Lista 02- Exercicios Selecionados - - Resolução - Capitalização Composta

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PUC Minas 
Matemática Financeira - EAD 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA - EAD 
2ª Lista de Exercícios Selecionados 
Capitalização Composta 
RESOLUÇÃO 
INSTRUÇÕES 
- Sempre desenhe o fluxo financeiro do problema. Isso facilita a compreensão do mesmo; 
- Para esta lista, caso você disponha de uma calculadora financeira HP-12C ou Casio FC 200V, procure utilizar as 
funções financeiras da calculadora. Na resolução de alguns exercícios, será apresentada a maneira de resolver 
utilizando essas funções; 
- Independente da ferramenta utilizada (Excel, calculadora etc), monte o problema por meio das fórmulas e equações 
pertinentes. Poderão ser solicitadas nas avaliações. Se possível, resolva os problemas também no Excel. Será útil a 
você no futuro. 
- Os exercícios apresentados NÃO SÃO modelos para as avaliações. O objetivo da lista é apenas condensar linhas 
básicas de raciocínio e visões diferentes sobre um mesmo tema, de maneira a permitir aluno estabelecer associações 
necessárias para resolver novos problemas. A utilização da bibliografia recomendada e os exercícios constantes da 
mesma é necessária para um melhor aprendizado. 
CONVENÇÕES 
a.d a.sn a.qz a.m a.b a.t a.q a.s a.a a.bn a.qq 
ao dia à semana a quinzena ao mês ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano ao biênio ao quinquênio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A maior dificuldade que, eventualmente, os problemas de Mat. Financeira apresentam não é 
necessariamente a parte de cálculo ou formulação, visto que as calculadoras financeiras são de 
grande auxílio. A maior dificuldade 
 
Nesta lista, apresentaremos também os passos necessários para se chegar à solução, por meio 
das funções financeiras da HP-12C e da Casio FC 200V. Não “decore” os passos, pois se o problema 
for alterado, os passos também se alteram. As funções financeiras são apenas atalhos e auxílios para 
a execução das operações numéricas necessárias. Elas não substituem a análise e a compreensão do 
problema, bem como a formulação do mesmo. 
 
Nota 
 Não se preocupe com arredondamentos agora. Na Unidade 03 estabeleceremos uma regra de 
arredondamento. 
 No momento, faça as operações com 4 ou 5 casas decimais e, na resposta, mantenha apenas 2 
casas decimais. 
 
 
ATENÇÃO 
Nas operações financeiras, costuma-se utilizar o denominado ano comercial, em lugar do ano civil. 
Observe que, no ano comercial: 
 - o ano tem exatamente 360 dias ( e não existe ano bissexto); 
 - o ano tem 48 semanas; 
 - todos os meses tem 30 dias; 
 - todos os meses tem apenas 2 quinzenas de 15 dias. 
Dessa forma, quando for necessário converter a taxa ou o período, você deve utilizar o Ano Comercial. 
REGRA DE OURO em Matemática Financeira: 
SÓ SE PODE SOMAR E SUBTRAIR VALORES QUE ESTEJAM NA 
MESMA DATA E SUJEITOS À MESMA TAXA DE JUROS !!! 
 
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2,0 % am 
 
 
1. Se você aplicar $ 1.000,00 em um fundo que rende 2,0 % a.m., por 24 meses, quanto poderá sacar 
ao final do período? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, o que se deseja é o Montante, neste caso também denominado de Valor Futuro ou valor de resgate. 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Assim, temos: M = $ 1.000 * ( 1 + 0,02) 24 = $ 1.000 * 1,608437 = $ 1.608,44 
 
Resposta: $ 1.608,44 
 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
1000 [PV] Mova o cursor até “n” 
24 [n] 24 [EXE] 
2 [i] 2 [EXE] 
[FV] 1000 [ EXE] 
 Mova o cursor até FV e tecle [SOLVE] 
 
 
 
$ 1.000 ????? 
 0 24 meses 
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1,08 % aa 
 
2. Se você aplicar $5.000,00 em um CDB que paga juros de 1,08 % aa, pelo período de 3 anos, quanto 
resgatará no final do período de 3 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, o que se deseja é o Montante, neste caso também denominado de Valor Futuro ou Valor de Resgate. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Assim, temos: M = $ 5.000 * ( 1 + 0,0108) 3 = $ 5.000 * 1,032751 = $ 5.163,75 
 
Resposta: $ 1.608,44 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
3 [ n ] Mova o cursor até “n” 
1.08 [ i ] 3 [EXE] 
5000 [PV] 1.08 [EXE] 
[FV] 5000 [ EXE] 
 Mova o cursor até FV e tecle [SOLVE] 
 
 
 
 
$ 5.000 ????? 
 0 3 anos 
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5 % am 
7 % am 
 
 
3. Se uma pessoa aplicasse $ 500,00 em março em um fundo que rendesse 5% a.m. e aplicasse $700,00 
em outro fundo que rendesse 7% a.m., de quanto disporia em dezembro? 
 
