Espaços Vectoriais - Introdução [Sebenta + Ficha]

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Matemática/ Álgebra Espaços Vectoriais – Introdução do estudo (FT 1) 
 
 
 
 
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Espaços Vectoriais: 
Introdução 
 
Índice 
 
 
Objectivo .......................................................................................................................... 1 
§1 Introdução .................................................................................................................... 2 
§1.1 Definição de vector ............................................................................................... 2 
§1.2 Definição de Espaço Vectorial Real ..................................................................... 3 
§1.3 Operações (Adição de vectores e produto por um escalar) .................................. 5 
§1.4 Subespaços Vectoriais .......................................................................................... 5 
§1.5 Combinações lineares. Espaço Gerado ................................................................. 8 
§1.6 Dependência e Independência Linear. Propriedades. ......................................... 14 
§1.7 Bases de um Espaço Vectorial............................................................................ 16 
§1.8 Dimensão de um Espaço Vectorial. .................................................................... 17 
0 Resumo/Síntese/Formulário ........................................................................................ 18 
 
 
 
 
 
 
Objectivo 
 
Pretende-se introduzir a noção de vector e de espaço vectorial. 
 
 
 
 
 
 
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§1 Introdução 
 
Questões inicias: 
 
Q1: O que é um vector? 
 
Q2: Quais são as operações que definem num conjunto não vazio a estrutura de espaço 
vectorial real? 
 
Q3: O resultado das operações que se podem ser efectuadas num espaço vectorial são 
vectores ou escalares? 
 
§1.1 Definição de vector 
 
 
Definição: Vector de R
2
 
Um vector de R 2 é qualquer sequência de dois números reais: u = (u 1 , u 2 ). Ao número 
real u 1 , chamamos primeira componente de u e ao número real u 2 segunda componente 
de u. 
 
São exemplos de vectores de R
2
 
Para que se tenha vectores de R 2 , basta que escolhamos dois números reais e os 
coloquemos numa sequência. São exemplos de vectores de R 2 : 
 
- o vector (1, 1) que tem a primeira componente igual à segunda, ambas com valor 1; 
 
- o vector (1, 2) que tem por primeira componente o nº 1 e por segunda componente o nº 
2; 
 
- o vector (2, 1) que tem por primeira componente o nº 2 e por segunda componente o nº 
1 de entre muitos outros. 
 
Definição: Vector de R
3
 
Um vector de R 3 é qualquer sequência de três números reais: v = (x 1 , x 2 , x 3 ). Ao 
número real x 1 , chamamos primeira componente de v , ao número real x 2 segunda 
componente de v e ao número x
3
 terceira componente de v. 
 
São exemplos de vectores de R
3
 
- o vector (0, 0, 0) que tem todas as componentes nulas; 
 
- o vector (1, 0, -1) que tem primeira componente 1, por segunda componente 0 e por 
terceira componente -1. 
 
- Qual é a segunda componente do vector (2, ½, 3)? Qual é a terceira componente do 
vector (1, 0, 2 ) ? 
 
 
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A sequência (1, 2, 1, 2, 1) é um vector de R 4 ? Porquê? Defina vector de R 4 . 
 
Um vector de R
n
 é qualquer sequência de n números reais: (x 1 , x 2 , ..., x 1n , x n ). 
São exemplos de vectores de R
n
: 
- o vector (0, 0, ..., 0,0) com todas as componentes nulas 
- o vector (2, 4, ... 2n-2, 2n) que tem por primeira componente o nº 2, por segunda 
componente o nº 4, por terceira componente o nº 6. Qual é a quarta componente deste 
vector, sabendo que n ≥ 4? 
 
§1.2 Definição de Espaço Vectorial Real 
 
 
Definição Seja E um conjunto e seja IR o conjunto dos números reais. Diremos que E é 
um espaço vectorial real se em E estiverem definidas duas operações: (i) Uma adição e 
(ii) Uma multiplicação por um escalar escalar. 
 
a) Uma adição, isto é uma aplicação de EE em E que a cada par (x,y) de elementos 
de E faz corresponder um novo elemento de E representado por x + y, satisfazendo as 
seguintes condições: 
1. );(,,),()( idadeassociativEzyxzyxzyx  
2. );(,, dadecomutativiEyxxyyx  
3. );(00,:0 neutroelementodeexistênciaxxxExE  
4. ).(0)()(:)(, simetricodeexistênciaxxxxExEx  
 
b) Uma multiplicação escalar, isto é, uma aplicação de EIR em E que a cada par 
),( x com IR e Ex , faz corresponder um e um só elemento de E representado 
por x, satisfazendo as seguintes condições: 
1. );...(,,,)( EemadiçãoàrelescalarmultdadistrEyxIRyxyx  
 
