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IX - 1 Capítulo 99 Método das Componentes Simétricas 1. OBJETIVO Este capítulo se destina a apresentar a ferramenta das componentes simétricas, essencial na solução dos problemas envolvendo desequilíbrio em sistemas elétricos. O método das Componentes Simétricas foi descoberto por C. L. Fortescue para solução de circuitos polifásicos desequilibrados e publi- cado num artigo publicado no AIEE (American Institute of Electrical Engineers) em 1918 com o título: “ Method of Symmetrical Coordinates Applied to the So- lution of Polyphase Networks ”. R. D. Evans empregou em 1925 pela primeira vez o método das com- ponentes simétricas para solução de problemas de curto circuito em sistemas elétricos. Em 1926, R. D. Evans e C. F. Wagner utilizaram pela primeira vez o método para solução de problemas de estabilidade em sistemas elétricos. No mesmo ano A. P. Mackerras apresentou em dois artigos a aplicação do método para cálculo do curto circuito monofásico em sistemas elétricos. O método das componentes simétricas hoje tem uma extensa lista de aplicações que vão desde problemas de desequilíbrio envolvendo transforma- dores de potência até faltas desequilibradas nos terminais de máquinas elétri- cas. As aplicações do método das componentes simétricas se tornaram tão usuais que equipamentos foram desenvolvidos baseadas na sua teoria, como os relés de corrente de seqüência negativa para proteção de máquinas elétri- cas. Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 2 2. INTRODUÇÃO O método das componentes simétricas desenvolvido por C. L. Fortes- cue para solução de circuitos polifásicos desequilibrados, tem o seguinte enunciado geral: “Um conjunto de n fasores desequilibrados de uma rede de n-fásica pode ser substituída por n conjuntos de fasores equilibrados denominados se- qüência. Cada seqüência é formada por n fasores equilibrados, uma dessas seqüências é denominada seqüência zero e é formada por n fasores de mes- mo módulo, direção e sentido. As n -1 seqüências restantes é formada por n fasores equilibrados defasados do ângulo característico 2π/n numa seqüência de fase distinta”. De uma forma algébrica, este enunciado pode ser expresso pelo se- guinte conjunto de equações: 1nnn3n2n1n0n 1cnc3c2c1c0c 1bnb3b2b1b0b 1ana3a2a1a0a ...FFFFFF ............................................. ...FFFFFF ...FFFFFF ...FFFFFF − − − − ++++= = ++++= ++++= ++++= [1] onde, por definição, o fasor Fij é o componente simétrico da seqüência j do fa- sor Fi. A escolha das diferentes seqüências de fase é efetuada escolhendo uma fase como referência e definindo os demais vetores numa dada ordem cíclica. Os demais fasores componentes de cada seqüência são obtidos giran- do o fasor de referência do ângulo característico de cada seqüência. Os ân- gulos característicos para cada seqüência são escolhidos a partir de múltiplos incrementos do ângulo característico do sistema. Portanto, a equação [1], rescrita a partir do fasor de referência assume o seguinte formato: Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 3 1nn 1)Ë1)(nj(n n2 1)Ëj2(n n1 1)Ëj(n n0 j0 n 1dn 2)Ëj(n d3 j9Ë d2 j6Ë d1 j3Ë d0 j0 d 1cn 1)Ëj(n c3 j6Ë c2 j4Ë c1 j2Ë c0 j0 c 1bn 1)Ëj(n b3 j3Ë b2 j2Ë b1 jË b0 j0 b 1an j0 a3 j0 a2 j0 a1 j0 a0 j0 a .Fe......Fe.Fe.FeF .................................................................................... .Fe.....Fe.Fe.Fe.FeF .Fe.......Fe.Fe.Fe.FeF .Fe.......Fe.Fe.Fe.FeF .Fe...................Fe.Fe.Fe.FeF − −−−−−−− − +−−−− − +−−−− − −−−−− − ++++= = +++++= +++++= +++++= +++++= [2] O caso particular do enunciado geral de maior utilização é o caso das redes trifásicas. Para uma rede trifásica, três fasores desequilibrados podem ser substituídos por três conjuntos de fasores equilibrados denominados se- qüências. Cada seqüência é formada por três fasores equilibrados. Uma des- sas seqüências denominada seqüência zero é formada por três fases de mes- mo módulo, direção e sentido. As duas seqüências restantes são formadas por três fasores equilibrados defasados de 120o, cada seqüência numa seqüência de fase distinta. Uma delas, denominada seqüência positiva, tem a mesma se- qüência de fase dos fasores originais, a outra com seqüência de fase distinta dos fasores originais é denominada seqüência negativa. 