Esta questão introduz o conceito de independência de fluxos financeiros. 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
Observe que tanto a aplicação de $ 5.000,00 quanto a aplicação de $ 7.000,00 são realizadas em março e serão 
resgatadas em dezembro. Contudo, como estão sujeitas a taxas de juros diferentes, temos que trabalhar com dois 
fluxos financeiros independentes. 
 
FLUXO A 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, o que se deseja é o Montante, neste caso também denominado de Valor Futuro ou Valor de Resgate. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Assim, temos: M = $ 500 * ( 1 + 0,05)9 = $ 500 * 1,551328 = $ 775,66 
 
Resposta do Fluxo A: $ 775,66 
 
 
FLUXO B 
 
 
 
 
 
 
 
$ 500,00 ????? 
Março Dezembro 
 
 
$ 700,00 ????? 
Março Dezembro 
REGRA DE OURO em matemática financeira: 
SÓ SE PODE SOMAR E SUBTRAIR VALORES QUE ESTEJAM NA 
MESMA DATA E SUJEITOS À MESMA TAXA DE JUROS !!! 
 
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Pelo enunciado, o que se deseja é também o Montante, neste caso também denominado de Valor Futuro ou Valor de 
Resgate. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C (1+ i) n 
Assim, temos: M = $ 700 * (1 + 0,07) 9 = $ 700 * 1,838459 = $ 1.286,92 
Resposta do Fluxo B: $ 1.286,92 
 
Assim, se você aplicar $ 500,00 em um fundo que rende 5% a.m. e $ 700,00 em outro fundo que rende 7% a.m., ambas 
as aplicações por 9 meses, terá, ao final do período: 
 
RESPOSTA 
Montante Total = Montante do Fluxo A + Montante do Fluxo B 
Montante Total = $ 775,66 + $ 1.286,92 = $ 2.062,58 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
9 [ n ] Mova o cursor até “n” 
5 [ i ] 9 [EXE] 
500 [PV] 5 [EXE] 
[FV] 500 [EXE] 
[ENTER]Mova o cursor até FV e depois tecle [SOLVE] 
7 [ i ] Anote o valor ou salve na memória 
500 [PV] Mova o cursor até “i” 
[FV] 7 [EXE] 
[+] 700 [EXE] 
 Mova o cursor até FV e depois tecle [SOLVE] 
 Some o valor obtido anteriormente com o constante 
em FV 
 
 
 
 
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2,0 % am 
 
4. Uma pessoa resgatou $ 2.000,00 de um fundo que pagava juros de 2,0 % am. Sabendo que o 
dinheiro ficou aplicado por 15 meses, qual foi o capital aplicado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, o que se deseja é o Capital aplicado, neste caso também denominado de Valor Presente ou Principal. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital, a formulação deve ser alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a 
formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
 
 $ 2000 $ 2000 
Assim, temos: C = ------------------- = ------------------------ = $ 1.486,03 
 ( 1 + 0,02) 15 1,345868 
 
Resposta: $ 1.486,03 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
15 [ n ] Mova o cursor até “n” 
2 [ i ] 15 [EXE] 
2000 [FV] 2 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até FV 
 2000 [EXE] 
 Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
 
 
??????? $ 2.000 
 0 15 meses 
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1,5 % am 
5. De uma aplicação de 6 meses, foi resgatado $ 4.461,89. Se o fundo pagava juros de 1,5 % a.m., qual 
foi o capital investido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, o que se deseja é o Capital aplicado, neste caso também denominado de Valor Presente ou Principal. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital, a formulação deve ser alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a 
formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
 
 $ 4.461,89 $ 4.461,89 
Assim, temos: C = ------------------- = ------------------------ = $ 4.080,59 
 ( 1 + 0,015) 6 1,0934432 
 
Resposta: $ 4.080,58 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
6 [ n ] Mova o cursor até “n” 
1.5 [ i ] 6 [EXE] 
4461.89 [FV] 1.5 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até FV 
 4461.89 [EXE] 
 Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
 
 
??????? $4.461,89 
 0 6 meses 
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9,0 % aa 
6. Adasnevaldo deixou de pagar a fatura de seu cartão de crédito, no valor total de $ 1.800,00. 
Sabendo que a administradora do cartão cobra juros de 9,0 % a.m. e a fatura já apresenta um 
atraso de 11 meses, quanto Adasnevaldo estaria devendo na data de hoje? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, como Adasnevaldo já não paga a fatura do cartão há 11 meses, o valor devido deve estar no passado. 
Assim o que se deseja é o Montante, neste caso também denominado de Valor Futuro ou Valor de Resgate. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Assim, temos: M = $ 1.800 * ( 1 + 0,09) 11 = $ 1.800,00 * 2,580426 = $ 4.644,77 
 
Resposta: $ 4.644,77 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
11 [ n ] Mova o cursor até “n” 
9 [ i ] 6 [EXE] 
1800 [PV] 1.5 [EXE] 
[FV] 1800 [EXE] 
 Mova o cursor até FV e depois tecle [SOLVE] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
$ 1.800 ????? 
 0 11 meses 
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14 % a.a. 
 
