AD1_PreCalculoEng_2017_1_gabarito

Prévia do material em texto

Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2017/1
Questão 1: (2,0 pontos) Considere a equação abaixo e faça o que se pede:
(3x)(
√
7− 1) = 1
1
3
− 1
7
.
a. [1,0] Mostre que o valor de x na equação acima é um número irracional e encontre q1 e
q2 ∈ Q tais que q1 < x < q2. Justifique sua resposta.
b. [1,0] O valor de x encontrado acima é maior do que 1/2? Justifique.
Solução:
a) Temos que a fração do segundo membro é
1
7− 3
21
,
donde ficamos com
21
4
.
Isolando x no primeiro membro, temos
x =
7
4
· 1
(
√
7− 1)
=
7
4
· 1
(
√
7− 1)
× (
√
7 + 1)
(
√
7 + 1)
,
e dáı ficamos com
x =
7 · (
√
7 + 1)
4 · 6
=
7 · (
√
7 + 1)
24
.
Temos que x é irracional pois:
√
7 é irracional (sendo raiz quadrada de um número primo),
e logo
√
7+1 é irracional (soma de irracional com racional); conclúımos que x é o produto
de um irracional com o racional 7/24, e por isso irracional. Como 2 <
√
7 < 3, então
3 <
√
7 + 1 < 4, e assim temos que x =
7 · (
√
7 + 1)
24
satisfaz
3 · 7
24
< x < 4 · 7
24
,
ou ainda (cancelando 3 e 4 com 24),
7
8
< x <
7
6
.
b) Sim, pois temos 7
8
> 1/2. Para ver isso, basta supor, por contradição, que
7
8
<
1
2
.
Teŕıamos então
7 <
8
2
= 4,
absurdo. Logo,
1
2
<
7
8
< x.
Página 1 de 4
Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2017/1
Questão 2: (3,0 pontos) Estude o sinal da expressão
2x3 − 6x
2− |x|
.
Solução:Fatorando a expressão, obtemos:
2x3 − 6x
2− |x|
=︸︷︷︸
1
2x(x2 − 3)
2− |x|
=︸︷︷︸
2
2x(x−
√
3)(x +
√
3)
2− |x|
Em (1) a expressão 2x foi colocada em evidência e (2) foi utilizado o produto notável
a2 − b2 = (a− b)(a + b).
Os números que zeram cada uma das parcelas são: −2,−
√
3, 0,
√
3, 2.
Ordenando esses números: −2 < −
√
3 < 0 <
√
3 < 2.
Repare que para x = −2 e x = 2, o denominador se anula, e, por isso, a expressão não está
definida.
Logo, temos a seguinte tabela de sinais.
x < −2 −2 < x < −
√
3 −
√
3 < x < 0 0 < x <
√
3
√
3 < x < 2 x > 2
2x − − − + + +
x +
√
3 − − + + + +
x−
√
3 − − − − + +
2− |x| − + + + + −
2x3 − 6x
2− |x|
+ − + − + −
Observando a tabela,
2x3 − 6x
2− |x|
> 0 em (−∞;−2) ∪ (−
√
3; 0) ∪ (
√
3, 2)
2x3 − 6x
2− |x|
= 0, para x = −
√
3, x = 0 e x =
√
3
2x3 − 6x
2− |x|
< 0 em (−2;−
√
3) ∪ (0;
√
3) ∪ (2; +∞)
2x3 − 6x
2− |x|
não está definida para x = −2 e x = 2.
Questão 3: (3,0 pontos) Considere a equação
√
10− 2|x + 3| = 2.
Faça o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
10− 2|x + 3| existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equação
√
10− 2|x + 3| = 2.
Solução:
a) Para que a expressão no primeiro membro seja real, precisamos de que 10− 2|x + 3| ≥ 0.
Ou seja, |x + 3| ≤ 5, o que é equivalente a
Página 2 de 4
Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2017/1
−5 ≤ x + 3 ≤ 5,
ou ainda
−8 ≤ x ≤ 2.
