Transformações Lineares [FT1] Teoria

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Matemática/ Álgebra Transformações Lineares – Introdução do estudo (FT 1) 
 
 
Agradeço a indicação de gralhas e sugestões: Professor Joaquim Guerreiro Marques: https://www.linkedin.com/in/jmgmarques/ 
 
 
P
ág
in
a1
 
 
Transformações Lineares: 
Introdução 
 
Índice 
 
 
Objectivo .......................................................................................................................... 1 
1 Introdução: primeiros exemplos .................................................................................... 2 
2 Definição de transformação linear ................................................................................. 3 
3 Representação matricial ................................................................................................. 4 
4 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear ......................................................... 5 
5 Inversa de uma Transformação Linear .......................................................................... 7 
Síntese/Formulário ......................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objectivo 
 
Pretende-se introduzir a noção de transformação linear entre dois espaços vectoriais. 
 
 
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a2
 
1 Introdução: primeiros exemplos 
 
Uma transformação ou aplicação linear é uma correspondência entre dois espaços 
vectoriais que verifica as seguintes condições: 
 
# A imagem da soma de dois vectores é igual à soma das imagens e, 
 
# A imagem do produto de um vector por um escalar coincide com o produto do escalar 
pela imagem do vector. 
 
Exemplo: Para exemplificar, considere-se a matriz 
 





 

01
10
A e o vector 






0
1
x e calcule-se o produto matricial: 
 
yAx 
















 

1
0
0
1
01
10
 
 
 
Mais geralmente, a matriz A define uma correspondência T de 2IR para 2IR , que a cada 
2IRx faz corresponder 2IRAxy  , sendo a imagem y obtida do objecto x, por 
rotação deste de 90º no sentido positivo. Diz-se, então, que a transformação T é uma 
rotação e representa-se simbolicamente por 
 
 
22: IRIRT  
AxxTyx  )( 
 
Para qualquer vector 2
21 ),( IRxxx  , tem-se 
 

















 

1
2
2
1
01
10
x
x
x
x
Ax , 
 
donde T pode, alternativamente, ser representada por 
 
22: IRIRT  , 1 2 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , )x x T x x x x   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 Definição de transformação linear 
 
Para se verificar que T é uma transformação linear bastará utilizar as propriedades da 
multiplicação de matrizes. Com efeito, dados quaisquer dois vectores x e y pertencentes 
a 2IR e um escalar 2IR , tem-se 
 
)()()()( yTxTAyAxyxAyxT  
e 
 
)()()( xTAxxAxT   . Ou seja, a transformação T é linear dado que satisfaz as 
duas condições inicialmente exigidas. Mais formalmente, tem-se: 
 
Definição: Sejam E e F dois espaços vectoriais. Uma aplicação FET : diz-se uma 
transformação linear (ou aplicação linear) de E em F se: 
 (1)      T T T  x y x y , quaisquer que sejam ,x y E 
 (2)    T T x x , quaisquer que sejam x  E e  escalar. 
 
Estas duas condições podem ser reunidas na condição 
( ) ( ) ( ),T x y T x T y      
para todos os x, y  E e todos os escalares ,  . De facto, esta última igualdade é 
equivalente às anteriores podendo ser igualmente utilizada para caracterizar as 
transformações lineares. 
 
Exemplo 2.1: Mostre que a aplicação 
   2 2 1 2 2 1: , , ,T IR IR T x x x x  
é uma transformação linear. 
 
 
 (1) 
       
             
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
, , ,
, , , , ,
nestecaso
nestecaso
T T x x y y T x y x y
x y x y x x y y T x x T y y T T
        
        
x y
x y
. 
 
 
(2) 
     
       
1 2 1 2
2 1 2 1 1 2
, ,
, , ,
nestecaso
nestecaso
T T x x T x x
x x x x T x x T
   
    
    
  
x
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 Representação matricial 
 
A questão que naturalmente se põe, é a de saber se qualquer transformação linear tem 
uma representação matricial. A resposta é afirmativa como mostra o resultado seguinte. 
 
