Texto de Análise

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Formação de Professores
Unidade Acadêmica de Ciências Exatas e da Natureza
Análise Matemática
por
Gilberto Fernandes Vieira
Cajazeiras
2018
Sumário
1 Conjuntos Finitos e Infinitos 1
1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conjuntos Enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Números Reais 18
2.1 R é um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 R é um Corpo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Sequências de Números Reais 34
3.1 Limites de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Limites e Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Operações com Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Séries de Números Reais 50
4.1 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ii
5 Noções de Topologia 54
5.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Trabalho 69
7 Trabalho 76
7.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Noções de Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Capítulo
1
Conjuntos Finitos e Infinitos
Neste capítulo, será estabelecida com precisão a diferença entre conjunto finito e
conjunto infinito. Será feita também a distinção entre conjunto enumerável e conjunto
não-enumerável. O ponto de partida é o conjunto dos números naturais.
1.1 Numeros Naturais
Definição 1.1. O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:
1. Existe uma função injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural
n ∈ N chama-se o sucessor de n.
Em outras palavras, todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número
natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N.
Em outros termos, existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum
outro.
3. Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X)
então X = N.
Dito de outra forma, se um conjunto de números naturais contém o número 1 e
contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto
contém todos os números naturais.
As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano.
1.1 Numeros Naturais 2
Observação 1.2. O axioma 3 é conhecido como o princípio da indução.
Indutivamente, ele significa que todo número natural n pode ser obtido a partir de
1, tomando-se seu sucessor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diante, com
um número finito de etapas. (Evidentemente “número finito” é uma expressão que,
neste momento, não tem ainda significado. A formulação do axioma 3 é uma maneira
extremamente hábil de evitar a petição de princípio até que a noção de conjunto finito
seja esclarecida.)
O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas
sobre números naturais, conhecido como método de indução (ou recorrência), o qual
funciona assim:“se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida
para o número n daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é
válida para todos os números naturais”.
Exemplo 1.3 (Demonstração por indução). Para todo n ∈ N, tem-se s(n) 6= n. Esta
afirmação é verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 6= s(n) para todo
n ∈ N, logo, em particular, 1 6= s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n ∈ N, vale
n 6= s(n). Como a função s é injetiva, daí resulta s(n) 6= s(s(n)), isto é, a afirmação é
verdadeira para s(n).
No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a
adição, que associa a cada par de números (m,n) sua soma m + n, e a multiplicação,
que faz corresponder ao par (m,n) seu produto m · n. Essas operações são caracterizadas
pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição:
m+ 1 = s(m);
m+ s(n) = s(m+ n), isto é ,m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1;
m · 1 = m;
m · (n+ 1) = m · n+m.
Noutros termos:
somar 1 a m significa tomar o sucessor de m;
se conhecemos a soma m+ n, conheceremos m+ (n+ 1), que é o sucessor de m+ n;
multiplicar por 1 não altera o número;
se conhecemos o produto m · n, conheceremos m · (n+ 1) = m · n+m.
Observação 1.4. As duas primeiras igualdades significam que a soma de dois números
naturais é o sucessor de um número natural, pois, conforme o axioma 2, dado n ∈ N,
1.1 Numeros Naturais 3
tem-se que n = 1 (neste caso, usamos a primeira igualdade) ou n = s(m) (neste caso,
usamos a segunda igualdade).
A demonstração da existência das operações + e · com as propriedades acima, bem
como sua unicidade, se faz por indução. Para tal, consulte o “Curso de Análise, Vol.
1, ou suas referências bibliográficas, onde são demonstradas (por indução) as seguintes
propriedades da adição e multiplicação:
associatividade: (m+ n) + p = m+ (n+ p), (m · n) · p = m · (n · p);
distributividade: m · (n+ p) = m · n+m · p);
comutatividade: m+ n = n+m, m · n = n ·m;
lei do corte: m+ n = p+ n⇒ m = p, m · n = p · n⇒ m = p.
Prova da lei do corte: Usaremos indução em n. Ela vale para n = 1, pois m+1 = p+1
significa s(m) = s(p), logo m = p pela injetividade de s. Admitindo-a válida para n (i.e.
que m + n = p + n ⇒ m = p), então, supondo que m + (n + 1) = p + (n + 1), e usando
a associatividade, obtemos (m+ n) + 1 = (p+ n) + 1 que, pela injetividade de s, implica
m+ n = p+ n. Logo m = p pela hipótese de indução.
Definição 1.5. Dados os números naturais m,n, escreve-se m < n quando existe p ∈ N
tal que n = m+ p. Diz-se então que m é menor do que n. A notação m ≤ n significa
que m < n ou m = n.
Exemplo 1.6. Prove
1. Transitividade: m < n, n < p⇒ m < p
2. Tricotomia: dados m,n ∈ N quaisquer, vale apenas uma das três alternativas:
m = n, m < n ou n < m, isto é: ou m = n, ou existe p ∈ N tal que m = n+ p, ou
existe q ∈ N tal que n = m+ q.
1. Como m < n e n < p, existem r, s ∈ N tais que n = m + r e p = n + s. Assim,
p = m+ r + s = m+ (r + s), logo m < p, pois r + s ∈ N.
2. Seja m ∈ N e seja
X = {n ∈ N : n e m satisfazem a propriedade de tricotomia}.
– 1 ∈ X. De fato, ou m = 1 ou m 6= 1 e, neste caso, m é o sucessor de algum
número n0 ∈ N, ou seja, existe n0 ∈ N tal que
1 + n0 = n0 + 1 = s(n0) = m.
1.1 Numeros Naturais 4
– Seja n ∈ X. Então, ou n = m, ou existe p ∈ N tal que n = m + p, ou existe
q ∈ N tal que m = n+ q.
Vamos provar que s(n) ∈ X.
De fato,
– se n = m, então s(n) = s(m) = m+ 1.
– se n =m+ p, então s(n) = s(m+ p) = (m+ p) + 1 = m+ (p+ 1).
– se m = n+ q, ou q = 1 ou q 6= 1. Se q = 1, m = n+ 1, ou seja, s(n) = m. Se
q 6= 1, existe q0 ∈ N tal que q0 + 1 = q.
Logo,
m = n+ q = n+ (q0 + 1) = n+ (1 + q0) = (n+ 1) + q0 = s(n) + q0.
Em qualquer caso, provamos que ou s(n) = m, ou existe r ∈ N tal que s(n) = m+r,
ou existe l ∈ N tal que m = s(n) + l.
Logo, X = N, ou seja, dados m,n ∈ N temos que, ou m = n, ou existe p ∈ N tal
que m = n+ p, ou existe q ∈ N tal que n = m+ q.
Para provar que vale exatamente uma das três alternativas, devemos verificar a
seguinte afirmação: n + p 6= n, ∀n, p ∈ N. De fato, se n = n + p para alguns
n, p ∈ N, então n + 1 = (n + p) + 1 = n + (p + 1)⇒ 1 = p + 1, que é um absurdo,
pois 1 não é sucessor de nenhum número natural, enquanto que a soma de dois
naturais é sempre um sucessor.
Agora, provemos a exclusividade de cada uma das três alternativas.
Se valem n = m e n = m + p, então n = n + p, que contraria a afirmação.
Analogamente, verifica-se que não pode ocorrer n = m e m = n + q (basta utilizar
a comutatividade).
Se valem n = m+ p e m = n+ q, então n = n+ (q+ p), que contraria, novamente,
a afirmação.
Exemplo 1.7. A lei do corte pode ser utilizada para provar um fato sempre admitido
e raramente demonstrado, que é o seguinte: para qualquer n ∈ N, não existe p ∈ N tal
que n < p < n + 1. Suponhamos por absurdo que um tal p ∈ N exista. Então teremos
p = n + r e n + 1 = p + s, com r, s ∈ N. Daí resulta que p + 1 = n + 1 + r = p + s + r
e (cortando p) 1 = r + s. Isto é um absurdo pois, pela definição de adição (Observação
1.2 Conjuntos Finitos 5
1.4), a soma de dois números naturais é sempre um sucessor de algum número, logo não
pode ser 1, pelo axioma 2.
Este resultado é usado na demonstração de uma das principais propriedades da relação
de ordem m < n entre os números naturais, que é o Princípio da Boa-Ordenação
(PBO), abaixo enunciado e provado.
Proposição 1.8 (Princípio da Boa-Ordenação). Todo subconjunto não vazio A ⊂ N
possui um menor elemento, isto é, um elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Demonstração. Temos dois casos a considerar: (a) Se 1 ∈ A então 1 será o menor
elemento de A (pois 1 é o único número natural que não é sucessor de outro). (b) Se,
porém, 1 6∈ A, então consideremos o conjunto
X = {n ∈ N : n < a, ∀ a ∈ A},
Como 1 6∈ A, vemos que 1 ∈ X. Por outro lado, como A não é vazio, concluímos que
X 6= N. Logo, a conclusão do axioma 3 não é válida. Segue-se que deve existir n ∈ X tal
que n+ 1 6∈ X, logo existe a ∈ A tal que n < a ≤ n+ 1. Como não existe número natural
entre n e n + 1 (Cf. Exemplo 1.7) segue que a = n + 1 ∈ A é o menor elemento de A,
pois qualquer número natural ≤ n pertence a X. �
1.2 Conjuntos Finitos
Definição 1.9. Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então existem n ∈ N
e uma bijeção f : In → X, onde In := {1, 2, . . . , n} = {p ∈ N : p ≤ n}. Escrevendo
x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn = f(n) temos então X = {x1, x2, . . . , xn}.
• A bijeção chama-se uma contagem dos elementos de X e o número n chama-se o
número de elementos, ou número cardinal do conjunto finito X.
O Corolário abaixo prova que o número cardinal está bem definido, isto é, não depende
da particular contagem f .
Lema 1.10. Se existe uma bijeção f : X → Y então, dados a ∈ X e b ∈ Y , existe
também uma bijeção g : X → Y tal que g(a) = b.
Demonstração. Seja b′ = f(a). Como f é sobrejetora, existe a′ ∈ X tal que f(a′) = b.
Definamos g : X → Y pondo g(a) = b, g(a′) = b′ e g(x) = f(x) se x ∈ X−{a, a′}. É fácil
ver que g é uma bijeção. �
1.2 Conjuntos Finitos 6
Teorema 1.11. Se A é um subconjunto próprio de In, não pode existir uma bijeção
f : A→ In.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 ∈ N,
o menor número natural para o qual existem um subconjunto próprio A ⊂ In0 e uma
bijeção f : A → In0 . Se n0 ∈ A então, pelo Lema 1.10, existe uma bijeção g : A → In0
com g(n0) = n0. Neste caso, a restrição de g a A − {n0} é uma bijeção do subconjunto
próprio A − {n0} sobre In0−1, o que contraria a minimalidade de n0. Se, ao contrário,
tivermos n0 6∈ A, então tomamos a ∈ A com f(a) = n0 e a restrição de f ao subconjunto
próprio A − {a} ⊂ In0−1 será uma bijeção sobre In0−1, o que novamente vai contrariar a
minimalidade de n0. �
Corolário 1.12. Se f : Im → X e g : In → X são bijeções, então m = n.
Demonstração. Com efeito, se fosse m < n então Im seria um subconjunto próprio de
In, o que violaria o Teorema 1.11, pois g−1 ◦ f : Im → In é uma bijeção. Analogamente
se mostra que não é possível n < m. Logo m = n. �
Corolário 1.13. Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X → X é injetiva se, e
somente se, é sobrejetiva.
