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H L Royden - [solutions of problems from] Real Analysis

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Real Analysis
by
H. L. Royden
Contents
1 Set Theory 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Unions, intersections and complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Algebras of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 The axiom of choice and infinite direct products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Countable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Relations and equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.8 Partial orderings and the maximal principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.9 Well ordering and the countable ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 The Real Number System 5
2.1 Axioms for the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 The natural and rational numbers as subsets of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 The extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Sequences of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Open and closed sets of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Lebesgue Measure 13
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Outer measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Measurable sets and Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 A nonmeasurable set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Littlewood’s three principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 The Lebesgue Integral 18
4.1 The Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 The Lebesgue integral of a bounded function over a set of finite measure . . . . . . . . . . 18
4.3 The integral of a nonnegative function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 The general Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Convergence in measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Differentiation and Integration 22
5.1 Differentiation of monotone functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Functions of bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Differentiation of an integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5 Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 The Classical Banach Spaces 27
6.1 The Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 The Minkowski and Ho¨lder inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 Convergence and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 Approximation in Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 Bounded linear functionals on the Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 Metric Spaces 30
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.2 Open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3 Continuous functions and homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.4 Convergence and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.5 Uniform continuity and uniformity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.6 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.7 Compact metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.8 Baire category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.9 Absolute Gδ’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.10 The Ascoli-Arzela´ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Topological Spaces 41
8.1 Fundamental notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2 Bases and countability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.3 The separation axioms and continuous real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.4 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.5 Products and direct unions of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.6 Topological and uniform properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.7 Nets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Compact and Locally Compact Spaces 51
9.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Countable compactness and the Bolzano-Weierstrass property . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.3 Products of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.4 Locally compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.5 σ-compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.6 Paracompact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.7 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.8 The Stone-C˘ech compactification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.9 The Stone-Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10 Banach Spaces 60
ii
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.2 Linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3 Linear functionals and the Hahn-Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.4 The Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.5 Topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.6 Weak topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10.7 Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.8 Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11 Measure and Integration 73
11.1 Measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.2 Measurable functions . . . . . . . . . . . . .