2. );...(,,,)( IRemadiçãoàrelescalarmultdadistrExIRxxx  
 
3. );..(,,),()( IRemmultacomescalarmultdaidadecompatibilExIRxx  
 
4. )..(1sen,,1 escalarmultaparaidentidadedeexistênciaIRdoExxx  
 
 
Exemplo 1.3.1 
a) Defina R
2
. b) Dê exemplos de elementos de R
2
 
c) Defina R
3
e generalize para R
n
 d) Dê exemplos de elementos de R
3
 
Resolução: 
a) O conjunto R
2
 é o produto cartesiano de R por R, isto é, o conjunto R 2 é o conjunto 
de todas as sequências de dois números reais. Simbolicamente, 
R
2 
= { (x 1 , x 2 ) : x 1 , x 2 R }. 
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Dado um elemento x = (x 1 , x 2 ) de R
2
, a x 1 chamamos primeira componente de x e a x
2 segunda componente de x. 
 
b) São exemplos de elementos de R
2
 qualquer sequência de dois números reais tais 
como (0, 0), (1, 0), (0, 1), ( 2 , 3/5) , (-e 2 , 2). 
 
c) O conjunto R
3
 é o cubo cartesiano de R, i.e., é o conjunto de todas as sequências de 
três números reais. Simbolicamente, R
3
= { (x 1 , x 2 , x 3 ) : x 1 , x 2 , x 3 R }. Dado um 
elemento x = (x 1 , x 2 , x 3 ) de R
3
, a x 1 chamamos primeira componente de x e a x 2 
segunda componente de x e a x
3
 terceira componente de x. 
 
Mais geralmente, dado n um número natural, não nulo, R
n 
é o conjunto de todas as 
sequências de n números reais. Os elementos de R
3
 são da forma 
(x 1 , x 2 , ..., x 1n , x n ), onde x 1 , x 2 , ..., x 1n , x n são números reais arbitrários. 
 
d) São exemplos de elementos de R
3
 qualquer sequência de três números reais tais 
como (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), ( 0, 0, 1) (1, 2 , 3/5) , (-e 2 , 0, 2). 
 
Exemplo 1.3.2 O espaço vectorial dos polinómios de grau inferior ou igual a n. 
Seja E o conjunto dos polinómios reais de grau  n. Supondo P(x) e Q(x)  E, então, 
n
nnn axaxaxaxP   ...)( 22
1
10 
e 
n
nnn bxbxbxbxQ   ...)( 22
1
10 
Suponha-se que E é munido das seguintes operações: 
 
i) Adição: 
)(...)()()()()( 222
1
1100 nn
nnn baxbaxbaxbaxQxP   
 
ii) Multiplicação escalar: 
)(...)()()()( 22
1
10 n
nnn axaxaxaxP    
 
 
 
 
 
 
 
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§1.3 Operações (Adição de vectores e produto por um escalar) 
 
Para que um conjunto obtenha a estrutura de espaço vectorial é necessário que: 
 
 Esteja definida uma operação binária de adição que seja comutativa, associativa, 
tenha elemento neutro e todo o elemento tenha simétrico, 
 
 Para cada número real  esteja definida uma operaçãounária, v  v, chamada 
multiplicação pelo escalar  . O vector  v diz-se um múltiplo de v. 
 
Estas operações têm de verificar quatro identidades: 
1. ( +  )u =  u +  u; 
2.  (u + v) =  u +  v; 
3. (  ) v =  (  v); 
4. 1v = v. 
 
O resultado de qualquer operação efectuada num espaço vectorial é sempre um vector. 
 
 
§1.4 Subespaços Vectoriais 
 
 
Definição: Subespaço vectorial de um espaço vectorial 
Dado um espaço vectorial E seja S um subconjunto não vazio de E. Se S for também 
um espaço vectorial para as operações definidas em E, S diz-se um subespaço vectorial 
de E. 
 
Exemplo 1.4.1 Considere em R
3 
os seguintes conjuntos de vectores 
F = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : x 1 > 0 e x 3 < 0 }; 
G = {(x 1 , x 2 , x 3 ): x 1 = 0 ou x 3 = 0 } e 
H = {(x 1 , x 2 , x 3 ) : x 1 -x 2 - x 3 = 0 } 
a) Descreva os conjuntos F, G e H e prove que são não vazios. 
b) Diga o que significa as seguintes afirmações: 
 i) O conjunto U é fechado para a adição. 
 ii) O conjunto U é fechado para a multiplicação por escalares. 
c) Averigúe se algum destes conjuntos são fechados para a adição e/ou para a 
multiplicação por um escalar. 
d) Defina subespaço vectorial. 
e) Diga, justificando a sua resposta, se algum dos conjuntos F, G ou H é um subespaço 
vectorial de R 3 . 
 