7. Uma empresa deseja liquidar uma dívida, fundada em 3 notas promissórias, com vencimentos a 5, 
10 e 15 anos, nos seguintes valores: $8.000,00, $9.000,00 e $6.000,00. Sabendo que a taxa de 
desconto do mercado financeiro está em 14% a.a., calcular o valor da dívida, para liquidação 
imediata. 
 
 
Pelo enunciado, o esquema gráfico da questão seria o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa que nada soubesse de matemática financeira diria que o valor da dívida, para liquidação imediata seria 
de $ 23.000,00 ($ 8.000 + $ 9.000 + $ 6.000). 
 
Essa pessoa talvez estivesse certa, se não existissem juros de 14 % a.a. Contudo, como existem juros, temos retirá-los, 
ao “trazer” para a data zero (HOJE !!!). Como cada Nota Promissória esta em uma data diferente, isto significa que 
cada uma tem uma quantidade diferente de juros. Dessa forma, não podemos soma-las e “trazer” para a data zero. 
Temos que “trazer” cada uma das Notas Promissórias para a data zero E DEPOIS, soma-las. 
 
Então, o que se deseja calcular é o valor das notas promissórias, sem os juros que estão “embutidos” em cada uma 
das parcelas. Ou seja, deseja-se calcular o Valor Presente (ou capital) das notas promissórias. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital (também chamado de Valor Presente ou Valor Atual) , a formulação deve ser 
alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
Para o valor de $ 8.000,00, temos 
 
 $ 8.000 $ 8.000 
 C = ------------------- = ------------------------ = $ 4.154,94 
 ( 1 + 0,14) 5 1,92541458 
??????? $8.000,00 $9.000,00 $ 6.000,00 
 0 5 anos 10 anos 15 anos 
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Para o valor de $ 9.000,00, temos 
 
 $ 9.000 $ 9.000 
 C = ------------------- = ------------------------ = $ 2.427,69 
 ( 1 + 0,14) 10 3,707221314 
 
Para o valor de $ 6.000,00, temos 
 
 $ 6.000 $ 6.000 
 C = ------------------- = ------------------------ = $ 840,58 
 ( 1 + 0,14) 15 7,13793798 
 
 
 
Resposta: $ 4.154,94 + $ 2.427,69 + 840,58 = $ 7.423,21 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, ospassos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] Mova o cursor até “n” 
5 [ n ] 5 [EXE] 
14 [ i ] 14 [EXE] 
8000 [FV] Mova o cursor até FV e digite 8000 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
[ENTER] Anote o resultado ou salve em uma memória 
10 [ n ] Mova o cursor até “i” e digite 10 [EXE] 
9000 [FV] Mova o cursor até FV e digite 9000 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
[ENTER] Anote o resultado ou salve em uma memória 
15 [ n ] Mova o cursor até “i” e digite 10 [EXE] 
6000 [FV] Mova o cursor até FV e digite 6000 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
[+] Anote o resultado e some com os resultados anteriores 
[+] 
 
 
 
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18 % as 
 
8. Um investidor necessita dispor de $ 10.000, daqui a 6 meses e de $ 20.000, daqui a 12 meses. 
Quanto deverá aplicar em Títulos da Dívida Agrária, que vencem naquelas datas, cuja taxa de juros 
encontra-se atualmente em 18% a.s.? 
 
 
 
Leia a questão e analise o desenho abaixo relativo à mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa que nada soubesse de matemática financeira diria que, se o investidor precisará de $ 10.000 daqui a 6 
meses e de $ 20.000,00 daqui a 12 meses, ele deveria aplicar $ 30.000,00 ($ 10.000 + $ 30.000) na data zero (ou seja, 
HOJE !!!) 
 
Essa pessoa talvez até estivesse certa, se não existissem juros de 18% a.s. Contudo, como existem juros, temos retirá-
los, ao “trazer” para a data zero (HOJE !!!). 
 
Ao que parece então, o que se deseja calcular é o Capital que se deve aplicar para poder sacar os valores necessários, 
daqui a 6 meses e daqui a 12 meses. 
 
OU SEJA, O VALOR PRESENTE DOS DOIS RESGATES !!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
??????? $10.000,00 $ 20.000,00 
 0 6 meses 12 meses 
LEMBRETE 
A quase totalidade dos problemas de matemática financeira resumem-se apenas a: 
 
Levar valores a Valor Futuro (ou calcular o Montante) 
 OU 
Trazer valores a Valor Presente (ou calcular o Capital). 
 
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Como não podemos somar ou subtrair valores que não estejam na mesma data, precisamos posicionar (“trazer”) os 
dois valores para a data zero. Ou seja, precisamos calcular o valor presente de ambos os valores, na data zero. 
 
