Fasores em Circuitos Elétricos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - CAMPUS DE SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 
PROFESSOR: MARCUS ROGERIO DE CASTRO 
 
 
 
 
FASORES 
 
 
 
 
ALUNO MATRÍCULA 
ANDERSON ALEXANDRE CARVALHO DE ARAÚJO 397729 
 
 
 
 
 
Sobral – CE 
2020.1 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 2 
 
 
FASORES 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .............................................................................. 1 
 
2. OBJETIVOS .................................................................................. 5 
 
3. PROCEDIMENTOS / RESULTADOS ........................................... 6 
 
4. PÓS-LABORATÓRIO ................................................................. 17 
 
5. CONCLUSÃO ............................................................................. 19 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................... 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 3 
 
 
FASORES 
1. INTRODUÇÃO 
 
Fasores é um elemento indispensável para a análise de circuitos com 
fontes senoidais, como por exemplo circuitos AC, e esses são usados com um 
objetivo de simplificar expressões, pois são mais facilmente manipulados do que 
as funções seno e cosseno. 
Como definição, o fasor é um número complexo que representa a 
amplitude e a fase de uma senóide (SADIKU,2013). 
Tendo em vista que o fasor é um número complexo, faz-se importante 
mostrar as representações desses números na forma retangular e polar 
expressas respectivamente pelas equações (1) e (2). 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑗 (1) 
𝑧 = 𝑟∠𝜙 (2) 
Onde, 𝑗 = √−1 ; 𝑥 é a parte real de 𝑧; 𝑦 é a parte imaginária de 𝑧; 𝑟 é a 
magnitude ou amplitude de 𝑧; 𝜙 é a fase de 𝑧. 
Para deixar mais clara as representações dos números complexo, a figura 
1 a seguir, representa bem tais representações. 
Figura 1: Representação de um número complexo. 
 
Fonte: (SADIKU,2013) 
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FASORES 
Observando a figura 1, pode-se tirar algumas relações entre as variáveis 
mostradas no gráfico. Onde conhecendo 𝑥 e 𝑦 pode-se descobrir 𝑟 e 𝜙 pelas 
equações (3) e (4) respectivamente. Mas caso tenha só os valores de 𝑟 e 𝜙, 
pode-se calcular e achar 𝑥 e 𝑦 pelas equações (5) e (6). 
 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦² (3) 
𝜙 = 𝑡𝑔−1 =
𝑦
𝑥
 (4) 
𝑥 = 𝑟. cos⁡(𝜙) (5) 
𝑦 = 𝑟. sin⁡(𝜙) (6) 
O número complexo 𝑧 ainda pode ser escrito da forma trigonométrica, 
como mostrado na equação (7). 
𝑧 = 𝑟. (cos(𝜙) + 𝑗 sin(𝜙))⁡ (7) 
Visto as representações dos números complexos, o fasor é representado 
na identidade de Euler, dada pela equação (8). 
𝑒±𝑗𝜙 = cos(𝜙)± 𝑗sin⁡(𝜙) (8) 
E todas as operações envolvendo fasores neste relatório, foram feitos em 
um software de computação numérica chamado MATLAB. Nele foram 
analisados e visualizados dados com o propósito de entender bem como se 
comportam os fasores. 
Os comandos foram colocados no prompt, onde lá o MATLAB vai estar 
esperando um comando e após finalizado basta dar enter. E a facilidade do 
MATLAB está nos comandos em se parecerem muito com as expressões 
algébrica que escrevemos por escrito. 
Na figura 2 representa como é o visual do prompt do MATLAB. 
 
 
 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 5 
 
 
FASORES 
Figura 2: Prompt do MATLAB. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
2. OBJETIVOS 
 
• Entender o propósito dos fasores e como eles se comportam; 
 
• Aprender a fazer operações de fasores no software MATLAB e 
simular seus comportamentos em gráficos. 
 
 
 
 
 
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FASORES 
3. PROCEDIMENTOS / RESULTADOS 
 
Sabendo que a 1° questão possuem itens, estes serão expostos todos a 
seguir mostrando imagens do prompt do MATLAB com as questões resolvidas. 
a) Para os números complexos 𝐴 = −3⁡. 4𝑗, 𝐵 = 3 + 4𝑗 e 𝐶 = −3 − 4𝑗, 
foram usadas as funções real() e imag() para descobrir a parte real e imaginaria 
dos números complexos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Na figura 3, mostra esse resultado. 
 
