Projeto e Analise de Experimentos

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PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS 
EDIÇÃO Nº1 – 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARLOS WILLIANS PASCHOAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Caros alunos, neste livro iremos abordar tópicos do delineamento de 
experimentos, buscando oferecer uma grande gama de ferramentas que visem 
otimizar um processo a partir da melhor escolha para repetições em um 
experimento, bem como a discussão adequada dos níveis e fatores de um 
experimento. 
O capítulo 1, aborda noções gerais sobre o planejamento de 
experimentos bem como suas diretrizes e diferenças entre tipos de 
delineamento, e uma introdução sobre a aplicação da análise de variância 
(ANOVA) que é utilizada na definição de um delineamento experimental 
O capítulo 2, estabelece os princípios gerais para um delineamento 
fatorial, trabalhando em dois e três fatores, já há um cuidado no tratamento 
matemático que é utilizado em todo o livro, além da aplicação da ANOVA a esses 
modelos de planejamento. 
O capítulo, especifica o processo generalizado de delineamento para 2k, 
além da abordagem do fatorial fracionado, o que em geral poupa diversos 
experimentos sem perda na análise e o uso do quadrado latino, cada modelo 
com uma aplicação; 
No capítulo 4, além de uma retomada sobre análise da decisão e 
otimização, apresentamos um curso introdutório para uso do software Minitab, 
além de duas aplicações, uma direcionada ao uso da ANOVA na comparação 
de médias, e um focado no delineamento de experimentos, com o uso de um 
helicóptero de papel. 
Ao final dos nossos estudos, esperamos que você seja capaz de aplicar 
ferramentas de delineamento de experimentos, em situações práticas de sua 
empresa. 
Bons estudos! 
 
 
 
 
Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS ......................... 4 
1.1 DIRETRIZES PARA O PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO ................. 10 
1.2 DEFINIÇÕES E TIPOS DE DELINEAMENTO DE EXPERIMENTO .......... 12 
1. 3 ANOVA ...................................................................................................... 15 
Questões: ......................................................................................................... 20 
2 PRINCÍPIOS GERAIS DA EXPERIMENTAÇÃO ........................................... 22 
2.1 O PLANEJAMENTO FATORIAL 2K ............................................................ 24 
2.2 O PLANEJAMENTO 2K PARA K ≥ 3 FATORES ........................................ 32 
2. 3 Comentários sobre o planejamento 2K ...................................................... 41 
Questões .......................................................................................................... 43 
3 PROCEDIMENTOS CLÁSSICOS DO PLANEJAMENTO DE 
EXPERIMENTOS: FATORIAIS COMPLETOS, FATORIAIS FRACIONADOS E 
QUADRADOS LATINOS. ................................................................................. 45 
3.1 Experimento 2k generalizado ...................................................................... 45 
3.1.1 Experimento 2k sem repetições ............................................................... 47 
3. 2 Fatoriais Fracionados ................................................................................ 50 
3.3 Quadrado Latino ......................................................................................... 58 
Questões .......................................................................................................... 63 
4 OTIMIZAÇÃO E TOMADA DE DECISÃO E UTILIZAÇÃO DO APLICATIVO 
MINITAB. .......................................................................................................... 65 
4.1 Conceitos de tomada de decisão ............................................................... 65 
4.2 Otimização ................................................................................................. 69 
4. 3 O uso do Minitab ....................................................................................... 69 
4.3.1 ANOVA no Minitab .................................................................................. 80 
4.3.2 DOE no Minitab ....................................................................................... 85 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 92 
ANEXO 1: Distribuição F .................................................................................. 93 
Anexo 2 – Trechos da Norma Iso 9001: 2015 .................................................. 97 
Anexo 3 – Modelo do helicóptero ................................................................... 107 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 
Definiremos um experimento como um ensaio ou uma série de ensaios 
nos quais fazemos mudanças intencionais nas variáveis de entrada de um 
processo e observamos com a intenção de identificar razões para mudanças nos 
processos de saída. 
A importância de um planejamento de experimentos se dá 
principalmente pela sua larga utilização, já que experimentos são executados 
nos mais diversos campos de conhecimento, por pesquisadores interessados 
em determinar o que pode ocorrer em um processo a partir de alterações no 
sistema. 
O foco em realizar experimentos está na descoberta, com objetivo de 
aperfeiçoar um processo, otimizando sua saída, sendo um processo um conjunto 
de causas que produzem um ou mais efeitos, essas causas podem ser 
agrupadas em um conjunto 6M por meio de um diagrama de Ishikawa. 
 