Assim, conclúımos que toda solução x da equação, se existir, deve satisfazer x ∈ [−8, 2].
Se a equação do enunciado é satisfeita, também será a mesma com cada membro elevado
ao quadrado: 10− 2|x + 3| = 4, e assim, |x + 3| = 3.
Logo, x = −6 ou x = 0.
Como a equação pode ser resolvida para todo x ∈ [−8, 2], então x = −6 ou x = 0 são
soluções posśıveis.
Como elevamos ambos os lados ao quadrado, é preciso verificar se essas posśıveis soluções
são de fato soluções da equação do enunciado.
Substituindo x = −6 na equação,
√
10− 2| − 6 + 3| =
√
10− 2| − 3| =
√
10− 6 =
√
4 = 2.
Logo, x = −6 é solução da equação.
Substituindo x = 0 na equação,
√
10− 2|0 + 3| =
√
10− 2|3| =
√
10− 6 =
√
4 = 2
Logo, x = 0 é solução da equação.
Portanto, o conjunto solução é {−6, 0}.
Questão 4: Em uma certa cidade, uma região está sendo urbanizada e os engenheiros repre-
sentam a mesma no plano cartesiano, onde os locais são pontos e as vias são representadas por
retas ou segmentos de reta. Considere uma certa rua r1 que será asfaltada, e passa pelo posto
de gasolina, representado por (1, 0), e pela escola pública da região, no ponto (−1, 3).
a. [1,0 ponto] Encontre a equação da reta que representa a rua r2 a ser constrúıda, que
cruzará r1 perpendicularmente e passará pelo Centro Esportivo (3, 1). A rua r2 passará
pelo cinema da região, na origem?
b. [1,0 ponto] Na rua r2 do item (a), existe um supermercado cuja abcissa no plano é x0 = 2.
Suponha que a casa do Sr. José se encontra na rua r1 e tem ordenada y0 = −4, e que
passa um riacho entre o supermercado e a casa do Sr. José. Determine o comprimento da
ponte que será constrúıda entre a casa e o supermercado.
Solução:
Página 3 de 4
Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2017/1
a) Precisamos encontrar a equação da reta r1. Seja m1 sua inclinação (coeficiente angular).
Ela passa por A = (1, 0) e por B = (−1, 3). Aplicando a fórmula
m1 =
y2 − y1
x2 − x1
a A e B, temos
m1 =
3− 0
−1− 1
= −3
2
,
e assim, a equação de s é y = −3x
2
+ b1, onde b1 é o termo independente. Como a reta
passa por A = (1, 0), podemos substituir estes valores na equação de r1 para encontrar b1:
0 =
−3
2
+ b1, o que nos dá b1 =
3
2
.
Se r2 é uma reta perpendicular à reta r1, então sua inclinação é −
1
m
=
2
3
. Aplicando a
equação do coeficiente angular citada acima para a reta r2, que passa por (3, 1), temos
y − 1
x− 3
=
2
3
,
e a partir desta igualdade conclúımos que a equação da reta r é
y =
2x
3
.
Ou seja, sim, a rua r2 passará pelo cinema, já que (0, 0) satisfaz a equação encontrada
acima.
b) Se o ponto está em r2 e a abcissa é x0 = 2, então sua ordenada é y = 4/3. Assim, o
supermercado é representado pelo ponto (2, 4/3). A casa do Sr. José fica na rua r1, de
equação
y = −3
2
x +
3
2
.
Se a ordenada deste ponto é −4, então temos
−4 = −3
2
x +
3
2
,
donde
−4− 3
2
= −11
2
= −3
2
x.
Logo, sua abcissa é x = 11/3. O comprimento da ponte é a distância entre os pontos
(2, 4/3) e (11/3,−4):
d(P,Q) =
√
(2− 11/3)2 + (4/3− (−4))2 =
√
(−5/3)2 + (20/3)2
=
√
25 + 400
9
=
√
425
9
=
√
25 · 17
9
=
5
3
·
√
17.
Página 4 de 4