Teorema: Seja FET : uma transformação linear, e suponham-se fixadas em E e 
em F as bases  neee ,...,, 21 e  mfff ,...,, 21 , respectivamente. Então, a imagem 
FxTy  )( de qualquer vector Ex obtém-se por 
,
2
1
2
1


























nn x
x
x
A
y
y
y
Axy

 
em que: 
# A é uma matriz do tipo nm e as suas colunas são, respectivamente, as componentes 
dos vectores )(...,),(),( 21 neTeTeT , relativamente à base  mfff ,...,, 21 de F; 
nxxx ,...,, 21 são as componentes de x relativamente à base fixada em E, isto é, 
nnexexexx  ...2211 ; 
# myyy ,...,, 21 são as componentes de y relativamente à base fixada em F, isto é, 
mm fyfyfyy  ...2211 . 
 
Além disto, A é única e diz-se a matriz representativa de T relativamente às bases 
fixadas em E e em F, ou seja, Axy  em que A designa, como se enunciou, a matriz 
cujas colunas são as imagens por meio de T dos vectores da base fixada em E. Visto que 
estas imagens se escrevem de maneira única em função dos vectores da base de F, 
conclui-se que A é a única matriz que representa T nas bases fixadas em E e F. 
 
Vimos no teorema anterior que a cada transformação linear está associada a matriz que 
a representa relativamente às bases consideradas. É nesta altura importante observar que 
a composição de transformações lineares está associada ao produto das matrizes que 
representam aquelas transformações nas bases consideradas. 
 
Teorema: Sejam E, F e G espaços vectoriais com os mesmos escalares e designemos 
respectivamente por AS e AT as matrizes que representam as transformações lineares 
GFTeFES  :: relativamente a bases fixadas em E, F e G. Então, a matriz AT 
o S que representa T o S é o produto de AT por AS, isto é, AT o S = AT AS . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3.1: Consideremos duas transformações lineares 
2332 :: IRIRTeIRIRS  representadas, relativamente às bases canónicas de 
32 IReIR , respectivamente por 


















011
102
11
10
10
TS AeA 
Tem-se então que a matriz representativa de 22: IRIRSo T  é dada por 
























20
31
11
10
10
011
102
STSoT AAA . 
Consequentemente, )2,3(),() o ( 22121 xxxxxST  . Por outro lado, a matriz 
representativa de 33: o IRIRTS  é 
 



























113
011
011
011
102
11
10
10
o TSTS AAA 
 
donde )3,,(),,() o ( 3212121321 xxxxxxxxxxTS  . 
 
4 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 
 
Definição: Seja FET : uma transformação linear. Associados a T consideram-se 
habitualmente dois subconjuntos, um do espaço vectorial de partida, E, e o outro do 
espaço vectorial de chegada, F. O primeiro é o conjunto do vectores de E que são 
aplicados no vector nulo 0F de F, designado por espaço nulo de T ou núcleo de T e 
representado habitualmente por N(T) (Outra notação comum é Ker T ). Tem-se assim,
 FxTExTN 0)(:)(  . 
 
Definição: O segundo subconjunto mencionado, é o conjunto das imagens de E por 
meio de T, designa-se por imagem de T ou contradomínio de T, representa-se por Im(T) 
e, formalmente, é dado por:    )(:::)()Im( xTyExFyExFxTT  
 
Sendo A a matriz representativa de T é imediato verificar que N(T) coincide com o 
espaço nulo de A e que Im(T) não é mais do que o espaço das colunas da mesma matriz. 
Consequentemente, o seguinte resultado é válido: 
 
Teorema: Seja FET : uma transformação linear. Então, o núcleo de T e a imagem 
de T são subespaços vectoriais de E e F, respectivamente. 
Observe-se que no exemplo anterior é válida a igualdade 
)dim(21)Im(dim)(dim 3IRTTN  , 
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isto é, a soma das dimensões do núcleo de T e da imagem de T iguala a dimensão do 
espaço de partida. O resultado seguinte, que se apresenta sem demonstração, estabelece 
que aquela igualdade é válida em geral. 
 
Teorema: Seja E um espaço vectorial de dimensão finita e T uma transformação linear 
definida em E. Então, ETTN dim)Im(dim)(dim  
 
Exemplo 4.1: Supondo fixada em 3IR a base canónica, determinar: 
a) o núcleo e 
b) a imagem 
da transformação linear 33: IRIRT  definida por ),,2(),,( 1321321 xxxxxxxT  . 
Resolução: a) Bastará determinar os espaços nulo e das colunas da matriz 
representativa de T. Esta última é a matriz 
 











001
110
002
TA , 
 
pois (0,1,0)(0,0,1)(0,1,0)(0,1,0)2,0,1)((1,0,0)  TeT;T . 
 
