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Análise de Tensões - circulo de mohr

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ANÁLISE DE TENSÕES
Círculo de Mohr
Equações gerais de transformação de tensão no plano






2cos2sen
2
2sen2cos
22
''
'
xy
yx
yx
xy
yxyx
x








' cos 2 sen2
2 2
x y x y
y xy
   
   
 
  
Programas e aplicativos:
e-Mohr
Solid Mechanics
' cos 2 sen2
2 2
x y x y
x xy
   
   
 
  
  2/
2tg
yx
xy
p





1 22 ; 2p p    1 2;p p   
Tensões Principais
2
2
1
2 2
x y x y
xy
   
 
  
   
 
2
2
2
2 2
x y x y
xy
   
 
  
   
 
sen2 ?
cos2 ?
p
p




p 
' ' sen2 cos 2
2
x y
x y xy
 
   

   ' ' 0
x yd
d



2cos2 2 sen2 0
2
x y
xy
 
  

   s 
 
xy
yx
s



2/
2tg

  1 22 ; 2s s   1 2;s s 
Tensão de cisalhamento máxima
sen2
?
cos2



sen2 ?
cos2 ?
s
s




2
2
plano no
máx 
2
xy
yx


 




 
 méd
2
x y 



sen2 ?
cos2 ?
s
s




Da primeira equação, de x’:
Construa o círculo de Mohr para o EPT 
do Exemplo 9. 1 (RM, Hibbeler, 7ª Ed.).


 
B (50; 25)
A
(-80; -25)
A
B
B (50; 25)
C 
(-15; 0)
A
(-80; -25)
B (50; 25)
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
A’ 
(-25,8; -68,8)
B (50; 25)
2= –60
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
B’
(-4,15; 68,8)
= –30
x
x’
B’ 
(25,8; -68,8)
B (50; 25)
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
A’
(-4,15; 68,8)
2= +120
= +60
x
x’
A’ 
(25,8; -68,8)
B (50; 25)
2= –60
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
B’
(-4,15; 68,8)
A’ 
(25,8; -68,8)
B (50; 25)
2= –60
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
B’
(-4,15; 68,8)
= 21+ 60= 81
 = 21
25,8–15=10,8
6
8
,8
80–15=65
25
A’ 
(25,8; -68,8)
B (50; 25)
2= –60
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
B’
(-4,15; 68,8)
80–15=65
25
 = 21
A’ 
(25,8; -68,8)
B (50; 25)
2= –60
C
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
B’
(-4,15; 68,8)
25,8–15 = 10,8
6
8
,8
= 21+ 60= 81
Considere o ponto em análise do Exemplo 9. 1 (RM, 
Hibbeler, 7ª Ed.). Obter:
(a) As tensões principais e a respectiva orientação p.
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a 
respectiva orientação s.
(c) Construa o círculo de Mohr
(d) Represente os EPT’s.
A’ 
2
(-84,6; 0) B (50; 25)
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
B’ 1(54,6;0)R=69,6
R=69,6
(a) Tensões Principais e p.
xy
2
2
1
2 2
x y x y
xy
   
 
  
   
 
2
2
2
2 2
x y x y
xy
   
 
  
   
 
  2/
2tg
yx
xy
p





2
x y 
2 p
2
2
2
x y
xyR
 

 
  
 
12 21
o
p 
22 201
o
p 
C
A’ 
(-69,6; 0)
B (50; 25)
C (-15; 0)
A
(-80; -25)
R=69,6
R=69,6
B’ 
(69,6; 0)
(b) Tensão de cisalhamento 
máxima e s.
2
2
plano no
máx 
2
xy
yx


 




 

méd
2
x y 



 
xy
yx
s



2/
2tg


2 s
  / 2x y  
xy
2
2
2
x y
xyR
 

 
  
 
12 69
o
s  
22 111
o
s 
2 = – 84,6 MPa
1 = 54 MPa
méd= – 15 MPa
12 21
o
p  12 69
o
s  
1 35,5
o
s  
máx=  69,6 MPa
1 10,5
o
p 
Tensões Principais Tensão de cisalhamento
Representação dos EPT’s: