Valores e Vectores P [FT1]

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Matemática/ Álgebra Linear Valores e Vectores Próprios – Introdução ao estudo (FT 1) 
 
 
Agradeço a indicação de gralhas e sugestões: Professor Joaquim Guerreiro Marques: https://www.linkedin.com/in/jmgmarques/ 
 
 
P
ág
in
a1
 
 
Valores e Vectores 
Próprios 
 
Índice 
 
 
Objectivo .......................................................................................................................... 1 
1 Introdução: primeiros exemplos .................................................................................... 2 
2 Exercícios Resolvidos ................................................................................................... 6 
3 Exercícios Propostos ................................................................................................... 10 
4 Teste de Auto-Avaliação (30 minutos) ........................................................................ 11 
Formulário/Síntese (provas escritas) .............................................................................. 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objectivo 
 
Pretende-se introduzir a noção de valor e vector próprio de uma transformação linear. 
 
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P
ág
in
a2
 
1 Introdução: primeiros exemplos 
 
 
 
Definição: Valor próprio e Vector próprio (de uma matriz A ) 
Um vector v de E diz-se um vector próprio de A se existir um escalar  tal que 
Av v . O escalar  diz-se o valor próprio de A associado ao vector próprio v . 
 
Exemplo 1.1: Considere a matriz 
1 2
2 1
A
 
  
 
, 
a) Mostre que o vector 1
1
1
v
 
  
 
 é um vector próprio da matriz A . 
b) Determine o valor próprio associado a este vector próprio. 
Resolução: a) Usando a definição temos: 1 1
1 2 1 3 1
3 3
2 1 1 3 1
Av v
       
          
       
 
b) Como 
1 1 1Av v , o valor próprio associado ao vector próprio 1
1
1
v
 
  
 
 é 
1 3  . 
Comentário final: Neste exercício já era dado o vector próprio – de seguida vamos 
aprender um procedimento para o determinar. 
 
Definição: O polinómio característico da matriz A, n n , é dado por:   np A I   . 
 
Exemplo 1.2: Determine, para cada uma das matrizes seguintes, o polinómio 
característico  p  : 
0 1
2 1
A
 
  
 
, 
0 1
2 0
B
 
  
 
, 
1 0 1 2
1 1 3 1
0 0 3 2
0 0 1 3
C
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Matriz A:   2Ap A I      2 2
1
det 1 2 2 2
2 1

     

  
            
 
 
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a3
 
Matriz B:   2Bp B I   =    2
1
det 2 2
2

  

  
      
 
 
 
 
Matriz C:  Cp C I   =
1 0 1 2
1 1 3 1
det
0 0 3 2
0 0 1 3




  
 
  
 
  
 
  
 = 
 
     
1 3 1 0 1 2
1 1 det 0 3 2 1 1 det 0 3 2
0 1 3 0 1 3

  
 
     
   
          
   
         
 
 
       1 1 3 3 2 1 0                  
2
1 3 3 2         
 
   
2 21 6 7      
 
Teorema: Os valores próprios da matriz A são os zeros do polinómio característico de 
A: 0nA I  . 
 
Exemplo 1.3: Considere a matriz 
1 2
2 1
A
 
  
 
. 
a) Determine o polinómio característico de A. 
b) Mostre que 3  é valor próprio de A. 
c) Analise se 2  pode ser valor próprio de A. 
Resolução: 
a)      
2 22
2
1 2
det 1 2 1 4
2 1
Ap B I

   

 
         
 
 
 
b) Calculando:    
2
3 1 3 4 4 4 0Ap       . Pelo que 3  é valor próprio de A. 
 
c) Calculando:    
2
2 1 2 4 1 4 3Ap        . Pelo que 2  não é valor próprio de A. 
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Exemplo 1.4: Determine os vectores próprios v da matriz C, associados ao valor 
próprio 1  . 
1 0 1 2
1 1 3 1
0 0 3 2
0 0 1 3
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentário inicial: A cada valor próprio associa-se um vector próprio, resolvendo o 
sistema homogéneo:    0nA I v  . 
Resolução: Os vectores próprios de C associados ao valor próprio 1 são as soluções não 
nulas do sistema de equações lineares 
 
