4 1-trigonometria

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Professor: ANDRÉ ARRUDA 
Turma: PMPR 
Data: 21/05/2020 (19h15-22h45) MATEMÁTICA 
 
MUDE SUA VIDA! 
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TRIGONOMETRIA 
LEI DOS SENOS (TEOREMA DOS SENOS) 
 
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são 
proporcionais às medidas dos senos dos ângulos 
opostos a ele. Considere como exemplo o triângulo ABC 
abaixo: 
 
 
 
Em um caso como esse, os lados e ângulos possuem 
medidas quaisquer. Assim, temos: 
 
 Fórmula que representa a Lei dos senos: 
𝐚
𝐬𝐞𝐧 𝛂
 = 
𝐛
𝐬𝐞𝐧 𝛃 
 = 
𝐜
𝐬𝐞𝐧 𝛉
 = 2.r 
 
Exemplo: Num triângulo ABC são dados A=60º, 
B=75º e AB = 2√2 metros. A medida do lado BC vale: 
 
a) √3 m 
b) 2√3m 
c) 3√3m 
d) 4√3m 
e) 5√3m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DOS COSSENOS (TEOREMA DOS COSSENOS) 
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de 
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos 
outros dois, menos o duplo produto entre as medidas 
desses dois lados e o Cosseno do ângulo por eles 
formados. Considere como exemplo o triângulo ABC 
abaixo: 
 
 
 Fórmulas que representam a Lei dos Cossenos: 
 
a2 = b2+c2 – 2.b.c.cos α 
 
b2 = a2+c2 – 2.a.c.cos β 
 
c2 = a2+b2 – 2.a.b.cos θ 
 
 
Exemplo: Determine o valor de x no triângulo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
1) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo 
retângulo a seguir: 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
2) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa 
mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º. 
 
 
 
3) Quando o ângulo de elevação do sol é de 60º, a sombra de uma 
árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, considerando √3 = 
1,7. 
 
 
 
 
4) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de 
percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de: 
 
a) 2 km 
b) 3 km 
c) 4km 
d) 5 km 
e) 6km 
 
 
 
5) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura se 
encontra depois de percorrer 12 km em linha reta? 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com 
uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de 
aço, como demonstra o esquema a seguir: 
 
 
 
Qual a medida mínima do comprimento do cabo de aço? 
 
 
 
 
 
7) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m 
do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o 
comprimento da escada em metros? 
 
 
 
 
 
8) Calcule x indicado na figura: 
 
 
 
 
 
 
9) Uma escada medindo 4m tem umas de suas extremidades 
apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m 
da base do muro. A altura desse muro é: 
 
a) 2,3 m 
b) 3,0 
c) 3,2 m 
d) 3,4m 
e) 3,8m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com 
a reta AC um ângulo de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com 
uma velocidade constante de 50Km/h. Determine a que distância 
o móvel se encontra da reta AC após 3 horas de percurso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) A figura representa o esquema de um observador instalado 
no ponto P de uma praça, em Maringá, que avista um balão 
meteorológico no ponto N situado no topo de um edifício, sob um 
ângulo α. Considerando-se a distância do observador ao edifício 
igual a 36m e sen α = 4/5, pode-se afirmar que a altura desse 
edifício mede, em metros: 
 
 
 
a) 27 
b) 36 
c) 48 
d) 54 
e) 72 
 
 
 
 
12) Um terreno de forma triangular tem frentes de 20 metros e 40 
metros, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 60º. 
Admitindo-se √3 = 1,7, a medida do perímetro do terreno, em 
metros, é: 
 
a) 94 
b) 93 
c) 92 
d) 91 
e) 90 
 
 
 
13) Num triângulo retângulo cujos catetos mede √8 e √9 , a 
hipotenusa mede: 
 
a) √10 
b) √11 
c) √13 
d) √17 
e) √19 
 
 
 
 
 
14) Uma escada é apoiada em uma parede perpendicular ao solo, 
que por sua vez é plano. A base da escada, ou seja, seu contato 
com o chão, dista 10m da parede. O apoio dessa escada com a 
parede está a uma altura de 10√3 m do solo. Isto posto, o ângulo 
entre a escada e o solo é de 
 
a) 60º 
b) 45º 
c) 30º 
d) 15º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
 
1) a = 15; b= 6cm; c = 13cm 2) 3√3 e 3 
3) 25,5 m 4) letra C 5) 6 km --------- 
6) 41,23 m aproximadamente 7) 8 m 8) 50√3 
9) letra C 10)75 Km 11) letra C 12) letra A 
13) letra D 14) letra A -------------------- 
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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
1) No triângulo abaixo, calcule z: 
 
 
 
 
 
 
2) No triângulo abaixo, calcule y: 
 
 
 
 
 
 
3) No triângulo abaixo, calcule x: 
 
 
 
 
 
 
4) No triângulo abaixo, calcule x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) No triângulo abaixo, calcule x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) No triângulo abaixo, calcule x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine x e y no triângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
8) No triângulo abaixo, calcule x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9) Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, 
no triângulo retângulo de catetos 12cm e 16cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Calcule a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa, e as 
projeções dos catetos sobre a hipotenusa de um triângulo 
retângulo de catetos 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 
12m. Se a hipotenusa mede 25m, calcule os catetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Em um triângulo retângulo de lados 9m, 12m e 15m, a altura 
relativa ao maior lado será: 
 
a) 7,2m 
b) 7,8m 
c) 8,6m 
d) 9,2m 
e) 9,6m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________________ 
GABARITO 
 
1) z=20 2) y=6 3) x=9 4) x=8 
5) x=3 6) x=6 7) x=10 e y=4,8 
8) x=2 9) 48/5; 36/5; 64/5 
10) 5; 9/5; 16/5; 12/5 11) 20m e 15m 
12) Letra A ------------------------ 
 
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