Demonstração. Com efeito, existe uma bijeção ϕ : In → X. A aplicação f : X → X é
injetiva ou sobrejetiva se, e somente se, ϕ−1◦f ◦ϕ : In → In o é. Logo podemos considerar
f : In → In. Se f for injetiva, então pondo A = f(In), teremos uma bijeção f−1 : A→ In.
Pelo Teorema 1.11, A = In e f é sobrejetiva.
Reciprocamente, se f for sobrejetiva, formemos um conjunto A ⊂ In escolhendo, para
cada y ∈ In, um elemento x ∈ In tal que f(x) = y. Então a restrição f : A → In é uma
bijeção. Pelo Teorema 1.11, temos A = In. Isto significa que, para cada y ∈ In, é único o
x tal que f(x) = y, ou seja, f é injetiva. �
Corolário 1.14. Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e uma sua parte
própria.
Demonstração. Com efeito, sejam X finito e Y ⊂ X uma parte própria. Existem n ∈ N
e uma bijeção ϕ : In → X. Então o conjunto A = ϕ−1(Y ) é uma parte própria de In.
Chamemos de ϕA : A → Y a bijeção obtida por restrição de ϕ a A. Se existisse uma
bijeção f : Y → X, a composta g = ϕ−1 ◦ f ◦ ϕA : A → In seria também uma bijeção,
contrariando o Teorema 1.11. �
Observação 1.15. O Corolário 1.14 é uma mera reformulação do Teorema 1.11.
1.3 Conjuntos Infinitos 7
Teorema 1.16. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
Demonstração. Provaremos inicialmente o seguinte caso particular: se X é finito e
a ∈ X então X − {a} é finito. Com efeito, existe uma bijeção f : In → X a qual, pelo
Lema 1.10, podemos supor que cumpre f(n) = a. Se n = 1 então X − {a} = ∅ é finito.
Se n > 1, a restrição de f a In−1 é uma bijeção sobre X − {a}, logo X − {a} é finito e
tem n− 1 elementos. O caso geral se prova por indução no número n de elementos de X.
Ele é evidente quando X = ∅ ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos
com n elementos, sejam X um conjunto com n+ 1 elementos e Y um subconjunto de X.
Se Y = X, nada há o que provar. Caso contrário, existe a ∈ X com a 6∈ Y . Então, na
realidade, Y ⊂ X − {a}. Como X − {a} tem n elementos, segue-se que Y é finito. �
Corolário 1.17. Dada f : X → Y , se Y é finito e f é injetiva então X é finito; se X é
finito e f é sobrejetiva então Y é finito.
Demonstração. Com efeito, se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um
subconjunto f(X) do conjunto finito Y . Por outro lado, se f é sobrejetiva e X é finito
então, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f(x) = y. Isto define
uma aplicação g : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se que g é injetiva
logo, pelo que acabamos de provar, Y é finito. �
Definição 1.18. Um subconjunto X ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que
x ≤ p para todo x ∈ X.
Corolário 1.19. Um sobconjunto X ⊂ N é finito se, e somente se, é limitado.
Demonstração. Com efeito, se X = {x1, . . . , xn} ⊂ N é finito, pondo p = x1 + · · ·+ xn
vemos que x ∈ X ⇒ x ≤ p logo X é limitado. Reciprocamente, se X ⊂ N é limitado
então X ⊂ Ip para algum p ∈ N, segue-se pois do Teorema 1.16 que X é finito. �
1.3 Conjuntos Infinitos
Definição 1.20. Diz-se que um conjunto é infinito quando não é finito. Assim, X é
infinito quando X 6= ∅ e nem existe, seja qual for n ∈ N, uma bijeção f : In → X.
Exemplo 1.21. N é infinito em virtude do Corolário 1.19 do Teorema 1.16.
Teorema 1.22. Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva
f : N→ X.
1.4 Conjuntos Enumeráveis 8
Demonstração. Para cadasubconjunto não vazio A ⊂ X, escolhemos um elemento
xA ∈ A. Em seguida, definimos f : N→ X indutivamente. Pomos f(1) = xX e, supondo
já definidos f(1), . . . , f(n), escrevemos An = X−{f(1), . . . , f(n)}. Como X é infinito, An
não é vazio. Definimos então f(n+ 1) = xAn . Isto completa a definição de f . Para provar
que f é injetiva, sejam m,n ∈ N, digamos com m < n. Então f(m) ∈ {f(1), . . . , f(n−1)}
enquanto f(n) ∈ X − {f(1), . . . , f(n− 1)}. Logo, f(m) 6= f(n). �
Corolário 1.23. Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção ϕ : X →
Y sobre um subconjunto próprio Y ⊂ X.
Demonstração. Com efeito, sejam X infinito e f : N → X uma aplicação injetiva.
Escrevamos, para cada n ∈ N, f(n) = xn. Consideremos o subconjunto próprio
Y = X − {x1}. Definamos a bijeção ϕ : X → Y pondo ϕ(x) = x se x não é um
dos xn e ϕ(xn) = xn+1 (n ∈ N).
Reciprocamente, se existe uma bijeção de X sobre um seu subconjunto próprio então
X é infinito, em virtude do Corolário 1.14 do Teorema 1.11. �
Note que se N1 = N − {1}, então a função ϕ : N → N1, ϕ(n) = n + 1 é uma bijeção.
Mais geralmente, fixando p ∈ N podemos considerar Np = {p + 1, p + 2, . . .} e definir a
bijeção ϕ : N→ Np, ϕ(n) = n+ p.
Fenômenos desse tipo já tinham sido observados por Galileu, que foi o primeiro
a notar que “há tantos números pares quantos números naturais”, mostrando que se
P = {2, 4, 6, . . .} é o conjunto dos números pares, então ϕ : N→ P , dada por ϕ(n) = 2n, é
uma bijeção. Evidentemente, se I = {1, 3, 5, . . .} é o conjunto dos números ímpares, então
ψ : N → I, com ψ(n) = 2n − 1, também é uma bijeção. Nestes dois últimos exemplos,
N− P = I e N− I = P são infinitos, enquanto N− Np = {1, 2, . . . , p} é finito.
1.4 Conjuntos Enumeráveis
Definição 1.24. Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe
uma bijeção f : N→ X.
• A função f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo f(1) =
x1, f(2) = x2, . . . , f(n) = xn, . . . tem-se então X = {x1, x2, . . . , xn . . .}.
Exemplo 1.25. O conjunto Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} é enumerável.
De fato, uma bijeção f : N→ Z pode ser definida pondo
f(n) =
{
(n− 1)/2 para n ímpar
−n/2 para n par.
1.4 Conjuntos Enumeráveis 9
Teorema 1.26. Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.
Demonstração. Se X é finito, nada há o que demonstrar. Caso contrário, enumeramos
os elementos de X pondo x1 = menor elemento de X, e supondo definidos x1 < x2 <
. . . < xn, escrevemos An = X − {x1, x2, . . . , xn}. Observando que An 6= ∅, pois X é
infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An. Então X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Com
efeito, se existisse algum elemento x ∈ X diferente de todos os xn, teríamos x ∈ An para
todo n ∈ N, logo x seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto
infinito {x1, x2, . . . , xn, . . .}, contrariando o Corolário 1.19 do Teorema 1.16. �
Corolário 1.27. Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável, então X também é. Em
particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração. Exercício! �
Corolário 1.28. Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é.
Demonstração. Exercício! �
Corolário 1.29. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
Demonstração. Se X e Y são enumeráveis então existem bijeções f : N → X e
g : N→ Y , logo ϕ : N×N→ X×Y , dada por ϕ(m,n) = (f(m), f(n)) é sobrejetiva. Tendo
em vista o Corolário 1.28, basta provar que N×N é enumerável. Para isto, consideremos
a aplicação ψ : N×N→ N, dada por ψ(m,n) = 2m · 3n. Pela unicidade da decomposição
de um número em fatores primos, ψ é injetiva. Segue-se, pelo Corolário 1.27, que N× N
é enumerável. �
Corolário 1.30. A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é um
conjunto enumerável.
Demonstração. Dados X1, X2, . . . , Xn, . . . enumeráveis, existem sobrejeções f1 : N →
X1, f2 : N → X2, . . . , fn : N → Xn, . . .. Tomando X =
⋃∞
n=1Xn, definimos a sobrejeção
f : N×N→ X pondo f(m,n) = fn(m). O caso de uma reunião finita X = X1 ∪ · · · ∪Xn
reduz-se ao anterior porque, então, X = X1 ∪ · · · ∪Xn ∪ · · · . �
O Teorema 1.22 acima significa que o enumerável é o “menor” dos infinitos, isto é Todo
conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável.
Demonstração. Exercício! �
1.5 Exercícios Resolvidos 10
Exemplo 1.31. O conjunto Q = {m/n : m,n ∈ Z, n 6= 0} dos números racionais é
enumerável. De fato, escrevendo Z∗ = Z − {0}, podemos definir uma função sobrejetiva
f : Z× Z∗ → Q pondo f(m,n) = m/n.
Exemplo 1.32 (Um conjunto não-enumerável). Seja S o conjunto de todas as sequências
infinitas, como s = (01100010 . . .), formadas com os símbolos 0 e 1. Noutras palavras, S
é o conjunto de todas as funções s : N→ {0, 1}. Para cada n ∈ N, o valor s(n), igual a 0
ou 1, é o n-ésimo termo da sequência s. Afirmamos que nenhum subconjunto enumerável
X = {s1, s2, . . . , sn . . .} ⊂ S é igual a S. Com efeito, dado X, indiquemos com snm o
n-ésimo tero da sequência sm ∈ X. Formamos uma nova sequência s∗ ∈ S tomando o
n-ésimo termo de s∗ igual a 0 se for snn = 1, ou igual a 1 se for snn = 0. A sequência s∗
não pertence ao conjunto X porque seu n-ésimo termo é diferente do n-ésimo termo de
sn. Este raciocínio, devido a G. Cantor, é conhecido como “métodod da diagonal”
1.5 Exercícios Resolvidos
Seção 1: Números Naturais
1. Usando indução, prove:
(a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)/2.
(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n− 1 = n2.
2. Dados m,n ∈ N com n > m, prove que n é múltiplo de m ou existem q, r ∈ N tais
que n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com esta propriedade.
Solução: O conjunto A ⊂ N dos múltiplos de m maiores do que n não é vazio, pois
(n+1)m ∈ A; logo, pelo P.B.O., A possui um menor elemento. Como 1·m < n, pelo
Axioma 2 de Peano, podemos considerar que o menor elemento de A seja da forma
(q + 1)m. Se n não é múltiplo de m, então qm < n < (q + 1)m; logo n = qm + r,
com r < m. Reciprocamente, se n = qm + r com r < m então (q + 1)m é o menor
elemento de A, logo q está determinado univocamente, juntamente com r = n−mq.
�
3. Seja X ⊂ N um subconjunto não-vazio tal que m,n ∈ X ⇔ m,m + n ∈ X. Prove
que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k
Solução: Pelo P.B.O., seja k o menor elemento de X. Primeiro, mostremos que
A = {qk : q ∈ N} ⊂ X. Note que 1 · k ∈ X; agora, se qk ∈ X então pela
1.5 Exercícios Resolvidos 11
propriedade de X, segue que (q + 1)k = qk + k ∈ X. Logo, por indução, fica
provado que A ⊂ X.
Agora, mostremos que X ⊂ A. Se p ∈ X então p ≥ k. Assim, pelo exercício
anterior, ou (i) p é múltiplo de k ou (ii) p = qk+ r, com r < k. Mostremos que (ii)
não vale. Ora, p, qk ∈ X, logo r ∈ X (basta tomar qk = m, r = n e p = m + n na
propriedade de X), o que é absurdo pois k é o menor elemento de X. Assim todo
p ∈ X é múltiplo de k.
