Limites e Continuidade

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Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Per. Letivo: 2015.2 
Comp. Curricular: Cálculo Diferencial e Integral I C.H: 83.33H/83HA 
Professor: José Doval Nunes Martins 
 
Aluno(a):_____________________________________________________________________________ 
 
 
Limites: 
 
01. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
(a) lim𝑥→3− 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→3 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→3+ 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) (f) lim𝑥→4 𝑓(𝑥) 
 
 
02. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
(a) lim𝑥→−2+ 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→−2 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→−2− 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
2 
 
03. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
(a) lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→0 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) (f) lim𝑥→2 𝑓(𝑥) 
 
 
04. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
(a) lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→1 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
05. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
3 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
(a) lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→1 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) 
 
06. Descrever graficamente e analiticamente uma função y = f(x) tal que lim𝑥→3 𝑓(𝑥) não existe e 
lim𝑥→6 𝑓(𝑥) existe. 
 
07. Definir uma função y = g(x) tal que lim𝑥→2 𝑔(𝑥) = 4, mas g(x) não é definida em x = 2. 
 
08. Definir e fazer o gráfico de uma função y = h(x) tal que lim𝑥→0+ ℎ(𝑥) = 1 e lim𝑥→0− ℎ(𝑥) = 2. 
 
09. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x – 5 em x = 3 e que é igual a 7. 
 
 Calcular os limites nos exercícios de 10 a 24 usando as propriedades de limites. 
10. lim𝑥→0(3 − 7𝑥 − 5𝑥
2) 18. lim𝑡→2 (
𝑡2−5𝑡+6
𝑡−2
) 
11. lim𝑥→3(3𝑥
2 − 7𝑥 + 2) 19. lim𝑠→1/2 (
𝑠+4
2𝑠
) 
12. lim𝑥→−1(−𝑥
5 + 6𝑥4 + 2) 20. lim𝑥→√2 (
2𝑥2−𝑥
3𝑥
) 
13. lim𝑥→1/2(2𝑥 + 7) 21. lim𝑥→2 (
𝑥√𝑥 − √2
3𝑥 − 4
) 
14. lim𝑥→0[(𝑥 + 4)
3 ∙ (𝑥 + 2)−1] 22. lim𝑥→𝜋/2(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥) 
15. lim𝑥→0[(𝑥 − 2)
10 ∙ (𝑥 + 2)] 23. lim𝑥→4(𝑒
𝑥 + 4𝑥) 
16. lim𝑥→2 (
𝑥+4
3𝑥−1
) 24. lim𝑥→−1/3(2𝑥 + 3)
1/4 
17. lim𝑡→2 (
𝑡+3
𝑡+2
) 
Limites laterais: 
4 
 
 
01. Seja 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 3
3𝑥 − 7, 𝑥 > 3
. Calcule: 
(a) lim𝑥→3− 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→3 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→5+ 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→3+ 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→5− 𝑓(𝑥) (f) lim𝑥→5 𝑓(𝑥). 
 
Esboçar o gráfico de f(x). 
 
 
02. Seja ℎ(𝑥) = {
𝑥2 − 2𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 3
7 , 𝑥 = 3
. Calcule lim𝑥→3 ℎ(𝑥) e esboce o gráfico de h(x). 
 
 
03. Seja 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4|. Calcule os limites indicados se existirem: 
(a) lim𝑥→4+ 𝑓(𝑥) (b) lim𝑥→4− 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→4 𝑓(𝑥) 
 
Esboce o gráfico de f(x). 
 
 
04. Seja 𝑓(𝑥) = 2 + |5𝑥 − 1|. Calcule se existir: 
(a) lim𝑥→1/5− 𝑓(𝑥) (b) lim𝑥→1/5+ 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→1/5 𝑓(𝑥) 
 
 
05. Seja 𝑓(𝑥) = {
|𝑥−3|
𝑥−3
, 𝑥 ≠ 3
0, 𝑥 = 3
. 
(a) Esboce o gráfico de g(x). 
(b) Achar, se existirem lim𝑥→3− 𝑓(𝑥), lim𝑥→3+ 𝑓(𝑥) e lim𝑥→3 𝑓(𝑥) . 
 
