A2 - Pesquisa Operacional (2)

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1) Questão- O transporte é uma classe especial dos problemas de programação linear, categorizados como problemas de rede, devido a facilidade de visualização das relações entre os componentes do sistema, e o entendimento de seus possíveis resultados. Inicialmente utilizado para minimização de custos, também pode ser utilizado para cálculo de maximização. Assim, apresente um problema de maximização utilizando o algoritmo do transporte, descreva a metodologia adotada, e encontre sua solução ótima. 
Resposta:
	O quadro a seguir representa os ganhos unitários devido à venda de mercadorias compradas nas origens e comercializadas nos destinos. O objetivo, portanto, é maximizar o retorno, na distribuição das mercadorias das origens para os destinos.
Modelagem:
		
	D1
	D2
	D3
	Oferta
	
	O1
	15
	12
	7
	10
	
	O2
	12
	10
	13
	20
	
	O3
	8
	9
	12
	30
	
	Demanda
	15
	15
	30
	
	
	
Solução Ótima:
	
	D1
	D2
	D3
	Oferta
	Produzido
	O1
	10
	0
	0
	10
	10
	O2
	5
	15
	0
	20
	20
	O3
	0
	0
	30
	30
	30
	Demanda
	15
	15
	30
	
	
	Entregue
	15
	15
	30
	
	
	Retorno:
	 R$ 720,00 
	
	
	
	
Foi pesquisado um no Youtube, um problema de maximização utilizando o algoritmo do transporte, diante disso, foram alterados os valores de modo a obter um novo exemplo do exercício pesquisado, sendo assim, foi utilizado a ferramenta solver do Excel para encontrar a sua solução ótima.
Na utilização do solver foi colocado a célula de retorno como critério de maximização, a qual está com a formula que soma o produto entre a tabela de retorno e quantidade correspondente a cada posição. Além disso, foi posto como restrição a coluna de oferta ser igual a coluna de produzido assim como as linhas de demanda e custo.
A solução ótima mostrou que o melhor retorno é obtido quando são transportadas 10 unidades de O1 para D1, 5 unidades de O2 para D1, 15 unidades de O2 para D2 e 30 unidades de O3 para D3, sendo “O” Origem e “D” Destino. Se esse modelo for seguido, o retorno esperado seria de R$ 720,00.
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=WGWUF3FprYs
2) Questão-Uma companhia área regional pode comprar seu combustível para jato a partir de qualquer um dentre três fornecedores. As necessidades da companhia aérea para o mês entrante em cada um dos três aeroportos em que ela opera são: 100.000 galões no aeroporto 1, 180.000 galões no aeroporto 2 e 300.000 galões no aeroporto 3. Cada fornecedor pode abastecer cada um dos aeroportos de acordo com os preços (em cents por galão) dados pela tabela abaixo:
	
	Aeroporto 1 
	Aeroporto 2 
	Aeroporto 3
	Fornecedor 1
	92
	89
	90
	Fornecedor 2
	91
	91
	95
	Fornecedor 3
	87
	90
	92
Cada fornecedor, contudo, está limitado pelo número total de galões que ele pode abastecer por mês. Estas capacidades são 320.000 galões para o fornecimento1, 270.000 galões para o fornecimento 2 e 150.000 galões para o fornecimento 3. Determine a política de aquisição que suprirá as necessidades da companhia em cada aeroporto a um custo total mínimo.
Resposta:
	Modelagem:
	 
	Aeroporto 1
	Aeroporto 2
	Aeroporto 3
	Correção
	Oferta
	
	Fornecedor 1
	92
	89
	90
	0
	320
	
	Fornecedor 2
	91
	91
	95
	0
	270
	
	Fornecedor 3
	87
	90
	92
	0
	150
	
	Demanda
	100
	180
	300
	160
	
	
	
Solução Ótima:
	
	
	
	
	
	 
	Aeroporto 1
	Aeroporto 2
	Aeroporto 3
	Correção
	Oferta
	Produzido
	Fornecedor 1
	0
	20
	300
	0
	320
	320
	Fornecedor 2
	0
	110
	0
	160
	270
	270
	Fornecedor 3
	100
	50
	0
	0
	150
	150
	Demanda
	100
	180
	300
	160
	
	
	Entregue
	100
	180
	300
	160
	
	
	Custo total 
	 R$ 51.990,00 
	
	
	
	
	
Para equilibrar o sistema, foi necessário criar uma nova coluna para correção. E assim como o exercício anterior, foi utilizado o solver do Excel para obter a solução ótima.
Na utilização do solver foi colocado a célula correspondente ao custo total como critério de minimização, a qual está com a formula que soma o produto entre a tabela de custo e quantidade correspondente a cada posição. Além disso, foi posto como restrição a coluna de oferta ser igual a coluna de produzido assim como as linhas de demanda e custo.
Além disso, as demandas e as ofertas foram divididas por 1000, e foi analisado que os resultados obtidos são os mesmos que os originais divididos por 1000. Essa ferramenta foi utilizada para simplificar os cálculos e facilitar a visualização do problema.
A solução ótima mostrou que o menor custo é obtido mas devemos lembrar da correção que deve ser feita. Sendo assim, o menor custo é quando são transportados 20.000 galões de F1 para A1, 300.000 galões de F1 para A1, 110.000 galões de F2 para A2, 160.000 galões de F2 para Correção, 100.000 galões de F3 para A1 e 50.000 galões de F3 para A3 sendo “F” Fornecedor e “A” Aeroporto. Se esse modelo for seguido, o retorno esperado seria de R$ 51.990.000,00.
3) Questão- Provar que se os custos de qualquer linha ou coluna de um quadro de transporte forem reduzidos uniformemente pelo mesmo número (positivo ou negativo), então o problema resultante apresentará a mesma solução ótima do problema original.
Resposta:
	Como base para provar essa afirmação, foi utilizado como modelo o primeiro exercício como podemos ver a seguir: 
Modelagem:
	Original
	