O cálculo do valor presente (ou Capital ou Valor Atual) de cada valor deve ser realizado, pois eles estão em datas 
diferentes. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital (também chamado de Valor Presente ou Valor Atual) , a formulação deve ser 
alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
Para o valor de $ 10.000,00, temos 
 
 $ 10.000 $ 10.000 
 C = ------------------- = ------------------------ = $ 8.474,58 
 ( 1 + 0,18) 1 1,18 
 
Observe que, para facilitar os cálculos, em lugar de converter a taxa, optamos por converter o período. Como a taxa 
estava em semestre e o período era de 6 meses, consideramos o período de 1 semestre ( 1 semestre = 6 meses) na 
formulação. 
 
 
Para o valor de $ 20.000, temos 
 
 $ 20.000 $ 20.000 
Assim, temos: C = ------------------- = ------------------------ = $ 14.363,69 
 ( 1 + 0,18) 2 1,3924 
 
Observe que, para facilitar os cálculos, em lugar de converter a taxa, optamos por converter o período. Como a taxa 
estava em semestre e o período era de 12 meses, consideramos o período de 2 semestre2 ( 2 semestres = 12 meses) 
na formulação. 
 
 
Pelo exposto e pelos cálculos realizados, se o investidor aplicar $ 22.838,27 ( $ 8.474,58 + $ 14.363,69) em um fundo 
que rende 18% a.s., ele poderá sacar $ 10.000,00 daqui a 6 meses e $ 20.000,00 daqui a 12 meses. 
 
 
Resposta: $ 22.838,27 
 
 
 
 
 
 
 
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18 % aa 
9. Qual o valor de resgate de uma duplicata valor de face de $ 13.000,00, caso seja resgatada 5 meses 
antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto é de 18% aa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão “valor de face” refere-se ao valor que a duplicata tem, na data de seu vencimento. Em um cheque pré-
datado, o valor de face seria o valor impresso no cheque 
 
Dessa maneira, pelo enunciado, o que se deseja é o Capital aplicado, neste caso também denominado de Valor 
Presente ou Principal. 
 
 
Observe que nesta questão, a taxa está em anos e o período está em meses. Isso é incompatível. 
Precisamos da taxa e do período na mesma unidade temporal. 
 
 
Assim, convertendo a taxa para taxa-mês, temos: 
 
ID = ( 1 + iT)(D/T)-1 , onde iD é a taxa que você DESEJA e iT é a taxa que você TEM. 
 
Devemos determinar os números D e T da fórmula de conversão de taxa 
 
 
Observar que apesar da segunda linha da tabela D&T 
constarem os números 1 e 12, a quantidade de tempo 
em cada coluna, se observada na VERTICAL, é a 
mesma. 
Exemplo: na 1ª linha da 2ª coluna tínhamos 1 ANO. 
Agora, na 2ª linha da 2ª coluna, temos 12 meses. Ou 
seja, a mesma quantidade de tempo. Alteramos a 
penas a unidade de tempo de ANO para MÊS. 
 
 
 Pela Tabela D&T, os números D e T são, respectivamente, 1 e 12. Dessa maneira, a conversão da taxa será: 
 
ID = (1 +0,18)(1/12) – 1 = 1,180,083333 - 1 = 0,013888 = 1,13888 % am 
 
 
Voltando ao cálculo do valor presente, pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
??????? $13.000,00 
 0 5 meses 
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Porém, como o que se deseja é o capital, a formulação deve ser alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a 
formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
 
 $ 13.000 $ 13.000 
Assim, temos: C = ------------------- = ------------------------ = $ 12.133,68 
 ( 1 + 0,013888) 5 1,0713957 
 
Resposta: $ 12.133,68 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Apesar das funções financeiras das calculadoras simplificaram em alguns cálculos, em outros são necessários 
passos adicionais para a utilização dessas funções. A conversão de taxa é um deles. 
 
A Casio FC 200V tem funções e parâmetros que permitem a conversão de taxa dentro das próprias funções 
financeiras. Dessa maneira, podemos informar para ela o período em mês e a taxa em anos. 
 
A HP 12C, por outro lado, não tem a mesma facilidade. Assim, nas HP 12C, devemos converter a taxa ou o 
período à mesma unidade temporal. 
 
Os passos abaixo, já pressupõem que você converteu a taxa, conforme demonstrado acima. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
5 [ n ] Mova o cursor até “n” 
1,13888 [ i ] 5 [EXE] 
13000 [FV] 1,13888 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até FV 
 13000 [EXE] 
 Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
 
Uma alternativa à conversão da taxa é executar a conversão do período. Ou seja, como a taxa está “ao ano”, 
devemos converter o período (que está em meses) para ano. Geralmente, a conversão do período é mais 
simples, do que convertera taxa, pois para a conversão do período utiliza-se uma Regra de Três Simples. 
Observe: 
 
12 meses � 1 Ano 
5 meses � y 
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 1 x 5 
y = ----------------------- = 0,416667 
 12 
 
Resolução alternativa pela HP 12C e pela Casio FC 200V seria: 
 