Figura 1 – Etapas de um processo 
 
Fonte: autor 
 
 
 
Saída
Meio ambiente
Meios de medir
Matéria prima
Máquina
Método
Mão de obra
Falta de qualificação
execução
Procedimentos de
inadequada
Manutenção
Baixa qualidade
Intrumentalização
Poeira
Tempertaura
Processo
Os principais objetivos de um experimento incluem: 
• Determinar os fatores de maior influência na saída do processo 
• Determinar os valores necessários dos fatores controláveis do 
processo de forma a obter a saída próxima do valor nominal 
desejado. 
• Determinar que valores atribuir aos fatores controláveis do 
processo, de forma a tornar pequena a variabilidade da saída. 
• Determinar que valores atribuir aos fatores controláveis de um 
processo, de forma tornar mais robustos os efeitos de variáveis 
não controláveis. 
• Determinar os valores ótimos para as variáveis controláveis do 
processo. 
De cetra maneira um processo pode ser entendido como uma 
combinação de máquinas, métodos e pessoas que transformam uma matéria de 
entrada em um produto de saída. 
Esse produto de saída pode ter uma ou mais características de 
qualidade que possam ser observadas, sendo que algumas destas são 
controláveis, enquanto outras não o são. 
 
Figura 2: Fatores de entrada controláveis e não controláveis 
 
 
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAehJEAK/apostila-
planejamento 
Uma característica relevante no e ao método de planejamento 
experimental, é que podemos utiliza-lo tanto no desenvolvimento de um novo 
processo quanto na solução de problema, com intenção de melhoria de 
desempenho ou otimização. 
Esse método se junta ao controle estatístico de processo, combinado 
duas ferramentas muito poderosas para a melhoria e a otimização, 
exemplificando podemos ter um processo sobre controle estatístico, mas que 
não seja capaz, ou seja, que não atenda as especificações exigidas, nesse caso 
será necessária a redução de variabilidade para a melhoria da capacidade do 
processo, e nesse caso o planejamento de experimento pode ser uma solução 
mais eficaz do que o controle estatístico de processo. 
Essa diferença ocorre porque o controle estatístico de processo é um 
método passivo, ou seja, quando o processo se encontra sobre controle, então 
nos traz informações úteis, enquanto que o planejamento de experimentos é um 
método ativo, no qual realizamos uma série de testes, fazendo mudanças de 
entrada e observando a saída, esses testes produzeminformação útil, que pode 
levar a uma melhoria do processo. 
Figura 3: Exemplos de fatores controláveis 
 
 
Fonte: https://www.midomenech.com.br/lean-seis-
sigma/downloads/artigos/94-banas-doe-parte-i-conceituacao-e-
planejamento.html 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAehJEAK/apostila-planejamento
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAehJEAK/apostila-planejamento
https://www.midomenech.com.br/lean-seis-sigma/downloads/artigos/94-banas-doe-parte-i-conceituacao-e-planejamento.html
https://www.midomenech.com.br/lean-seis-sigma/downloads/artigos/94-banas-doe-parte-i-conceituacao-e-planejamento.html
https://www.midomenech.com.br/lean-seis-sigma/downloads/artigos/94-banas-doe-parte-i-conceituacao-e-planejamento.html
A figura três exemplifica o que seriam variáveis controláveis não 
controláveis em um reator, sendo que os testes ocorrem nas variáveis 
controláveis. 
As fases de um experimento podem ser indicadas em um ciclo PDCA, 
dividido em quatro fazes: 
1) Planejar, no caso o planejamento ou o delineamento do experimento. 
2) Execução do experimento, no qual se executa o planejado, e se dá o 
treinamento necessário para tal. 
3) Análise dos resultados, ou checagem, feito por meio de estudos 
estatísticos e análise de variância. 
4) Ação após a análise, o que pode indicar novos experimentos, com 
novos ciclos PDCA. 
 
Figura 4: Ciclo PDCA 
 
Fonte: https://www.enfconcursos.com/blog/ciclo-pdca-definicao 
 
Assim como o planejamento de experimentos se liga ao ciclo PDCA, 
podemos liga-lo ao método DMAIC que lhe é complementar, ou de certa maneira 
uma evolução do ciclo PDCA. 
https://www.enfconcursos.com/blog/ciclo-pdca-definicao
Figura 5: Etapas do DMAIC 
 
Fonte:http://www.fibria.com.br/rs2012/pt/gestao-e-estrategias/sistemas-
de-gestao.html 
 
Uma adaptação feita em Montgomery (p. 407, 2016) que se aplica a um 
planejamento de experimentos é: 
1. Reconhecimento e relato do problema 
2. Escolha dos fatores e dos níveis 
3. Seleção da variável de resposta 
4. Escolha do planejamento experimental 
5. Realização do experimento 
6. Análise de dados 
7. Conclusões e recomendações 
 