Figura 3: Aplicação das funções real() e imag(). 
 
Fonte: (AUTOR, 2020). 
 
b) Calculando o módulo do número complexo 𝐴, onde algebricamente 
utilizaria a equação (3), onde no MATLAB foi usado a função sqrt, como mostra 
a figura 4 a seguir. 
Figura 4: Aplicação da função sqrt para 𝐴. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
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FASORES 
c) Agora neste item, vai ser usada a função abs(), uma função que 
descobre o módulo ou amplitude do número complexo, sem ser pelo método dos 
catetos como no item “b”. Na figura 5 a seguir, mostra como essa função 
funciona. 
Figura 5: Aplicação da função abs(). 
 
Fonte: (AUTOR, 2020). 
Percebe-se que o valor é diferente do item “b”, isso pelo fato da função 
sqrt não ter deixado a parte real do numero complexo A positiva após a 
potenciação. 
d) Calculando os valores dos ângulos de A e C usando as seguintes 
funções: atan(imag()/real()), atan2(imag(),real()) e angle(). Nas figuras 6 e 7 
mostraram respectivamente os ângulos de A e C. 
 
Figura 6: Ângulo calculado para A 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
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FASORES 
Figura 7: Ângulo calculado para C 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
Importante notar que no prompt do MATLAB quando for colocado duas 
funções entre vírgulas como “atan(imag()/real()), atan2(imag(),real()) e angle()”, 
ele vai entender para mostrar os resultados das três operações ao mesmo, 
separando seus resultados. 
Observando estas funções, percebe-se que “atan2(imag(),real()) e angle()”, 
mostram o mesmo ângulo, ou seja no mesmo quadrante. Onde na função 
“atan(imag()/real())” mostra a mesma tangente das outras funções anteriores, só 
que em outro quadrante. 
Agora para a 2° questão tem-se os seguintes resultados comentados e 
seguidos dos comandos no prompt do MATLAB. 
 
a) Para calcular A + B algebricamente por escrito, teria que somar 
suas partes reais e suas partes imaginárias separadamente, e assim teria a 
soma de destes números complexos. Na figura 8, mostra como se faz essa 
operação no prompt do MATLAB. 
 
Figura 8: Soma A + B. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 9 
 
 
FASORES 
b) Aplicando a mesma função no item “a” para A + B, tem-se o 
resultado mostrado na figura 9 a seguir. 
 
Figura 9: Soma A + B. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
c) Sabendo que a forma retangular de um número complexo é dada pela 
equação (1), calcula-se seu conjugado mostrado na equação (9). 
 
𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 (9) 
 
Percebe-se que comparando as equações (1) e (9), só mudou o sinal da 
parte imaginaria do número complexo. Tendo em vista isso, no MATLAB usa-se 
a função conj(_) para mostrar o conjugado de qualquer número complexo. 
Na Figura 10, mostra a operação B+conj(B). 
 
Figura 10: Calculando B+conj(B) 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
d) Na figura 11,mostra a operação A + B – C, no prompt do MATLAB. 
Figura 11: Calculando A + B – C 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 10 
 
 
FASORES 
e) Na multiplicação entre números complexos, multiplica-se a parte 
real de um com o outro e depois a parte imaginaria de cada um, desta forma o 
MATLAB interpreta também a multiplicação de dois números complexos. 
Na figura 12 mostra o resultado da operação A * C. 
Figura 12: Calculando A * C 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
f) Na potenciação de números complexos, eleva-se a potenciação na 
parte real e imaginária. Assim na figura 13, mostra A². 
 
Figura 13: Calculando A² 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
g) Na divisão entre números complexos, divide-se primeiramente 
entre as partes reais e depois entre as partes imaginarias de ambas. Pode ser 
percebido que operações entre números complexos que nunca irá ter operações 
entre parte real e imaginária. 
Assim na figura 14 mostra o resultado da operação 
1
𝐴
 . 
 
