Lista 2_Determinantes-convertido

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2 ª Lista de exercícios – Determinantes – 
 
 
1) Ache o valor dos determinantes: 
 
 a) 
5 2
3 1
−
−
 
 b) 
6 4
2 3
−
 
 c) 
2 2 3
6 5
 
 d) 5 
 e) 
1 2
2 4
 
 f) π 
 
 g) 
π
sen 3
6
-1 8
 
 h) 
3
π
tg 81
3
1
log 27
3
 
 i) 
2log 8 3
4 -1
 
 j) 
2
0
-1 cos 2π
3 1
2) Resolva as equações: 
 
 a) 
x x + 2
5 7
 = 0 
 b) 
x x + 4
5 2
 = 0 
 c) 
x + 3 x - 1
4 3
 = 0 
 d) 
x - 1 1
3 9
x + 1
18
2
 = 0 
 e) 4
cos x 4
2 2
 = 0 
 f) 
x + 3 5
1 x - 1
 = 0 
 g) 
2logx 16
4 128
 = 0
 
3) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 2ª ordem tal que aij = i
2 + i . j. Calcule det A. 
 
4) Sabendo-se que a = 
3 2
5 1
−
−
 e b = 
2 6
4 10
, calcule o valor de 3a + b2. 
 
60) Resolvas as inequações: 
 a) 
x + 5 2x
8 4
 < 0 b) 
x 2
5 x + 1
 ≥ 
 5 -x
-1 x
 
5) Dada a matriz A = 
2 4
1 3
 
 
 
, calcule: 
 a) det A b) det A2 c) det A-1
 
 
6) Calcule o determinante da matriz 
b
a
1 loga
logb 1
 
 
 
. 
 
 
 
 
7) (Mack-SP) Determine o conjunto solução da equação 
1 x
1 11 1
 = 
1 1 x 1
x 1
. 
 
8) Dadas as matrizes A =  5 , B = 
-1 2
 3 -5
 
 
 
 e C = 
2 -2
3 0
 
 
 
, calcule:
 a) det A 
 b) det B 
 c) det C 
 d) det A – det B 
 e) det B . det C 
 f) det (B – C) 
 g) (det C)B 
 h) 2 . det B 
 i) det (2B) 
 j) det (I2 + C)
 
9) Encontre o valor de cada um dos determinantes: 
 a) 
3 2 5
4 1 3
2 3 4
 
 b) 
 0 3 0
-2 3 1
 4 -2 5
 
 c) 
2 2 0
1 1 1
4 3 0
 
 d) 
0 5 3
0 4 -2
0 1 6
 
 e) 
2
-1 0
π
sen -1 1
2
log 1 0 -1
3π
cos 2 3
2
 
10) Sabendo que a = 
1 3
2 2
 e b = 
1 3 1
2 2 1
1 1 3
, efetue a2 – 2b. 
 
11) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que mij = 
 0, se i < j
i + j, se i = j
 i - j, se i > j





. Ache o valor do 
determinante de M. 
 
12) Resolva as equações: 
 a) 
2 4 1
2 4 x
3 1 2
 = 0 b) 
x + 1 3 x
3 x 1
x 2 x - 1
 = 0
 
13) Para que valores reais de x o determinante 
x 0 1
0 x 0
1 0 1
 é positivo? 
 
 
 
 
 
14) Se A = 
2 1 1
3 1 2
1 -1 0
 
 
 
  
 e f(x) = x2 – x – 1, calcule f
1
det A
 
− 
 
. 
 
15) (Carlos Chagas-SP) Sendo x ≠ 0 e y, respectivamente, os determinantes das matrizes 
a b
c d
 
 
 
 e 
-2a 2c
-3b 3d
 
 
 
, então 
y
x
 vale: 
 a) 36 b) 12 c) -6 d) -12 e) -36
 
16) (FUVEST-SP) O determinante da matriz 
a b
b a
 
 
 
, onde 2a = ex + e–-x e 2b = ex – e–-x, é igual a: 
 a) 1 b) -1 c) ex d) e–-x e) zero
 
17) (UFPel-RS) O número de raízes da equação 
x
x
x
0 3 1
0 3 2
4 3 3
 = 0 é:
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
 
18) Calcule 
0 2 3
0 5 1
0 1 -3
 • 
100 400 700
200 500 800
300 600 900
. 
 
 
 
19) Seja a matriz A = 
 1 -3 0
 2 4 5
-1 -2 6
 
 
 
 
 
, determine: 
 a) D11 b) D12 c) D22 d) D23 e) D31 f) D32.
 