 
06. Seja ℎ(𝑥) = {
𝑥
|𝑥|
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
. Mostrar que h(x) não tem limite no ponto 0. 
 
 
 
 
5 
 
07. Seja 𝑓(𝑥) = 
{
 
 
 
 
1
𝑥
, 𝑥 < 0
𝑥2, 0 ≤ 𝑥 < 1
2, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
2 − 𝑥, 𝑥 > 1
. Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem: 
(a) lim𝑥→−1 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) (g) lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→1 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→0 𝑓(𝑥) (h) lim𝑥→2 𝑓(𝑥) 
(c) lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) (f) lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) 
 
 
08. Seja 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 25)/(𝑥 − 5). Calcule os limites indicados se existirem: 
(a) lim𝑥→0 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→5− 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→−5 𝑓(𝑥) 
(b) lim𝑥→5+ 𝑓(𝑥) (d) lim𝑥→5 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Cálculo de limites: 
 
01. Para cada uma das seguintes funções ache lim𝑥→2
𝑓(𝑥)− 𝑓(2)
𝑥−2
. 
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 (c) 𝑓(𝑥) = 2/3𝑥2 (e) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥+1
, 𝑥 ≠ −1 
(b) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
, 𝑥 ≠ 0 (d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 (f) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
 
 
 Nos exercícios de 02 a 25 calcule os limites. 
02. lim𝑥→−1
𝑥3+1
𝑥2−1
 14. lim𝑡→0
√25+3𝑡− 5
𝑡
 
03. lim𝑡→−2
𝑡3+ 4𝑡2+ 4𝑡
(𝑡+2)(𝑡−3)
 15. lim𝑡→0
√𝑎2+ 𝑏𝑡− 𝑎
𝑡
, 𝑎 > 0 
04. lim𝑥→2
𝑥2+3𝑥−10
3𝑥2− 5𝑥 −2
 16. limℎ→1
√ℎ− 1
ℎ−1
 
05. lim𝑡→5/2
2𝑡2−3𝑡−5
2𝑡−5
 17. limℎ→−4
√2(ℎ2− 8)+ ℎ
ℎ+4
 
06. lim𝑥→𝑎
𝑥2+ (1−𝑎)𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
 18. limℎ→0
√8+ℎ
3
− 2
ℎ
 
07. lim𝑥→4
3𝑥2− 17𝑥+20
4𝑥2− 25𝑥+36
 19. lim𝑥→0
√1+𝑥− 1
−𝑥
 
08. lim𝑥→−1
𝑥2+ 6𝑥+5
𝑥2− 3𝑥−4
 20. lim𝑡→0
√𝑡2+ 𝑎2− 𝑎
√𝑡2+ 𝑏2−𝑏
, 𝑎, 𝑏 > 0 
09. lim𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥2+ 3𝑥+2
 21. lim𝑥→𝑎
√𝑥
3
− √𝑎
3
𝑥−𝑎
 
10. lim𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
 22. lim𝑥→1
√𝑥
3
− 1
√𝑥
4
− 1
 
11. lim𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2−12𝑥+20
 23. lim𝑥→1
√𝑥2
3
− 2 √𝑥
3
+ 1
(𝑥−1)2
 
12. limℎ→0
(2+ℎ)4−16
ℎ
 24. lim𝑥→4
3− √5+𝑥
1− √5−𝑥
 
13. lim𝑡→0
(4+𝑡)2−16
𝑡
 25. lim𝑥→0
√1+𝑥 − √1−𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Limites no infinito e limites infinitos 
 
01. Se 𝑓(𝑥) = 
3𝑥+ |𝑥|
7𝑥−5|𝑥|
, calcule: 
(a) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) (b) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) 
 
 
02. Se 𝑓(𝑥) = 
1
(𝑥+2)2
, calcule: 
(a) lim𝑥→−2 𝑓(𝑥) (b) lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 
 
 
Nos exercícios de 03 a 40 calcule os limites: 
(3) lim𝑥→+∞(3𝑥
3 + 4𝑥2 − 1) (4) lim𝑥→−∞ (2 − 
1
𝑥
+ 
4
𝑥2
) 
(5) lim𝑥→−∞
𝑥+1
𝑥2+1
 (6) lim𝑥→−∞
𝑥+1
𝑥2+1
 