Portanto, temos A = X e o exercício fica provado. �
4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindo-
se, naturalmente, os demais axiomas).
Solução: Suponha que a ∈ N não possui sucessor e a 6= 1. Considere o conjunto
X = N − {a}. Sabemos que 1 ∈ X e que se n ∈ X, então s(n) ∈ X, uma vez
que a não é sucessor de nenhum número natural. Então, pelo Axioma 3 de Peano,
N = X := N− {a}, o que é absurdo. Portanto, a = 1. �
5. Prove o princípio de indução como uma consequência do Princípio da Boa
Ordenação.
Solução: Seja X ⊂ N tal que 1 ∈ X e n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X. Se for X 6= N, tome k o
menor elemento de N−X (pelo P.B.O.). Como 1 6∈ N−X, tem-se 1 < k ∈ N−X;
logo k − 1 ∈ X e, consequentemente, k = (k − 1) + 1 ∈ X, uma contradição.
Portanto, devemos ter X = N, provando, assim, o princípio de indução. �
6. Prove a lei do corte para a multiplicação: mp = np ⇒ m = n, para todos
m,n, p ∈ N.
Solução: Se m 6= n, teríamos dois casos a considerar: (i) m < n. Daí, multiplicando
por p, obteríamos m · p < n · p (absurdo!); (ii) m > n ⇒ m · p > n · p (absurdo!).
Portanto, m = n. �
Seção 2: Conjuntos Finitos
1. Indicando com cardX o número de elementos do conjunto finito X, prove:
(a) Se X éfinito e Y ⊂ X, então cardY ≤ cardX.
(b) Se X e Y são finitos, então X ∪ Y é finito e
card (X ∪ Y ) = cardX + cardY − card (X ∩ Y ).
1.5 Exercícios Resolvidos 12
(c) Se X e Y são finitos, então X × Y é finito e
card (X × Y ) = cardX · cardY.
Solução: (a) Sendo cardX = n e cardY = m, existem bijeções f : Im → Y e
g : X → In. Como Y ⊂ X, então g|Y : Y → g(Y ) ⊂ In é bijeção. Assim, temos
a bijeção composta g |Y ◦f : Im → g(Y ) ⊂ In. Então, pelo Teorema 1.11, não
podemos ter m > n (pois neste caso, teríamos g(Y ) ⊂ In ( Im). Portanto, m ≤ n.
Observe que podemos ter m < n (no caso em que g(Y ) ( In).
(b) Inicialmente devemos provar que se X e Y são finitos e disjuntos, então
card (X ∪ Y ) = cardX + cardY . De fato, como X e Y são finitos, existem bijeções
f : Im → X e g : In → Y , com m = cardX e n = cardY . Agora, definamos a
função ϕ : Im+n → X ∪ Y pondo
ϕ(x) = f(x), se 1 ≤ x ≤ m
ϕ(m+ x) = g(x), se 1 ≤ x ≤ n.
(1.1)
Como X ∪ Y = ∅, segue que a função ϕ é bijetiva.
Agora, observemos que
X ∪ Y = X ∪ [Y − (X ∩ Y )],
onde a segunda reunião é disjunta. Então, usando (1.1) segue que
card (X ∪ Y ) = cardX + card [Y − (X ∩ Y )]
Novamente, como a reunião Y = [Y − (X ∩ Y )] ∪ (X ∩ Y ) é disjunta, (1.1) implica
que cardY = card [Y − (X ∩ Y )] + card (X ∩ Y ), ou seja,
card [Y − (X ∩ Y )] = cardY − card (X ∩ Y ).
Portanto
card (X ∪ Y ) = cardX + cardY − card (X ∩ Y ),
como queríamos demonstrar.
Observação 1.33. Aplicando-se este exercício sucessivamente, obtém-se o resultado
para uma quantidade finita de conjuntos dois a dois disjuntos.
(c) Dados X e Y finitos, com m e n elementos, respectivamente, escrevamos
1.5 Exercícios Resolvidos 13
Y = {y1, . . . , yn}. Então, vale a reunião disjunta
X × Y = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn,
onde Xi = X×{yi}, i = 1, . . . , n. Como os Xi são dois a dois disjuntos e possuem
o mesmo número de elementos de X, a saber, m, então, pela observação do item
anterior, concluímos que
card (X × Y ) = m+m+ · · ·+m = n ·m = cardX · cardY.
�
2. Seja P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove por indução
que se X é finito então cardP(X) = 2cardX .
Solução: Se n = 1, então X = {a1} possui dois subconuntos que são ∅ e {a1}, ou
seja P(X) = 21. Suponha que X com n elementos implique P(X) = 2n e provemos
que um conjunto qualquer Y com n + 1 elementos implica P(Y ) = 2n+1. Podemos
escrever Y = X ∪ {a} onde a 6∈ X; então P(Y ) é formado pelas partes de Y que
não contêm a mais as que contêm a. As primeiras constituem P(X) e as outras são
em mesmo número que as primeiras, logo P(Y ) = 2 · P (X) = 2n+1. �
3. Seja F(X;Y ) o conjunto das funções f : X → Y . Se cardX = m e cardY = n,
prove que cardF(X;Y ) = nm.
Solução: Faremos a prova por indução sobre m. Para m = 1, X = {a1} e
Y = {b1, . . . , bn}; temos n funções fk(a1) = bk, ∀ k ∈ In, ou seja, cardF(X, Y ) = n1.
Suponhamos a validade para um conjunto X ′ qualquer com m elementos, isto é,
cardF(X ′, Y ) = nm e provemos para X com cardX = m + 1. Se X = X ′ ∪ {a},
com a 6∈ X ′, então para cada função f ′ : X ′ → Y há n maneiras de estendê-la a
uma função f : X → Y , correspondentes às n imagens possíveis f(a) ∈ Y . Logo
cardF(X, Y ) = cardF(X ′, Y ) · n = nm+1. �
4. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um
elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0, ∀x ∈ X).
Solução:1 Seja a o menor elemento de X (pelo P.B.O.). Como X é finito, A =
N − (X ∪ Ia) 6= ∅, onde Ia = {p ∈ N : p ≤ a}. Seja, então, b o menor elemento de
A. Então, b− 1 ∈ X ∪ Ia.
Afirmação: x0 = b− 1.
De fato, qualquer número natural maior do que b − 1 pertence a A. Logo, tudo o
1.5 Exercícios Resolvidos 14
que temos de provar é que b− 1 ∈ X. Se b− 1 ∈ Ia, isto é, b− 1 ≤ a, temos que, ou
b− 1 = a ∈ X, e a prova termina; ou b− 1 < a, que implica a existência de p ∈ N
tal que (b − 1) + p = a. Daí b = (b − 1) + 1 ≤ (b − 1) + p = a ⇒ b ∈ Ia. Mas isto
contradiz b ∈ A. Portanto, b− 1 ∈ X, e a Afirmação está mostrada. �
Solução:2 Como X é finito, então é limitado, isto é, existe p ∈ N tal que p > x para
todo x ∈ X. Considere o conjunto A = {p ∈ N : p > x, ∀x ∈ X} 6= ∅. Pelo P.B.O.,
A possui um menor elemento, diferente de 1, o qual podemos supor do tipo p0 + 1;
logo p0 ∈ X. Por outro lado, como não existe x ∈ X tal que p0 < x < p0 + 1;
concluímos que x0 = p0 é o elemento máximo de X. �
5. Prove o Princípio das Casas de Pombo: se m > n não existe função injetiva
f : Im → In. (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que
pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).
Solução: Se f : Im → In for injetiva, então f ′ : Im → f(Im) ⊂ In é uma bijeção. Mas
m > n implica que In Im, isto é, In é um subconjunto próprio de Im. Por outro
lado, como f(Im) ⊂ In segue f(Im) Im e, daí, f ′ : Im → f(Im) é uma bijeção
entre Im e um seu subconjunto próprio, contrariando o Teorema 1.11; logo f não
pode ser injetiva e o princípio está provado. �
Seção 3: Conjuntos Infinitos
1. Dada f : X → Y , prove:
(a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito.
(a) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função
injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.
3. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
Solução: Suponha que P = {p1, p2, . . . , pn} seja um conjunto finito. Então o número
a = p1 · p2 · . . . · pn + 1 não pode ser primo (pois é maior de que todo pk, k ∈ In);
logo possui um divisor primo p, isto é, p| a. Então p| (a − p1 · p2 · . . . · pn), ou seja,
p| 1, o que é um absurdo. �
4. Dê exemplo de uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos
infinitos cuja intercesão
⋂∞
n=1Xn seja vazia.
1.6 Exercícios Propostos 15
Solução: Tome Xn = N− In = {p ∈ N : p > n}. Então a ∈
⋂∞
n=1Xn significa que a é
maior do que todos os números naturais, mas isto não pode acontecer, pois existe
p ∈ N tal que p > a. Portanto,
⋂∞
n=1Xn = ∅. �
Seção 4: Conjuntos Enumeráveis
1. Defina f : N × N → N pondo f(1, n) = 2n − 1 e f(m + 1, n) = 2m(2n − 1). Prove
que f é uma bijeção.
Solução: Sendo k ∈ N um número natural qualquer, podemos escrever esse número
como produto dos seus fatores primos
k =
r∏
i=1
pαii = 2
α1
r∏
i=2
pαii , αi ∈ N ∪ {0}.
Sobrejetividade: Como os primos maiores que 2 são ímpares e o produto de
ímpares é um número ímpar, então k = 2α1(2n− 1). Se α1 = 0, temos k = 2n− 1;
se α1 ≥ 1, tome α1 = m; e daí, k = 2m(2n− 1). Assim, f é sobrejetiva.
Injetividade: Se f(1, n) = f(1, q), ou seja, se 2n − 1 = 2q − 1, então n = q ⇒
(1, n) = (1, q). Ora, f(1, n) 6= f(m+1, q), pois o primeiro é ímpar e o segundo é par.
Então, seja f(m+ 1, n) = f(p+ 1, q), isto é, 2m(2n− 1) = 2p(2q− 1). Como 2n− 1
é ímpar, temos, pela unicidade da decomposição em fatores primos, que 2m = 2p
e, daí, m = p. Consequentemente, temos 2n − 1 = 2q − 1, logo n = q. Assim,
(m+ 1, n) = (p+ 1, q), e f é injetiva. �
2. Prove que existe g : N→ N sobrejetiva tal que g−1(n) é infinito, para cada n ∈ N.
3. Exprima N = N1 ∪N2 ∪ . . .∪Nn ∪ . . . como união infinita de subconjuntos infinitos,
dois a dois disjuntos.
4. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N : cardX = n}. Prove que Pn é enumerável.
Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável.
5. Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável.
6. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) é enumerável.
Prove que X é enumerável.
1.6 Exercícios Propostos
1. (a) Defina: Conjunto finito, conjunto infinito e conjunto enumerável;
1.6 Exercícios Propostos 16
(b) Se X ⊂ R é um conjunto limitado, defina o supremo de X e o ínfimo de X.
2. Considere os seguintes resultados vistos em sala de aula:
(i) Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N→ X.
(ii) Seja f : X → Y injetiva. Se Y é finito, então X também o é.
(iii) Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também o é.
Use estes resultados para concluir que Todo conjunto infinito possui um
subconjunto infinitoenumerável. Isto é: o enumerável é o “menor” dos infinitos.
3. (a) Use o item (iii) da questão 3 acima, e
(iv) O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
para mostrar que o conjunto Q dos números racionais é enumerável.
