Modelos_Discretos

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MODELOS PROBABILISTICOS
VISÃO GERAL: O que fizemos até agora e para onde vamos?
*Agora - combinaremos conceitos de distribuições de probabilidade que 
descrevem o que provavelmente acontecerá, em vez do que realmente aconteceu. 
Além disso, construiremos distribuições de probabilidade, apresentando os 
resultados possíveis junto com as frequências relativas que esperamos.
 “Pulo do Gato” - com suposições adequadas e sem observarmos diretamente 
o fenômeno aleatório de interesse, podemos criar um Modelo Teórico que 
reproduza de maneira razoável a distribuição das frequências, quando o 
fenômeno é observado diretamente. Tais modelos são chamados “Modelos 
Probabilísticos”. 1 ~
Probabilidade
Jogue um 
dado
Ache a probabilidade 
para cada resultado
P(1) = 1/6
P(2) = 1/6
... = 1/6
P(6) = 1/6
Análise 
Descritiva
Colete dados amostrais 
e obtenha medidas 
resumos e gráficos.
x F
1 8
2 10
3 9
4 12
5 11
6 10
*Agora
Crie um modelo teórico que descreve 
como se espera que o experimento se 
comporte e então obtenha seus 
parâmetros
x P(x)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
µ = 3,5
σ = 1,7
⇒ Definições:
• Variável aleatória (X)
é uma função que “associa” um número real a cada resultado no espaço 
amostral de um experimento aleatório.
Exemplo: Jogamos uma moeda três vezes
onde:
a - Cara
o - Coroa
S = {aaa,aao,aoa,oaa,aoo,aao,ooa,ooo}
Uma forma natural de lidar com S é definir uma função que associa os 
elementos de S a números.
Neste caso, tal função é:
X = nº de “caras” nas três jogadas 
S Espaço da variável aleatória χ 
ooo X = 0
ooa
oao X = 1
aoo
aao
aoa X = 2
oaa
aaa X = 3
Espaço da v.a. χ = {0,1,2,3}
Como definir P(X ∈ a) onde a ⊂ χ?
 2 ~
Assim uma v.a. é uma função que 
“pega” resultados num espaço 
amostral S e os “leva” no 
subconjunto dos Reais.
Associe a probabilidade do evento a em χ à probabilidade de um evento 
correspondente no espaço amostral S.
Exemplo: retorne ao exemplo anterior...
X = nº de cara nas 3 jogadas
P(x = 2) = P(x = 1) = 3/8
P(x = 0) = P(x = 3) = 1/8
Note que o somatório das probabilidades é igual a 1, pois isto é equivalente à 
probabilidade do espaço amostral inteiro.
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1.
Variável Aleatória Discreta
Tem ou um número finito de valores ou uma quantidade enumerável de valores, 
mas que podem ser associadas a um processo de contagem.
Ex: Números de linhas com erro no programa; Números de peças defeituosas.
Variável Aleatória Contínua
Tem infinitos valores, e esses valores podem ser associados com medidas em 
escalas contínuas de modo que não há pulos ou interrupções.
Ex: Tempo de processamento de uma máquina; Temperatura ambiente.
 3 ~
Distribuição de probabilidade 
Distribuição de probabilidade de uma v.a. é um gráfico, uma tabela ou uma 
fórmula (modelo) que fornece a probabilidade para cada valor uma 
probabilidade.
Exemplo:
Um estudo consiste na escolha aleatória de 14 recém-nascidos e na contagem do 
números de meninas. Se considerarmos que meninos e meninas são igualmente 
prováveis e fizermos a tabela abaixo, que fornece a probabilidade para cada 
valor da v.a. X.
xi (nº de meninas) P(X=xi) = f(xi)
0 0,000
1 0,001
2 0,006
3 0,022
4 0,061
5 0,122
6 0,183
7 0,209
8 0,183
9 0,122
10 0,061
11 0,022
12 0,006
13 0,001
14 0,000
onde:
f(xi) = P(X = xi) = função de probabilidade ou probabilidade de X assumir xi
 xi = valores possíveis da v.a. X
Como f(xi) é definida como uma probabilidade f(xi) ≥ 0 e f(xi) ≤ 1, xi e 
.
Obs: a fórmula de f(xi) será um modelo de probabilidade apresentado a seguir. 4 ~
Distribuição de probabilidade de uma v.a. Discreta
- Função de Distribuição Acumulada de uma v.a. discreta X denotada por F(X) é:
F(X) = P(X ≤ x) = 
Para uma v.a. discreta X, F(x) satisfaz as seguintes propriedades:
1. F(X) = P(X≤ x) = 
2. 0 ≤ F(x) ≤ 1 ou 
3. Se x ≤ y ,então F(x) ≤ F(y)
- Média e Variância de uma v.a. Discreta
Pelo fato de ser útil resumir uma amostra de dados pela média e variância, a 
distribuição de probabilidade de X é sumarizada por sua média e variância. 
A Média ou valor esperado ou esperança de X denotados por µ ou E(X), será 
dada por:
E(X) = 
onde f(x) É O MODELO DE PROBABILIDADE PARA PONDERAR OS 
VALORES POSSIVEIS DE X.
A E(X) descreve o centro dessa distribuição de X, em uma maneira similar ao 
ponto de equilíbrio da media amostral.
A variância de uma v.a. X é a medida de dispersão ou espalhamento nos valores 
possíveis para X. A variância de x é denotada por σ² ou var(x) ou V(x):
V(x) = onde f(x) é o modelo de probabilidade.
Se desenvolvermos V(X), temos:
V(x) = 
 5 ~
 = 
 = 
 = - + 
 = - + 
 = - + 
 = - 
 = [E(X²)] – [E(X)]²
Desvio-padrão
σ = ou σ = 
- Algumas Propriedades do Valor Médio
Dada uma v.a. Discreta e a respectiva função de probabilidade f(x), a esperança 
da função h(x) é dada por:
 E[h(x)] = Ʃ h(x)f(x)
Exemplo: Z=2X
As probabilidades associadas a v.a. Z serão as mesmas da v.a. X, pois cada valor 
de X corresponde a um único valor de Z.
E(Z) = E(2X) = Ʃ (2X)f(x) = 2 Ʃ xf(x) = =2E(X)
Por fim, temos as seguintes propriedades (importante em Inferência Estatística): 
(a) Se h(x)= aX + b, onde a e b são constantes
E(aX + b) = aE(X) + b
Var(aX + b) = a²Var(X) + 0 = a² Var(X)
(b) V(X) = E(X²) – [E(X)]² = Ʃ x²f(x) – [Ʃ xf(x)]² ⇒ esta fórmula é usada para 
facilitar o cálculo da variância posteriormente.
 6 ~
MODELOS PROBABILISTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS
DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL
Nos permite lidar com circunstâncias nas quais os resultados pertencem a duas 
categorias relevantes, tais como:
• Respostas SIM/NÃO em perguntas de pesquisa;
• Linhas de programa COM/SEM erro;
• Sucesso/Fracasso
Um experimento aleatório que satisfaz os requisitos abaixo é chamado de 
experimento binomial:
1. Número fixo de tentativas ou repetições (n)
2. As tentativas ou repetições são independentes (o resultado de qualquer 
tentativa individual não afeta as probabilidades nas outras tentativas).
3. Cada tentativa resulta em somente dois resultados possíveis (duas 
categorias designadas como “Sucesso” e “Fracasso”).
4. A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, 
permanece constante.
A v.a. X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem 
uma Distribuição de Probabilidade Binomial com parâmetros p e n 
∴ X ~ Bin(n,p). A função de probabilidade de X é:
P(X=x) = f(x) = px(1 – p)n-x x=0,1;…;n 
onde:
f(x)=P(X=x) - modelo probabilístico para se obter exatamente x sucessos em n 
tentativas.
n - é o número fixo de tentativas 7 ~
x - número específico de sucesso em n tentativas
p - probabilidade de sucesso
=
Exemplo: Voltando a tabela de nascimento de meninas entre 14 recém-nascidos...
p: probabilidade de sucesso
q: probabilidade de fracasso (1 – p)
n=14 p=0,5 q=0,5 
a) Qual a probabilidade de nascer exatamente 3 meninas em 14 recém-nascidos?
P(X=3) = f(3) = (0,5)³(1-0,5)¹¹=0,022
b) Qual a probabilidade de nascer no máximo 3 meninas?
P(X≤3)= F(3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)= 0,029
c) Qual a probabilidade de nascer no mínimo 4 meninas?