1 1 0 1 2
1 1 1 3 1
0 0 3 1 2
0 0 1 3 1
  
 
  
 
  
 
  
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 
 , ou seja, do sistema 
 
0 0 1 2
1 0 3 1
0 0 2 2
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 
 . Como 
0 0 1 2
1 0 3 1
0 0 2 2
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
 
Transformações
elementares

1 0 3 1
0 0 1 2
0 0 0 2
0 0 0 0
  
 

 
 
 
 
 
 
 
então 
0 0 1 2
1 0 3 1
0 0 2 2
0 0 1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
  
 
 
 
 
1 0 3 1
0 0 1 2
0 0 0 2
0 0 0 0
  
 

 
 
 
 
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
  
 
 
 
 
 
 
1 3 4 1
3 4 3
44 4
3 0 0
2 0 0
02 0 0
v v v v
v v v
vv v
       
  
         
    
,
 
Logo, os vectores próprios da matriz C associados ao valor próprio 1 são da forma 
0
0
0
a
 
 
 
 
 
 
, 
com a um número real não nulo. 
 
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Comentário final: Neste exercício já era dado um valor próprio – de seguida vamos 
aprender um procedimento para determinar valores e vectores próprios apenas dada a 
matriz. 
Procedimento para determinação de valores e vectores próprios: 
i) Determinar o polinómio característico da matriz A, n n , é dado por: 
  np A I   . 
 
ii) Resolve-se a equação 0nA I  para determinar os valores próprios. 
 
iii) A cada valor próprio associa-se um vector próprio, resolvendo o sistema 
homogéneo:    0nA I v  . 
(Note que este sistema é sempre indeterminado!) 
 
 
Exemplo 1.5: Determine todos os valores e vectores próprios da matriz: 
1 2
2 1
C
 
  
 
. 
 
Resolução: 
i)           
2 2
1 2
det 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1
2 1

      

 
               
 
 
 
ii)   3 1 0 3 0 1 0 3 1                   
 
iii) Para o valor próprio 1   
 
1
1 2 2 1
2
2 2 0
0
2 2 0
v
v v v v
v
    
          
    
, logo um vector próprio pode ser: 
1
2
1
1
v
v
   
   
  
 
 
iii) 3  
 
1
12 2 1
2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
v
v v v v
v
     
          
    
, logo um vector próprio pode ser: 
1
2
1
1
v
v
   
   
  
 
 
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2 Exercícios Resolvidos 
 
 
ER2.1 Considere as seguintes matrizes: 
 
C = 











102
010
210
, D = 












421
020
201
, E = 















1101
2300
1121
0001
 
 
a) Determine, para cada uma das matrizes dadas, o polinómio característico  p  . 
 
b) Determine: 
b1) os vectores próprios v da matriz C associado ao valor próprio 1   . 
b2) os vectores próprios v da matriz D associado ao valor próprio 2  . 
b3) os vectores próprios v da matriz E associado ao valor próprio 2  . 
 
 
a) Determine, para cada uma das matrizes dadas, o polinómio característico. 
Resolução: 
 
Matriz C:   3Cp C I        
1 2
det 0 1 0 1 1 4 1
2 0 1

    

 
 
          
 
  
 
 
    1 1 4            
21 4       
 
 
Matriz D:  Dp D I  
1 0 2
det 0 2 0
1 2 4



  
 
 
 
   
= 
 
             21 2 4 2 2 2 1 4 2 2 3 2                           
 
 
Matriz E:  Ep E I  
1 0 0 0
1 2 1 1
det
0 0 3 2
1 0 1 1




 
 
  
  
  
 
  
 
 
2 1 1
1 det 0 3 2
0 1 1

 

  
 
    
 