(b) Prove que se um conjunto infinito não enumerável A é a união de dois outros
B e C, então pelo menos um destes não é enumerável.
(c) Sabendo que o conjunto R dos números reais é não-enumerável, conclua que o
conjunto I dos números irracionais também é não-enumerável.
4. (a) Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
1.a X ⊃ A e X ⊃ B,
2.a Se Y ⊃ A e Y ⊃ B, então Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪B.
(b) Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando A∩B.
5. Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números ímpares
positivos.
6. Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números quadrados
perfeitos.
7. Construa uma bijeção entre o conjunto N e seu subconjunto {n, n+ 1, n+ 2, . . .}.
8. Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(a) 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n+ 1) = (n+ 1)2;
(b) 1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n =
n2 + n
2
.
1.6 Exercícios Propostos 17
(c) n ≥ 4 ⇒ n! > 2n
9. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma
justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo).
(t) ( ) Se X ⊂ N é limitado, então X é finito. E reciprocamente.
(u) ( ) Se X ⊂ N, então X é enumerável.
(v) ( ) Se X é enumerável, então X ⊂ N.
(w) ( ) Se X é finito, então X é enumerável.
(x) ( ) Se X é enumerável, então X é finito.
(y) ( ) Se X ⊂ R é limitado, então X é finito.
Capítulo
2
Números Reais
O conjunto dos números reais será indicado por R. Faremos aqui uma descrição de
suas propriedades que, juntamente com suas consequências, serão utilizadas nos capítulos
seguintes.
2.1 R é um Corpo
Definição 2.1. Dizer que R é um corpo significa que estão definidas em R duas operações,
chamadas adição e multiplicação, que cumprem certas condições, abaixo especificadas.
A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R, sua soma x + y ∈ R,
enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R.
Os axiomas a que essas operações obedecem são as seguintes.
• Para quaisquer x, y, z ∈ R, tem-se:
1. (Associatividade) (x+ y) + z = x+ (y + z) e (xy)z = x(yz);
2. (Comutatividade) x+ y = y + x e xy = yx;
3. (Elementos Neutros) existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x+ 0 = x
e x · 1 = x;
4. (Inversos) todo x ∈ R possui um inverso aditivo −x ∈ R tal que x+ (−x) = 0 e, se
x 6= 0, existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ R tal que x · x−1 = 1;
5. (Distributividade) x(y + z) = xy + xz;
2.2 R é um Corpo Ordenado 19
Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os números
reais.
1. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ R.
Analogamente 1 · x = x e x−1 · x = 1 quando x 6= 0.
2. A soma x+(−y) será indicada por x−y e chamada a diferença entre x e y. Se y 6= 0,
o produto x · y−1 será representado também por x/y e chamado o quociente de x
por y. As operações (x, y) 7−→ x− y e (x, y) 7−→ x/y chamam-se, respectivamente,
subtração e divisão.
3. Da distributividade segue-se que, para todo x ∈ R, vale x · 0 + x = x · 0 + x · 1 =
x(0 + 1) = x · 1 = x. Somando −x a ambos os membros da igualdade x · 0 + x = x,
obtemos x · 0 = 0
4. Por outro lado, de xy = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 0. Com efeito, se
for y 6= 0 então podemos multiplicar ambos os membros desta igualdade por y−1 e
obtemos xy · y−1 = 0 · y−1, donde x = 0.
5. Da distributividade resultam também as regras de sinais : x(−y) = −(xy), (−x)y =
−(xy) e (−x)(−y) = xy. Em particular, (−1) · (−1) = 1. Com efeito,
x(−y) + xy = x(−y + y) = x · 0 = 0, ou seja, x(−y) + xy = 0. Somando
−(xy) a ambos os membros dessa igualdade, vem x(−y) = −(xy). Analogamente,
(−x)y = −(xy). Agora, mostremos a terceira igualdade. Do que já fizemos, temos,
(−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(xy)]. Por outro lado, somando z a ambos os membros
da igualdade −(−z) + (−z) = 0, obtemos −(−z) = z. Logo, (−x)(−y) = xy.
6. Se dois números reais x, y têm quadrados iguais, então x = ±y. Com efeito, de
x2 = y2 decorre que 0 = x2 − y2 = (x + y)(x − y) e, da regra 4 acima, obtemos
x = ±y.
2.2 R é um Corpo Ordenado
Definição 2.2. Dizer que R é um Corpo Ordenado significa que existe um subconjunto
R+ ⊂ R, chamado o conjunto dos números reais positivos, que cumprem as seguintes
condições
(P1) A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Ou seja, x, y ∈ R+ ⇒
x+ y ∈ R+ e xy ∈ R+;
2.2 R é um Corpo Ordenado 20
(P2) Dado x ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou
x ∈ R+ ou −x ∈ R+.
Observação 2.3. Considerando o conjunto R− := {−x : x ∈ R+}, a condição (P2) diz
que R = R+ ∪ R− ∪ {0}, com união disjunta. Os números y ∈ R− chamam-se negativos.
Todo número real x 6= 0 tem quadrado positivo. Com efeito, se x ∈ R+ então
x2 = x · x ∈ R+ por (P1). Se x 6∈ R+ então (como x 6= 0) −x ∈ R+, logo
x2 = (−x) · (−x) ∈ R+ por (P1). Em particular, 1 é um número positivo, porque
1 = 12.
Definição 2.4 (Relação de Ordem). Escreve-se x < y e diz-se que x é menor do que y
quando y−x ∈ R+, isto é, y = x+ z, onde z ∈ R+. Neste caso, escreve-se também y > x
e diz-se que y é maior do que x. Em particular, x > 0 (x− 0 ∈ R+) significa que x ∈ R+,
isto é, que x é positivo, enquanto x < 0 (0−x ∈ R+) quer dizer que x é negativo, ou seja,
que (−x ∈ R+).
Valem as seguintes propriedades da relação de ordem:
1. Transitividade: Se x < y e y < z então x < z.
2. Tricotomia: Dados x, y ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas x = y, x < y
ou y < x.
3. Monotonicidade da adição: Se x < y então, ∀ z ∈ R, tem-se x+ z < y + z.
4. Monotonicidade da multiplicação: Se x < y então, ∀ z > 0, tem-se xz < yz. Se,
porém, z < 0 então x < y implica yz < xz.
Demonstração:
1. x < y e y < z significam y − x ∈ R+ e z − y ∈ R+. Por (P1) segue-se que
(y − x) + (z − y) ∈ R+, isto é, z − x ∈ R+, ou seja, x < z.
2. Dados x, y ∈ R, ou y−x ∈ R+, ou y−x = 0 ou y−x ∈ R− (isto é, x−y ∈ R+). No
primeiro caso tem-se x < y, no segundo x = y e no terceiro y < x. Estas alternativas
se excluem mutuamente, por (P2).
3. Se x < y então y−x ∈ R+, donde (y+z)−(x+z) = y−x ∈ R+, isto é, x+z < y+z.
4. Se x < y e z > 0 então y − x ∈ R+ e z ∈ R+, logo (y − x)z ∈ R+, ou seja,
yz − xz ∈ R+, o que significa xz < yz. Se x < y e z < 0 então y − x ∈ R+ e
−z ∈ R+, donde xz − yz = (y − x)(−z) ∈ R+, o que significa yz < xz. �
2.2 R é um Corpo Ordenado 21
• Mais geralmente, x < y e x′ < y′ implicam x + x′ < y + y′. Com efeito,
(y + y′)− (x+ x′) = (y − x) + (y′ − x′) ∈ R+.
• Analogamente, 0 < x < y e 0 < x′ < y′ implicam xx′ < yy′ pois yy′ − xx′ =
yy′ − yx′ + yx′ − xx′ = y(y′ − x′) + (y − x)x′ > 0.
• Se 0 < x < y então y−1 < x−1. Para provar, nota-se primeiro que x > 0 ⇒ x−1 =
x · (x−1)2 > 0. Em seguida, multiplicando ambos os membros da desigualdade x < y
por x−1y−1 vem y−1 < x−1.
• Como 1 ∈ R é positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . .. Podemos, então,
considerar N ⊂ R. Segue-se que Z ⊂ R pois 0 ∈ R e n ∈ R⇒ −n ∈ R. Além disso,
se m,n ∈ Z com m 6= 0 então m/n = m · n−1 ∈ R, o que nos permite concluir que
Q ⊂ R. Assim, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Lema 2.5 (Desigualdade de Bernoulli). Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ N,
tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Demonstração. Isto se prova por indução sobre n, sendo óbvio para n = 1, pois ficaria:
(1 + x)1 = 1 + 1 · x. Supondo a desigualdade válida para n, multiplicamos ambos os
membros pelo número 1 + x ≥ 0 e obtemos
(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x)
= 1 + nx+ x+ nx2 = 1 + (n+ 1)x+ nx2
≥ 1 + (n+ 1)x.
(2.1)
�
Observação 2.6. Pelo mesmo argumento, vê-se que, para x ≥ −1, x 6= 0 e n > 1, tem-se
a desigualdade estrita (1+x)n > 1+nx. Com efeito, para n = 2, segue-se (1+x)2 > 1+2x.
Supondo (1 +x)n > 1 +nx válida para n, como em (2.1), para x+ 1 ≥ 0 e x 6= 0, obtemos
(1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n+ 1)x+ nx2> 1 + (n+ 1)x.
Definição 2.7 (Valor Absoluto ou Módulo). Definimos o valor absoluto de x ∈ R assim:
|x| =

x, se x > 0
0, se x = 0
−x, se x < 0,
isto é, |x| = max{x,−x}.
2.2 R é um Corpo Ordenado 22
Para todo x ∈ R tem-se −|x| ≤ x ≤ |x|.
De fato, a desigualdade x ≤ |x| vem da definição. Agora, multiplicando −x ≤ |x|
(também da definição) por −1, obtemos −|x| ≤ x.
Exercício 2.8. Mostrar que |x| é o único número ≥ 0 cujo quadrado é x2.
Das regras de sinais segue-se |x|2 = [max{x,−x}]2 = x2. Agora, para mostrar a
unicidade seja y ≥ 0 tal que y2 = x2. Então, y = ±x; como y ≥ 0 segue que
y = max{x,−x} = |x|.
Proposição 2.9. Se x, y ∈ R então |x+ y| ≤ |x|+ |y| e |x · y| = |x| · |y|.
Demonstração. Somando membro a membro as desigualdades |x| ≥ x e |y| ≥ y vem
|x| + |y| ≥ x + y. Analogamente, de |x| ≥ −x e |y| ≥ −y vem |x| + |y| ≥ −(x + y).
Logo, |x|+ |y| ≥ |x+ y| = max{x+ y,−(x+ y)}. Para provar que |x · y| = |x| · |y|, basta
mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado, já que ambos são ≥ 0. Ora,
|xy|2 = (xy)2 = x2y2, enquanto (|x| · |y|)2 = |x|2|y|2 = x2y2. �
Proposição 2.10. Sejam a, x, δ ∈ R. Tem-se |x− a| < δ ⇔ a− δ < x < a+ δ.
Demonstração. Como |x− a| é o maior dos dois números x− a e −(x− a), afirmar que
|x − a| < δ equivale a dizer que se tem x − a < δ e −(x − a) < δ, ou seja, x − a < δ e
x− a > −δ. Somando a, vem:
|x− a| < δ ⇔ x < a+ δ e x > a− δ ⇔ a− δ < x < a+ δ
. �
De modo análogo se vê que
|x− a| ≤ δ ⇔ a− δ ≤ x ≤ a+ δ.