(7) lim𝑥→+∞
𝑥2−2𝑥+ 3
2𝑥2+5𝑥−3
 (8) lim𝑥→+∞
2𝑥5−3𝑥3+2
−𝑥2+7
 
(9) lim𝑥→−∞
3𝑥5− 𝑥2+7
2− 𝑥2
 (10) lim𝑥→−∞
−5𝑥3+2
7𝑥3+3
 
(11) lim𝑥→+∞
𝑥2+3𝑥+1
𝑥
 (12) lim𝑥→+∞
𝑥√𝑥+3𝑥−10
𝑥3
 
(13) lim𝑥→+∞
𝑥2−1
𝑥−4
 (14) lim𝑥→+∞
𝑥(2𝑥−7𝑐𝑜𝑠𝑥)
3𝑥2 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥+1
 
(15 lim𝑥→+∞
𝑥√𝑥−1
3𝑥−1
 (16) lim𝑥→+∞
√𝑥2+1
𝑥+1
 
(17) lim𝑥→−∞
√𝑥2+1
𝑥+1
 (18) lim𝑥→+∞(√𝑥2 + 1 − √𝑥2 − 1) 
(19) lim𝑥→+∞ 𝑥(√𝑥2 − 1 − 𝑥) (20) lim𝑥→+∞(√3𝑥2 + 2𝑥 + 1 − √2𝑥) 
(21) lim𝑥→+∞
10𝑥2−3𝑥+4
3𝑥2−1
 (22) lim𝑥→−∞
𝑥3−2𝑥+1
𝑥2−1
 
(23) lim𝑥→−∞
5𝑥3− 𝑥2+ 𝑥−1
𝑥4+ 𝑥3−𝑥+1
 (24) lim𝑥→+∞
8−𝑥
√𝑥2+7
 
(25) lim𝑥→−∞
√2𝑥2−7
𝑥+3
 (26) lim𝑥→+∞(√16𝑥4 + 15𝑥3 − 2𝑥 + 1 − 2𝑥) 
(27) lim𝑥→+∞ √
3𝑥7−4𝑥5
2𝑥7+1
3
 (28) lim𝑥→+∞
√2𝑥2−7
𝑥+3
 
(29) lim𝑥→+∞
3−𝑥
√5+4𝑥2
 (30) lim𝑥→−∞
3−𝑥
√5+4𝑥2
 
8 
 
(31) lim𝑥→3+
𝑥
𝑥−3
 (32) lim𝑥→3− 
𝑥
𝑥−3
 
(33) lim𝑥→2+
𝑥
𝑥2−4
 (34) lim𝑥→2−
𝑥
𝑥2−4
 
(35) lim𝑥→6+
𝑥+2
𝑥2−36
 (36) lim𝑥→6−
𝑥+2
𝑥2−36
 
(37) lim𝑥→4+
3−𝑥
𝑥2−2𝑥−8
 (38) lim𝑥→4−
3−𝑥
𝑥2−2𝑥−8
 
(39) lim𝑥→3−
1
|𝑥−3|
 (40) lim𝑥→3+
1
|𝑥−3|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Assíntotas e Limites fundamentais 
 
(1) Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) = 
4
𝑥−4
 (b) 𝑓(𝑥) = 
−3
𝑥+2
 
(c) 𝑓(𝑥) = 
4
𝑥2−3𝑥+2
 (d) 𝑓(𝑥) = 
−1
(𝑥−3)(𝑥+4)
 
(e) 𝑓(𝑥) = 
1
√𝑥+4
 (f) 𝑓(𝑥) = − 
2
√𝑥−3
 
(g) 𝑓(𝑥) = 
2𝑥2
√𝑥2−16
 (h) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
√𝑥2+𝑥−12
 
(i) 𝑓(𝑥) = 𝑒
1
𝑥 (j) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 1 
(k) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 (l) f(x) = tgx 
 
 Nos exercícios 2 a 26, calcule os limites aplicando os limites fundamentais. 
 