 
 
 
UFC – Campus Sobral – Engenharia Elétrica 11 
 
 
FASORES 
Figura 14: Calculando 
1
𝐴
 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
h) Na figura 15 mostra o resultado de 
𝐵
𝐶
 
Figura 15: Calculando 
𝐵
𝐶
 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
Agora para a 3° questão tem-se os seguintes resultados comentados e 
seguidos dos comandos no prompt do MATLAB. 
a) Na figura 16 mostra o resultado de √4,5 − 𝑗7,79. 
 
Figura 16: Calculando √4,5 − 𝑗7,79 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
 
 
 
 
 
 
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FASORES 
b) Na figura 17 mostra o resultado de (100∠60°)3 
 
Figura 17: Calculando (100∠60°)3 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
c) Na figura 18 mostra o resultado de (50𝑒𝑗45°)
1
5. 
 
Figura 18: Calculando (50𝑒𝑗45°)
1
5 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
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FASORES 
d) Na figura 19 mostra o resultado de
15∠70°
(3−4𝑗)
+ ln⁡(8 + 5𝑗). 
 
Figura 19: Calculando 
15∠70°
(3−4𝑗)
+ ln⁡(8 + 5𝑗) 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Na 4° questão pede para que em um plano complexo, represente os 
vetores A=5+j7, B = 3-j2 e as operações A+B e A-B. 
Então começando pela representação dos vetores A e B tem-se o 
seguinte resultado na figura 20, onde mostrará os comandos utilizados e na 
figura 21, mostrará tais vetores em um plano complexo 
 
 
 
 
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FASORES 
Figura 20: Comandos utilizados. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
Figura 21: Vetores no plano complexo. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
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FASORES 
Na figura 20 mostra como fica o comando no prompt do MATLAB, onde 
vax e vbx são matrizes referentes as partes reais dos números imaginários A e 
B respectivamente. E vay e vby são matrizes referentes as partes imaginarias de 
A e B respectivamente. 
E para plotar esses vetores, utiliza-se a função plot(_) onde irá por em um 
plano que nesse caso será complexo, e assim ter uma melhor visualização dos 
vetores. 
Agora para a representação das operações A+B e A-B tem-se o seguinte 
resultado na figura 22, onde mostrará os comandos utilizados e na figura 23, 
mostrará tais vetores em um plano complexo. 
Figura 22: Comandos utilizados. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
Figura 23: Operações dos vetores no plano complexo. 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
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FASORES 
Percebe-se na figura 22 que apenas foi preciso colocar o comando para 
plotar o gráfico, já que os valores utilizados eram os mesmos da simulação 
passada. 
Na 5° questão foi solicitado para plotar o número complexo z = 4<45º 
utilizando a forma polar do MATLAB. Assim na figura 24, mostrará os comandos 
utilizados e na figura 25, mostrará esse fasor em um plano polar. 
 
Figura 24: Comandos utilizados para z = 4<45º 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
 
Figura 25: Plano polar para z = 4<45º 
 
Fonte: (AUTOR, 2020) 
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FASORES 
Na figura 24, foi utilizada a função linspace(x,y,n°) responsável por gerar 
um vetor linha com uma quantidade de pontos n° em um intervalo entre “x” e “y”. 
Onde na linha z=(t+j*t).*4 o número complexo “z” está sendo variado no tempo, 
nos eixos imaginário e real. 
O módulo de z é dado por mag=abs(z)/sqrt(2), onde ang=angle(z) irá ter 
como resultado o ângulo de “z”, em radianos. E para fazer a plotagem, usa-se a 
função polar (ang,mag, 'r') que mostrará em vermelho (“r”) o vetor “z”. 
4. PÓS-LABORATÓRIO 
1) Dado o número complexo A = 5<36,9º, calcule (A*.A+A*) e (A-A*). 
 
Sabendo que: 
𝐴 = 5∠36,9° = 4 + 3𝑗 (10) 
 
Calculando o conjugado da equação (10), tem-se: 
 
�̅� = 4 − 3𝑗 = 5∠ − 36,9° (11) 
 
Então para as operações 𝐴 + �̅� e 𝐴 − �̅� tem-se as equações (12) e (13) 
respectivamente como resultados. 
 