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Resolução: a) O conjunto F é constituído pelos vectores de R
3 
com primeira 
componente positiva, terceira componente negativa e a segunda componente pode tomar 
qualquer valor; o conjunto G é constituído pelos vectores de R
3 
que tenha pelo menos 
uma das primeiras ou terceira componentes nula; H é constituído pelos vectores de R
3
 
em que a primeira componente é a soma da segunda com a terceira componente. 
 
São exemplos de vectores de F, os vectores (1, 0, -2), (2, 3, -1) e (1, ½, -1); são 
exemplos do vectores de G os vectores (0, 0, 0), (0, 1, 2) e (1/3, 2, 0) e são exemplos de 
vectores de H os vectores (3, 1, 2), (3, -1, 4) e (3, 4, -1). 
 
b-i) Dizer que um conjunto de vectores de um espaço vectorial é fechado para a adição 
significa que a soma de dois quaisquer vectores desse conjunto é ainda um vector desse 
conjunto . Chamamos a atenção para o facto de a soma de determinados vectores desse 
conjunto ser um vector desse conjunto não garantir que esse conjunto é fechado para a 
adição. 
b-ii) Dizer que um conjunto de vectores de um espaço vectorial é fechado para a 
multiplicação por um escalar significa que qualquer múltiplo de qualquer vector desse 
conjunto é um vector desse mesmo conjunto . Reparemos que qualquer conjunto de 
vectores é fechado para a multiplicação pelo escalar 1 e em alguns casos é também 
fechado para a multiplicação por outros escalares, no entanto isto não significa que o 
conjunto seja fechado para a multiplicação por uma escalar. 
 
c) O Conjunto F é fechado para adição, já que a soma de números positivos é um 
número positivo, o mesmo acontecendo com os números negativos. F é fechado para a 
multiplicação por qualquer escalar não negativo. No entanto, F não é fechado para a 
multiplicação por escalares conforme mostra o exemplo que se apresenta. 
O vector (1, 0, -1) é um vector de F e o vector -2(1, 0, -1) = (-2, 0, 2) não é um vector de 
F; o Conjunto G é fechado para a multiplicação por escalares já que o zero é elemento 
absorvente da multiplicação, ie, qualquer produto com um factor nulo é nulo. 
 
Os vectores ( 0, 1, 0) e ( 0, -2, 0) são vectores de G e a sua soma 
( 0, 1, 0) + ( 0, -2, 0) = ( 0, 1, 0) 
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é um vector de G. Como estes vectores, a soma de muitos outros vectores de G são 
vectores de G. Apesar disto, G não é fechado para a adição já que (0, 1, 2) e (1, 0, 0) são 
vectores e a sua soma 
(0, 1, 2) + (1, 0, 0) = (1, 1, 2) não é um vector de G. 
 
Os vectores de H são da forma (x 2 + x 3 , x 2 , x 3 ). Assim a soma de vectores de F pode 
ser representada por 
(x 2 + x 3 , x 2 , x 3 ) + (y 2 + y 3 , y 2 , y 3 ) = (x 2 + y 2 + x 3 + y 3 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) 
que é um vector de H. Deste modo H é fechado para a adição. 
Seja  um escalar qualquer e (x 2 + x 3 , x 2 , x 3 ) um vector genérico de H. Como 
 (x 2 + x 3 , x 2 , x 3 ) = ( (x 2 + x 3 ),  x 2 ,  x 3 ), 
então H é fechado para a multiplicação por escalares. 
 
d) Um subespaço vectorial de um espaço vectorial e um conjunto não vazio de vectores 
desse espaço que é fechado para a adição e para a multiplicação por escalares. 
 
e) De acordo com a alínea anterior e com o dissemos na alínea c) F não é um subespaço 
vectorial, pois não é fechado para a multiplicação por escalares, o mesmo acontecendo 
com G, já que G não é fechado para a adição. O conjunto H é, conforme o que foi 
mostrado antes, um subespaço vectorial de R
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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§1.5 Combinações lineares. Espaço Gerado 
 
A noção de combinação linear de vectores que iremos introduzir está na base do 
procedimento que permite construir (ou gerar) subespaços vectoriais. 
 