(2) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛9𝑥
𝑥
 (3) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛4𝑥
3𝑥
 
(4) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛10𝑥
𝑠𝑒𝑛7𝑥
 (5) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥
, 𝑏 ≠ 0 
(6) lim𝑥→0
𝑡𝑔𝑎𝑥
𝑥
 (7) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛3
𝑥
2
𝑥3
 
(8) lim𝑥→−1
𝑡𝑔3
𝑥+1
4
(𝑥+1)3
 (9) lim𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
 
(10) lim𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
 (11) lim𝑥→3(𝑥 − 3). 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜋𝑥) 
(12) lim𝑥→0
6𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑥+3.𝑠𝑒𝑛4𝑥(13) lim𝑥→0
𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑥2
 
(14) lim𝑥→0
1−2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥2
 (15) lim𝑛→+∞ (1 + 
1
𝑛
)
𝑛+5
 
(16) lim𝑥→+∞ (1 + 
2
𝑥
)
𝑥
 (17) lim𝑥→+∞ (
𝑥
1+𝑥
)
𝑥
 
(18) lim𝑛→+∞ (
2𝑛+3
2𝑛+1
)
𝑛+1
 (19) lim𝑥→𝜋
2
(1 + 
1
𝑡𝑔𝑥
)
𝑡𝑔𝑥
 
(20) lim
𝑥→
3𝜋
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 (21) lim𝑥→+∞ (1 + 
10
𝑥
)
𝑥
 
(22) lim𝑥→2
(10𝑥−2−1)
𝑥−2
 (23) lim𝑥→−3
4
𝑥+3
5 −1
𝑥+3
 
(24) lim𝑥→2
5𝑥−25
𝑥−2
 (25) lim𝑥→1
3
𝑥−1
4 −1
𝑠𝑒𝑛[5(𝑥−1)]
 
 
10 
 
Continuidade: 
 
(1) Investigue a continuidade nos pontos indicados: 
(a) 𝑓(𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
, em x = 0. (f) 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
1 − |𝑥|, 𝑥 > 1
1, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
, em x = 1. 
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − |𝑥|, em x = 0. (g) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−4
𝑥−2
, 𝑥 ≠ 2
0, 𝑥 = 2
, em x = 2. 
(c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥3−8
𝑥2−4
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
3, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
, em x = 2. (h) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≥ −1
1 − |𝑥|, 𝑥 < −1
, em x = - 1. 
(d) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
, em x = 2. (i) 𝑓(𝑥) = 
𝑥2−3𝑥+7
𝑥2+1
, em x = 2. 
(e) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2. 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
, em x = 0. (j) 𝑓(𝑥) = 
2
3𝑥2+ 𝑥3−𝑥−3
, em x = - 3 
 
(2) Determine, se existirem, os valores de 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), nos quais a função f(x) não é continua. 
(a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥
𝑥2−1
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ −1
0, 𝑠𝑒 𝑥 = −1
 (e) 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 ≥ 0
 
(b) 𝑓(𝑥) = 
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
3+𝑠𝑒𝑛𝑥
 (f) 𝑓(𝑥) = 
2
𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
 
(c) 𝑓(𝑥) = 
𝑥 − |𝑥|
𝑥
 (g) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−3𝑥+4
𝑥−1
1, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 
(d) 𝑓(𝑥) = {√𝑥
2 + 5𝑥 + 6, 𝑥 < −3 𝑒 𝑥 > −2
−1,−3 ≤ 𝑥 ≤ −2
 (h) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
𝑥+ 𝜋
) 
 
(3) Faço o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
 (b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−4
𝑥+2
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ −2
1, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
 
(c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥
|𝑥|
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
−1, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 (d) 𝑓(𝑥) = {
ln(𝑥 + 1) , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
(e) 𝑓(𝑥) = 
𝑥3+3𝑥2−𝑥−3
𝑥2+4𝑥+3
 
 
11 
 
(4) Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas. 
(a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
3, 𝑠𝑒 𝑥 = 3
 (b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2𝑝, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
𝑝2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1
 
(c) 𝑓(𝑥) = {
𝑒2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
𝑝3, 𝑠𝑒 𝑥 = 0