Representaremos esses conjuntos (Intervalos) especiais por:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} [a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a, b. [a, b] é um intervalo
fechado, (a, b) é aberto. [a, b) é fechado à esquerda e (a, b] é fechado à direita. Os cinco
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 23
intervalos à direita são ilimitados : (−∞, b] é a semi-reta esquerda fechada de origem b.
Os demais têm denominações análogas. Quando a = b o intervalo fechado [a, b] reduz-se
a um único elemento e chama-se um intervalo degenerado.
Em termos de intervalos, a Proposição 2.10 diz que |x − a| < δ se, e somente se,
x ∈ (a− δ, a+ δ). Analogamente,
|x− a| ≤ δ ⇔ x ∈ [a− δ, a+ δ].
É muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a reta real) e os números
reais como pontos dessa reta. Então a relação x < y significa que o ponto x está à esquerda
de y (e y à direita de x), os intervalos são segmentos de reta e |x − y| é a distância do
ponto x ao ponto y. O significado da Proposição 2.10 é de que o intervalo (a− δ, a+ δ) é
formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a.
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo
Nada do que foi dito até agora permite distinguir R de Q, pois os números
racionais constituem um corpo ordenado. Acabaremos agora nossa caracterização de
R, descrevendo-o como um corpo ordenado completo, propriedade que Q não tem.
Um conjunto X ⊂ R diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈ R tal que
x ≤ b, ∀x ∈ X. Neste caso, diz-se que b é uma cota superior de X. Analogamente,
diz-se que o conjunto X ⊂ R é limitado inferiormente quando existe a ∈ R tal que
a ≤ x, ∀x ∈ X. O número a chama-se, então, uma cota inferior de X. Se X é
limitado superior e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Isto significa
que X está contido em algum intervalo limitado [a, b] ou, equivalentemente, que existe
um k > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k. Basta tomar k = max{|a|, |b|}, pois, neste caso,
−k ≤ −|a| ≤ a ≤ x ≤ b ≤ |b| ≤ k.
Definição 2.11 (Supremo de um Conjunto). Seja X ⊂ R limitado superiormente e não-
vazio. Um número b ∈ R chama-se o supremo do conjunto X, e indicamos por b = supX
quando é a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b é o supremo de X
quando cumpre as duas condições:
S1. x ≤ b ∀x ∈ X;
S2. Se c ∈ R é tal que x ≤ c ∀x ∈ X, então b ≤ c.
A condição S2 admite a seguinte reformulação:
S2′. Se c < b então existe x ∈ X com c < x.
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 24
Com efeito, S2′ diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de
X. Às vezes se exprime S2′ assim: para todo � > 0, existe x ∈ X tal que b− � < x.
Definição 2.12 (Ínfimo de um Conjunto). Analogamente, se X ⊂ R é um conjunto
limitado superiormente e não-vazio, um número a ∈ R chama-se o ínfimo do conjunto X,
e escreve-se a = inf X quando é a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale às duas
afirmações:
I1. a ≤ x ∀x ∈ X;
I2. Se c ∈ R é tal que c ≤ x ∀x ∈ X, então c ≤ a.
A condição I2 pode também ser formulada assim:
I2′. Se a < c então existe x ∈ X com x < c.
De fato, I2′ diz que nenhum número real maior do que a é cota inferior de X.
Equivalentemente:
para todo � > 0, existe x ∈ X tal que x < a+ �.
Definição 2.13. Diz-se que um número b ∈ X é o maior elemento (ou elemento máximo)
do conjunto X quando b ≥ x, ∀x ∈ X. Isto quer dizer que b é uma cota superior de X,
pertencente a X.
Por exemplo, b é o elemento máximo do intervalo fechado [a, b], mas o intervalo [a, b)
não possui maior elemento.
Exercício 2.14. Se um conjunto X possui elemento máximo, este será seu supremo.
Entretanto, o contrário nem sempre é verdade.
• A noção de supremo serve, precisamente, para substituir a ideia de maior elemento
de um conjunto quando esse maior elemento não existe.
• O supremo do conjunto [a, b) é b. (Verifique!)
• Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação ao ínfimo.
Definição 2.15. A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo
conjunto não-vazio, limitado superiormente, X ⊂ R possui supremo b = supX ∈ R.
Exercício 2.16 (Resolvido). Mostre que todo conjunto não-vazio, limitado inferiormente,
X ⊂ R possui ínfimo a = inf X ∈ R.
Solução: Com efeito, neste caso Y = {−x : x ∈ X} é não-vazio, limitado superiormente;
logo possui um supremo b ∈ R. Então, como se vê sem dificuldade (Verifique!), o número
a = −b é o ínfimo de X. �
Em seguida, veremos algumas consequências da completeza de R.
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 25
Teorema 2.17. São verdades equivalentes:
(i) O conjunto N ⊂ R não é limitado superiormente.
(ii) O ínfimo do conjunto X = {1/n : n ∈ N} é igual a 0.
(iii) Dados a, b ∈ R+, existe n ∈ N tal que n · a > b.
Demonstração. (i) Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existiria c = supN. Então,
c−1 não seria cota superior de N, isto é, existiria n ∈ N com c−1 < n. Daí resultaria que
c < n+1, logo c não seria cota superior de N; mas isto é uma contradição, pois c = supN.
Logo, N não é limitado superiormente. (i) ⇒ (ii) Evidentemente, 0 é uma cota inferior
de X. Basta então provar que nenhum c > 0 é cota inferior de X. Ora, dado c > 0,
existe, por (i), um número natural n > 1/c, donde 1/n < c, isto é, c não é cota inferior
de X. (ii) ⇒ (iii) Dados a, b ∈ R+ usamos (2) para obter n ∈ N tal que 1/n < a/b, o
que implica n · a > b. (iii) ⇒ (i) Dado b ∈ R+ arbitrário, tomando a = 1, existe, por
(iii) n ∈ N tal que n > b. Isto prova (i). �
Estas propriedades dizem que R é um corpo arquimediano. Na realidade, (iii) é devida
ao matemático grego Eudoxo, que viveu alguns séculos antes de Arquimedes.
Teorema 2.18 (Intervalos Encaixados). Dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .
de intervalos limitados e fechados In = [an, bn]. Existe, pelo menos, um número real c
tal que c ∈ In, ∀n ∈ N.
Demonstração. As inclusões In ⊃ In+1 significam que
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1.
O conjunto A = {a1, a2, . . . , an, . . .} é, portanto, limitado superiormente (por b1). Logo,
como R é completo, existe c = supA. Evidentemente, an ≤ c ∀n ∈ N. Além disso, como
cada bn é cota superior de A, temos c ≤ bn ∀n ∈ N. Portanto, c ∈ In (pois cada In é
fechado) qualquer que seja o n ∈ N. �
Teorema 2.19. O conjunto dos números reais não é enumerável.
Demonstração. Mostremos que nenhuma função f : N→ R pode ser sobrejetiva. Para
isto, supondo f dada,construiremos uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .
de intervalos limitados e fechados tais que f(n) 6∈ In. Então, se c é um número real
pertencente a todos os In, nenhum dos valores f(n) pode ser igual a c, logo f não é
sobrejetiva. Para obter os intervalos, começamos tomando I1 = [a1, b1] tal que f(1) < a1
2.3 R é um Corpo Ordenado Completo 26
e, supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In tais que f(j) 6∈ Ij, olhamos para In = [an, bn]. Se
f(n + 1) 6∈ In, podemos simplesmente tomar In+1 = In. Se, porém, f(n + 1) ∈ In, pelo
menos um dos extremos, digamos an, é diferente de f(n+ 1), isto é, an < f(n+ 1). Neste
caso, tomamos In+1 = [an+1, bn+1], com an+1 = an e bn+1 = (an + f(n+ 1))/2. �
Definição 2.20. Um número real chama-se irracional quando não é racional. O conjunto
dos números irracionais será indicado por R\Q.
Corolário 2.21. O conjunto R\Q é não-vazio e não-enumerável.
Demonstração. Como o conjunto Q dos números racionais é enumerável, resulta do
teorema acima que R\Q 6= ∅. Além disso, como R = Q ∪ (R\Q), segue que R\Q é não-
enumerável, pois a reunião de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável (Ver
Corolário 1.30). �
Corolário 2.22. Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração. Com efeito, todo intervalo não-degenerado contém um intervalo aberto
(a, b). Como a função f : (−1, 1) → (a, b) definida por f(x) = 1
2
[(b − a)x + a + b]
é uma bijeção, basta mostrar que o intervalo aberto (−1, 1) é não-enumerável. Ora, a
função ϕ : R → (−1, 1), dada por ϕ(x) = x/(1 + |x|), é uma bijeção cuja inversa é
ψ : (−1, 1) → R, definida por ψ(y) = y/(1 − |y|), pois ϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x para
quaisquer y ∈ (−1, 1) e x ∈ R, como se pode verificar facilmente. �
Teorema 2.23. Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais.
Demonstração. Certamente I contém números irracionais, pois do contrário seria
enumerável uma vez que o conjunto dos números racionais o é. Para provar que I contém
números racionais, tomamos [a, b] ⊂ I, onde a < b podem ser supostos irracionais, pois
se algum deles fosse racional, a prova terminaria. Fixemos n ∈ N tal que 1/n < b− a.
Afirmamos que os intervalos Im = (m/n, (m + 1)/n], m ∈ Z, cobrem a reta, isto é,
R = ∪m∈ZIm. De fato, dado x ∈ R, considere o conjunto A = {n ∈ Z : x ≤ n + 1}.
Como A é um subconjunto não-vazio de Z, limitado inferiormente, A possui um elemento
mínimo n0. Logo, n0 < x ≤ n0 + 1, pois n0 − 1 6∈ A e n0 ∈ A.
Provada a afirmação, existe m ∈ Z tal que a ∈ Im. Como a é irracional, temos que
m/n < a < (m + 1)/n. Sendo o comprimento 1/n do intervalo Im menor do que b − a,
segue que (m + 1)/n < b. Logo o número racional (m + 1)/n pertence ao intervalo [a, b]
e, portanto, ao intervalo I. �
2.4 Exercícios Resolvidos 27
2.4 Exercícios Resolvidos
Seção 1: R é um Corpo
1. Prove as seguintes unicidades:
(a) Se x+ θ = x para algum x ∈ R então θ = 0;
(b) Se x · u = x para todo x ∈ R então u = 1;
(c) Se x+ y = 0 então y = −x;
(d) Se x · y = 1 então y = x−1.
2. Dados a, b, c, d ∈ R, se b 6= 0 e d 6= 0, prove que a/b + c/d = (ad + bc)/bd e
(a/b)(c/d) = ac/bd.
3. Se a 6= 0 e b 6= 0 em R, prove que (ab)−1 = a−1b−1 e conclua que (a/b)−1 = b/a.
4. Prove que (1− xn+1)/(1− x) = 1 + x+ · · ·+ xn para todo x 6= 1.
Seção 2: R é um Corpo Ordenado
1. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que |x− z| ≤ |x− y| − |y − z|.