Pela HP-12C, se convertido o período Pela Casio FC 200V 
 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
[STO] [EEX] ** Mova o cursor até “n” 
0,416667[ n ] 0,416667 [EXE] 
18 [ i ] 18 [EXE] 
13000 [FV] Mova o cursor até FV 
[PV] 13000 [EXE] 
 Mova o cursor até PV e depois tecle [SOLVE] 
 
 
 NOTAS: 
 
(1) A sequência de teclas [STO] [EEX] habilita a HP 12 C a operar com períodos fracionados de tempo. Essa 
sequência de teclas deve ser inserida uma única vez, para habilitar o cálculo. Você saberá que a HP 12 C 
está habilitada se do display da HP 12C, estiver aparecendo a letra “c”. Voce deve deixar a calculadora 
habilitada para operar neste modo; 
 
(2) Se você estiver utilizando a Casio FC 200V para resolver os problemas, observe que ela tem capacidade de 
resolver qualquer problema, sem que você tenha que converter a taxa ou o período. Para tanto você deve 
informar quanto pagamentos por período e o número de “meses” do período. Esta facilidade você encontra 
nos menus [CMPD] , [AMORT] e [CASH FLOW]. 
 
 
 
 
 
 
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73,4 % aa 
10. Uma loja oferece aparelhos de TV com $950,00 de entrada e o saldo em 60 dias, a juros de 
73,4% a.a. Sabendo que o aparelho, a vista, custa $ 1.800,00, qual o valor da 2ª. parcela? 
 
Se a TV custa $ 1.800,00 e será dada uma entrada de $ 950,00, então na data da compra, o saldo será de 1800 – 950 = 
850. 
 
Contudo, como esse saldo (a 2ª parcela, no nosso caso) será pago apenas em 60 dias e a loja cobra de juros de 73,4% 
aa, o valor de $ 850 deve ser acrescido de juros relativos a 60 dias. Dizemos que os $850 serão “levados” 60 dias para 
o futuro. Ou seja, calcular o Montante. Veja o desenho a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente, será necessário converter a taxa ou o período, pois a taxa está “ao ano” e o período em dias. Por ser mais 
simples, converteremos o período de dias para ano. 
 
360 dias � 1 Ano 
 60 dias � y 
 
 1 x 60 
y = ----------------------- = 0,16666667 
 360 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Assim, temos: M = $ 850 * ( 1 + 0,734) 0,16666667 = $ 850,00 * 1,09607814 = $ 931,67 
 
Resposta: $ 931,67. Ou seja, o valor da parcela que vencerá em 60 dias deverá ser de $ 931,67 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f] [X<->Y] 
0,16666667 [ n ] 
73,4 [ i ] 
500 [PV] 
[FV] 
 
$ 850 ????? 
 0 60 dias ou 
2 meses 
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8 % am 
 
11. Uma moto foi adquirida da seguinte forma: entrada de 15% e o saldo em 2 prestações, a 90 
e 105 dias, no valor de $ 1.500,00 e $1.100,00, respectivamente. Qual era o valor da moto, para 
pagamento a vista, sabendo que a operação foi realizada com a uma taxa de juros de 8% a.m.? 
 
 
Leia a questão e analise o desenho abaixo relativo à mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não podemos somar ou subtrair valores que não estejam na mesma data, precisamos posicionar (“levar”) as 
duas parcelas para a data zero. Ou seja, precisamos calcular o valor presente de ambas as parcelas, na data zero. 
 
O cálculo do valor presente ( ou Capital ou Valor Atual) de cada parcela deve ser realizado, parcela a parcela, pois elas 
estão em datas diferentes 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital ( também chamado de Valor Presente ou Valor Atual) , a formulação deve ser 
alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
Para a Parcela A, temos 
 
 $ 1500 $ 1500 
 C = ------------------- = ------------------------ = $ 1.190,74 
 ( 1 + 0,08) 3 1,259712 
 
Observe que, para facilitar os cálculos, como a taxa estava em meses e a Parcela A a 90 dias, consideramos o período 
de 3 meses na formulação. 
 
 
??????? 1.500,00 $1.100,00 
 0 90 dias 105 meses 
Parcela A Parcela B 
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+ 
+ 
Para a Parcela B, temos 
 
 $ 1100 $ 1100 
Assim, temos: C = ------------------- = ------------------------ = $ 840,25 
 ( 1 + 0,08) 3,5 1,309131 
 
Observe que, para facilitar os cálculos, como a taxa estava em meses e a Parcela B a 105 dias, consideramos o período 
de 3,5 meses ( 105 dias / 30 dias) na formulação. 
 
Pelo cálculos realizados até agora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, pelo que fizemos até o momento, parece que, seja lá qual for o valor da moto, o comprador “deu” uma entrada 
de 15% e pagou o saldo de 85% ( � 100% – 15% ) em duas parcelas, que, a valor presente, representam $ 
2.030,99. 
 
Assim, podemos elaborar a seguinte pergunta, cuja resposta será a resposta para o problema: se $ 2.030,99 (o valor 
das 2 parcelas, a VP) representa 85% do valor da moto, qual seria 100% ??? 
 
