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TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Sara Del Vecchio
Juiz de Fora, 2º semestre - 2019
Profa. Sara Del Vecchio
Engenharia Mecatrônica
1- Analogia com sistemas elétricos
Transferência de Calor
Profa. Sara Del Vecchio
Condução: Lei de Fourier
Processos de transferência de calor: definições
Profa. Sara Del Vecchio
qx
'
=−k
dT
dx
k:condutividade térmica (W/(m K))
dT
dx
=
(T 2−T 1)
L
qx
'
=−k
(T 2−T 1)
L
=k
(Δ T )
L
Convecção: Lei do resfriamento de Newton
Processos de transferência de calor: definições
Profa. Sara Del Vecchio
q
'
=h(T s−T∞)
h:coeficiente convectivo (W/(m2 K))
q
'
=h(T
∞
−T s)
Radiação: Lei de Stefan-Boltzmann
Processos de transferência de calor: definições
Profa. Sara Del Vecchio
E n=σT s
4
E
n 
: poder emissivo (W/m2)
T
s
:temperatura absoluta da superfície
σ: constante de Stefan-Boltzmann vectivo σ=5,67x10-8(W/(m2 K4))
Radiador ideal ou corpo negro
E n=εσT s
4
ε: emissividade 0≤ε≤1
Trocas reais
Radiação: Lei de Stefan-Boltzmann
Processos de transferência de calor: definições
Profa. Sara Del Vecchio
G : irradiação
T
viz
:temperatura absoluta da vizinhança
α: absortividade 0≤α≤1
   44 vizssn'rad TTεσ=αGTεE=
A
q
=q 
 vizsr
'
rad TTh=q 
  22 vizsvizsr T+TT+T=h 
Processos de transferência de calor: definições
Profa. Sara Del Vecchio
Analogia com Circuito Elétrico
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Circuito 
Elétrico
Circuito 
Térmico
T∞1
T∞2
T1 T2
q
L
h1
h2
el
V
i
R


T
T
q
R


R1 R2 R3
i
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Condução
Convecção
Radiação
Analogia com Circuito Elétrico
T
q A
L

 
q hA T 
rq h A T 
cond
L
R
A


conv
1
R
h A

rad
r
1
R
h A

el
U
i
R


T
T
q
R

Elétrico Térmico
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Analogia com Circuito Elétrico
Para parede plana com convecção em ambos os lados, tem-se:
1 2
T
(T T )
q
R
 
T∞1
T∞2
T1 T2
q
L
h1
h2
1 2
1 2
(T T )
q
1 L 1
h A A h A
 
 

1 2
conv1 cond conv2
(T T )
q
R R R
 
 
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Paredes Compostas em Série
1 2
31 2
1 1 2 3 2
(T T )
q
L1 L L 1
h A A A A h A
 
   
  
T∞1
T∞2
T1
T4
q
L2
h1
h2L3L1
T2 T3
●
●
●
● 21 3
Rconv1 Rconv2Rcond3Rcond2Rcond1
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Paredes Compostas em Série-paralelo
T∞1
T∞2
T1 T2
q
L2
h1
h2
L3L1
●
21 4
Rconv1 Rconv2Rcond4
Rcond2
Rcond1
3
●
Rcond3
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Paredes Compostas em Série-paralelo
 