   
       1 2 3 1 2 2            
     1 2 3 1 2              
21 2 4 1        
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a7
 
 
b1) os vectores próprios v da matriz C associado ao valor próprio 1   . 
Resolução: Os vectores próprios associados ao valor próprio -1 são as soluções não 
nulas do sistema de equações lineares: 
 
0 ( 1) 1 2
0 1 ( 1) 0
2 0 1 ( 1)
  
 
  
 
   
1
2
3
v
v
v
 
 
 
  
= 










0
0
0
 , ou seja, do sistema 
1 1 2
0 0 0
2 0 2
 
 
 
  
1
2
3
v
v
v
 
 
 
  
= 










0
0
0
. 
 
Como, 
1 1 2
0 0 0
2 0 2
 
 
 
  
1
2
3
v
v
v
 
 
 
  
= 
0
0
0
 
 

 
  
 
 
1 2 3 2 33 2 3
1 31 3 1 3
2 0 2 0
2 2 0
v v v v vv v v
v vv v v v
          
     
       , 
 
Então, os vectores próprios da matriz C associados ao valor próprio -1 são da forma 
a
a
a
 
 

 
  
, com a um número real não nulo. 
 
Exemplos de vectores próprios associados a este valor próprio: 
 
Exemplo 1: Fazendo a = 1, obtém-se: 
1
1
1
 
 

 
  
 . Qual 
1
1 ?
1
C
 
 
 
 
  
 
 
 
Exemplo 2: Fazendo a = -2, obtém-se: 
2
2
2
 
 
 
  
 . Qual 
2
2 ?
2
C
 
 

 
  
 
 
b2) os vectores próprios v da matriz D associado ao valor próprio 2  . 
Resolução: Os vectores próprios de D associados ao valor próprio 2 são as soluções não 
nulas do sistema de equações lineares 
 
1 2 0 2
0 2 2 0
1 2 4 2
  
 

 
   
1
2
3
v
v
v
 
 
 
  
= 










0
0
0
 , ou seja, do sistema 
1 0 2
0 0 0
1 2 6
  
 
 
  
1
2
3
v
v
v
 
 
 
  
= 










0
0
0
. 
 
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a8
 
Como, 
1 0 2
0 0 0
1 2 6
  
 
 
  
1
2
3
v
v
v
 
 
 
  
= 
0
0
0
 
 

 
  
 
 
1 3 1 31 3
3 2 31 2 3 2 3
2 0 22
2 2 6 02 6 0 4
v v v vv v
v v vv v v v v
        
     
         , 
 
Então, os vectores próprios da matriz D associados ao valor próprio 2 são da forma 
2
4
a
a
a
 
 
 
  
, com a um número real não nulo. 
Exemplo: Fazendo a = 1, obtém-se: 
2
4
1
 
 

 
  
 . Qual o valor do produto 
4
8 ?
2
D
 
 

 
  
 
 
b3) os vectores próprios v da matriz E associado ao valor próprio 2  . 
Resolução: Os vectores próprios de E associados ao valor próprio 2 são as soluções não 
nulas do sistema de equações lineares 
 
1 2 0 0 0
1 2 2 1 1
0 0 3 2 2
1 0 1 1 2
 
 
  
 
  
 
  
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 
 , ou seja, do sistema 
1 0 0 0
1 0 1 1
0 0 1 2
1 0 1 1
 
 
 
 
 
 
  
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Como, 
1 0 0 0
1 0 1 1
0 0 1 2
1 0 1 1
 
 
 
 
 
 
  
Transformações
elementares

1 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
 
 

 
 
 
 
 
 
Então 
1 0 0 0
1 0 1 1
0 0 1 2
1 0 1 1
 
 
 
 
 
 
  
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
  
 
 
 
 
1 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
 
 

 
 
 
 
1
2
3
4
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 
= 
0
0
0
0
 
 
  
 
 
 
 
 
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Matemática/ Álgebra Linear Valores e Vectores Próprios – Introdução ao estudo (FT 1) 
 
 
Agradeço a indicação de gralhas e sugestões: Professor Joaquim Guerreiro Marques: https://www.linkedin.com/in/jmgmarques/ 
 
 
P
ág
in
a9
 
1 1 1
3 4 3
44 4
0 0 0
0 0
00 0
v v v
v v v
vv v
     
  
       
      
,
 
Logo, os vectores próprios da matriz E associados ao valor próprio 2 são da forma 
0
0
0
a
 
 
 
 
 
 
, 
com a um número real não nulo. 
 