Definição Sejam 
1 2
, ,...,
n
v v v vectores do espaço E. Um vector u E , u diz-se 
combinação linear dos vectores 
1 2
, ,...,
n
v v v se existirem escalares ,,...,, 21 n tais 
que: 
1 21 2
1
...
n i
n
n i
i
u v v v v   

     
Os escalares ,,...,, 21 n dizem-se coeficientes da combinação linear. 
 
Exemplo 1.5.1 Considere, em R
2 
e R
3
, respectivamente, as operações: 
     1 2 1 2 1 1 2 2x , x y , y x y , x y    ;      1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3x , x , x y , y , y x y , x y , x y     
   1 2 1 2, ,x x x x   e    1 2 3 1 2 3, , , ,x x x x x x    
Calcule as somas ou combinações lineares seguintes: 
a)    1, 2 3,6  b)    2a,0 1, 2c c)    3 2,0 1, 2 
d)    
1
,0,1 2,0, 3 0,1,0
2
 
   
 
 e)    a,3,2c 2,a, 2  f)  
1
2,0, 3
2
 
Resolução: A operação de adição em R
2 
efectua-se adicionando componente a componente, ie, 
para adicionar x =(x 1 , x 2 ) com y = (y 1 , y 2 ) adicionarmos a primeira componente de x com a 
primeira componente de y, x 1 + y 1 , obtendo-se assim a primeira componente da soma x + y e 
adiciona-se a segunda componente de x com a segunda componente de y, x 2 + y 2 , obtendo-se 
a segunda componente da soma. Da mesma maneira, a adição em R
3 
é feita componente a 
componente, o mesmo acontecendo em R
n
. 
 
 A multiplicação de um escalar por um elemento v de R
2 
efectua-se multiplicando esse 
escalar por cada componente de v. Mais geralmente, para multiplicarmos um escalar por um 
elemento w de R
n
 multiplica-se esse escalar por cada uma das componentes de w. 
a) (1, -2) + (3, 6) = (1 + 3, -2 + 6) = (4, 4). 
b) (2a, 0) + (1, 2c) = ( 2a + 0, 0 + 2c) = (2a, 2c) 
c) 3(2, 0) + (1, 2) = (3x2, 3x0) + (1, 2) = (6, 0) + (1, 2) = (7, 2). 
d) (1/2, 0, 1) +(2, 0, -3) + (0, 1, 0) = (1/2 + 2 + 0, 0 + 0+ 1, 1-3+ 0) = (5/2, 1, -2). 
e) (a, 3, 2c) + (2, a, -2) = (a + 2, 3 + a, 2c -2) = (a +2, 3 + a, 2(c - 1)). 
f) 1/2(2, 0, -3) = (1/2x2, 1/2x0, 1/2x(-3)) = ( 1, 0, -3/2). 
 
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Definição Um sistema de geradores de um (sub)espaço vectorial é um sistema de 
vectores desse (sub)espaçode tal modo que qualquer vector é combinação linear dos 
vectores do sistema. 
 
Exemplo 1.5.2 Prove que o sistema de vectores ((1, 1), (1, 2)) é um sistema de 
geradores de R
2 
. 
 
Resolução: Os vectores (1, 1) e (1, 2) são vectores de R
2 
, logo estes vectores serão 
geradores de R 2 se qualquer vector deste espaço vectorial for uma combinação linear 
dos vectores (1, 1) e (1, 2). Assim, para provarmos que estes vectores são geradores de 
R
2 
teremos de exprimir qualquer vector como combinação linear daqueles vectores. 
Vejamos que assim é. Ora, 
 (1, 1) +  (1, 2) = (x 1 , x 2 )  ( +  ,  + 2 ) = (x 1 , x 2 ). ou seja 
 +  = x 1 e  + 2  = x 2 , logo  = x 1 -  e  = x 2 - x 1 , ie, 
 = 2 x 1 - x 2 e  = x 2 - x 1 . Assim, 
(x 1 , x 2 ) = (2 x 1 - x 2 )(1, 1) + (x 2 - x 1 )(1, 2), 
 e portanto ((1, 1), (1, 2)) é um sistema de geradores de R
2 
. 
 
Exemplo 1.5.3 a) Defina: 
i) Sistema de vectores. 
ii) Sistemas de vectores equivalentes. 
b) Considere os seguintes sistemas de vectores 
S 1 = ( (1, 0, -1), (2, 0, 1) ) ; 
S 2 = ( (2, 0, 1), (1, 0, -1), (2, 0, 1)) e 
S
3
 = ( (2, 0, 1), (1, 0, -1), (1, 1, 1) ). 
i) Diga, justificando a sua resposta, se os sistemas S 1 e S 3 são equivalentes. 
ii) Mostre que o sistema S
3
 é um sistema de geradores de R
3
. 
 