20) Dada a matriz A = 
-2 3 1
-1 0 4
 1 -2 3
 
 
 
  
, determine: 
 a) cof (a12) b) cof (a31) c) cof (a22) d) cof (a13) e) cof (a23) f) cof (a32)
 
21) Seja A a matriz quadrada de 3ª ordem em que aij = i + j. Determine o cofator a32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Usando o teorema de Laplace, calcule os determinantes a seguir: 
 
 a) 
2 3 -5
1 2 0
4 -1 6
 b) 
 3 1 2
 4 -3 1
-1 6 5
 c) 
 1 9 6
-8 4 7
 0 0 1
 
23) Dadas as matrizes A = 
2 0 1
3 2 -3
 
 
 
 e B = 
1 4 0
2 -1 1
 
 
 
, calcule o valor do det (At.B). 
 
 
24) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o teorema de Laplace. 
 
 a) 
2 3 -1 2
0 4 -3 5
1 2 1 3
0 4 1 0
 b) 
-1 3 -1 4
 2 1 0 2
 0 -1 2 3
 0 4 1 -2
 c) 
 3 -1 0 0
 2 1 5 4
 3 2 1 0
-1 4 -2 3
 d) 
 0 0 0 3
-1 2 1 4
 3 4 6 -1
 2 0 4 1
 
25) Determine o conjunto solução das equações: 
 
 a) 
2 0 0 0
1 x x -1
x 1 2 -4
2 4 6 -2
 = 6 b) 
1 0 2 0
2 0 0 -x
3 1 x -2
4 0 1 x
 = 39
 
26) Dê o valor do determinante 
1 2 3 -4 2
0 -1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 -5 5 1 4
0 1 0 -1 2
. 
 
27) Encontre os valores de a para os quais 
1 a a 0
a 1 0 a
a 0 1 a
0 a a 1
 > 0. 
 
 
28) Todos os determinantes abaixo são iguais a zero. Escreva, em cada caso, a propriedade que se usa 
para justificar esse valor: 
 a) 
4 0 21
3 0 42
5 0 63
 b) 
-2 2 3 4
-1 3 5 5
-1 1 6 6
 0 0 0 0
 c) 
-1 4 -1
 2 -6 2
 3 -1 3
 d) 
 1 4 1
 2 8 2
-1 -4 3
 
 e) 
30 0 4 30
10 2 1 10
70 -2 1 70
54 2 5 54
 f) 
 4 3 2 1
-1 2 0 -3
 5 1 -6 6
20 15 10 5
 g) 
 6 3 4
-9 7 6
-3 10 10
 h) 
1 3 1
2 7 2
5 5 5
 i) 
4 1
20 5
 
 j) 
 3 2 3
-1 5 -1
 4 0 4
 l) 
0 2 6 10
0 3 7 11
0 4 8 12
0 5 13 21
 m) 
1 2 3
4 5 6
5 7 9
 n) 
-7 -3 0
 4 5 6
-7 -3 0
 o) 
1 1 1 2
1 1 2 1
2 2 3 3
4 5 6 7
 
 p) 
-5 4 2 -1
 0 0 0 0
 3 5 1 8
 4 2 1 6
 q) 
-1 1 0 -3
 3 2 5 13
 2 6 8 13
 4 5 9 7
 r) 
1 3
1 3
 s) 
 7 0
-8 0
 t) 
2 -3 4
1 8 5
2 -3 4
 
 u) 
3 1
6 2
 v) 
-4 5 1
-8 10 2
 1 3 4
 x) 
3 4 5
1 2 -3
4 6 2
 z) 
 1 3 5
 2 0 4
-1 4 2
 
 
29) Sem desenvolver os determinantes, calcule o valor de: 
 y = 
1 5
3 15
 + 2 . 
8 4 2 5
2 1 7 9
0 0 4 5
4 2 14 18
 + 
3 -2 3
5 0 5
1 3 1
 
 
 
30) Calcule 
1 1 5 -1 7
0 2 7 -2 8
0 0 3 -3 9
0 0 0 4 6
0 0 0 0 5
 + 
-5 8 9 6 8 6
-7 3 7 4 5 0
 8 2 5 4 0 0
 9 1 3 0 0 0
10 2 0 0 0 0
 1 0 0 0 0 0
. 
 
31) (FGV-SP) Considere as matrizes A = 
2 -1
0 7
 
 
 
 e B = 
2 -2
1 4
 
 
 
, determine det (AB). 
 
32) Sabendo que o determinante da matriz A = 
 x 0 0 0 0
 5 1 2 0 0 0
 0 1 x 0 0
-2 3 1 -3 0
-4 3 5 -1 3 2
 
 
 
 
 
 
  
 é igual a -75, calcule o valor de 
x. 
 
