EM2 MAT 31 2011

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relações de girard
 Relações entre coeficientes e Raízes.
 (Relações de Girard)
Seja P(x) = 
com an 0 e suas raízes x1, x2, ... , xn .
Definimos:
S1 Soma das raízes.
S2 Soma das raízes multiplicadas duas a duas.
S3 Soma das raízes multiplicadas três a três.
Sn Produto das raízes.
Como sendo:
· 
S1 = x1 + x2 + ... + xn = 
· 
S2 = x1x2 + x1x3 + ... xn-1xn = 
· 
S3 = x1x2x3 + x1x2xn + ... xn-2xn-1xn = 
· 
Sn = x1x2x3 ...xn = 
Aplicação na equação do 2º Grau
Dada a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Sendo x1 e x2 suas raízes. Já sabemos que:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Dividindo os dois membros da identidade por a
x2 + x + = x2 - (x1 + x2)x + x1 x2
Igualando os coeficientes, concluímos que:
x1 x2 = 
x1 + x2 = -
Ex :
Dada a equação x3 – 2x2 – 3x + 6 = 0 , escreva as relações de Girard, considerando x1, x2 e x3 as raízes da equação.
x1,+ x2 + x3 = = 2
x1. x2 . x3 = = - 6
x1x2 +x1 x3 + x2x3 = = - 3
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Suponha que a, b e c sejam as raízes da equação, 2x3 - 4x2 – 5x + 8 = 0. Calcule:
a) a + b + c
b) ab+ ac + bc
c) abc
2) (PUC) A soma dos quadrados das raízes da equação x5 – 2x4 + x3 + 7x2 + 19x – 1 = 0 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
3. (UFF) Considere três números reais m, n e p, tais que:
 
m + n + p = -1/5
mn + np + mp = 2/3
mnp = -3/5
 Pode-se afirmar que m, n e p são raízes do polinômio:
a) Q(x) = 10x3 + 8x2 + 3x + 15
b) Q(x) = 8x3 + 10x2 + 15x + 3
c) Q(x) = 3x3 + 15x2 + 10x + 8
d) Q(x) = 8x3 + 15x2 + 3x + 10
e) Q(x) = 15x3 + 3x2 + 10x + 9
4.(FUVEST) As três raízes de 9x3-31x-10=0 são p, q e 2. O valor de p2+q2 é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9
5. (UNIFICADO) Se as raízes da equação 
x2 + bx + 27 = 0 são múltiplos positivos de 3, então o coeficiente b vale:
	a) 12
	b) -12
	c) 9
	d) -9
	e) 6
6. Uma das raízes da equação x3- 2x2 + ax + 6 = 0 é 1. As outras raízes são:
a) -2 e 2
b) 2 e 4
c) -2 e 3
d) 3 e 4
7. (UNIFICADO) Se a, b, c são as raízes da equação x3 - 10x2 – 2x+ 20 = 0, então, o valor da expressão a2bc + ab2c + abc2 é igual a:
a) 400
b) 200
c) - 100
d) - 200
e) – 400
8. (UFRJ) Encontre as raízes de
x3 + 15x2 + 66x + 80 = 0,
sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.(UERJ) Os zeros do polinômio a seguir formam uma P.A. p(x) = x3 − 12x2 + 44x − 48 . O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por:
(A) {0, 4, 8}
(B) {2, 4, 6}
(C) {−1, 4, 9}
(D) {−2,− 4,− 6}
2.(UNIFICADO) Se x1 e x2 são raízes de 
x2 + 57x – 228 = 0 , então vale:
	a) -1/4
	b) 1/4
	c) –1/2
	d) 1/2
	e) 1/6 ou –1/6
3. Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x3 - 6x2 + 3x - 1 = 0. Determine no polinômio x3 + ax2 + bx + c que tem raízes x1x2, x1x3 e x2x3 o valor do produto abc.
4. (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir: 3x3 – 13x2 + 7x – 1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua total e o seu volume;
b) suas dimensões.
5.(UFRJ) Dada a equação x3 – 7x2 + 14x + k = 0, determine o valor de k de modo que as raízes da equação sejam inteiras positivas e estejam em progressão geométrica.
6. (UFF) Dados os números reais a, b , c , d e o polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d , sabe-se que:
a) 2i é raiz de p(x) ;
b) p(x) é divisível por x – 1 ;
c) o produto das raízes de p(x) é 16 .
Determine p(x) .
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Conteúdo :
- Relações de Girard
Objetivos :
- Saber as relações de Girard e aplicá-las nas equações polinomiais.
GABARITO 
1)a) 2 b) -5/2 c) -4
2)B
3)E
4)D
5)B
6)C
7)D
8) -2,-5 e -8
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)B
2)B
3) 18
4) a) 14
 b) 1/3 , 2 + e 2 - 
5) -8
6) x4 – 5x3 + 8x2 - 20x + 16
n
n
a
a
3
-
-
(
)
n
o
n
a
a
1
-
1
1
1
2
x
x
+
0
2
2
1
1
....
a
x
a
x
a
x
a
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
-
-
-
-
n
n
a
a
1
-
-
n
n
a
a
2
-