RESOLUÇÃO: a-i) Um sistema de vectores é qualquer sequência finita de vectores de 
um determinado espaço vectorial. Por exemplo, ( (1, -1), (2, 1) ) e ( (-2, 0), (0, 1), (1, 2)) 
são exemplos de sistemas de vectores de R 2 , enquanto que 
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( (1, 1, 1)), ( (1, 0, -2), (2, 1, -1) ) e ( (0, 0, 0), (2, -1, 3), (3, 0, -5), (1, -1, 1) ) 
São exemplos de sistemas de vectores de R 3 . 
 
a-ii) Sistemas de vectores equivalentes são sistemas de vectores que geram o mesmo 
espaço vectorial. 
 
b-i) Os vectores do espaço vectorial gerado por S 1 são vectores com a segunda 
componente nula já que têm de ser combinação linear dos vectores de S 1 , todos com 
segunda componente nula. O vector ( 1, 1, 1) não é portanto um vector do espaço 
gerado por S 1 mas é um vector do espaço gerado por S 3 . Deste modo estes sistemas não 
são equivalentes, pois não geram o mesmo espaço vectorial. 
 
b-iii) Sabemos que ( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ) é um sistema de geradores de R
3
. 
Além disso as transformações elementares efectuadas sobre sistemas de vectores 
transforma-os em sistemas equivalentes e consequentemente geradores do mesmo 
espaço vectorial. Ora, 
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ~ ((1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ~ ((1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ~ 
~ ((1, 1, 1), (0, -1, 0), (0, 0, 1)) ~ ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)) ~ 
~((1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, -2)) ~ ((1, 1, 1), (1, 0, -1), (0, 0, 3)) ~ 
~((1, 1, 1), (2, 0, -2), (0, 0, 3)) ~ ((1, 1, 1), (1, 0, -1), (2, 0, 1)) ~ 
~ ((2, 0, 1) , (1, 0, -1), (1, 1, 1)). 
 
Todos estes sistemas são equivalentes entre si e portanto todos são sistemas de 
geradores de R
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1.5.4 Considere os seguintes sistemas de vectores 
S 1 = ((1, 1), (2, 2) ) 
S 2 = ( (1, -1, 1), (2, 0, 1) , (3, -1, 2)) 
a) Utilize os vectores de S 1 para escrever uma combinação linear nula não trivial. 
b) Utilize os vectores de S 2 para escrever uma combinação linear nula não trivial. 
c) Verifique que cada um dos vectores de S 2 é combinação linear dos restantes vectores 
do sistema. 
 
RESOLUÇÃO: a) A combinação linear 
2(1, 1) -1(2, 2) = (0, 0) 
é nula, pois o vector resultante é nulo: 
2(1, 1) -1(2, 2) = (0, 0) 
e é não trivial pois nem todos os coeficientes são nulos. 
 
b) Ora, 
1(1, -1, 1) + 1(2, 0, 1) -1(3, -1, 2) = (0, 0, 0), 
donde a combinação linear 
1(1, -1, 1) + 1(2, 0, 1) -1(3, -1, 2) 
é nula não trivial. 
 
c) De 
1(1, -1, 1) + 1(2, 0, 1) -1(3, -1, 2) = (0, 0, 0) 
tiramos: 
(1, -1, 1) = -1(2, 0, 1) + 1(3, -1, 2); 
(2, 0, 1) = -1(1, -1, 1) + 1(3, -1, 2); 
(3, -1, 2) 0= (1, -1, 1) + (2, 0, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1.5.5 Considere, num espaço vectorial real V, vectores u, v, w e z. 
a) Defina um vector x de tal modo que (u, v, w , z) ~ ( u, v, w , z, x ). 
b) Efectue no sistema (u, v, w , z) uma sequência de transformações elementares de 
modo a obter o sistema (u + w, 2z, -2w, v, z+v). 
 