2conv4cond3,2cond1cond1conv
21
RRRRR
TT
q


 
11
1conv
Ah
1
R 
22
2conv
Ah
1
R 
11
1
1cond
A
L
R


44
4
4cond
A
L
R


33
2
22
23,2cond
A
L
1
A
L
1
R
1


onde
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Exercícios:
(3.5 do Incropera) As paredes de uma geladeira são tipicamente
construídas com uma camada de isolante entre dois painéis de
folhas de metal. Considere uma parede feita com isolante de fibra de
vidro, com condutividade térmica ki=0,046 W/(mK) e espessura
Li=50mm, e painéis de aço, cada um com condutividade térmica
kp=60W/(mK) e espessura Lp=3mm. Com a parede separando ar
refrigerado a T,i=4
oC do ar ambiente a T,e=25
oC determine o ganho
de calor por unidade de área superficial. Os coeficientes associados
à convecção natural nas superfícies interna e externa podem ser
aproximados por hi=he=5W/(m
2K).
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Exercícios:
(3.9 do Incropera) A parede composta de um forno possui três
materiais, dois dos quais com condutividade térmica, kA=20W/(mK) e
kc=50W/(mK), e espessura LA=0,30m e LC=0,15m conhecidas. O
terceiro material, B que se encontra entre os materiais A e C possui
espessura LB=0,15m conhecida, mas sua condutividade térmica kB é
desconhecida. Sob condições de operação em regime estacionário,
medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de
Ts,e=20
oC, uma temperatura na superfície interna de Ts,i=600
oC e uma
temperatura do ar no interior do forno de T=800
oC. O coeficiente
convectivo interno h é conhecido, sendo igual a 25W/(m2K). Qual é o
valor de kB?
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Resistência Térmica de Contato
T
x
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Resistência Térmica de Contato
 Ocorre principalmente devido a efeitos de rugosidade
 Para sólidos com  maior que o do fluido interfacial
- Rc diminui com o aumento da pressão de contato
- Rc diminui com a redução da rugosidade das superfícies 
- Em paredes compostas representa uma resistência adicional
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração de 
calor, em regime estacionário, com  constante
Sistemas Radiais
r1
r2
Fluido frio
T2, h2
Ts1
Fluido quente
T1, h1
L
Ts2
d dT
r 0
dr dr
 
 
 
1 s1
2 s2
para r r T T
para r r T T
  
  
Condição de contorno
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Integrando a 1a vez
1
d dT dT
r dr 0dr r C 0
dr dr dr
 
    
  
Dividindo por r e integrando a 2a vez
1
1 2
dT C
dr dr 0 T C lnr C 0
dr r
      
1 2T C lnr C  
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
(3.1)
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Aplicando as condições de contorno em
1 s1 1 1 2
2 s2 1 2 2
para r r T C lnr C
para r r T C lnr C
    
    
1 2T C lnr C  
(3.2)
(3.3)
de (3.2) 2 1 1 s1C C lnr T  
(3.5)
(3.4) em (3.3) s2 1 2 1 1 s1T C lnr C lnr T   
1
s2 1 s1
2
r
T C ln T
r
 
   
   
s2 s1
1
1 2
T T
C
ln r / r


(3.4)
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Substituindo as expressões de C1 e C2 em
 
s2 s1
2 1 s1
1 2
T T
C lnr T
ln r / r

   (3.6)
(3.5) em (3.4)
   
s2 s1 s2 s1
1 s1
1 2 1 2
T T T T
T lnr lnr T
ln r / r ln r / r
 
   
1 2T C lnr C  
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Rearranjando a equação
   
s2 s1 s2 s1
1 s1
1 2 1 2
T T T T
T lnr lnr T
ln r / r ln r / r
 
   
   
s1 s2 s1 s2
1 s1
1 2 1 2
T T T T
T lnr lnr T
ln r / r ln r / r
 
  
 
 s1 s2 1 s1
1 2
T T
T lnr lnr T
ln r / r

  
 
 s1 s2 1 s1
1 2
T T
T ln r / r T
ln r / r

 
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Aplicando a distribuição de temperatura encontrada na 
Lei de Fourier, resulta:
 
 s1 s2 1 s1
1 2
T TdT d
q A A ln r / r T
dr dr ln r / r
 
     
 
ou
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
 
s1 s2
1 2
T T2 rL
q
r ln r / r
 
 
 
s1 s2
2 1
T T
q 2 L
ln r / r

  
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Fazendo analogia com circuito elétrico
logo
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
 
s1 s2
2 1
T T
q 2 L
ln r / r

  
el
V
i
R


T
T
q
R

Elétrico Térmico 2 1
T
ln r / r
R
2 L

 
Para o cilindro
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Para uma parede cilíndrica composta
a) Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração 
de calor, em regime estacionário 
   