A resposta pode ser obtida por meio de uma Regra de Três Simples: 
 
$ 2.030,99 � 85% 
 Y � 100% 
 
Dessa forma o valor da moto será: 
 
 $ 2.030,99 x 100% 
Y = ------------------------------- = $ 2.389,40 
 85% 
 
Resposta: O valor da moto, para pagamento a vista, era $ 2.389,40 
 0 90 dias 105 meses 
Parcela A, a Valor 
Presente: 1.190,74 
Parcela B, a Valor 
Presente: $840,25 
Entrada de 15 % 
Valores posicionados na Data Zero: 
15% de entrada + 2.030,99 
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12 % aa 
12. Um apartamento foi financiado em 2 parcelas semestrais de R$20.000,00, com a 1ª 
prestação a 60 dias, e um pagamento adicional de $125.000 juntamente com a última parcela. Qual 
foi o valor financiado, sabendo que o custo efetivo total da operação foi de 12% a.a.? 
 
Pelo enunciado, o esquema gráfico do problema deve ser o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não podemos somar ou subtrair valores que não estejam na mesma data, precisamos posicionar (“levar”) as 
duas parcelas para a data zero, bem como a parcela adicional. Ou seja, precisamos calcular o valor presente de ambas 
as parcelas e a parcela adicional, na data zero. 
 
O cálculo do valor presente (ou Capital ou Valor Atual) de cada parcela deve ser realizado, parcela a parcela, pois elas 
estão em datas diferentes. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital (também chamado de Valor Presente ou Valor Atual) , a formulação deve ser 
alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
 
Observe que, para facilitar os cálculos, como a taxa estava em anos e o período em dias, vamos considerar o período 
em mesese, converter a taxa, nesta questão. Assim, convertendo a taxa-ano para taxa-mês, temos: 
 
ID = (1 + iT)(D/T)-1 , onde iD é a taxa que você DESEJA e iT é a taxa que você TEM. 
 
Devemos determinar os números D e T da fórmula de conversão de taxa 
Observar que apesar da segunda linha da tabela D&T 
constarem os números 1 e 12, a quantidade de tempo 
em cada coluna, se observada na VERTICAL, é a 
mesma. Exemplo: na 1ª linha da 2ª coluna tínhamos 
1 ANO. Agora, na 2ª linha da 2ª coluna, temos 12 
meses. Ou seja, a mesma quantidade de tempo. 
Alteramos a penas a unidade de tempo de ANO para 
MÊS. 
 
??????? 20.000,00 $20.000,00 + $ 125.000,00 
 0 60 dias 240 dias 
Parcela A Parcela B 
+ 
Pagamento Adicional 
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 Pela Tabela D&T, os números D e T são, respectivamente, 1 e 12. Dessa maneira, a conversão da taxa será: 
 
ID = (1 +0,12)(1/12) – 1 = 1,120,083333 - 1 = 0,00948879 = 0,948879 % am 
 
Voltando ao cálculo do valor presente, pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
Porém, como o que se deseja é o capital, a formulação deve ser alterada, isolando-se o capital C na equação. 
Assim, a formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
Para a Parcela A, temos 
 $ 20.000 $ 20.000 
 C = ------------------------- = ------------------------ = $ 19.625,78 
 ( 1 + 0,00948879) 2 1,0190676 
 
Para a Parcela B + Pagto Adicional, temos 
 
 $ 145.000,00 $ 145.000 
 C = ------------------------- = ------------------------ = $ 134.448,51 
 ( 1 + 0,00948879) 8 1,07847980 
 
Resposta: O valor financiado foi de $ 19.625,78 + $ 134.448,51 = $ 154.074,29 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
Para a Parcela A Para a Parcela A 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
2 [ n ] Mova o cursor até “n” 
0,948879 [ i ] 2 [EXE] 
20000 [FV] 0,948879 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até FV 
[ENTER] 20000 [EXE] 
 8 [ n ] Mova o cursor até [PV] e tecle [SOLVE] 
0,948879 [ i ] Anote o valor ou salve em uma das memorias 
145000 [FV] Mova o cursor até “n” 
[PV] 8 [EXE] 
 [+] Mova o cursor até FV 
 145000 [EXE] 
 Mova o cursor até [PV] e tecle [SOLVE] 
 Some 
 
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24 % aa 
13. Se um notebook foi adquirido da seguinte forma: entrada de 20%, que correspondeu a 
uma quantia de $280,00 e saldo em 60 dias, a juros de 24% aa. Qual o valor da parcela restante, na 
data de pagamento da mesma? 
 
 
Pelo enunciado, o esquema gráfico da questão seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolvermos a questão, inicialmente devemos calcular qual o valor do notebook a vista. 
 
Se a entrada representou 20% do valor a vista, podemos calcular o valor a vista ( que é 100% ) por meio de uma regra 
de três simples: 
 
$ 280 � 20% 
 Y � 100% 
 $ 280 x 1 
Y = --------------------------- = $ 1400 
 0,20 
 
Então, se o notebook custava $ 1.400,00 e a entrada foi de $ 280,00, a parcela restante (ou o saldo a pagar) na data 
zero foi de $ 1.120,00. 
 