RESOLUÇÃO: a) Para que os sistemas (u, v, w , z) , (u, v, w , z, x ) sejam 
equivalentes é necessário e suficiente que o vector x seja combinação linear dos 
vectores u, v, w e z. Assim podemos tomar x = 0, já que o vector nulo é combinação 
linear de quaisquer vectores e portanto também dos vectores u, v, w e z. Uma outra 
hipótese para definir o vector x é x = 0u +2v-3w + 1/2z. Tomando para x qualquer 
combinação linear dos vectores u, v, w e z, obtemos um sistema equivalente. 
b) Temos, 
(u, v, w, z) ~ (u, v+z, w, z) ~ (u+w, v+z, w, 2z) ~ 
~(u+w, v +z , -2 w, 2z) ~ (u+w, 2z , -2 w, v + z). 
Como o vector v = v + z –1/2(2Z)), então 
(u+w, 2z , -2 w, v + z) ~ (u+w, 2z , -2 w, v + z, v) ~ (u+w, 2z , -2 w, v, v + z). 
 
Exemplo 1.5.6 Prove que: 
a) O sistema ( (2, 1), (1, 1) ) é gerador de R
2
. 
b) O sistema ( (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) ) é gerador de R
3
. 
c) O sistema ( 1, 0, 2), (2, 1, 0), (0, 1, 2) ) é gerador de R
3
. 
 
RESOLUÇÃO: a) O sistema ((1, 0), (0, 1)) é, como sabemos, um sistema gerados de 
R
2
. Assim qualquer sistema equivalente a este é também um sistema de geradores para 
aquele espaço vectorial. Sabemos que se num sistema de vectores efectuarmos uma 
sequência finita de transformações elementares obtemos um sistema equivalente. 
Ora, ((1, 0), (0, 1)) ~ ((2, 0), (0, 1)) ~ ((2, 1), (0, 1)) ~ ((2, 1), (2, 2)) ~ ((2, 1), (1, 1)). 
 
b) Sabemos que 
R
3 
= < (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) > 
e 
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ~ ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)) ~ ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) ~ 
~ ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0 )), 
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portanto 
R
3 
= < (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0 ) >. 
c) Como, 
((1, 0, 2), (2, 1, 0), (0, 1, 2)) ~ ((-2, 0 ,-4), (0, 1, -4), (0, 1, 2)) ~ 
~ ((-2, 0, -4), (0, -1, 4), (0, 0, 6)) ~ ((-2, 0, -4), (0, -1, 0), (0, 0, -4)) ~ 
~ ((-2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ~ ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). 
 
Assim, o sistema dado é equivalente a ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), logo gera o mesmo 
espaço vectorial que este, logo 
 
R
3 
= < (1, 0, 2), (2, 1, 0), (0, 1, 2) >. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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§1.6 Dependência e Independência Linear. Propriedades. 
 
 
Neste parágrafo iremos estudar o conceito de vectores linearmente dependentes e 
vectores linearmente independentes. 
 
Definição Diz-se que 
1 2
, ,...,
n
v v v dum espaço vectorial E são linearmente dependentes 
se existirem escalares IRp  ,...,, 21 , não todos nulos, tais que: 
1 21 2
... 0
nn
v v v      
 
Se os vectores 
1 2
, ,...,
n
vv v , não são linearmente dependentes então são linearmente 
independentes. 
 
Definição Os vectores pxxx ,...,, 21 , dizem-se linearmente independentes se qualquer 
combinação linear nula daqueles vectores tem os escalares todos nulos, isto é, 
0...0... 212211  ppp xxx  
 
Proposição Os vectores 
1 2
, ,...,
n
v v v , são linearmente dependentes se e só se um dos 
vectores é combinação linear dos restantes. 
 
 
Proposição A independência ou dependência linear de um conjunto de vectores não se 
altera se a um deles adicionarmos uma combinação linear dos restantes. 
 
 
Exemplo 1.6.1 Considere, em R 5 , os seguintes sistemas de vectores 
S 1 = ( v 1 = ( 1, -1, 0, -1, 1), v 2 = ( 0, 0, 0, 0, 0) ) ; 
S 2 = ( u 1 = ( 1, -1, 1, -1, 1), u 2 = (2, -2, 2, -2, 2) ); 
S
3
= ( w 1 = ( 1, -1, 0, -1, 1), w 2 = (1, -2, 0, -1, 1), w 3 = (2, -3, 0, -2, 2) ) e 
S 4 = ( z 1 = ( 1, 0, -1, 0, 1), z 2 = (2, 0, -1, 0, 1), z 3 = (2, -3, 1, 0, 2), z 4 = (1, -1, 2, 1, -1)) 
a) Defina sistema de vectores linearmente dependentes. 
b) Sem efectuar quaisquer cálculos estude a natureza de cada um sistemas de vectores 
apresentados. Justifique a sua resposta. 
c) Utilize a conceito de combinação linear nula para caracterizar os sistemas de vectores 
linearmente dependentes. 
d) Diga quais dos sistemas de vectores dados admite uma única combinação linear nula. 
 