Para obter o espaço nulo é necessário resolver o sistema 0xAT , procedendo-se como 
segue: 










 










 0|001
0|110
0|002
0|001
0|110
0|002
31
2
1
LL
 
 










 
 0|001
0|110
0|001
12
1
L
. 
 
Assim, 0xAT é equivalente a 











32
1
32
1 0
0
0
xx
x
xx
x
, 
donde   )1,1,0(:),,0()( 333  IRxxxTN . 
 
b) Para obter o espaço imagem Im(T) é necessário determinar os vectores y para os 
quais o sistema yxAT  é possível, procedendo-se do seguinte modo: 












 











31
2
1
3
2
1
21|000
|110
|002
|001
|110
|002
31
2
1
yy
y
y
y
y
y
LL
 
 
Assim, aquele sistema é possível se e só se 
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3131 20
2
1
yyyy  , 
donde os vectores de Im(T) são da forma )1,0,2()0,1,0(),,2( 32323  yyyyy , ou seja, 
 )1,0,2(),0,1,0( Im (T) . Visto que os vectores geradores de Im(T) são linearmente 
independentes tem-se dim Im(T) = 2. Deste modo, verifica-se uma vez mais
)dim()Im(dim)(dim 3IRTTN  . 
5 Inversa de uma Transformação Linear 
 
Definição: Seja FET : uma transformação linear. Diremos que T é invertível se T é 
injectiva, isto é, se transforma elementos distintos de E em elementos distintos de F. 
Equivale a afirmar que, para yxseEyx  ,, , então )()( yTxT  , ou, o que é o 
mesmo, 
yxyTxTEyx  )()(,, 
 
 Recordemos, a propósito, que FET : se diz sobrejectiva se FT )Im( , pois, 
assim, qualquer elemento do conjunto de chegada é imagem de um elemento do 
conjunto de partida. Uma transformação linear que é simultaneamente injectiva e 
sobrejectiva diz-se bijectiva. 
 
 O resultado seguinte permite caracterizar as transformações invertíveis de 
diversas formas, decorrendo daí o seu interesse. 
 
Teorema: Sejam E e F espaços vectoriais de dimensão finita e FET : uma 
transformação linear. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: 
- T é invertível, ou equivalentemente, T é injectiva; 
 
- A transformação inversa EFTT  )Im(:1 definida por   ExxxTT  ,)(1 , é 
linear; 
 
-  ETN 0)(  , isto é, o núcleo de T reduz-se ao vector nulo de E; 
 
- T transforma vectores linearmente independentes de E em vectores linearmente 
independentes de F, isto é, se pvvv ,...,, 21 são vectores linearmente independentes de E 
então )(),...,(),( 21 pvTvTvT , são vectores linearmente independentes de F. 
 
Por último, é estabelecido formalmente o paralelismo entre transformações inversas e 
matrizes inversas. 
 
Teorema: Sejam E e F espaços vectoriais de dimensão finita e FET : uma 
transformação linear invertível representada matricialmente pela matriz quadrada AT . 
Então, T é bijectiva e a transformação inversa de 1, TT , é representada 
matricialmente pela matriz inversa de AT , isto é, 
1)(1
 TT AA . 
 
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Exemplo: Fixada a base canónica de 3IR , considere-se a transformação linear 
33: IRIRT  cuja representação matricial é 











110
111
011
TA . 
Pretende-se averiguar se T é bijectiva e, em caso afirmativo, calcular a transformação 
inversa. 
 
Para resolver a primeira das questões, é suficiente determinar o núcleo e a imagem de T. 
Com efeito, para obter o núcleo procede-se às operações seguintes: 










 











0|110
0|120
0|011
0|110
0|111
0|011
21 LL
 










 
 0|2100
0|120
0|011
2 32
1
LL
 
 
Conclui-se então que o sistema homogéneo )0,0,0(),,( 321 xxxT é possível e 
determinado, o que implica que  )0,0,0()( TN , ou seja, T é injectiva. 
 