2. Prove que ||x| − |y|| ≤ |x− y| para quaisquer x, y ∈ R.
3. Dados x, y ∈ R, se x2 + y2 = 0, prove que x = y = 0.
Solução: Na verdade, são equivalentes. Se x2 + y2 = 0, então x2 = −y2 ≤ 0. Por outro
lado, x2 ≥ 0. Juntando os dois resultados, obtemos x2 = 0 ⇒ x = 0. Analogamente,
y = 0. A recíproca é imediata. �
4. Prove, por indução, que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ [n(n− 1)/2]x2, se x ≥ 0.
Solução: Para n = 1, temos, na verdade, uma igualdade: (1+x)1 = 1+x+[1(1−1)/2]x2 =
1 + x. Suponhamos, agora, que a desigualdade valha para n = p, ou seja,
(1 + x)p ≥ 1 + px+ [p(p− 1)/2]x2
e mostremos que ela vale para n = p+1. Multiplicando ambos os membros da desigualdade
acima por x+ 1 > 0 e usando que x ≥ 0, obtemos
(1 + x)p+1 ≥ (1 + px+ [p(p− 1)/2]x2)(x+ 1)
= 1 + px+ [p(p− 1)/2]x2 + x+ px2 + [p(p− 1)/2]x3
= 1 + (p+ 1)x+ [p(p− 1)/2 + p]x2 + [p(p− 1)/2]x3
≥ 1 + (p+ 1)x+ [p(p− 1)/2 + p]x2
= 1 + (p+ 1)x+ [(p+ 1)[(p+ 1)− 1]/2]x2,
2.4 Exercícios Resolvidos 28
como queríamos. �
5. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
6. Prove que |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε.
7. Use o fato de que o trinômio do segundo grau f(λ) =
∑n
i=1(xi − λyi)2 é ≥ 0 para todo
λ ∈ R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤
n∑
i=1
x2i ·
n∑
i=1
y2i .
Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ ∈ R tal que xi = λyi para
todo i = 1, . . . , n ou y1 = y2 = . . . = yn = 0.
Solução: Temos que
n∑
i=1
(xi − λyi)2 =
n∑
i=1
(x2i − 2xiyiλ+ y2i λ2)
=
n∑
i=1
x2i + (−2
n∑
i=1
xiyi)λ+ (
n∑
i=1
y2i )λ
2
= aλ2 + bλ+ c ≥ 0,
onde a =
∑n
i=1 y
2
i , b = −2
∑n
i=1 xiyi e c =
∑n
i=1 x
2
i .
Se a > 0, como aλ2 + bλ + c ≥ 0, devemos ter ∆ = b2 − 4ac ≤ 0, donde b2 ≤ 4ac.
Substituindo os valores de a, b e c, segue-se
4(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤ 4
n∑
i=1
y2i ·
n∑
i=1
x2i ,
implicando, finalmente, que
(
n∑
i=1
xiyi)
2 ≤
n∑
i=1
x2i ·
n∑
i=1
y2i .
Além disso, a igualdade vale se, e somente se, ∆ = 0; ou melhor, se, e somente
se, existe raiz para o trinômio f(λ) = aλ2 + bλ + c, isto é, existe λ ∈ R tal que
f(λ) =
∑n
i=1(xi − λyi)2 = 0. Mas, pelo Exercício 3 acima, isto equivale a xi − λyi =
0, ∀ i = 1, . . . , n, ou ainda, xi = λyi para todo i = 1, . . . , n.
Se a = 0, ou seja, se y21 + y22 + . . . + y2n = 0, então y1 = y2 = . . . = yn = 0. Neste
caso, temos a igualdade trivialmente. �
8. Se a1/b1, . . . , an/bn pertencem ao intervalo (α, β) e b1, . . . , bn são positivos, prove que
(a1+· · ·+an)/(b1+· · ·+bn) pertencem a (α, β). Nas mesmas condições, se t1, . . . , tn ∈ R+,
2.5 Exercícios Propostos 29
prove que (t1a1 + · · ·+ tnan)/(t1b1 + · · ·+ tnbn) também pertence ao intervalo (α, β).
Seção 3: R é um Corpo Ordenado Completo
1. Diz-se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem
f(X) = {f(x) : x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se
sup f = sup{f(x) : x ∈ X}. Prove que se f, g : X → R são limitadas superiormente
o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Dê um
exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g. Enuncie e prove um resultado análogo para inf.
2. Dadas as funções f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g :
X → R+ é uma função limitada (superior e inferiormente) com sup(f · g) ≤ sup f · sup g
e inf(f · g) ≥ inf f · inf g. Dê exemplos onde se tenha < e não =.
3. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostre que sup(f 2) = (sup f)2 e inf(f 2) =
(inf f)2.
4. Dados a, b ∈ R+ com a2 < 2 < b2, tome x, y ∈ R+ tais que x < 1, x < (2− a2)/(2a+ 1)
e y < (b2− 2)/2b. Prove que (a+ x)2 < 2 < (b− y)2 e b− y > 0. Em seguida, considere o
conjunto limitado X = {a ∈ R+ : a2 < 2} e conclua que o número real c = supX cumpre
c2 = 2.
5. Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número
real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que
o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente
quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.
6. Prove que um conjunto I ⊂ R é um intervalo se, e somente se, a < x < b,
a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.
2.5 Exercícios Propostos
1. (a) Enuncie o Teorema dos Intervalos encaixados e o Teorema de Bolzano-
Weierstrass;
(b) Dê exemplos mostrando que no teorema dos Intervalos Encaixados, aqueles
intervalos devem ser limitados; e que tais intervalos precisam ser, também,
fechados. Isto é, a hipótese de que os intervalos são limitados e fechados é
necessária.
(c) Exiba uma sequência que não possui subsequência convergente.
2. Se a < x < b, mostre que |x| < |a|+ |b|.
3. Mostre que |a− b| < � para todo � > 0, se e somente se, a = b.
2.5 Exercícios Propostos30
4. Mostre que max{a, b} = 1
2
(a+ b+ |a− b|) e min{a, b} = 1
2
(a+ b− |a− b|).
5. (a) Mostre que a2 + ab+ b2 ≥ 0, ∀ a, b ∈ R.
(b) Se x, y > 0, mostre que √xy ≤ x+ y
2
. Essa desigualdade diz que a média
geométrica de dois números reais positivos é menor do que ou igual à média
aritmética desses mesmos números.
(c) Mostre que, geometricamente, essa desigualdade expressa o fato de que a altura
de um triângulo retângulo tendo por base a hipotenusa é menor do que ou igual
à metade da hipotenusa.
(d) Quando é que as médias aritmética e geométrica são iguais? Que quer dizer
isso geometricamente?
6. (a) Prove por indução que |a1 + a2 + . . . + an| ≤ |a1| + |a2| + . . . + |an| quaisquer
que sejam os números a1, a2, . . . , an ∈ R.
(b) Prove por indução que |a1 + a2 + . . . + an| ≥ |a1| − |a2| − . . .− |an| quaisquer
que sejam os números a1, a2, . . . , an ∈ R.
7. Sejam m ∈ R e p > 1 um número primo qualquer.
(a) Prove que se m2 é divisível por p, então m também o é.
(b) Prove que √p é irracional.
8. (a) Prove que, se p e q forem números primos distintos, então √pq é irracional.
(b) Prove que, se p1, . . . , pr forem números primos distintos, então
√
p1 · · · pr é
irracional.
9. (a) Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b)/2 é irracional? Prove
a veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que ela é
falsa.
(b) Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número
irracional é um número irracional. Mostre, com um contra-exemplo, que o
produto de dois números irracionais pode ser racional.
(c) Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente
de zero é um número irracional.
(d) Prove que se r for um número irracional então 1/r também o será.
(e) Sejam a, b, c, d números racionais. Prove que
a+ b
√
2 = c+ d
√
2 ⇐⇒ a = c e b = d.
2.5 Exercícios Propostos 31
(f) Sejam a, b números racionais positivos. Prove que
√
a +
√
b é racional se,
e somente se,
√
a e
√
b forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por
√
a−
√
b)
(g) Prove que se x e y forem números irracionais tais que x2− y2 ∈ Q−{0}, então
x+ y e x− y são ambos irracionais. Exemplo:
√
3 +
√
2 e
√
3−
√
2.
(Sugestão: Em algum momento, use x = (x+y)+(x−y)
2
e y = (x+y)−(x−y)
2
.)
10. Prove que, se p1, . . . , pr forem números primos distintos, então
√
ps11 · · · psrr é
irracional se algum dos expoentes s1, . . . , sr for ímpar.
11. (a) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números
racionais.
(b) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números
irracionais.
(c) Sabendo que o conjunto R dos números reais não é enumerável, prove que o
conjunto dos números irracionais não é enumerável.
12. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que(
1− 1
n2
)n
> 1− 1
n
e deduzir que (
1 +
1
n− 1
)n−1
<
(
1 +
1
n
)n
.
13. Se c > 1, c ∈ R, mostre que cn > c.
(Sugestão: c = 1 + α; α > 0 e use a desigualdade de Bernoulli)
14. Considere o conjunto C = {1/m − 1/n : n,m ∈ N}. Prove que −1 = inf C e
1 = supC, e que {−1, 1} 6⊂ C.
15. (a) Prove que todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente,
tem ínfimo. Em outras palavras, dado A ⊂ R não-vazio, limitado inferiormente,
seja −A = {−x : x ∈ A}. Prove que −A é limitado superiormente e que
sup(−A) = − inf A.
(b) Dados A ⊂ R não-vazio, limitado, e c ∈ R, definimos o conjunto cA = {ca :
a ∈ A}. Mostre, então, que
c ≥ 0⇒
{
sup cA = c supA
inf cA = c inf A.
e c < 0⇒
{
sup cA = c inf A
inf cA = c supA.
2.5 Exercícios Propostos 32
Em particular, sup(−A) = − inf A, ou ainda, supA = − inf(−A).
16. Seja X = {1/n : n ∈ N}. Prove que inf X = 0.
17. Sejam A ⊂ B ⊂ R não-vazios e limitados. Prove que inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB.
18. Sejam A,B ⊂ R não-vazios tais que a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤ b.
(a) Prove que supA ≤ inf B.
(b) Prove que supA = inf B ⇔ ∀ � > 0, ∃ a ∈ A, b ∈ B tais que b− a < �.
19. Sejam A,B ⊂ R não-vazios, limitados inferiormente, e r ∈ R tal que r ≤ a+b, ∀ a ∈
A, b ∈ B.
(a) Prove que r ≤ inf A+ inf B.
(b) Enuncie e demonstre resultado análogo para os supremos.
20. Dados A,B ⊂ R não-vazios e limitados, seja A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}. Prove
que
(a) A+B é limitado.
(b) sup(A+B) = supA+ supB.
(c) inf(A+B) = inf A+ inf B.
21. Prove que r = sup{x ∈ R : x < r} = inf{x ∈ R : x > r}.
22. Sejam x, y ∈ R e n ∈ N.
(a) Prove por indução que (1− yn) = (1− y)(1 + y + y2 + . . .+ yn−1).
(b) Conclua que (xn − yn) = (x− y)(xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + . . .+ xyn−2 + yn−1).
23. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma
justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo).
(l) ( ) Se X =
{
1
n
: n ∈ N
}
, então inf X = 0.
(m) ( ) Se X ⊂ N é limitado, então X possui um supremo em N
(n) ( ) Se X ⊂ N é limitado, então X possui um supremo em R
(o) ( ) Se X ⊂ N, então X possui um ínfimo em R
(p) ( ) Se X ⊂ N, então X possui um mínimo em N
2.5 Exercícios Propostos 33
(q) ( ) Se X ⊂ N, então X possui um mínimo em R
(r) ( ) Todo supremo de um conjunto é elemento máximo desse conjunto.
(s) ( ) Todo elemento máximo de um conjunto é supremo desse conjunto.
(z) ( ) O conjunto X = (0, 1) não possui nem ínfimo, nem supremo.
Capítulo
3
Sequências de Números Reais
Neste capítulo será apresentada a noção de limite, que tem um papel central no estudo
da Análise Matemátca, sob sua forma mais simples, o limite de uma sequência. A partir
daqui, todos os conceitos importantes da Análise, de uma forma ou de outra, reduzir-se-ão
a algum tipo de limite.