 
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RESOLUÇÂO: a) Um sistema de vectores de comprimento não inferior a 2 é 
linearmente dependente se existir no sistema um vector que seja combinação linear dos 
restantes vectores do sistema. Um sistema com um único vector é linearmente 
dependente se o vector for o vector nulo. 
 
b) O sistema S 1 = ( v 1 = ( 1, -1, 0, -1, 1), v 2 = ( 0, 0, 0, 0, 0) ) é linearmente dependente 
já que o vector nulo é combinação linear (múltiplo) do vector ( 1, -1, 0, -1, 1); o sistema 
S 2 = ( u 1 = ( 1, -1, 1, -1, 1), u 2 = (2, -2, 2, -2, 2) ) é linearmente dependente já que o 
segundo vector é o dobro do primeiro; o sistema 
S
3
= ( w 1 = ( 1, -1, 0, -1, 1), w 2 = (1, -2, 0, -1, 1), w 3 = (2, -3, 0, -2, 2) ) 
é linearmente dependente já que o o terceiro vector é soma dos dois primeiros. 
Dado um sistema de vectores linearmente independente, o sistema que se obtêm deste 
por junção de um vector só mudará de natureza se o vector que juntarmos ao sistema 
inicial for combinação linear dos seus vectores. Assim, o sistema 
S 4 = ( z 1 = ( 1, 0, -1, 0, 1), z 2 = (2, 0, -1, 0, 1), z 3 = (2, -3, 1, 0, 2), z 4 = (1, -1, 2, 1, -1)) 
é linearmente independente. Com efeito, nenhum dos dois primeiros vectores é 
múltiplo do outro. O terceiro vector não é combinação linear dos dois primeiros porque 
não tem segunda componente nula e assim o sistema constituído pelos três primeiros 
vectores é também linearmente independente. Como o quarto vector tem quarta 
componente não nula, então este vector não é combinação linear dos três primeiros 
vectores o que garante que o sistema S 4 é linearmente independente. 
 
c) Um sistema de vectores é linearmente dependente se existir uma combinação linear, 
dos vectores do sistema, nula não trivial. 
Observamos que, como o vector nulo é combinação linear de quaisquer vectores, então 
dado um sistema de vectores linearmente dependente é possível com os seus vectores 
obter várias combinações lineares nulas. 
 
d) De acordo com o que dissemos na alínea b) o único sistema linearmente 
independente é o sistema S 4 . Em conformidade com a alínea c) apenas este sistema de 
vectores admite uma única combinação linear nula. 
 
 
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§1.7 Bases de um Espaço Vectorial 
 
Definição Seja E um espaço vectorial. Dizemos q o conjunto   Evvv n ,...,, 21 é uma 
base de E se: 
;,...,,) 21 tesindependenelinearmentsãovvva n 
  .,...,,,,,...,,) 2121 EvvvéistoEgeravvvb nn  
 
Definição Seja  nvvv ,...,, 21 uma base do espaço vectorial E. Suponha-se que 
nn vvvu   ...2211 , em que ,,...,1, nii  são escalares apropriados. Os 
escalares ,,...,1, nii  chamam-se as componentes ou coordenadas de u 
relativamente à base nvvv ,...,, 21 . 
 
Exemplo 1.7.1: Utilize matrizes para provar que 
 
B =((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (1, 0, -1, 0), (1, 2, 0, -1)) 
 
é uma base de R 4 . 
 
 
Como dim R 4 = 4, para que B seja uma base de R 4 basta que os seus quatro vectores 
sejam linearmente independentes. 
 
 
Para isso basta que a matriz cujas linhas se identifiquem com estes vectores tenha 
característica igual a 4. Vejamos: 
 
Como 
3 1 4 22
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2
1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 1
0 2 0 1 0 2 0 1 0 0 0 5
L L L L 
     
     
     
      
     
         
            
, então a 
 
 
Característica da matriz é 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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§1.8 Dimensão de um Espaço Vectorial. 
 
 
Definição Seja E um espaço vectorial E. Se qualquer base desse espaço vectorial for 
constituída por um número finito de vectores esse espaço vectorial é de dimensão finita. 
 
Definição Seja E um espaço vectorial de dimensão finita. O número de elementos de 
qualquer base de E chama-se dimensão de E e representa-se por dim E. 
 
Exemplo 1.8.1 Considere, no espaço vectorial real R 3 , o subespaço vectorial 
< u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) >. 
a) Como se designa o subespaço vectorial < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) >? 
b) Como é constituído o subespaço vectorial < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) >? 
c) Indique três vectores de < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) > diferentes dos vectores 
geradores. 
d) Descreva o subespaço < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) >. 
 