Exemplo: Fazendo a = 1, obtém-se: 
0
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 . Qual o valor do produto 
0
2
?
0
0
E
 
 

  
 
 
 
 
 
Exemplo: Fazendo a = 3, obtém-se: 
0
3
0
0
 
 
 
 
 
 
 . Qual o valor do produto 
0
6
?
0
0
F
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P
ág
in
a1
0
 
3 Exercícios Propostos 
 
 
EP3.1 Considere a matriz 
2 0 0
5 3 0
0 0 2
A
 
 
 
 
  
 
a) Justifique que o polinómio característico de A é      32 2 . 
 
b) Determine os valores próprios e os vectores próprios de A. 
 
Definição: Duas matrizes A e D dizem-se semelhantes se existir uma matriz invertível 
P tal que: 
1 1A PDP P AP D    
 
Em que: 
Amatrizdada 
Dmatriz diagonal, com os valores próprios por uma dada ordem 
P matriz que tem nas colunas os vectores próprios correspondentes, pela mesma 
ordem. 
 
c) Mostre que A é semelhante à matriz diagonal 
 











200
030
002
D 
 
e indique uma matriz invertível P , tal que DAPP 1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a1
1
 
4 Teste de Auto-Avaliação (30 minutos) 
 
 
TAA4.1 Considere a transformação linear 2 2: ,T IR IR IR   , cuja representação 
matricial em relação à base canónica (de 2IR ) é: 
 









54
10 2
A 
 
a) Determine  para que T seja injectiva 
b) Determine )Im( 1T 
c) Determine a matriz B2, que representa 2T relativamente à base     0,1,1,1  de 
2IR . 
d) Calcule os valores, vectores e espaços próprios de A0 
e) Determine as matrizes B0 e P tal que: PAPB 0
1
0
 
f) Comente a afirmação: 
“O determinante de uma matriz pode ser calculado pelo produto dos valores próprios”. 
Aplique à matriz em estudo. 
 
TAA4.2 Seja  nA M IR , tal que AA 
2 . Justifique que se  é valor próprio de A, 
então  0,1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P
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a1
2
 
Formulário/Síntese (provas escritas) 
 
 
Definição: Valor próprio e Vector próprio (de uma matriz A ) 
Um vector v de E diz-se um vector próprio de A se existir um escalar  tal que 
Av v . O escalar  diz-se o valor próprio de A associado ao vector próprio v . 
 
Definição: O polinómio característico da matriz A, n n , é dado por: 
  np A I   . 
 
Teorema: Os valores próprios da matriz A são os zeros do polinómio característico de 
A: 0nA I  . 
 
Procedimento para determinação de valores e vectores próprios: 
1º) Determinar o polinómio característico da matriz A, n n , é dado por: 
  np A I   . 
2º) Resolve-se a equação 0nA I  para determinar os valores próprios. 
3º) A cada valor próprio associa-se um vector próprio, resolvendo o sistema 
homogéneo:    0nA I v  . 
(Note que este sistema é sempre indeterminado!) 
 
Definição: Duas matrizes A e D dizem-se semelhantes se existir uma matriz invertível 
P tal que: 
1 1A PDP P AP D    
 
Em que: 
Amatriz dada 
Dmatriz diagonal, com os valores próprios por uma dada ordem 
P matriz que tem nas colunas os vectores próprios correspondentes, pela mesma 
ordem. 
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