1 2
3 22 1
1 1 1 2 3 2
(T T )
q
ln r / rln r / r1 1
2 r Lh 2 L 2 L 2 r Lh
 
  
     
r1 r2
r3
T1, h1
T2, h2
21
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Exercícios:
Um tubo de aço com 5cm de diâmetro interno e 7,6 cm de diâmetro
externo, tendo k=15W/(moC), está recoberto por uma camada
isolante de espessura t=2cm e k=0,2W/(moC). Um gás, aquecido a
Ta=330
oC, ha=400W/(m
2oC), flui no interior do tubo. A superfície
externa do isolante está exposta ao ar mais frio a Tb=30
oC com
hb=60W/(m
2oC).
Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de H=10m do
tubo.
Calcule as quedas de temperatura resultantes das resistências
térmicas do fluxo de gás quente, do tubo de aço, da camada isolante
e do ar externo.
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Exercícios:
O sistema de aquecimento a ser utilizado em um submarino está sendo
projetado para oferecer uma temperatura confortável mínima de 20oC no interior
do equipamento. O submarino pode ser modelado como um tubo de seção
circular, com 9m de diâmetro interno e 60 metros de comprimento. O
coeficiente combinado (radiação e convecção) de transferência de calor na
parte interna vale aproximadamente 14W/(m2K), enquanto na parte externa o
valor varia entre 6W/(m2K) e 850W/(m2K) (correspondente ao submarino parado
e em velocidade máxima). A temperatura da água do mar varia de 1oC a 13oC. As
paredes do submarino são constituídas de (de dentro para fora): uma camada
de alumínio de 6,3mm de espessura, uma camada de isolamento em fibra de
vidro com 25mm de espessura e uma camada de aço inoxidável com 19mm de
espessura. Para o aço, =8055kg/m3, cp=480J/(kgK), k=15,1W/(moC). Para a fibra
de vidro =200kg/m3, cp=670J/(kgK), k=0,035W/(m
oC). Para o alumínio
=2702kg/m3, cp=903J/(kgK), k=237W/(m
oC).
(a) Mostrar esquematicamente o circuito térmico equivalente, indicando como é
determinada cada resistência;
(b) Determinar a capacidade mínima da unidade de aquecimento para atender a
temperatura de conforto;
(c) Determinar o coeficiente global de transferência de calor, baseado na
superfície interna do submarino, na situação mais crítica de operação.
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
b) Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e 
em regime estacionário
Profa. Sara Del Vecchio
Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
b) Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e 
em regime estacionário
Método Alternativo
Pela lei de Fourier
r
dT
q A
dr
    2r dTq 4 r
dr
  
Como q é constante e independente de r
r T2 s2
r r
2 2
r T1 s1
q q dr
dr dT dT
44 r r
     
  
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
b) Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e 
em regime estacionário
Considerando  constante e integrando
r T r2 s2 2
Tr r s2
T2 s1
rr T 11 s1
q dr q 1
dT T
4 4 rr
      
  
 r s2 s1
2 1
q 1 1
T T
4 r r
 
     
  
 r s1 s2
1 2
q 1 1
T T
4 r r
 
    
  
Profa. Sara Del Vecchio
b) Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e 
em regime estacionário
Logo
 s1 s2
r
1 2
T T
q
1 1 1
4 r r


 
 
  
então
t,cond
1 2
1 1 1
R
4 r r
 
  
  
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Coeficiente global de transferência de calor
Em sistemas compostos, é frequentemente conveniente o trabalho com um coeficiente
global de transferência de calor, U, que é definido por uma expressão análoga à lei do
resfriamento de Newton.
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Coeficiente global de transferência de calor
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Coeficiente global de transferência de calor
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Condução unidimensional de calor em regime 
estacionário
Coeficiente global de transferência de calor