210 210 210 cccc Bbbb aaaa FFFF FFFF FFFF ++= ++= ++= [3] A Figura 1 mostra as três seqüências e os componentes simétricos de cada seqüência . == + + Fa Fb Fc Sequência zero Sequência Positiva Sequência Negativa Fa0 Fb0 Fc0 Fa1 Fb1Fc1 Fb2 Fc2 Fa2 Figura 1 - Componentes simétricos de um sistema trifásico Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 4 Para o sistema trifásico da Figura 1 os fasores Fa0, Fa1 e Fa2 são os componentes simétricos dos fasores Fa. A partir da Figura 1 podemos escrever as seguintes equações, utili- zando operador a (a = 1 ∠1200 ) descrito no Anexo I: 000 cba FFF == [4] 1 2 1 . ab FaF = [5] 11 . ac FaF = [6] 22 . ab FaF = [7] 2 2 2 . ac FaF = [8] Substituindo as equações acima na equação [3], teremos: 2 2 10 21 2 0 210 aac aab aaaa .Faa.FFaF a.F.FaFaF FFFF ++= ++= ++= [9] Na forma matricial a equação [9] passa a ser rescrita da seguinte for- ma: = 2 1 0 2 2 . 1 1 111 a a a c b a F F F aa aa F F F [10] ou ainda numa forma mais compacta: [ ] [ ][ ]012. FTFABC = [11] onde [T] é denominada a matriz de Transformação Direta. Pré-multiplicando ambos os membros pelo inverso da matriz de trans- formação teremos: [ ] [ ] [ ] [ ][ ]01211 ... FTTFT ABC −− = [12] [ ] [ ] ].[1012 ABCFTF −= [13] Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 5 Expandindo a equação [13], obtemos: = c b a a a a F F F aa aa F F F . 1 1 111 . 3 1 2 2 2 1 0 [14] onde a matriz de Transformação Inversa [T]-1 é: [ ] =− aa aaT 2 21 1 1 111 . 3 1 [15] 3. COMPONENTES SIMÉTRICOS DA TENSÃO Aplicando o Método dos Componentes Simétricos a um conjunto de três tensões fase neutro desequilibradas de um sistema elétrico trifásico, ob- temos: = c b a a a a V V V aa aa V V V . 1 1 111 . 3 1 2 2 2 1 0 [16] onde Va0, Va1, Va2 são os componentes simétricos dos fasores desequilibrados. Analisando a equação [14] e [16] podemos concluir; que sendo a soma dos fasores tensão de linha num sistema trifásico equilibrado sempre igual a zero, os componentes de seqüência zero nunca estarão presentes nas tensões de linha, qualquer que seja o desequilíbrio. Contudo, como a soma dos três fasores tensão de fase não será necessariamente zero, essas tensões podem conter componentes de seqüência zero. 4. COMPONENTES SIMÉTRICOS DE CORRENTE Aplicando o Método dos Componentes Simétricos a um conjunto de três correntes de linha desequilibradas de um sistema elétrico trifásico, obte- mos: Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 6 = c b a a a a I I I aa aa I I I . 1 1 111 . 3 1 2 2 2 1 0 [17] onde Ia0, Ia1, Ia2 são os componentes simétricos dos fasores desequilibrados. Analisando a primeira equação do sistema de equações [17] verifica- mos que: ( ) 3 . 3 1 0 neutro cbaa I IIII =++= [18] Portanto, podemos concluir que, quando não há retorno pelo neutro num sistema trifásico, In é zero, as correntes de linha não possuirão compo- nentes de seqüência zero. Uma carga ligada em delta (∆) não tem retorno pelo neutro e, portanto, as correntes que vão para esse tipo de carga não possuem componentes de seqüência zero. 5. POTÊNCIA EM TERMOS DE COMPONENTES SIMÉTRICOS Considere um sistema elétrico sendo suprido por tensões e correntes desequilibradas como está esquematicamente representado na Figura 2. Sistema Elétrico IA IC IB VA VB VC Figura 2 – Sistema elétrico alimentado por correntes e tensões desequili- bradas Nesta seção mostraremos que, se forem conhecidos os componentes simétricos das correntes e tensões que alimentam este sistema elétrico, a po- tência suprida poderá ser calculada diretamente a partir dos componentes simétricos. Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 7 A potência complexa total transmitida ao sistema elétrico é expressa pela seguinte equação: *.*.*.3 CCBBAA IVIVIVS ++=φ [19] onde VA, VB e VC são tensões em relação ao neutro nos terminais e IA, IB e IC são as correntes de linha que alimentam o sistema elétrico da Figura 2. O neu- tro poderá ou não existir. Em notação matricial, a potência complexa pode ser expressa pela se- guinte equação: [ ] * A * 3 .. = =φ C B A t C B C B A CBA I I I V V V I I I VVVS [20] Numa forma compacta, a equação [20] pode ser reescrita como: [ ] [ ]*3 . ABCtABC IVS =φ [21] Substituindo na equação [21] as expressões para os vetores tensão e corrente aplicando a equação [10], obtemos: [ ][ ]{ } [ ][ ]{ }*0120123 ... ITVTS t=φ [22] Da Álgebra Linear conhecemos que a matriz transposta do produto de duas matrizes A e B é igual ao produto das transpostas das mesmas com or- dem invertida, isto é: (A.B)t = Bt. At ; analisando a matriz [T]* verificamos que é igual a 3.[T]-1 , portanto: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*012012*012*0123 ..3... IVITTVS ttt ==φ [23] Expandindo a equação [23], obtemos: *).*.*..(3 2211003 IVIVIVS ++=φ [24] Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 8 6. IMPEDÂNCIA EM TERMOS DE COMPONENTE SIMÉTRICOS Considere a rede trifásica passiva apresentada na Figura 3, aplicando a lei das tensões de Kirchhoff em cada uma das fases, encontramos: In ZBB ZAA ZCC ZAB ZBA ZCB ZBC ZAC ZCA ZN VB VC IC IB VA IA IA IB IC In Figura 3 – Rede trifásica passiva VA = ZAAIA + ZABIB + ZACIC + ZN(IA + IB + IC) VB = ZBAIA + ZBBIB + ZBCIC + ZN(IA + IB + IC) VC = ZCAIA + ZCBIB + ZCCIC + ZN(IA + IB + IC) Expressando as equações que resultam da aplicação da lei de Kir- chhoff numa forma matricial, obtemos: +++ +++ +++ = C B A NCCNCBNCA NBCNBBNBA NACNABNAA C B A I I I ZZZZZZ ZZZZZZ ZZZZZZ V V V . [25] Reescrevendo a equação [25] numa forma compacta, obtemos: ]].[[][ ABCABCABC IZV = [26] Aplicando a equação [11] na equação [26] para ambos vetores tensão e corrente, encontramos: ]].[].[[]].[[ 012012 ITZVT ABC= [27] Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 9 Pré multiplicando ambos os membros da equação [27] pela matriz in- versa de transformação, resulta em: ]].[].[.[][]].[[][ 01210121 ITZTVTT ABC−− = [28] ou: ]].[[]]}.[].[.[]{[][ 0120120121012 IZITZTV ABC == − [29] A matriz [Z012] é denominada matriz interseqüencial, que relaciona as correntes de seqüência que circulam por um conjunto de impedâncias quando submetidas a tensões de seqüência. Os termos da diagonal da matriz interse- qüencial são, respectivamente, as impedâncias próprias de seqüência zero, positiva e negativa enquanto os termos fora da diagonal principal são as impe- dâncias mútuas interseqüenciais. [ ] = 222120 121110 020100 012 ZZZ ZZZ ZZZ Z [30] Realizando o produto de matrizes do segundo membro da equação [29] obtemos as expressões de todos os componentes da matriz interseqüen- cial. [ ] +++ +++ +++ = 2 2 2 2 012 1 1 111 .. 1 1 111 3 1 aa aa ZZZZZZ ZZZZZZ ZZZZZZ aa aaZ NCCNCBNCA NBCNBBNBA NACNABNAA [31] Efetuando a multiplicação obtemos: [ ] [ ] NCABCABCCBBAA ZZZZZZZZ 3. 3 2 . 3 1 00 ++++++= [32] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZZZZZZZ ++−++= . 3 1 . 3 1 11 [33] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZZZZZZZ ++−++= . 3 1 . 3 1 22 [34] Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 10 [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ... 