RESOLUÇÃO: a) O subespaço dado é designado por subespaço vectorial gerado pelos 
vectores u e v. 
b) O subespaço vectorial gerado pelos vectores u e v é constituído por todas as combinações 
lineares dos vectores u e v, ie, pelos vectores que resultam da soma de um múltiplo de u com 
um múltiplo de v, ou seja, os vectores do subespaço < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) > são da forma 
 u + v, com  e  números reais arbitrários. 
c) Como dissemos antes os vectores do subespaço < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) > são as 
combinações lineares dos vectores u e v. Assim, são exemplos de vectores deste espaço 
vectorial os seguintes: (0, 0, 0), já que o vector nulo é combinação linear de quaisquer vectores; 
2(1, 0, -1) +1/2(0, 2, 0) = (2, 1, -2); 
-3(1, 0, -1) +2(0, 2, 0) = (-3, 4, 3). 
d) Os vectores do subespaço vectorial < u = (1, 0, -1), v = (0, 2, 0) > são os vectores de R
3
 da 
forma  u + v =  (1, 0, -1) + (0, 2, 0) = ( , 2 , - ). 
A aplicação real de variável real,   2 é bijectiva e portanto 2 toma todos os valores 
reais. Deste modo o subespaço vectorial gerado pelos vectores u e v é constituído por todos os 
vectores de R
3
 com primeira componente simétrica da terceira, podendo a segunda componente 
tomar qualquer valor real. 
 
 
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0 Resumo/Síntese/Formulário 
 
 
Definição Seja E um conjunto e seja IR o conjunto dos números reais. Diremos que E é 
um espaço vectorial real se em E estiverem definidas duas operações: (i) Uma adição e(ii) Uma multiplicação por um escalar escalar. 
 
Definição: Subespaço vectorial de um espaço vectorial 
Dado um espaço vectorial E seja S um subconjunto não vazio de E. Se S for também 
um espaço vectorial para as operações definidas em E, S diz-se um subespaço vectorial 
de E. 
 
Definição Sejam 
1 2
, ,...,
n
v v v vectores do espaço E. Um vector u E , u diz-se 
combinação linear dos vectores 
1 2
, ,...,
n
v v v se existirem escalares ,,...,, 21 n tais 
que: 
1 21 2
1
...
n i
n
n i
i
u v v v v   

     
Os escalares ,,...,, 21 n dizem-se coeficientes da combinação linear. 
 
Definição Um sistema de geradores de um (sub)espaço vectorial é um sistema de 
vectores desse (sub)espaço de tal modo que qualquer vector é combinação linear dos 
vectores do sistema. 
 
Definição Diz-se que 
1 2
, ,...,
n
v v v dum espaço vectorial E são linearmente dependentes 
se existirem escalares IRp  ,...,, 21 , não todos nulos, tais que: 
1 21 2
... 0
nn
v v v      
 
Se os vectores 
1 2
, ,...,
n
v v v , não são linearmente dependentes então são linearmente 
independentes. 
 
 
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Definição Os vectores pxxx ,...,, 21 , dizem-se linearmente independentes se qualquer 
combinação linear nula daqueles vectores tem os escalares todos nulos, isto é, 
0...0... 212211  ppp xxx  
 
Proposição Os vectores 
1 2
, ,...,
n
v v v , são linearmente dependentes se e só se um dos 
vectores é combinação linear dos restantes. 
 
Proposição A independência ou dependência linear de um conjunto de vectores não se 
altera se a um deles adicionarmos uma combinação linear dos restantes. 
 
Definição Seja E um espaço vectorial. Dizemos q o conjunto   Evvv n ,...,, 21 é uma 
base de E se: 
;,...,,) 21 tesindependenelinearmentsãovvva n 
  .,...,,,,,...,,) 2121 EvvvéistoEgeravvvb nn  
 
Definição Seja  nvvv ,...,, 21 uma base do espaço vectorial E. Suponha-se que 
nn vvvu   ...2211 , em que ,,...,1, nii  são escalares apropriados. Os 
escalares ,,...,1, nii  chamam-se as componentes ou coordenadas de u 
relativamente à base nvvv ,...,, 21 . 
 
Definição Seja E um espaço vectorial E. Se qualquer base desse espaço vectorial for 
constituída por um número finito de vectores esse espaço vectorial é de dimensão finita. 
 
Definição Seja E um espaço vectorial de dimensão finita. O número de elementos de 
qualquer base de E chama-se dimensão de E e representa-se por dim E.