3.1 Limites de uma Sequência
Definição 3.1. Uma Sequência de números reais é uma função x : N → R, que associa
a cada número n ∈ N um número xn ∈ R, chamado o n-ésimo termo da sequência.
Escreve-se (x1, x2, . . . , xn, . . .) ou (xn)n∈N, ou simplesmente (xn) para indicar a
sequência cujo n-ésimo termo é xn. Não confunda a sequência (xn) com o conjunto
{x1, x2, . . . , xn, . . .} dos seus termos. Por exemplo, as sequências (0, 1, 0, 1 . . .) e
(0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .) são diferentes, mas os conjuntos dos seus termos são os mesmos, iguais
a {0, 1}.
Definição 3.2. Uma sequência (xn) diz-se limitada superiormente (respectivamente,
inferiormente) quando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (respectivamente, xn ≥ c) para
todo n ∈ N. Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando ela é limitada superior e
inferiormente. Isto equivale a dizer que existe k > 0 tal que |xn| ≤ k, ∀n ∈ N.
Exemplo 3.3. Se a > 1 então a sequência (a, a2, . . . , an, . . .) é limitada inferiormente,
porém, não superiormente. Com efeito, multiplicando ambos os membros da desigualdade
1 < a por an, obtemos an < an+1; segue-se que a < an, ∀n ∈ N. Logo, (an) é limitada
inferiormente por a. Por outro lado, temos a = 1 + d com d > 0. Pela desigualdade de
3.1 Limites de uma Sequência 35
Bernoulli, vale an = (1 + d)n > 1 + nd, ∀n ∈ N. Portanto, dado qualquer c ∈ R podemos
obter an > c, desde que tomemos 1 + nd > c, isto é, n > (c− 1)/d. �
Definição 3.4. Dada uma sequência x = (xn)n∈N, uma subsequência de x é a restrição
da função x a um subconjunto infinito e, portanto, ilimitado, N′ = {n1, n2, . . . , nk, . . .}.
• Escreve-se x′ = (xn)n∈N′ ou (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .), ou (xnk)k∈N para indicar a
subsequência x′ = x | N′.
• A notação (xnk)k∈N mostra como uma subsequência pode ser considerada como uma
sequência, isto é,uma função cujo domínio é N.
Exemplo 3.5. Se a < −1, formemos a sequência (an)n∈N. Se N′ ⊂ N é o conjunto
dos números pares e N′′ ⊂ N é o conjunto dos números ímpares, então a subsequência
(an)n∈N′ = (a
2, a4, . . . , a2k, . . .) é limitada apenas inferiormente, enquanto a subsequência
(an)n∈N′′ = (a
1, a3, . . . , a2k−1, . . .) é limitada apenas superiormente. Com efeito, de a < −1
segue-se |a| > 1 ⇒ |a|2 > 1, ou seja, a2 > 1. Assim, para n ∈ N′ a sequência se escreve
(an)n∈N′ = ((a
2), (a2)2, (a2)3, . . .) = (a2)n, donde, como no Exemplo 3.3, é limitada apenas
inferiormente.
Por outro lado, como a2k > 0, multiplicando ambos os membros da desigualdade a< −1
por a2k, obtemos a2k+1 < −a2k < −1; então, pela primeira parte, obtemos que a
subsequência (an)n∈N′′ é limitada apenas superiormente.
Definição 3.6. Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para
todo número real � > 0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 = n0(�) ∈ N tal que todos
os termos xn com índice n > n0 cumprem a condição |xn − a| < �. Simbolicamente,
escreve-se
a = limxn
.
= ∀ � > 0, ∃n0 ∈ N;n > n0 ⇒ |xn − a| < �.
• Esta importante definição significa que, para valores muito grandes de n, os termos
xn tornam-se e se mantêm tão próximos de a quanto se deseje. Mais precisamente,
estipulando-se uma margem de erro � > 0, existe um índice n0 ∈ N tal que todos
os termos xn da sequência com índice n > n0 são valore aproximados de a com erro
menor do que �.
Convém lembrar que |xn−a| < � é o mesmo que a−� < xn < a+�, isto é, xn ∈ (a−�, a+�).
Assim, dizer que a = lim xn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a
contém todos os termos xn da sequência, salvo para um número finito de índices n (a
saber, os índices n ≤ n0, onde n0 é escolhido em função do raio � do intervalo dado. Em
3.1 Limites de uma Sequência 36
vez de a = lim xn, escreve-se também a = limn∈N xn, a = limn→∞ xn ou xn → a. Esta
última expressão lê-se “xn tende para a” ou “xn converge para a”. Uma sequência que
possui limite diz-se convergente. Caso contrário, ela se chama divergente.
Teorema 3.7. Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
Demonstração. Seja a = limxn. Dado b 6= a, podemos tomar � > 0 tal que os intervalos
abertos I = (a− �, a+ �) e J = (b− �, b+ �) sejam disjuntos. Basta tomar � ≤ |b− a|/2.
Existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ I. Então, para todo n > n0, temos xn 6∈ J .
Logo, não pode ser limxn = b. �
Teorema 3.8. Se limxn = a, então toda subsequência de (xn) converge para o limite a.
Demonstração. Seja (xn1 , . . . , xnk , . . .) a subsequência. Dado qualquer intervalo aberto
I de centro a, existe n0 ∈ N tal que todos os termos xn, com n > n0, pertencem a I. Em
particular, todos os termos xnk , com nk > n0 também pertencem a I. Logo, limxnk = a.
�
Teorema 3.9. Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração. Seja a = lim xn. Fixado � > 0, vemos que existe n0 ∈ N tal que
n > n0 implica xn ∈ (a − �, a + �). Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto
{x1, . . . , xn0 , a− �, a+ �}. Isto significa que
• b ≤ x1, . . . , xn0 ≤ c,
• b ≤ a− � < xn < a+ � ≤ c, se n > n0
Isto é, todos os termos xn da sequência estão contidos no intervalo [b, c], logo ela é limitada.
�
Exemplo 3.10. A sequência (2, 0, 2, 0, . . .), cujo n-ésimo termo é xn = 1 + (−1)n+1, é
limitada, mas não é convergente porque possui duas subsequências constantes, x2n−1 = 2
e x2n = 0, com limites distintos.
Exemplo 3.11. A sequência (1, 2, 3, . . .), com xn = n, não converge por que não é
limitada.
Definição 3.12. Uma sequência chama-se monótona quando se tem xn ≤ xn+1 ∀n ∈ N ou
então xn ≥ xn+1 ∀n ∈ N. No primeiro caso, diz-se que (xn) é monótona não-decrescente
e, no segundo, que (xn) é monótona não-crescente. Se, mais precisamente, tivermos
xn < xn+1 (respectivamente, xn > xn+1) para todo n ∈ N, diremos que a sequência é
crescente (respectivamente, decrescente).
3.1 Limites de uma Sequência 37
Toda sequência monótona não-decrescente (respectivamente, não-crescente) é limitada
inferiormente (respectivamente, superiormente) pelo seu primeiro termo.
Lema 3.13. A fim de que uma sequência monótona seja limitada é suficiente que possua
uma subsequência limitada.
Demonstração. Com efeito, seja (xn)n∈N′ uma subsequência limitada da sequência
monótona (digamos, não-decrescente) (xn). Temos xn′ ≤ c, ∀n′ ∈ N′. Dado qualquer
n ∈ N, existe n′ ∈ N′ tal que n < n′. Então, x1 ≤ xn ≤ xn′ ≤ c. �
O teorema seguinte dá uma condição suficiente para que uma sequência convirja. Foi
tentando demonstrá-lo ao preparar suas aulas, na metado do século XIX, que R. Dedekind
percebeu a necessidade de uma conceituação precisa de número real.
Teorema 3.14. Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração. Seja (xn) monótona, digamos não-decrescente, limitada. Escrevamos
X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Como X é um conjunto limitado, possui um supremo, que
chamamos de a = supX.
Afirmação: a = limxn.
Com efeito, dado � > 0, o número a − � não é cota superior de X. Logo, existe n0 ∈ N
tal que a − � < xn0 ≤ a. Assim, como (xn) é não-decrescente, n > n0 ⇒ a − � < xn0 ≤
xn ≤ a < a+ �, ou seja, xn ∈ (a− �, a+ �) ∀n > n0; isto é, limxn = a. �
Observação 3.15. Semelhantemente, se (xn) é não-crescente e limitada, então limxn
é o ínfimo do conjunto dos valores xn. Por exemplo, a sequência cujo n-ésimo termo é
xn = 1/n é monótona, decrescente e limitada. Temos, então lim(1/n) = inf{1/n : n ∈
N} = 0, pelo Teorema 2.17.
Corolário 3.16 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Toda sequência limitada de números
reais possui uma subsequência convergente.
Demonstração. Tendo em vista o Teorema 3.14, basta mostrar que toda sequência
limitada (xn) possui uma subsequência monótona.
Digamos que um termo xn da sequência dada é destacado quando xn ≥ xp ∀ p > n.
Seja
D = {n ∈ N : xn é destacado }
• Se D for infinito, D = {n1 < n2 < . . . < nk < . . .}, então a subsequência (xnk)nk∈D
será monótona não-crescente.
3.2 Limites e Desigualdades 38
• Se D for finito (e, portanto, limitado), seja n1 ∈ N maior do que todos os n ∈ D.
Então xn1 6∈ D não é destacado, logo existe n2 > n1 com xn1 < xn2 . Por sua vez, xn2
não é destacado, logo existe n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3 . Prosseguindo, obtemos
uma subsequência monótona crescente xn1 < xn2 < . . . < xnk < . . .
A demonstração está completa. �
Exemplo 3.17. Seja 0 < a < 1. A sequência (a, a2, . . . , an, . . .) é decrescente e limitada,
pois multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an, e 0 < an < 1 para todo n ∈ N.
Afirmamos que limn→∞ an = 0. De fato, como 1/a > 1, segue-se do Exemplo 3.3 que,
dado arbitrariamente � > 0, existe n0 ∈ N tal que (1/a)n > 1/� ∀n > n0, ou seja,
an < � ∀n > n0. Mas isto significa que limn→∞ an = inf{an : n ∈ N} = 0.
3.2 Limites e Desigualdades
Observação 3.18. Seja P uma propriedade referente aos termos de uma sequência (xn).
Diremos que para todo n suficientemente grande xn goza da propriedade P para significar
que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn goza da propriedade P .
Teorema 3.19. Seja a = limxn. Se b < a então, para todo n suficientemente grande,
tem-se b < xn. Analogamente, se a < b, então xn < b para todo n suficientemente grande.
Demonstração. Tomando � = a − b, temos � > 0 e b = a − �. Pela definição de limite,
existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a− � < xn < a+ �⇒ b < xn. A outra afirmação se prova
analogamente. �
Corolário 3.20. Seja a = limxn. Se a > 0 então, para todo n suficientemente grande,
tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0, então xn < 0 para todo n suficientemente grande.
Demonstração. Basta trocar b por 0 na prova do Teorema 3.19. �
Corolário 3.21. Sejam a = limxn e b = lim yn. Se xn ≤ yn para todo n suficientemente
grande, então a ≤ b. Em particular, se xn ≤ b para todo n suficientemente grande, então
limxn ≤ b.
Demonstração. Se fosse b < a, então tomaríamos c ∈ R tal que b < c < a e teríamos,
pelo Teorema 3.19, yn < c < xn para todo n suficientemente grande, contradizendo a
hipótese. �
Observação 3.22. Se fosse xn < yn não se poderia concluir a < b. Por exemplo, se
xn = 0 e yn = 1/n, temos, para todo n ∈ N, que xn < yn. Mas limxn = lim yn = 0.