3 1 ... 3 1 22 01 ++−++= [35] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ... 3 1 ... 3 1 22 10 ++−++= [36] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ... 3 1 ... 3 1 22 02 ++−++= [37] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ... 3 1 ... 3 1 22 20 ++−++= [38] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ... 3 2 ... 3 1 22 12 +++++= [39] [ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ... 3 2 ... 3 1 22 21 +++++= [40] Onde: Z00 - impedância de seqüência zero da rede. Z11 - impedância de seqüência positiva da rede. Z22 - impedância de seqüência negativa da rede. Z10 - impedância mútua entre os circuito de seqüência zero e se- qüência positiva. Z01 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência positiva e seqüência zero. Z20 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência zero e seqüência negativa. Z02 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência negativa e seqüência zero. Z12 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência negativa e seqüência positiva. Z21 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência positiva e seqüência negativa. Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 11 Analisando as equações para Z00, Z11 e Z22, podemos concluir que: 1. Independente dos valores das impedâncias da rede passiva apresentada na Figura 3 (ZAA, ZBB, ZCC, ZBC, ZAB e ZCA), observamos que a impedância de seqüência positiva é sempre igual à impedância de seqüência negativa. 2211 ZZ = [41] 2. Independente dos valores das impedâncias da rede passiva apresentada na Figura 3 (ZAA, ZBB, ZCC, ZBC, ZAB e ZCA) observamos que a impedância de seqüência zero é sempre maior ou igual às impedâncias de seqüência po- sitiva e negativa. 221100 ZZZ =≥ [42] 3. Uma impedância conectada no neutro dos sistemas elétricos não tem influ- ência nas impedâncias dos circuitos de seqüência positiva e negativa. A impedância ZN que está no neutro da rede passiva da Figura 3 não está presente nas equações das impedâncias de seqüência positiva e negativa (Z11 e Z22). 4. Uma impedância colocada no neutro dos sistemas elétricos é multiplicada por três e adicionada a impedância de seqüência zero , como pode ser ob- servado na equação da impedância de seqüência zero Z00 da rede trifásica passiva da Figura 3. 5. Se a rede trifásica é simétrica, isto é tem impedâncias próprias e mútuas iguais ZAA = ZBB= ZCC = ZS e ZAB = ZBC = ZCA = ZM, então as impedâncias mútuas intersequenciais são todas nulas. Portanto, se a rede trifásica é si- métrica, os circuitos de seqüência são todos desacoplados. MS ZZZZ −== 2211 [43] MS ZZZ .200 += [44] 0122120021001 ====== ZZZZZZ [45] Substituindo as equações [43], [44] e [45] na equação [29], obtemos: Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 12 = 2 1 0 22 11 00 2 1 0 . 00 00 00 A A A A A A I I I Z Z Z V V V [46] onde se pode verificar que corrente de seqüência positiva (IA1) só gera ten- são de seqüência positiva (VA1), corrente de seqüência negativa (IA2) só gera tensão de seqüência negativa (VA2) e corrente de seqüência zero (Ia0) só gera tensão de seqüência zero (VA0). COMPONENTE VA1 VB1 VC1 IA1 IB1 IC1 Figura 4 - Impedância de seqüência positiva 6. Numa rede passiva simétrica, em qualquer componente, a queda de tensão provocada por uma corrente de uma dada seqüência depende da impedân- cia daquele componente naquela seqüência. A impedância de um compo- nente vista por uma corrente de uma dada seqüência pode ser diferente da impedância vista por uma corrente de outra seqüência. Definimos impedân- cia de seqüência positiva de um componente como sendo a relação entre a tensão de seqüência positiva aplicada a este componente pela corrente de seqüência positiva que circula por ele com seus terminais curto circuitados, como está representado esquematicamente na Figura 4 . 