compressão igual a de tração.
 A resistência ao escoamento de ligas de magnésio em
compressão pode representar valores tão pequenos quanto
50% das correspondentes resistências à tração.
 A resistência última de ferros fundidos cinza em compressão
é entre três e quatro vezes maior que a resistência última à
tração.
 A teoria de Coulomb-Mohr é utilizada para predizer a falha de
materiais cujas resistências em tração e compressão não
sejam iguais.
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3.2.3 Teoria de Coulomb-Mohr para ductéis
 A hipótese de Coulomb-Mohr foi usar os resultados de
ensaios de tração, compressão e cisalhamento à torção para
construir os três círculos mostrados abaixo a fim de definir a
envoltória de falha (representada pela linha ABCDE).
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3.2.3 Teoria de Coulomb-Mohr para ductéis
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𝜎1
𝜎2
𝑁 =
1
𝜎1
𝑆𝑦𝑡
−
𝜎2
𝑆𝑦𝑐
Onde:
𝑁 = Coeficiente de Segurança
𝑆𝑦𝑡 = Resistência ao escoamento em tração
𝑆𝑦𝑐 = Resistência ao escoamento em compressão
𝜎1 = Tensão normal máxima (principal)
𝜎2 = Tensão normal mínima (principal)
Comparativo entre os critérios para materiais dúcteis
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3.3 Características de materiais frágeis
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Rompe à tração ou compressão 
ainda na fase elástica (sem 
“aviso prévio”).
A falha se dá por ruptura, sem 
que haja escoamento.
Exemplos: Concreto simples, 
fibra de carbono, ferro fundido, 
vidro, porcelana, tijolo cerâmico
etc.
3.3.1 Teoria da Tensão Normal Máxima
 Aplicada para materiais frágeis.
 Conhecido como o Critério de Rankine.
 A teoria da Tensão Normal Máxima (TNM) afirma que:
“A falha ocorre sempre que a tensão principal máxima iguala-se ou 
excede o limite de resistência que o material suporta quando 
submetido a tração simples”.
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Resistência última de tração
𝜎1 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝜎2 ≥ 𝑆𝑢𝑡
3.3.1 Teoria da Tensão Normal Máxima
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𝜎1
𝜎2
Para propósito de projeto, pode
ser modificada para incorporar
um fator de segurança N.
𝜎𝑚á𝑥 pode ser 𝜎1 ou 𝜎2
𝑁 =
𝑆𝑢𝑡
𝜎𝑚á𝑥
 É uma modificação da teoria de Mohr para materiais frágeis.
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3.3.2 Teoria de Coulomb-Mohr para frágeis
n = coeficiente 
de segurança
3.3.3 Teoria de Mohr Modificada
 Aplicada para materiais frágeis.
 É basicamente a mesma TNM quando as tensões principais têm o
mesmo sinal, mas é diferente quando as tensões têm sinais
diferentes.
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Comparativo entre os critérios para materiais frágeis
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Seleção do critério de falha
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Aplicação dos critérios de falha
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Aplicação dos critérios de falha
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Exercício 1: O estado de tensão que age sobre um ponto crítico
na estrutura de um banco de automóvel durante uma colisão é
mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento
para um aço que possa ser selecionado para fabricar o elemento
estrutural com base no Critério de falha de Tresca.
Aplicação dos critérios de falha
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𝜎𝑥 = 560𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑦 = 0𝑀𝑃𝑎
𝜏𝑥𝑦 = 175𝑀𝑃𝑎
𝜎1 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 =
560 + 0
2
+
560 − 0
2
2
+ 1752 = 610,19 𝑀𝑃𝑎
𝜎2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 =
560 + 0
2
−
560 − 0
2
2
+ 1752 = −50,19 𝑀𝑃𝑎
𝜎1 − 𝜎2 ≥ 𝑆𝑦 610,19 − (−50,19) ≥ 𝑆𝑦
660,38 𝑀𝑃𝑎 ≥ 𝑆𝑦Para falhar
Consequentemente, o material
selecionado deve ter Sy maior do
que 660,38 MPa.
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Exercício 2: O estado de tensão que em um ponto crítico sobre
uma chave de porca é mostrado na figura abaixo. Determine a
menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser
selecionado para a fabricação da ferramenta com base na Teoria
de Von-Mises.
3. Critérios de Falha
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Exercício 3: Um elemento está sujeito às tensões mostradas na
figura abaixo. Se Sy= 350 Mpa, determine o fator de segurança
para essa carga com base na (a) teoria da tensão de
cisalhamento máxima (Teoria de Tresca) e (b) teoria da energia
de distorção máxima (Teoria de Von-Mises).
3. Critérios de Falha
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Exercício 4: Um eixo com diâmetro de 25 mm é estaticamente
torcido até 230 N.m. Ele é feito de alumínio 195-T6 fundido com
uma resistência ao escoamento em tração de 160 MPa e uma
resistência ao escoamento em compressão de 170 MPa. Estime
o fator de segurança desse eixo.
3. Critérios de Falha
𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑟
𝜋𝑟4
2