AP1-MD2-2020 2-gabarito_Apx1_cederj

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX1 - Métodos Determinísticos II (2020-2)
Código da disciplina EAD06077
GABARITO
Questão 1: [2,5 pts] Considere logx a = 10, logx b = 3 e logx c = 2. Calcule logx
(
b2c
a5
)
.
Solução:
logx
(
b2c
a5
)
= logx
(
b2c
)− logx (a5)= logx (b2)+ logx (c)− logx (a5)= 2logx (b)+ logx (c)−5logx (a) =−42.
Questão 2: [2,5 pts] Considere f (x) = x +5 e g (x) =px −2.
a) [1,5 pto] Determine a função f −1 ◦ g (x), fornecendo a sua expressão e seu domínio.
b) [1,0 pto] Calcule f −1 ◦ g (4)
Solução:
a) Como f (x) = x +5, temos que
y = x +5 ⇒ x = y −5.
Donde, f −1(x) = x −5. Portanto, f −1 ◦ g (x) = g (x)−5 =px −2−5 =px −7. Sendo
Dom( f −1 ◦ g ) =R+∪ {0} ou Dom( f −1 ◦ g ) = [0,+∞).
b) f −1 ◦ g (4) =p4−7 = 2−7 =−5.
Questão 3: [2,5 pts] Considere a função f :R\ {1} →R, definida por f (x) = x
2 −1
|x −1| .
a) [1,0 pto] Encontre lim
x→1+
f (x) e lim
x→1− f (x).
b) [0,5 pto] Existe lim
x→1 f (x)? Justifique sua resposta.
c) [1,0 pto] Esboce o gráfico de f .
Solução:
a) lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
x2 −1
|x −1| = limx→1+
x2 −1
x −1 = limx→1+(x +1) = 2.
lim
x→1− f (x) = limx→1−
x2 −1
|x −1| = limx→1−
x2 −1
−(x −1) = limx→1−−(x +1) =−2.
b) Não existe lim
x→1 f (x), pois limx→1+
f (x) = 2 6= −2 = lim
x→1− f (x).
c) Para esboçar o gráfico de f , observe que podemos reescrever sua lei de formação da seguinte forma:
f (x) = x
2 −1
|x −1| =
{
x +1, se x > 1
−(x +1), se x < 1 .
Portanto, o gráfico de f é dado por
Questão 4: [2,5 pts] Calcule os limites abaixo, justificando todas as suas respostas.
a) [0,5 pto] lim
x→+∞
p
x +5p
x +5
b) [1,0 pto] lim
x→+∞
ex
x
c) [1,0 pto] lim
x→0
|2x −1|− |2x +1|
x
Solução:
a) lim
x→+∞
p
x +5p
x +5 = limx→+∞
p
x
p
1+5/xp
x(1+5/px) = limx→+∞
p
1+5/x
(1+5/px) = 1.
b) Observe que as imagens da função exponencial f (x) = ex crescem muito mais rápido do que as ima-
gens da função g (x) = x, quando x →+∞. Este fato pode ser constatado através da comparação entre
os gráficos de f e g , como vemos abaixo.
2
Dessa forma, como o crescimento do numerador da função h(x) = e
x
x
é muito superior ao cresci-
mento do seu denominador à medida que x se torna arbitrariamente grande, segue que lim
x→+∞
ex
x
=
+∞.
Confira abaixo o gráfico da função h(x) = e
x
x
.
c) Para calcular lim
x→0
|2x −1|− |2x +1|
x
, devemos analisar o sinal de cada função dentro dos módulos
quando x está arbitrariamente próximo de zero. Assim, para
−1
2
< x < 1
2
, temos
2x −1 < 0 e 2x +1 > 0.
Portanto, |2x −1| = −(2x −1) e |2x +1| = 2x +1, sempre que −1
2
< x < 1
2
.
Logo,
lim
x→0
|2x −1|− |2x +1|
x
= lim
x→0
−(2x −1)− (2x +1)
x
= lim
x→0
−2x +1−2x −1
x
= lim
x→0
−4x
x
=−4.
3