P(X≥4) = P(X=4) + … + P(X=14) ou 1 - P(X≤ 3) [Usamos aqui a ideia de 
evento complementar]
A Média e a Variância de uma variável aleatória binomial dependem somente dos 
parâmetros p e n, então temos:
E(X) = µ = np
Var(X) = σ² = npq
Exemplo: Calcule a média e a variância do nascimento de meninas.
E(X) = 14(0,5) = 7 ⇒ nascem em média 7 meninas
V(X) = 14(0,5)(0,5) = 3,5 meninas² ∴ σ = = 1,9 meninas. 8 ~
Observação: Para um número n de tentativas a distribuição binomial será:
• Simétrica se p = 1/5
• Assimétrica positiva se p < 1/5
• Assimétrica negativa se p > 1/5
DISTRIBUIÇÃO GEOMETRICA
Novamente suponha uma série de tentativas independentes,com probabilidade 
constante p de um sucesso em cada tentativa. Entretanto, ao invés de serem um 
número fixo, as tentativas são agora realizadas até que um sucesso seja obtido.
Então, faça a v.a. X denotar o número de tentativas até que o primeiro sucesso 
ocorra. Logo, X tem uma distribuição geométrica com parâmetro p ∴ X~geo(p) e a 
f(x) da v.a. X é:
P(X=x) = f(x) = (1 – p)x-1 p ; x = 1,2,…
Se X for uma v.a. geométrica com parâmetro p, então, a E(X) e V(X) serão, 
respectivamente:
E(X) = 1/p e V(X) = q/p²
Exemplo: A probabilidade com que um bit transmitido através de um canal digital 
de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Considere que as transmissões 
sejam eventos independentes e faça a v.a. X denotar o número de bits transmitidos 
até que o primeiro erro seja encontrado. Calcule a probabilidade de que os 4 
primeiros bits sejam transmitidos corretamente e o 5º tenha erro.
t - transmitida sem erro e - transmitida com erro S=(t,t,t,t,e)
P(X=5) = f(5) = (0,9)4(0,1) = 0,066 9 ~
Para este exemplo, calcule o número médio de transmissões até que o primeiro erro 
seja encontrado.
E(X) = 1/0,1 = 10 bits
Calcule o desvio-padrão de transmissões antes do primeiro erro ocorrer. 
σ² = (0,9)/(0,1)² = 90 bits ² ∴ σ = = 9,48 bits.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA (ou DISTRIBUIÇÃO DE 
PASCAL)
Em uma série de tentativas independentes, com probabilidade constante p de um 
sucesso, faça a v.a. X denotar o número de tentativas até que r sucessos 
ocorram.
Então X tem uma Distribuição Binomial Negativa, com parâmetros p e r ∴ 
X~Nbin(r,p), com a seguinte função de probabilidade:
P(X=x) = f(x) = (1 - p)x-r pr, r=1, 2, 3... x=r, r+1, r+2,....
Pelo fato de, no mínimo, r tentativas serem requeridas para obter r sucessos, a faixa 
de X é de r a ∞. Νo caso especial, em que r = 1, uma v.a. Binomial Negativa é uma 
v.a. Geométrica.
Obs: A “falta de memória” de uma v.a. geométrica implica no seguinte: Seja X o 
número total de tentativas requeridas para obter r sucessos. Seja X1 o nº de 
tentativas requeridas para obter o 1º sucesso; seja X2 o nº de tentativas extras 
requeridas para obter o 2º sucesso e assim por diante. Então o número total de 
tentativas requeridas para obter r sucessos é:
X = X1 + X2 + … + Xr 10 ~
Devido a propriedade “falta de memória”, cada uma das v.as X1, X2 , … , Xr tem 
uma Distribuição Geométrica com o mesmo valor de p. Consequentemente, uma 
v.a. Binomial Negativa pode ser interpretada como a soma de r v.as Geométricas.
Se X~NBin(p,r), então a Média e a Variância de X serão:
E(X) = µ = r/p
V(X) = r 
Exemplo: Um comprador em potencial entra numa loja de carro a cada hora. O 
vendedor tem probabilidade 0,25 de concluir uma venda. O vendedor decide 
trabalhar até conseguir vender 3 carros num só dia.
a) Qual a probabilidade de que o vendedor tenha de trabalhar exatamente 8 horas 
para conseguir vender os 3 carros?
X = nº de horas de trabalho necessárias para vender 3 carros.
P(X = 8) = (0,75)8-3 (0,25)³ = 0,07787
b) E mais de 8 horas?
