Solução Cap I

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Solução Capitulo I
Marcos Peres
1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso CF):
(a) Por um ponto passam infinitas retas.
(V): Dado um ponto qualquer, posso pegar mais um dos infinitos pontos do espaço
e construir uma reta, sendo assim pode se formar infinitas retas.
(b) Por dois pontos distintos passa uma reta.
(V): Postulado 7(a), dois pontos distintos determinam uma única reta.
(c) Uma reta contém dois pontos distintos.
(V): Postulado 7(a), Se dois pontos distintos determinam uma única reta, conse-
quentemente a reta tem pelo menos dois pontos distintos.
(d) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
(V): Postulado 7(a), dois pontos distintos determinam uma única reta.
(e) Por três pontos dados passa uma só reta.
(F): Se esses dois pontos não forem colineares, podemos formar a cada dois pontos
uma reta, dessa forma com três pontos formaremos 3 retas.
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Três pontos distintos são sempre colineares.
(F): Eles podem serem colineares, mas não sempre.
(b) Três pontos distintos são sempre coplanares.
(V): Postulado 7(b), três pontos distintos formam um plano, dessa forma três pontos
quaisquer sempre pertencem a um plano qualquer.
(c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
(F): Se colocar esses pontos como vértices de um quadriláteros, podemos formar 6
retas.
(d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
(V): Se todos os pontos tiverem em linha reta, pode passar uma só reta por eles.
(e) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.
(F): Pense que esses três pontos podem serem vértices de um triangulo, então não
serão colineares.
3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
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(a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta
a tal que A ∈ a e B ∈ a.
(V): Postulado 7(a), dois pontos distintos determinam uma única reta, então esses
pontos pertencem a reta.
(b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q
pertencem às retas r e s, então r = s.
(V): Como P e Q pertencem tanto a reta r e também a reta s, como eles são distinto
então só podem determinar uma única reta, postulado 7(a), logo r = s.
(c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é distinto de
B, com A ∈ r e B ∈ r.
(V): Consequência do Postulado 7(a).
(d) Se A = B, existe uma reta r tal que A,B ∈ r.
(V): Vai existir sempre pelo menos uma reta que passa por um ponto.
4. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos
construir?
Suponha 4 pontos, A, B, C e D. Seja A, B e C colineares, então por A, B e C
passamos uma reta, e por cada um desses pontos passamos uma reta que liga eles ao
ponto D, formando mais três retas. Portanto, teremos 4 retas.
5. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes.
(V): Consequência da definição 10(a), duas retas são concorrentes se tem um ponto
em comum.
(b) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
(V): definição 10(a), duas retas são concorrentes se tem um ponto em comum.
(c) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único ponto
comum.
(V): Só a duas opções, ter apenas um ponto em comum (retas concorrentes) e ter
todos os pontos em comum (retas iguais ou semelhantes), assim, se duas retas dis-
tintas tem um ponto em comum então são concorrentes, logo apenas um único ponto
em comum, pois não são retas semelhantes.
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