	 
	D1
	D2
	D3
	Oferta
	
	O1
	15
	12
	7
	10
	
	O2
	12
	10
	13
	20
	
	O3
	8
	9
	12
	30
	
	Demanda
	15
	15
	30
	
	
	
Solução Ótima:
	
	
	
	
	 
	D1
	D2
	D3
	Oferta
	Produzido
	O1
	10
	0
	0
	10
	10
	O2
	5
	15
	0
	20
	20
	O3
	0
	0
	30
	30
	30
	Demanda
	15
	15
	30
	
	
	Entregue
	15
	15
	30
	
	
	Custo total:
	 R$ 720,00 
	
	
	
	
	
A partir do modelo, foi reduzido em 5 os valores dos custos da Origem 1, e aumentado em 8 os custos da coluna do Destino 1 como pode ser observado a seguir.
Modelagem:
	Linha e Coluna alteradas 
	
	 
	D1 + 8
	D2
	D3
	Oferta
	
	O1 -5
	18
	7
	2
	10
	
	O2
	20
	10
	13
	20
	
	O3
	16
	9
	12
	30
	
	Demanda
	15
	15
	30
	
	
	
Solução Ótima:
	
	
	
	
	 
	D1
	D2
	D3
	 
	 
	O1
	10
	0
	0
	10
	10
	O2
	5
	15
	0
	20
	20
	O3
	0
	0
	30
	30
	30
	 
	15
	15
	30
	
	
	 
	15
	15
	30
	
	
	Custo total:
	 R$ 790,00 
	
	
	
	
Como pode ser analisado, os resultados do transporte obtidos após as alterações feitas na linha e na coluna, foram os mesmos obtidos antes das mudanças. Dessa forma, pode se afirmar que se os custos de qualquer linha ou coluna de um quadro de transporte forem reduzidos uniformemente pelo mesmo número (positivo ou negativo), então o problema resultante apresentará a mesma solução ótima do problema original. A única mudança que pode ser percebida, é a mudança nos custos totais.
4) Questão- A Tpuss Motores fornece motores para um grande número de equipes de fórmula 2. Companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente de acordo com a necessidades das equipes. A tabela abaixo resume as entregas programadas, bem como a capacidade máxima de produção, o custo de produção por trimestre (variável durante o ano devido a férias, feriados etc.) e o custo de armazenamento que se fizer necessário (as equipes não possuem armazéns para receber os motores com antecedência).
	Trimestre
	Pedidos contratados
	Capacidade de produção
	Custo unitário (em milhões de reais)
	Custo de armazenamento por trimestre (em milhões de reais)
	1
	10
	25
	1,08
	
	2
	30
	15
	1,11
	0,015
	3
	20
	40
	1,12
	0,025
	4
	20
	10
	1,23
	0,035
Modele o problema como um transporte na forma tradicional e determine o número de motores que devem ser fabricados em cada trimestre para atender aos pedidos contratados e o custo total de produção.
Resposta:
	Para elaboração do exercício proposto, foi necessário analisar outros exercícios similares dispostos na internet. Ao final do estudo, foi possível montar a modelagem do problema possibilitando a sua resolução. 
Modelagem:
	Entrega dos motores
	
	Produção no Trimestre
	 
	1
	2
	3
	4
	Correção
	Oferta
	
	
	1
	1,080
	1,095
	1,120
	1,155
	0
	25
	
	
	2
	 
	1,110
	1,135
	1,170
	0
	15
	
	
	3
	 
	 
	1,120
	1,155
	0
	40
	
	
	4
	 
	 
	 
	1,230
	0
	10Demanda
	 
	10
	30
	20
	20
	10
	
	
	
Solução Ótima:
	
	
	
	
	
	
	
	Entrega dos motores
	Produção no Trimestre
	 
	1
	2
	3
	4
	Correção
	Oferta
	Produzido
	
	1
	10
	15
	0
	0
	0
	25
	25
	
	2
	 
	15
	0
	0
	0
	15
	15
	
	3
	 
	 
	20
	20
	0
	40
	40
	
	4
	 
	 
	 
	0
	10
	10
	10
	Demanda
	 
	10
	30
	20
	20
	10
	
	
	Entregue
	 
	10
	30
	20
	20
	10
	
	
	Custo total 
	 R$ 89,38 
	
	
	
	
	
	
	
Assim como nos outros exercícios, também se utilizou a ferramenta solver do Excel para resolução otimizada do problema. Após a análise da resposta obtida viu se que se a solução ótima pode ser obtida também a partir do método do canto noroeste.
A solução ótima mostrou que o menor custo é obtido é quando são produzidos 25 motores no primeiro trimestre sendo 15 destes armazenados para entrega no segundo trimestre. O segundo trimestre deve produzir mais 15 motores para completar a demanda do trimestre de trinta motores, completando com os outros 15 que foram armazenados. No terceiro trimestre a produção deverá ser de 40 motores, mas apenas 20 deles serão entregues nesse trimestre. O quarto trimestre não deve haver produção, pois a demanda já foi produzida no trimestre anterior, havendo no armazenamento 20 motores para suprir a demanda. E por fim, sobrarão 10 motores para a correção.