33) Sabendo que o determinante 
10 4 1 -1 0,1
0 x 2 0 -1
0 0 0,1 4 5
0 0 0 13 1
0 0 0 0 x
 é igual a 3 , calcule o valor positivo de x. 
 
34) Sabendo que A e B são duas matrizes quadradas de ordem 4 e que det A = 3 e det B = -5, calcule: 
 a) det (At) b) det (Bt) 
 
35) Sabendo que 
x y
z w
 = 4, calcule, sem desenvolver o determinante: 
 a) 
z w
x y
 b) 
5x 5y
z w
 c) 
x y
5z 5w
 d) 
5x 5y
5z 5w
 
36) Se 
a b c
d e f
g h i
 = -10, qual é o valor de: 
 a) 
a b c
2d 2e 2f
3g 3h 3i
 b) 
b a 4c
e d 4f
h g 4i
 
37) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 5, qual é o valor de det (3A)? 
 
38) P é uma matriz quadrada de ordem 3, det P = 7. Determine o valor de x, sabendo que 
det (2P) = 2x + 6. 
 
 
39) A é uma matriz quadrada de ordem 6 e det A = x. Qual é o valor do determinante da matriz obtida 
a partir de A quando suas duas primeiras linhas são multiplicadas por 2, as duas linhas seguintes são 
multiplicadas por 3 e as duas últimas são divididas por 6? 
 
40) Sabendo-se que A e B são matrizes quadradas de ordem 2, det A = 20, det Bt = -5, qual é o valor 
de det (AB)? 
 
41) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det A = 5 e det B = 3. Qual é o valor de:
 a) det (AB) b) det (BtAt) c) det (2At)
 
42) (U. F. Viçosa-MG) Seja a matriz A2x2 cujo determinante, det A, é igual a 3. O valor de 
det A + det 2A + det 3A + det 4A é:
 a) 90 b) 168 c) 162 d) 30 e) 12
 
43) Se det A = 20, calcule det (At). 
 
44) Se det A = 
a b
c d
 = 10, calcule: 
 a) det B = 
b a
d c
 b) det B = 
4a 4b
c d
 
45) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A = 6 e det B = 4, 
calcule det (AB). 
 
 
46) Calcule os determinantes abaixo usando a regra de Chió. 
 
 a) 
1 4 3
2 -1 2
0 -2 1
 b) 
 1 3 2 -1
 5 3 0 4
-2 1 1 -22 5 4 -2
 c) 
1 0 4 3
3 1 -1 -2
2 5 -1 2
0 1 -2 1
 d) 
1 0 4
2 5 -1
0 1 -2
 
47) Use a regra de Chió e verifique que 
2
2
2
1 a a
1 b b
1 c c
 = (a – b) (b – c) (c – a). 
 
48) Encontre as inversas das matrizes abaixo usando o processo dos cofatores: 
 
 a) A = 
1 2
3 4
 
 
 
 b) B = 
1 0 1
1 1 0
0 1 1
 
 
 
  
 c) C = 
2 2 3
1 1 0
1 1 3
 
 
 
  
 d) D = 
1 3
2 4
 
 
 
 
49) Determine a condição de m para que as matrizes abaixo sejam inversíveis: 
 
 a) A = 
m 4
9 m
 
 
 
 b) B = 
m 2 3
1 3 m
3 5 5
 
 
 
  
 c) C = 
1 1
2 log mlog (4m - 4)
 
 
 
 
 
50) Determine a condição de a para que as matrizes abaixo sejam singulares: 
 
 a) A = 
a - 1 5
a - 2 4
 
 
 
 b) B = 
1 a 2
2 -1 a
3 1 4
 
 
 
  
 
51) (FAAP-SP) Dada a matriz A = 
1 2
0 -3
 
 
 
, calcule o determinante da matriz inversa de A. 
 
52) Calcule o determinante para as matrizes de Vandermonde: 
 a) 
1 1 1
2 3 4
4 9 16
 
 
 
  
 b) 
 1 1 1
-3 4 -5
 9 16 25
 
 
 
  
 c) 
1 1 1
1 1 1
2 3 4
1 1 1
4 9 1 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53) (FEI-SP) Para que o determinante da matriz 
1 + a -1
3 1 - a
 
 
 
 seja nulo, o valor a deve ser: 
 a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4
54) Resolva as equações: 
 
 a) 
2
1 1 1
x 1 2
x 1 4
 = 0 b) 
2
1 1 1
3 2 x
9 4 x
 = 0 
 
55) (FAAP-SP) Calcule 
2 2 2
1 1 1
log 7 log70 log700
(log 7) (log70) (log700)
. 
 
