Matrizes 2 (Res)

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Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica (Res) 
 
 1 
Soluções dos Exercícios Propostos 
 
EP 1. Indique quais das matrizes seguintes estão em forma de escada: 
4 4 4
0 5 5
0 9 9
A
 
 

 
  
 
4 4 4
0 5 5
0 0 9
B
 
 

 
  
 
4 4 4
0 0 5
0 0 9
C
 
 

 
  
 
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 0 1
D
 
 
 
 
 
 
 
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 0 0
E
 
 
 
 
 
 
 
2 2 4
0 4 3
0 0 1
0 0 0
F
 
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0
0 4 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
G
 
 
 
 
 
 
 
1 0 0 0
0 4 4 0
0 0 0 1
0 0 0 1
H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Usando a definição de matriz em forma de escada podemos separar em 
matrizes: 
Em escada: 
4 4 4
0 5 5
0 0 9
B
 
 

 
  
; 
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 0 0
E
 
 
 
 
 
 
; 
2 2 4
0 4 3
0 0 1
0 0 0
F
 
 
 
 
 
 
; 
1 0 0 0
0 4 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
G
 
 
 
 
 
 
 
Não em escada: 
4 4 4
0 5 5
0 9 9
A
 
 

 
  
; 
4 4 4
0 0 5
0 0 9
C
 
 

 
  
; 
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 0 1
D
 
 
 
 
 
 
; 
1 0 0 0
0 4 4 0
0 0 0 1
0 0 0 1
H
 
 
 
 
 
 
 
 
EP 2. Considere a matriz seguinte: 
0 0 0 0 0
0 0 2 2 3
0 4 9 3 4
0 1 2 1 1
A
 
 

 
 
 
 
 
Determine: 
a) uma matriz em forma de escada e equivalente por linhas à matriz: 
b) a característica da matriz dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica (Res) 
 
 2 
Resolução: a) Vamos obter uma matriz em forma de escadas, a partir da matriz dada: 
 
1 4 1 3 34
0 1 2 1 10 0 0 0 0 0 2 1 1
0 0 2 2 3 0 0 2 2 3 0 0 2 3
0 4 9 3 4 0 4 9 3 4 0 0 1 1 0
0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
L L L L L
A
   
     
    
        
      
    
         
1
2
 
 
2 3 2 3 32
0 1 2 1 10 1 2 1 1
0 0 1 1 00 0 1 1 0
0 0 2 2 3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
L L L L L
B
   
  
        
  
  
    
3
 
 
b) Sendo A característica de uma matriz o número de pivots de qualquer matriz em 
escada obtida pelo processo de eliminação, pela alínea a), temos que     3c A c B  . 
 
EP 3. Calcule a característica da matriz 
1 0 1
2 2 2
1 0 0
B
 
 

 
  
. 
 
Resolução: Vamos obter uma matriz em forma de escadas, a partir da matriz dada: 
 
2 1 2
3 1 3
2
0 10 1
2 2 2 0 0
1 0 0 0 0
L L L
L L L
B
 
 
  
  
   
  
    
11
2
1
 
 
Pelo que a característica de B é 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica (Res) 
 
 3 
Resolução do Teste de Auto-Avaliação 
AA.1. Considere a matriz 
1 1
2 3
B
 
  
 
. Determine as matrizes potência da matriz 
dada: a) 0B ; b) 2B ; c) 3B 
 
Resolução: a) 
0
2
1 0
0 1
B I
 
   
 
 
b) 
2
1 2
.
4 7
B B B
 
   
 
; c) 
3 2
3 5
.
10 17
B B B
 
   
 
; 
AA.2. Considere a matriz: 
0 1 0 0
1 2 3 0
1 2 1 0
0 0 0 3
C
 
 

 
  
 
 
 
 
a) Utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, obtenha a partir de C 
uma matriz triangular superior, D . 
b) Comente: “ TD é uma matriz triangular superior”. 
 
Resolução: (a) Uma forma de obter, a partir da matriz C, uma matriz em forma de 
escada, utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, é a seguinte: 
 














 














 















3000
0200
0010
0321
3000
0121
0010
0321
3000
0121
0321
0010
31321 
 
 
b) Falso. 
TD é uma matriz triangular inferior. 
AA.3. Considere as matrizes reais .
42
10
52
21
41
03
20
11
,
23
12
























 







 CeBA 
Indique qual das afirmações seguintes é FALSA: 
 
A) É possível calcular as matrizes TT CABeCBA  
B)
2
2 IA  
C) 
















148
21
49
74
TCA 
D) A matriz A tem característica máxima. 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica (Res) 
 
 4 
Resolução: C 
 
AA.4. Considere a matriz 
0 0 1 0
2 3 1 1
1 2 1 0
1 1 3 1
D
 
 

 
 
 
 
 
a) Utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, obtenha a partir de D 
uma matriz em forma de escada. 
b) Indique, justificando, a característica da matriz D. 
 
Resolução: 
 
a) Uma forma de obter a partir da matriz D uma matriz em forma de escada, utilizando 
unicamente transformações elementares nas linhas, é a seguinte: 
 
1 3 2 1 2
4 1 4
2
0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
2 3 1 1 2 3 1 1 0 1 3 1
1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 1 3 1 1 1 3 1 0 1 4 1
  
 
      
     
   
      
     
     
        
 
 
 
 
4 2 4 4 3 4
1 2 1 0 1 2 1 0
0 1 3 1 0 1 3 1
(matriz em f.e.)
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0
   
    
   
   
    
   
   
   
 
 
 
(b) Pela alínea anterior, a matriz em forma de escada foi obtida a partir da matriz D por 
transformações elementares nas linhas. Nestas condições, sabe-se que a característica da 
matriz D é igual ao número de linhas não nulas desta matriz em forma de escada. Logo,
3 r(D)  .