 
 
Para obter o espaço imagem Im(T) efectuam-se os seguintes procedimentos: 
 












 











3
12
1
3
2
1
|110
|120
|011
|110
|111
|011
21 y
yy
y
y
y
y
LL
 


















 

2
|2100
|120
|011
2 12
3
12
1
32
1
yy
y
yy
y
LL
. 
 
Assim, 3)Im( IRT  pois o sistema é sempre possível, qualquer que seja 
3
321 ),,( IRyyyy  . 
 
Deste modo, T é sobrejectiva e, dado que é injectiva, é bijectiva. Aliás, este facto 
poderia ter sido imediatamente concluído após a verificação da invertibilidade de T. 
Com efeito, sendo T invertível e representada por uma matriz quadrada fica garantido, 
pelo teorema 7, que T é bijectiva. 
 
Finalmente, a determinação da transformação inversa 1T pode, portanto,fazer-se 
calculando a matriz inversa de TA , que é a matriz 
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












211
111
110
. 
 
Consequentemente, )2,,(),,( 32132121321
1 xxxxxxxxxxxT  , como 
facilmente se verifica multiplicando 1)( TA por ),,( 321 xxx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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0
 
Síntese/Formulário 
 
# Sejam E e F dois espaços vectoriais. Uma aplicação FET : diz-se uma transformação 
linear (ou aplicação linear) de E em F se: 
- )()()( yTxTyxT  , quaisquer que sejam Eyx , ; 
- )()( xTxT   quaisquer que sejam Ex e  escalar. 
Estas duas conclusões podem ser reunidas na condição )()()( yTxTyxT   , para 
todos os Eyx , e todos os escalares  e  . [Definição] 
 
# Suponham-se fixadas em E e em F as bases  neee ,...,, 21 e  mfff ,...,, 21 , respectivamente. 
Então, a matriz representativa de FET : é do tipo nm e as suas colunas são as 
componentes dos vectores )(...,),(),( 21 neTeTeT relativamente à base  mfff ,...,, 21 de F. A 
imagem FxTy  )( de qualquer vector Ex obtém-se por Axy  , em que A é a matriz 
representativa de T. Esta matriz é única relativamente às bases fixadas em E e F. [Definição] 
 
# Sejam AS e AT as matrizes que representam as transformações lineares FES : e 
GFT : relativamente a bases fixadas em E, F e G. Então, a matriz AT o S que representa 
T o S é o produto de AT por AS, isto é, ST So T AA A  . [Definição: composição de transformações] 
 
# O núcleo de uma transformação linear FET : define-se por 
 FxTExTN 0)(:)(  . [Definição] 
 
# O conjunto das imagens E por meio de T, designa-se por imagem de T e define-se por 
   )(:::)()Im( xTyExFyExFxTT  . [Definição] 
 
# Sendo A a matriz representativa de T é imediato verificar que N(T) coincide com o espaço 
nulo de A e que Im(T) não é mais do que o espaço das colunas da mesma matriz. Conclui-se 
então que o núcleo de T e a imagem de T são subespaços vectoriais de E e F, respectivamente. 
Tem-se também que a seguinte igualdade é válida: ETTN dim)Im(dim)(dim  [Teo.] 
 
# Diz-se que uma transformação FET : é invertível se T é injectiva, isto é, se transforma 
elementos distintos de E em elementos distintos de F. Equivale a afirmar que, para Eyx , , se 
yx  então )()( yTxT  , ou, o que é o mesmo, 
yxyTxTEyx  )()(,, [Definição] 
 
# FET : diz-se sobrejectiva se FT )Im( , pois, assim, qualquer elemento do conjunto de 
chegada é imagem de um elemento do conjunto de partida. Uma transformação linear que é 
simultaneamente injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva. [Definição] 
 
# Uma transformação FET : é invertível se e só se  ETN 0)(  ou, equivalentemente, se 
transforma vectores linearmente independentes de E em vectores linearmente independentes de 
F. [Teo.] 
 
# Sejam E e F espaços de dimensão finita e FET : uma transformação linear. Se T é invertível 
e é representada por uma matriz quadrada AT, então T é bijectiva. Além disto, a transformação 
inversa 
1T é representada pela matriz inversa de AT, isto é,
1)(1
 TT AA . [Teo.] 
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