56) Dada a matriz A = 
1 3
2 9
 
 
 
, calcule: 
 a) det A b) det (2A) c) det (3A) d) det (4A)
 
57) (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det (M) = 2. O valor da 
expressão det (M) + det (2M) + det (3M) é:
 a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72
 
58) (UFSC) Considere as matrizes A = 
 1 0
-1 -1
 1 1
 
 
 
  
 e B = 
0 1 2
3 4 5
 
 
 
 e n = det (AB). Calcule 7n. 
 
59) (UFRS) Sendo A = (aij) de ordem 2 e aij = i
2 – j, determine o determinante da matriz A. 
 
60) (UNITAU-SP) Sendo B = (bij)2x2, onde bij = 
 1, se i = j
-2ij, se i < j
 3j, se i > j





. Calcule o det (Bt). 
 
61) (UEL-PR) Seja a matriz A = (aij)3x3, tal que aij = 
2logx, se i = j
 0, se i j



. Se o determinante de A é igual a 
–27, o valor de x é: 
 a) 
1
8
 b) 
1
4
 c) 
1
2
 
 d) 4 
 
 e) 8
 
62) (PUCCAMP-SP) São dadas as matrizes A = 
 3 2
-1 2
 
 
 
 e B = 
1 0
1 -2
 
 
 
. Se A•B-1 = C, o determinante 
de A – B + C é igual a:
 a) 24 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12
 
63) (OSEC-93) Dadas as matrizes A = 
0 1
2 -1
 
 
 
 e B = 
-1 0
 2 1
 
 
 
, calcule C = B – 2A. Determine o 
produto dos elementos da diagonal principal da matriz C? 
 
64) (UFRN) Se a e b são soluções do sistema 
x 3
 = -24
y 4
x + y = 15





, então ab vale: 
 a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 
 
65) (GV-74) O determinante 
5 5
5 5
3 3
2 log5 log5
5 log125 log25
8 log27 log243
 tem por valor: 
 a) 0 b) 1 c) 90 d) 80 e) 122
 
 
 
66) (VUNESP-84) O produto das matrizes 
2 2
-
2 2
2 2
 
2 2
 
 
 
 
 
 
3 1
-
2 2
1 3
 
2 2
 
 
 
 
 
 
 é uma matriz de determinante: 
 a) igual ao determinante de cada uma delas b) igual a zero 
 c) menor que zero d) com valor absoluto menor que 1 
 e) maior que o determinante de cada uma delas 
 
67) (U.F.CEARÁ) – Sejam as matrizes P1 = 
1 1
0 1
 
 
 
, P2 = 
2 3
0 2
 
 
 
 e I = 
1 0
0 1
 
 
 
. Se (2 – n) . I + n . P1 
= P2, então n
2 – 4n + 7 é igual a: 
 a) 6 b) 7 c) 10 d) 15 e) 16
 
68) (FEI-68) Seja M a matriz quadrada de 3ª ordem em que aij = 2i – j. Então, o complemento 
algébrico do elemento a12 vale: 
 a) -4 b) 4 c) 0 d) 3 e) n.d.a. 
 
69) (UNESP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 
crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, conclui-se que o 
peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde A = 
1 -1 1
3 0 -x
0 2 2/3
 
 
 
  
. 
Com base na fórmula p(x) = det A, determine: 
 a) o peso médio de uma criança de 5 anos; 
 b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. 
 
70) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)4x4 onde aij = (-
1)i + (-1)j. 
 
71) Resolva a equação A–X = B sendo dadas A = (aij)2x2 com aij = i
2 + 2i – j e B = (bij)2x2 
com bij = aij. 
 
72) Sejam A1, A2 e A3 os vértices de um triângulo eqüilátero de lado l. Forme a matriz 
(aij)3x3 onde aij é a distância entre os vértices Ai e Aj, 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3. 
 
73) (UF-BA) O valor de 
( )
1
1
22 2
3 5
−
 é: 
 a) 
1
2
2
− b) 2 2 c) 
5
2 - 6
2
 d) 
5 + 2
3 + 2
 e) 
10
 - 6
10
 
 
74) (Sta. Casa-SP) Seja a matriz (aij)4x4 
2
3
0 1 log 1 2
3 sen π (-3) 0
π
1 cos 0 ( 1)
3
1 1 1 1
 
 
 
 
− 
 
  
. O cofator de a31 é: 
 
 
 
 a) -27 
 b) -18 
 c) -9 
 d) 0 
 e)1