Observe que este valor está da DATA ZERO !!! Como a parcela restante será paga apenas em 60 dias ( ou 2 meses) , 
devemos acrescentar 60 dias ( ou 2 meses ) de juros de 24% aa. 
 
Para facilitar a resolução, em lugar de convertermos a taxa para meses, vamos converter o período para anos, por 
meio de uma regra de três simples. 
 
 1 Ano � 12 meses 
 T � 2 meses ou seja, T = 2/12 = 0,166667 
 
 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Como temos que acrescentar 2 meses de juros na parcela, o que se deseja é o montante (também chamado de Valor 
Futuro): 
 Saldo a pagar = 
 Valor a vista - $ 280 
 ???? 
Parcela restante ( ou saldo a pagar) 
 0 60 dias 
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M = $ 1.120,00 (1+ 0,24) 0,166667 = $ 1.120,00 * 1,0365023 = $ 1.160,88 
 
Resposta: Valor da parcela restante, para pagamento em 60 dias: $ 1.160,88 
 
Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
Para a Parcela A Para a Parcela A 
[CLx] [f] [X<->Y] [CMPD] 
0.16666667 [ n ] Mova o cursor até “n” 
24 [ i ] 0.166667 [EXE] 
1120,00 [PV] 24 [EXE] 
[PV] 1.120,00 [EXE] 
 
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15 % am 
 
 
14. Uma dívida, junto à administradora do cartão de crédito, foi negociada da seguinte forma: 
uma parcela a vista, no montante de $ 900,00 e o restante em 120 dias, no valor de $1.500,00. 
Sabendo que a operação de financiamento foi realizada a juros de 15% am. Decorridos 45 dias da 
negociação, o credor resolveu quitar antecipadamente o saldo restante. Qual o valor de liquidação, 
nessa data? 
 
 
Pelo enunciado, o esquema gráfico da questão seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a parcela de $ 900,00 foi paga a vista, nada deve ser feito com ela. O que a pessoa deseja é antecipar o 
pagamento da parcela de $ 1.500,00. Para tanto, devemos retirar os juros “embutidos” nessa parcela. Ou seja, “trazê-
la” para a data “45 dias”. 
 
O problema resume a calcula o Capital, considerando a parcela de $1.500 como montante. 
 
Como a taxa está “ao mês” e os períodos “ao dia”, podemos evitar de converter a taxa, se convertermos os períodos. 
Assim, 45 dias é equivalente a 1,5 mês e 120 dias equivalente ao mês 4. 
 
Pela formulação, sabemos que: M = C ( 1+ i) n 
 
Porém, como o que se deseja é o capital, a formulação deve ser alterada, isolando-se o capital C na equação. Assim, a 
formulação para o cálculo do capital ficará sendo: 
 M 
C = ----------------- 
( 1 + i )n 
Assim temos 
 $ 1.500,00 $ 1.500,00 
 C = ------------------------- = ------------------------ = $ 1.057,66 
 (1 + 0,15) 2,5 1,418223 
 
Note que o período de tempo entre o mês 1,5 e o mês 4 é 2,5 meses (4 - 1,5 = 2,5). E foi isso que utilizamos na 
formulação 
 
 
Resposta: Valor para liquidação no mês 1,5: $ 1.057,66 
$ 900 ??????? $ 1.500,00 
 0 45 dias 120 dias 
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Se você estiver utilizado uma calculadora financeira, os cálculos podem ser executados de forma mais 
rápida. Não deixe, entretanto, de estabelecer a formulação necessária. A formulação foca e organiza seu 
raciocínio. Utilize as funções financeiras das calculadoras apenas como um mecanismo para executar os 
cálculos de forma mais rápida. 
 
Veja a seguir, os passos para a HP-12C e para a Casio FC 200V 
 
Pela HP-12C Pela Casio FC 200V 
[CLx] [f][X<->Y] [CMPD] 
2.5 [ n ] Mova o cursor até “n” 
15 [ i ] 2.5 [EXE] 
1.500 [FV] 15 [EXE] 
[PV] Mova o cursor até FV 
 1500 [EXE] 
 Mova o cursor até [PV] e tecle [SOLVE] 
 
 
 
 
 
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3 % aa 
 
15. Em janeiro, uma empresa assumiu uma dívida, comprometendo liquidá-la em dois 
pagamentos. O primeiro de $2.500,00 com vencimento para o final de fevereiro. O segundo de $ 
3.500,00 com vencimento para o final de junho. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não 
dispondo de recursos para honrá-la, a empresa propôs um novo esquema de pagamento. Um 
pagamento de $ 4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo 
que a taxa de juros compostos da operação é de 3%a.m., calcule o saldo a pagar em dezembro. 
 
