Exercicios sobre EDO

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Lista de Exerćıcios - Algoritmos Numéricos - DI
Métodos numéricos para resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
Problemas de Valor Inicial (PVI): 1a ordem
1. Refaça os exerćıcios propostos em sala.
2. Mostre graficamente a ideia do método de Euler para se resolver um problema do tipo y′ =
f(x, y) com y(x0) = y0 em D = [a = x0, b], com m = 4 subintervalos, onde f(x, y) é uma
função tal que f(x, y) > 0 em D = [a = x0, b] (isto equivale a dizer que a função solução y(x)
é sempre crescente).
3. Dado o PVI abaixo {
y′ = −sen(x2)y
y(0.0) = −1.0
(a) Resolva por Euler em I = [0.0, 0.6] dando m = 3 passos. (b) Cite uma vantagem e uma
desvantagem em se usar o método de Euler ao invés do método baseado na série de Taylor
de 2a ordem.
4. Mostre graficamente, traçando em um par de eixos cartesianos os pontos envolvidos e as retas
derivadas, a ideia do método de Runge Kutta de 2a ordem para se resolver um problema do
tipo y′ = f(x, y) com y(x0) = y0 em D = [x0 = a, b], com m = 2 subintervalos, onde f(x, y)
é uma função tal que f(x, y) < 0 em D = [x0 = a, b].
5. Dado o PVI abaixo {
y′ = x/y
y(1.0) = 4.0
Obtenha o valor de y(1.8) por :
(a) Euler com m = 4 passos.
(b) Runge Kutta de 2a ordem com m = 2 passos.
(c) Taylor de 2a ordem com m = 2 passos.
6. Dado o PVI abaixo {
y′ = −y(senx)
y(0.0) = −1.0
(a) Obtenha a solução pelo método baseado na série de Taylor de 2a ordem. em I = [0.0, 1.0]
subdividindo o intervalo em 2 partes.
(b) Se ussássemos o método de Euler com m = 10 subintervalos o que podeŕıamos dizer sobre
a solução obtida em relação à calculada na letra (a). Justifique a sua resposta sem calcular
a solução exata.
7. Seja a equação diferencial com valor inicial fornecido abaixo{
y′ = f(x, y)
y(a) = y0
(a) Escreva um algoritmo para obter a solução numérica da equação diferencial via Euler,
em D = [a, b], usando m de subintervalos.
(b) Escreva um algoritmo para obter a solução numérica da equação diferencial pelo método
de Runge Kutta de 2a ordem em D = [a, b], usando m de subintervalos.
Considere, em todos os casos, que f(x, y) já está definida em uma rotina chamada f (uma
função computacional) e não precisa ser lida, basta ser chamada (“ativada”) no programa
principal passando os valores de x e de y apropriadados. Suponhajá fornecidos os valores de
a, b, y(a) = y0 e m. A solução deve ser gravada em um vetor.
8. Seja um tanque ciĺındrico vertical com um orif́ıcio em sua base. Pode-se mostrar, adotando
algumas simplificações, que a taxa pela qual o ńıvel y do ĺıquido abaixa neste tanque é dada
por:
dy
dt
= −k√y
onde k é uma constante que depende do tipo do orif́ıcio existente na base, do tipo do ĺıquido e
da área da seção transversal do tanque. O ńıvel do ĺıquido é medido em metros e o tempo em
minutos. Sabendo que o ńıvel do ĺıquido está inicialmente a 3 metros, calcule o seu ńıvel nos
primeiros 4 minutos. Suponha que k = 0.06 Resolva o PVI, com os metodos e subintervalos
dados abaixo e usando os códigos implementados.
(a) Euler com m = 20 passos.
(b) Por Runge Kutta de 2a ordem com m = 20 passos.
9. Para um circuito simples RL (se a lei de Ohm for válida), a lei de de Kirchoff exige que:
L
di
dt
+ Ri = 0
onde i é a corrente, L é a indutância, e R é a resistência. Sabendo que i(t = 0) = 0.6 e
considerando que L = 1.0, R = 2.0 resolva o problema usando o método de Runge Kutta de
2a ordem, com h a sua escolha de forma a obter a solução em vários instantes de tempo t
para t em D = [0.0, 5.0].
Sistemas de EDOs de 1a ordem
10. Dado o PVI abaixo 
y1
′ = y1 + y2 + 3x
y2
′ = 2y1 − y2 − x
y1(0.0) = 0.0
y2(0.0) = −1.0
Obtenha y1(1.0) e y2(1.0) usando o método de Euler com h = 0.2.
11. Seja a equação diferencial, com condições iniciais quaisquers, dada abaixo
y1
′ = 2y1y2 − (
√
x)
y2
′ = y1 + 3x
y1(a) = y10
y2(a) = y20
Escreva um algoritmo para obter a solução da equação diferencial pelo método de Euler
para um domı́nio D = [a = x0, b] e um número qualquer m de subintervalos. As soluções
numéricas deverão ser gravadas em vetores, chamados de Y1 e Y2, tendo (m + 1) posições
cada. O ı́ndice inicial de cada vetor deve ser o ı́ndice zero.
12. Dado o PVI abaixo 
y1
′ = y2
y2
′ = −y1 − 2ex + 1
y1(0.0) = 1.0
y2(0.0) = 0.0
(a) Resolva por Euler em D = [0.0, 0.6] com h = 0.2.
(b) Represente as soluções numéricas obtidas em 2 pares de eixos cartesianos, ou seja, use
um par de eixos para y1 e um outro para y2.
13. Dado o PVI abaixo 
y1
′ = y2 − y3 + x
y2
′ = 3x2
y3
′ = y2 + e
−x
y1(0.0) = 1.0
y2(0.0) = 1.0
y3(0.0) = −1.0
Obtenha a solução em D = [0.0, 1.0] pelo o método de Euler com m = 2.