P(X>8) = 1 – P (X≤8) = 1 – {P(X = 3) + P(X= 4) + P(X = 5)+ … + P(X = 8)}=
=0,67854
c) Para vender 3 carros o vendedor precisa trabalhar em média quantas horas?
E(X)=3/0,25=12 horas
 11 ~
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Útil para descrever a probabilidade do número de ocorrências em um intervalo 
(em geral tempo).
Exemplo: Defeitos/cm², acidentes/dia, clientes/hora, chamadas telefônicas/minuto.
Note que a unidade de medida (tempo, área) é contínua, mas a v.a. número de 
ocorrências é discreta!
A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses:
1. A probabilidade de uma ocorrência em todo o intervalo de observações;
2. A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é 
aproximadamente 0;
3. O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente de qualquer 
número de outros intervalos
A v.a. X, que é igual ao numero de contagens no intervalo, terá uma distribuição de 
poisson com parâmetro λ. X~Poisson(λ), sendo a função de probabilidade de X 
dada por:
f(x) = ; x = 0,1,2,… 
onde:
e: base dos logaritmos naturais
λ: número médio de contagens (ocorrências) no intervalo desejado.
x: um número específico de contagens (ocorrências) de um intervalo 
Se X~Poisson(λ), então a Média e a Variância de X serão:
E(X) = λ
V(X) = λ
 12 ~
Exemplo: Seja X um número de certo tipo de animais capturados em uma 
armadilha durante certo período de tempo. Suponha que X tenha uma distribuição 
de Poisson de forma que, a média, que cada armadilha contenha 4 animais.
a) Calcule a probabilidade de cada armadilha conter exatamente 5 animais?
P(X = 5) = = 0,156
b) Calcule a probabilidade de uma armadilha conter no máximo 5 animais?
P(X ≤ 5) = = 0,785
A derivação da distribuição de Poisson pode ser feito de duas formas:
a) Processo de Poisson
b) Aproximação da distribuição binomial
a) Processo de Poisson: É importante usar unidades consistentes no cálculo 
de probabilidades, médias e variâncias envolvendo as v.as de Poisson, por 
exemplo:
Nº médio de falhas por cm de fio por 3,4 , então
Nº médio de falhas por 10cm de fio será 34 , então
Nº médio de falhas por 100cm de fio será 340.
MORAL DA HISTORIA
Como uma v.a. de Poisson representa o número de contagens (ou 
ocorrências) em algum intervalo, então a média da v.a. terá de ser igual ao 
(número esperado) ou médio de contagens no mesmo comprimento de 
intervalo.
 13 ~
Exemplo: Suponha que um número médio de falhas por minuto de um 
sistema é 6. Então, X é o número de falhas em 1 minuto.
E(X) = λ = 6,0
a) Determine a probabilidade de existir exatamente duas falhas em 1 minuto.
P(X = 2) = = = 0,045
b) Determine a probabilidade de ocorrer 10 falhas em 5 minutos. 
X= nº de falhas em 5 minutos.
6 1 | X = 30 falhas/5 minutos
X 5 | P(X = 10) = 
c) Determine o número de falhas em 0,5 minuto.
X = nº de falhas em 0,5 minuto
E(X) = 3 falhas em 0,5 minuto
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 - = = 0,950.
b) Aproximação de Distribuição Binomial
Em qualquer experimento binomial quando n é grande e p é pequeno, 
podemos dizer que Bin(n,p) ≈ Poisson(λ), onde λ= np.
Como Regra Prática, tal aproximação pode ser aplicada se n ≥ 100, p ≤ 0,01 
e np ≤ 20.
Exemplo: Se uma editora de livros não-técnicos se esforça para garantir que 
seus livros não possuam erros tipográficos, de forma que a probabilidade de 
uma página conter um erro desse tipo é de 0,005 e os erros são 
independentes de página para página, qual a probabilidade de um de seus 
romances de 400 páginas conter exatamente 1 página com erros? 14 ~
- Problema de caráter de Distribuição Binomial
X: número de páginas que contém ao menos um erro
P(X = x) = px(1-p)n-x
P(X = 1) = (0,005)1(1-0,005)399
Como n ≥ 100, p ≤ 0,01 e np ≤ 20, podemos aproximar o cálculo da 
Distribuição de Probabilidade Binomial pelo cálculo da Distribuição de 
Probabilidade de Poisson.
P(X=x) = f(x) = 
P(X = 1) = = 0,271
 15 ~