3.3 Operações com Limites 39
Teorema 3.23 (Teorema do Sanduíche). Se limxn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn para
todo n suficientemente grande, então lim zn = a.
Demonstração. Seja � > 0 dado arbitrariamente.
Como limxn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ a− � < xn < a+ �.
Como lim yn = a, existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ a− � < yn < a+ �.
Seja n0 = max{n1, n2}. Então n > n0 ⇒ a−� < xn ≤ zn ≤ yn < a+�⇒ zn ∈ (a−�, a+�),
logo lim zn = a. �
3.3 Operações com Limites
Teorema 3.24. Se limxn = 0 e (yn) é uma sequência limitada (convergente ou não),então lim(xnyn) = 0.
Demonstração. Como (yn) é limitada existe c > 0 tal que |yn| ≤ c para todo n ∈ N.
E como limxn = 0, dado arbitrariamente � > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn| < �/c.
Então n > n0 ⇒ |xnyn| = |xn| · |yn| < (�/c) · c. Assim, limxnyn = 0. �
Exemplo 3.25. Se xn = 1/n e yn = sinn, então (yn) não converge, mas, como
−1 ≤ yn ≤ 1, tem-se lim(xnyn) = lim sinnn = 0. Por outro lado, se limxn = 0, mas (yn)
não é limitada, então o produto pode divergir (tome xn = 1/n e yn = n2) ou convergir
para um valor qualquer (tome xn = 1/n e yn = c · n).
Observação 3.26. Para uso posterior, observemos que, segundo resulta diretamente da
definição de limite, tem-se
limxn = a ⇔ lim(xn − a) = 0 ⇔ lim |xn − a| = 0.
De fato,
limxn = a ⇔ ∀ � > 0 ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |xn − a| < �
⇔ ∀ � > 0 ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |(xn − a)− 0| < � (⇔ lim(xn − a) = 0)
⇔ ∀ � > 0 ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ ||xn − a| − 0| < � (⇔ lim |xn − a| = 0).
�
Teorema 3.27. Se limxn = a e lim yn = b, então:
1. lim(xn ± yn) = a± b.
2. limxnyn = ab.
3.3 Operações com Limites 40
3. lim
xn
yn
=
a
b
se b 6= 0.
Demonstração.
1. Seja � > 0 dado arbitrariamente.
Como limxn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| < �/2.
Como lim yn = b, existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| < �/2.
Seja n0 = max{n1, n2}. Então para n > n0, temos
|xn ± yn − (a± b)| = |xn − a± (yn − b)| ≤ |xn − a|+ |yn − b| < �/2 + �/2 = �.
Logo, lim(xn ± yn) = a± b.
2. Note que
|xnyn−ab| = |xnyn−xnb+xnb−ab| = |xn(yn−b)+(xn−a)b| ≤ |xn||yn−b|+|xn−a||b|.
Seja � > 0 dado arbitrariamente.
Como limxn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| < �/2|b|.
Consequentemente, |xn| < |a|+ �/2|b| = c
Como lim yn = b, existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| < �/2c.
Seja n0 = max{n1, n2}. Então para n > n0, temos
|xnyn − ab| ≤ |xn||yn − b|+ |xn − a||b| < c ·
�
2c
+
�
2|b|
· |b| = �.
Portanto, limxnyn = ab.
3. Vale xn/yn − a/b = (xnb − yna)/ynb. Como lim(xnb − yna) = ab − ab = 0, basta
provar que 1/ynb é uma sequencia limitada para concluir que lim(xn/yn − a/b) = 0
e portanto que limxn/yn = a/b. Como lim ynb = b2 > b2/2 = c > 0, segue-se do
Teorema 3.19 que, para todo n suficientemente grande, tem-se ynb > c e, portanto,
0 < 1/ynb < 1/c, completando a demonstração.
�
Exemplo 3.28. Se xn > 0 para todo n ∈ N e lim(xn+1/xn) = a < 1, então limxn = 0.
Com efeito, tomemos c ∈ R com a < c < 1. Então 0 < xn+1/xn < c para todo n
suficientemente grande. Segue-se que 0 < xn+1 = (xn+1/xn)xn < c · xn < xn; logo, para n
suficientemente grande, a sequência (xn) é monótona e limitada, daí possui limite (pelo
Teorema 3.14). Seja b = limxn. De xn+1 < c · xn para todo n suficientemente grande
3.3 Operações com Limites 41
resulta, fazendo n→∞, que b ≤ c · b, isto é, (1− c) · b ≤ 0. Como 0 < c < 1, segue que
b ≤ 0. Por outro lado, de xn > 0 segue-se b ≥ 0. Portanto, concluímos que b = 0.
Exemplo 3.29. Como aplicação do exemplo anterior, vê-se que, se a > 1 e k ∈ N são
constantes, então
lim
n→∞
nk
an
= lim
n→∞
an
n!
= lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Exemplo 3.30. Dado a > 0, mostremos que a sequência dada por xn = n
√
a = a1/n tem
limite igual a 1. De fato, trata-se de uma sequência monótona (decrescente se a > 1,
crescente se a < 1), limitada; portanto, existe L = limn→∞ a1/n. Tem-se L > 0. Com
efeito, se 0 < a < 1 então a1/n > a para todo n ∈ N, donde L ≥ a. Se, porém,
a > 1, então a1/n > 1 para todo n ∈ N, donde L ≥ 1. Consideremos a sequência
(a1/n(n+1)) = (a1/2, a1/6, a1/12, . . .). Como 1/n(n+ 1) = 1/n− 1/(n+ 1), o Teorema 3.8 e
o item (3) do Teorema 3.27 nos dão
L = lim a1/n(n+1) = lim
a1/n
a1/(n+1)
=
L
L
= 1
Exemplo 3.31. Seja 0 < a < 1. A sequência cujo termo geral é xn = 1 + a + a2 +
. . . + an = (1 − an+1)/(1 − a) é crescente, limitada, pois xn < 1/(1 − a) para todo
n ∈ N. Além disso, limn→∞(1/(1 − a) − xn) = limn→∞ an/(1 − a) = 0, portanto,
limn→∞ xn = limn→∞(1 + a+ . . .+ a
n) = 1/(1− a).
A igualdade acima vale ainda quando se tem −1 < a < 1, isto é, |a| < 1. Com efeito,
o argumento se baseou no fato de que limn→∞ an = 0, que persiste quando se tem apenas
|a| < 1, pois lim |a|n = 0⇔ lim an = 0.
Exemplo 3.32. A sequência cujo termo geral é
an = 1 + 1 +
1
2!
+ . . .+
1
n!
é evidentemente crescente. Ela também é limitada, pois
2 ≤ an = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
≤ 1 + 1 + 1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2n−1
< 3.
3.3 Operações com Limites 42
Escrevemos e = lim an. O número e é uma das constantes mais importantes da Análise
Matemática. Como vimos, tem-se 2 < e ≤ 3. Na realidade, vale e = 2, 7182, com quatro
decimais exatas.
Exemplo 3.33. Consideremos a sequência cujo termo geral é
bn =
(
1 +
1
n
)n
=
(
n+ 1
n
)n
.
Pela fórmula do Binômio:
bn =
(
n
0
)
· 1n +
(
n
1
)
· 1n−1 · 1
n1
+
(
n
2
)
· 1n−2 · 1
n2
+ . . .+
(
n
n
)
· 10 · 1
nn
= 1 + n · 1
n
+
n(n− 1)
2!
· 1
n2
+ . . .+
n(n− 1)(n− 2) . . . 1
n!
· 1
nn
= 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n
) +
1
3!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) + . . .+
1
n!
(1− 1
n
) · · · (1− n− 1
n
).
Logo, bn é uma soma de parcelas positivas. O número dessas parcelas, bem como cada
uma delas, cresce com n. Portanto a sequência (bn) é crescente. É claro que bn < an do
Exemplo 3.32 anterior. Segue-se que bn < 3 para todo n ∈ N.
Afirmamos que lim bn = lim an = e.
Com efeito, quando n > p vale
bn = 1 + 1 + . . .+
1
p!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− p− 1
n
) + . . .+
1
n!
(1− 1
n
) · · · (1− n− 1
n
)
> 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n
) + . . .+
1
p!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− p− 1
n
).
Fixando arbitrariamente p ∈ N e fazendo n→∞ na desigualdade acima obtemos
lim bn ≥ 1 + 1 +
1
2!
+ . . .+
1
p!
= ap.
Como esta desigualdade vale para todo p ∈ N, segue-se que limn→∞ bn ≥ limp→∞ ap = e.
Mas já vimos que bn < an para todo n ∈ N. Logo limbn ≤ lim an (Cf. Corolário 3.21).
Isto completa a prova de que lim bn = e.
Exemplo 3.34. Consideremos a sequência cujo n-ésimo termo é xn = n
√
n = n1/n. Temos
xn ≥ 1 para todo n ∈ N. Esta sequência é decrescente a partir do seu terceiro termo. Com
efeito, a desigualdade n
√
n > n+1
√
n+ 1 é equivalente a nn+1 > (n+ 1)n, que dividindo por
nn, se torna equivalente a n > (1 + 1/n)n, o que é verdade para n ≥ 3 pois, como vimos
acima, (1 + 1/n)n < 3 para todo n ∈ N. Portanto, existe L = limn1/n e tem-se L ≥ 1.
3.4 Limites Infinitos 43
Considerando a subsequência (2n)1/2n, temos:
L2 = lim[(2n)1/2n]2 = lim[21/n · n1/n] = lim 21/n · limn1/n = L
(Cf. Exemplo 3.30). Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Portanto, lim n
√
n = 1.
3.4 Limites Infinitos
Definição 3.35. Dada uma sequência (xn), diz-se que “o limite de (xn) é mais infinito”
e escreve-se limxn = +∞, para significar que, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N
tal que n > n0 implica xn > A.
Analogamente, limxn = −∞ significa que, para todo A > 0 dado, pode-se achar
n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn < −A.
Observação 3.36. (i) Deve-se observar que +∞ e −∞ não são números e que, se
limxn = +∞ e lim yn = −∞, as sequências (xn) e (yn) não são convergentes.
(ii) Com limxn = +∞ ⇔ lim(−xn) = −∞, limitaremos nossos comentários ao
primeiro caso.
(iii) Se limxn = +∞ então a sequência (xn) não é limitada superiormente. A recíproca
é falsa. Por exemplo, a sequência xn = n + (−1)nn é ilimitada superiormente, porém,
não se tem limxn = +∞, pois x2n−1 = 0 para todo n ∈ N. Mas se (xn) é não-decrescente
então xn ilimitada implica limxn = +∞.
No Exemplo 3.3, ao mostrar que as potências a, a2, a3, . . . de um número a > 1 formam
uma sequência ilimitada superiormente, provou-se, na realidade, que lim an = +∞.
Teorema 3.37. Sejam (xn) e (yn) duas sequências.
1. Se limxn = +∞ e (yn) é limitada inferiormente, então lim(xn + yn) = +∞.
2. Se limxn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c ∀n ∈ N, então lim(xn · yn) = +∞.
3. Se xn > c > 0, yn > 0 ∀n ∈ N e lim yn = 0, então lim
xn
yn
= +∞.
4. Se (xn) é limitada e lim yn = +∞, então lim
xn
yn
= 0.
Demonstração. 1. Como (yn) é limitada inferiormente, existe c ∈ R tal que yn ≥
c ∀n ∈ N. Como limxn = +∞, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 ⇒ xn > A − c. Segue-se que n >