Sendo que os três primeiros itens seriam uma fase de planejamento pé-
experimental. 
Vamos agora dar dois exemplos de aplicações dos planejamentos 
experimentais: 
Exemplo 1 – Calegare, 2009, p. 30 
Uma granja quer diminuir o tempo de engorda para abate dos seus 
frangos e dispõe de quatro tipos de rações para serem testadas. 
Entradas controláveis: pintinhos, ração, água e vacinas. 
Fatores controláveis: 
• Tipo de ração 
• Quantidade diária de ração 
• Quantidade de aves por galinheiro 
• Raça das aves 
• Tipo de solo 
• Iluminação do galinheiro 
Destes qualquer um ou mais fatores pode ser escolhido para o estudo, 
neste caso o escolhido foi o tipo de ração. 
Os fatores não controláveis neste exemplo são: chuvas temperatura, 
ruídos de estradas próximas e as características genéticas individuais de cada 
frango, sendo que destes alguns aspectos poderiam ser controlados, com 
mudanças aportes altos de investimento o que não seria prático. 
A variável de sápida de interesse é o peso das aves. 
Neste problema a variação será o tipo de ração, os outros fatores 
controláveis serão mantidos fixos, para verificar o tempo de engorda somente 
com base na ração escolhida, até que atinjam peso de abate. 
Tem que ser observado que aves que comeram um mesmo tipo de 
ração, também terão uma diferença no tempo até o peso de abate devido as 
variáveis não controláveis. 
 
Exemplo 2: Montgomery, 2016, p. 406 
Os experimentos planejados podem ser, em geral, aplicados ao 
processo de projeto de um produto. Para ilustrar, suponha que um grupo de 
engenheiros esteja projetado uma dobradiça de porta para um automóvel. A 
característica de qualidade de interesse é o esforço de parada, ou a capacidade 
de o trinco segurar a porta, o que evita que ele feche quando o carro está 
estacionado em uma subida. O mecanismo de parada consiste em uma mola e 
uma roldana. 
Quando a porta está aberta, a roldana desliza em um arco fazendo a ao 
se comprimir. Para fechar a porta, a mola deve ser forçada lateralmente, o que 
cria o esforço de parada. Grupo de engenheiros acredita que o esforço de 
parada é uma função dos seguintes fatores: 
1. Distância percorrida pela roldana. 
2. Altura do eixo da mola até a base 
3. Distância horizontal do eixo à mola 
4. Altura livre da mola de reforço 
5. Altura livre da mola principal 
 
Supondo que os engenheiros construíram um protótipo do mecanismo 
de dobradiça no qual todos esses fatores podem variar em certos intervalos. 
Uma vez identificados os níveis apropriados para esses cinco fatores, pode-se 
planejar um experimento que consiste nas várias combinações dos níveis 
desses fatores e o protótipo de dobradiça pode ser testado nessas combinações. 
Isso fornecerá informação em relação a quais destes fatores são mais influentes 
no esforço de parada do trinco. Informação essa que será usada na melhoria do 
projeto. 
 
1.1 DIRETRIZES PARA O PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO 
 
Vamos agora retomar as diretrizes anteriores, discutindo cada tópico: 
 
1. Reconhecimento e relato do problema 
2. Escolha dos fatores e dos níveis 
3. Seleção da variável de resposta 
4. Escolha do planejamento experimental 
5. Realização do experimento 
6. Análise de dados 
7. Conclusões e recomendações 
 
1) Reconhecimento e relato do problema. 
Na prática é difícil reconhecer e aceitar a existência de um problema, 
quando não está claro para todos qual é o problema e sua dimensão, quais são 
os objetivos a serem alcançados com a solução do mesmo não teremos 
resultados esperados com o planejamento. É de fundamental importância a 
participação de todos os participantes do processo no entendimento do 
problema. Um relato claro do problema destacando os objetivos do experimento, 
costuma contribuir para o seu entendimento. 
 
2) Escolha dos fatores e dos níveis. 
Devem ser levados em conta os intervalos sobre os quais esses fatores 
irão variar, e os níveis específicos em que cada rodada será realizada. É 
importante investigar todos os fatores que possam ser importantes e não deixar 
ser influenciado por experiências passadas. Na varredura dos fatores ou 
caracterização do processo, é, em geral, melhor manter baixo o número de níveis 
de fatores. 
 
3) Seleção da variável resposta. 
Muitas vezes, a média ou o desvio padrão (ou ambos) da característica 
medida será a variável resposta. Respostas múltiplas não são raras. A 
capacidade do medidor é, também, um fator importante. Se a capacidade do 
medidor é baixa, então apenas efeitos grandes serão detectados pelo 
experimento ou será necessária replicação adicional, a adequação do medidor 
deve ser prevista na fase pré experimental. 
 