𝐴 + �̅� = 5∠36,9° + 5∠ − 36,9° = 8 (12) 
 
𝐴 + �̅� = 5∠36,9° − 5∠ − 36,9° = 6∠90° (13) 
 
2) Deduza a equação de Euler: 𝑒𝑖𝜃 = cos(𝜃) ± 𝑖. sin⁡(𝜃). 
Aplicando a série de Taylor para as seguintes equações (14), (15) e (16), 
tem-se que: 
 
𝑐𝑜𝑠(𝑧) = ∑
𝑧(2𝑛)(−1)𝑛
2𝑛!
∞
𝑛=0 (14) 
 
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FASORES 
𝑠𝑖𝑛(𝑧) = ∑
𝑧(2𝑛+1)(−1)𝑛
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0 (15) 
 
𝑒𝑧 = ∑
𝑧(𝑛)
𝑛!
∞
𝑛=0 (16) 
 
Para a equação (16), será necessário dividir ela em duas partes, uma 
parte englobando os números pares e a outra parte englobando os números 
impares. Dessa forma ela ainda mantém o seu significado de englobar todos os 
números. 
E também será suposto que z = iθ. Logo a equação (16) pode ser reescrita 
como mostrado na equação (17). 
𝑒𝑧 = ∑
𝑖𝜃(2𝑛)
2𝑛!
∞
𝑛=0 + ∑
𝑖𝜃(2𝑛+1)
2𝑛+1!
∞
𝑛=0 (17) 
Onde a primeira parcela de 𝑒𝑧 equivale aos números pares e a segunda 
parcela aos números impares. Então resolvendo o somatório e sabendo que 
𝑖2 = −1 tem-se que: 
1 −
𝜃
2!
+
𝜃4
4!
+⋯+ 𝑖𝜃 −
𝑖𝜃3
3!
+
𝑖𝜃5
5!
+⋯ (18) 
Observando bem equação (18) nota-se que ela é a adição das equações 
(14) e (15), onde 𝑐𝑜𝑠(𝑧) é equivalente a sequência da soma dos números pares 
e 𝑠𝑖𝑛(𝑧) é equivalente a sequência da soma dos números ímpares. Então dessa 
forma chega à conclusão que: 
𝑒𝑖𝜃 = cos(𝜃) ± 𝑖. sin⁡(𝜃) (19) 
 
3) Mostrar que o operador (cosθ ± jsenθ) faz girar qualquer vetor a 
que é aplicado por um fator multiplicador de ±θ. 
 
Tendo em vista a equação (8) e sabendo que ela é um fasor representado 
na forma de Euler, tem-se que a multiplicação de dois fasores com módulos “A” 
e “B” é dada por: 
 
 
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FASORES 
𝐴𝑒±𝑗𝜙1 = cos(𝜙1)± 𝑗sin⁡(𝜙1) (20) 
 
 
𝐵𝑒±𝑗𝜙2 = cos(𝜙2)± 𝑗sin⁡(𝜙2) (21) 
 
Multiplicando as equações (20) e (21), tem-se a formação de outro fasor 
com módulo A . B, dado por F: 
 
 
𝐹 = 𝐴.𝐵. 𝑒+𝑗𝜙1+𝑗𝜙2 = 𝐴.𝐵[cos(𝜙1 +𝜙2)± 𝑗 sin(𝜙1 +𝜙2)] (22) 
 
Observando a equação (22), conclui-se que “F”tem um ângulo de (𝜙1 +
𝜙2) formado com o eixo de referência. Onde “F” está adiantado 𝜙2 em relação a 
“A”. 
Então esse operador colocado em qualquer fasor, faz-se girar em um 
ângulo de ±𝜙 desde sua posição inicial. 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 
Concluiu-se então que o conhecimento do fasor é de extrema importância 
para analises de circuitos AC, pois através dele o engenheiro tem uma imagem 
espacial melhor do que acontece com o circuito a ser analisado. 
Através deste experimento também foi percebido a importância de se 
dominar um software de simulações matemáticas, pois assim tem-se um 
conhecimento melhor de como os vetores estão se comportando naquele plano. 
 
6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
1. R. P. Leão, “Manual de Prática de Laboratório de Circuitos Elétricos II”, 
Universidade Federal do Ceará, 2007. 
 
2. ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O.. Fundamentos de 
circuitos elétricos. 5. ed. New York: Bookman, 2013. 894 p.