 
 
Pelo enunciado, o esquema gráfico original de pagamento da empresa seria: 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, o esquema gráfico da repactuação da dívida da empresa será : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a empresa está repactuado sua dívida e não pagou parcela alguma ainda, a dívida ainda é integral. Para 
solucionarmos a questão, vamos: 
a) calcular o valor da dívida, no mês de setembro: na data da 1a parcela do novo contrato. Ou seja, “levar” cada 
parcela da dívida original para o mês de setembro 
b) abater do valor da dívida, em setembro, o pagamento de $ 4.000,00; 
c) “levar” o saldo ( que equivale à parcela de dezembro) para o mês de dezembro, acrescido dos juros do 
contrato. 
??????? $2.500,00 $ 3.500,00 $20.000,00 + $ 125.000,00 
 0 2 6 
??????? $2.500,00 $ 3.500,00 $ 4.000,00 Parcela de Dezembro ??? 
 0 2 6 9 12 
(Valor da Dívida em setembro) - $ 4.000,00 Parcela de 
Dezembro 
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Pela formulação, sabemos que: M = C (1+ i) n 
 
Assim, para a parcela de $ 2.500, temos: M = $ 2.500 * (1 + 0,03)7 = $ 2.500,00 * 1,2298739 = $ 3.074,68 
Para a parcela de $ 3.500, temos: M = $ 3.500 * (1 + 0,03)3 = $ 2.500,00 * 1,0927270 = $ 3.824,54 
 
Pelos cálculos acima, o valor da dívida da empresa, em setembro seria: $ 3.074,68 + $ 3.824,54 = $ 6.899,23 
 
Como a empresa pagará, em setembro, a quantia de $ 4.000,00, o saldo da dívida será: 
 Saldo da dívida = $ 6.899,23 - $ 4.000,00 = $ 2.899,23 
 
Contudo, como a quantia de $ 2.899,23 foi calculada em setembro e precisamos informar à empresa o valor da parcela 
(este saldo) em dezembro, precisamos “levar” tal valor para dezembro. 
 
Assim, temos: M = $ 2.899,23 * (1 + 0,03)3 = $ 2.899,23 * 1,0927270 = $ 3.168,07 
 
 
Resposta: O valor da parcela a ser paga em dezembro é $ 3.168,07 
 
 
 
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16. Qual a taxa mensal equivalente a 25,0 % aa, a juros compostos? 
 
A questão exige que a taxa seja convertida. Assim, não há como converter o período (que período? Não há 
período aqui !!!) 
 
A taxa de 25% está em anos e a questão solicita que seja convertida em taxa-mês. Assim, convertendo a taxa 
anual para taxa-mês, temos: 
 
ID = ( 1 + iT)(D/T)-1 , onde iD é a taxa que você DESEJA e iT é a taxa que você TEM. 
 
Devemos determinar os números D e T da fórmula de conversão de taxa 
 
Observar que apesar da segunda linha da tabela D&T 
constarem os números 1 e 12, a quantidade de tempo 
em cada coluna, se observada na VERTICAL, é a 
mesma. 
Exemplo: na 1ª linha da 2ª coluna tínhamos 1 ANO. 
Agora, na 2ª linha da 2ª coluna, temos 12 meses. Ou 
seja, a mesma quantidade de tempo. Alteramos a 
penas a unidade de tempo de ANO para MÊS. 
 
 Pela Tabela D&T, os números D e T são, respectivamente, 1 e 12. Dessa maneira, a conversão da taxa será: 
ID = ( 1 +0,25)(1/12) – 1 = 1,250,083333 - 1 = 0,01876926 = 1,876926 % am 
 
PUC Minas 
Matemática Financeira - EAD 
 
 
 Prof. Marcelo Soares Pág. 28/28 
17. Converta a taxa mensal e 5% a.m. para a taxa anual equivalente. 
 
A questão exige que a taxa seja convertida. Assim, não há como converter o período (que período? Não há 
período aqui !!!) 
 
A taxa de 5% está “ao mês” e a questão solicita que seja convertida em taxa-ano. Assim, convertendo a taxa 
anual para taxa-mês, temos: 
 
ID = ( 1 + iT)(D/T)-1 , onde iD é a taxa que você DESEJA e iT é a taxa que você TEM. 
 
Devemos determinar os números D e T da fórmula de conversão de taxa 
 
Observar que apesar da segunda linha da tabela D&T 
constarem os números 1 e 12, a quantidade de tempo 
em cada coluna, se observada na VERTICAL, é a 
mesma. 
Exemplo: na 1ª linha da 2ª coluna tínhamos 1 ANO. 
Agora, na 2ª linha da 2ª coluna, temos 12 meses. Ou 
seja, a mesma quantidade de tempo. Alteramos a 
penas a unidade de tempo de ANO para MÊS. 
 
 Pela Tabela D&T, os números D e T são, respectivamente, 12 e 1. Dessa maneira, a conversão da taxa será: 
ID = ( 1 +0,05)(12/1) – 1 = 1,0512 - 1 = 0,795856= 79,5856 % aa 
 
 
 
... / ...