1 1 11 A A I V Z = [47] 7. Da mesma forma, a impedância de seqüência negativa de um componente é definida como sendo a relação entre a tensão de seqüência negativa Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 13 aplicada a este componente pela corrente de seqüência negativa que cir- cula por ele com seus terminais curto circuitados, como está representado esquematicamente na Figura 5 . COMPONENTE VA2 VB2 VC2 IA2 IB2 IC2 Figura 5 – Impedância de seqüência negativa 2 2 22 A A I V Z = [48] 8. Definimos impedância de seqüência zero de um componente como sendo a relação entre a tensão de seqüência zero aplicada a este componente pela corrente de seqüência zero que circula por ele com seus terminais curto circuitados como está representado esquematicamente na Figura 6 . 0 0 00 A A I V Z = [49] COMPONENTE V0 IA0 IB0 IC0 Figura 6 – Impedância de seqüência zero Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 14 As impedâncias de seqüência positiva e negativa de redes simétricas e passivas são idênticas, porque as impedâncias, de tais circuitos são indepen- dentes da ordem das fases, desde que as tensões aplicadas sejam equilibra- das. Exemplo 1: Considere a rede passiva apresentada na Figura 7, obtenha as correntes em cada uma das fases da rede. 1 0o 1 10o 1 20o 2+j3 2+j3 2+j3 1+j2 1+j2 1+j2 j3 Figura 7 - Rede simétrica Como a rede trifásica é simétrica, os circuitos de seqüência são desa- coplados, isto é, não existem impedâncias mútuas interseqüenciais. Utilizando o Método das Componentes Simétricas, a rede passiva pode ser substituída por três circuitos de seqüência equilibrados mostrados na Figura 8 , na Figura 9 e na Figura 10. As impedâncias de cada circuito de seqüência são obtidas utili- zando as equações [43] e [44], Z11 I11 V11 Figura 8 - Circuito de seqüência positiva Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 15 Z22 I22 V22 Figura 9 - Circuito de seqüência negativa Z00 I00 V00 Figura 10 -- Circuito de seqüência zero Z11 = (1 + j2) + (2 + j3) = 3 + j5 Z22 = (1 + j2) + (2 + j3) = 3 + j5 Z00 = (3 + j5) + 3.x j3 = 3 + j14 Determinando os componente simétricos dos fasores tensão desequili- brados, empregando a equação [16], obtemos: ∠ ∠ ∠ = 0 0 0 2 2 2 1 0 201 101 01 . 1 1 111 . 3 1 aa aa V V V A A A [50] −∠ −∠ ∠ = −− − + = 0 0 0 2 1 0 110105,0 50095,0 10990,0 099,0036,0 073,0061,0 172,0975,0 . j j j V V V A A A [51] Conhecidas as componentes simétricas das tensões desequilibradas, as componentes simétricas das correntes podem ser calculadas a partir dos circuitos equivalentes apresentados na Figura 8, na Figura 9 e na Figura 10 0 0 11 1 1 04,109016,0 53 50095,0 −∠= + −∠ == jZ V I A A [52] Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas IX - 16 0 0 22 2 2 04,169018,0 53 50095,0 −∠= + −∠ == jZ V I A A [53] 0 0 00 0 0 9,67069,0 143 10990,0 −∠= + ∠ == jZ V I A A [54] Finalmente, as correntes desequilibradas na rede da Figura 7 podem ser determinadas utilizando a equação [10] −∠ +∠ −∠ = −∠ −∠ −∠ = 0 0 0 0 0 0 2 2 55.162065,0 54,52071,0 92,87082,0 9,67069,0 04,169018,0 04,109016,0 . 1 1 111 aa aa I I I C B A [55] 9. BIBLIOGRAFIA 1. Kinderman, G. - Curto Circuito 2. Wagner, C. F. e R. D. Evans - Symmetrical Components 3. Robba, E. J. - Introdução a Sistemas Elétricos de Potência 4. Clarke Edith – Circuit Analysis of A.C. Power Systems 5. Wildi – Electrical Machines, Drives and Power Systems 6. Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência 7. Fitzgerald, A. E. - Máquinas Elétricas 8. Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica 9. Barthold, L. O. – Análise de Circuitos de Sistemas de Potência
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