4) Escolha do planejamento experimental. 
A escolha do planejamento envolve consideração pelo tamanho da 
amostra (número de replicações), seleção de uma ordem adequada de rodadas 
para as tentativas experimentais, ou se a formação de blocos ou outras 
restrições aleatórias estão envolvidas. 
 
5) Realização do experimento. 
Quando da realização do experimento, é de vital importância monitorar 
o processo, para garantir que tudo esteja sendo feito de acordo com o 
planejamento. Erros no procedimento experimental neste estágio, em geral, 
destruirão a validade do experimento, sendo que alguns erros são de difícil 
percepção. 
 
6) Análise dos dados. 
Métodos estatísticos adequados devem ser usados para analisar os 
dados, de modo que os resultados e conclusões sejam objetivos. Dado que o 
experimento foi planejado e realizado de maneira adequada, a validação 
estatística não deverá ser uma etapa complicada. 
 
7) Conclusões e recomendações. 
Após a análise dos dados, o experimento deve indicar conclusões 
práticas sobre os resultados e recomendar um curso de ação. Os usos de 
métodos gráficossão, em geral, recomendados neste estágio, particularmente 
na apresentação dos resultados para outras pessoas. Sequências de 
acompanhamento e testes de confirmação devem ser também realizados para 
validar as conclusões do experimento. 
 
1.2 DEFINIÇÕES E TIPOS DE DELINEAMENTO DE EXPERIMENTO 
 
Nesta seção iremos apresentar as principais definições que serão 
utilizadas neste livro, além dos tipos de delineamento de experimentos que serão 
trabalhados no decorrer dos capítulos. 
1) Delineamento de experimentos: é um plano formal utilizado para 
conduzir o experimento. Neste plano incluímos a escolha dos fatores, número de 
níveis, tratamentos e o número de réplicas que serão feitas. 
2) Fator: é uma das causas ou variáveis, cujo efeitos estão sendo 
analisados no experimento. Esse efeito pode ser qualitativo ou quantitativo. 
3) Níveis de fator: São os valores que são escolhidos para o fator de um 
experimento. Por exemplo, quando o experimento é realizado com três tempos 
diferentes, cada tempo é um nível de fator, ou se um experimento é realizado 
em duas máquinas e com três operadores. O fator máquina tem dois níveis, 
enquanto que o fator operador tem três níveis. 
4) Tratamento: é um nível único que é assinalado para um fator, por 
exemplo em um ensaio a máquina 1, operada pelo Caio a temperatura de 450°C. 
5) Ensaio: cada realização de experimento em determinada combinação 
de tratamentos é chamada de ensaio. O experimento em si, é a junção de todos 
os ensaios. 
6) Réplicas: trata-se das repetições dos experimentos realizados na 
mesma condição inicial. 
Exemplificando a situação acima, temos um experimento com duas 
máquinas e três operadores, de cunho qualitativo, no qual, trabalhamos com dois 
fatores, o operador e a máquina, sendo eu o fator operador tem três níveis e o 
fator máquina tem dois níveis. 
Iremos destacar os principais tipos de delineamento que serão 
trabalhados em detalhes nos capítulos seguintes: 
• Com um único fator e totalmente randômico: 
Utilizamos esse tipo de delineamento quando queremos estudar os 
efeitos de um único fator por vez, realizando os ensaios de forma aleatória 
(sorteio), com as unidades experimentais também escolhidas ao acaso, além 
disso não existe blocagem nesse modelo. 
O objetivo deste tipo de delineamento é estimar os efeitos do tratamento, 
comparar diversos efeitos de tratamentos e fazer uma estimativa da variância. 
• Fatorial com dois ou mais fatores 
Esse tipo de delineamento é recomendado quando queremos analisar 
os efeitos de dois ou mais fatores, em vários níveis podendo existir ou não 
interação entre os fatores. 
Os ensaios são realizados para todas as combinações possíveis dos 
vários níveis de todos os fatores, não existe blocagem e a ordem de realização 
dos ensaios deve ser aleatória, por sorteio. 
Nesse tipo de delineamento estamos interessados na estimativa de 
efeitos de vários fatores, comparando os efeitos de tratamento de vários níveis, 
tendo também uma estimativa das interações entre os fatores e da variância. 
• Fatorial com blocagem 
Esse tipo de delineamento é recomendado para o estudo do efeito de 
um fator, mas se existe uma certa variabilidade provocada por fontes 
conhecidas, esse ensaio é realizado separando essas fontes em blocos 
homogêneos. Os ensaios são realizados em todos os níveis do fator de cada 
bloco, com sua ordem determinada de forma aleatória, por sorteio, e seus 
objetivos são idênticos ao do experimento fatorial. 
• 2k fatorial 
É um subtipo do experimento fatorial, recomendado quando trabalhamos 
com apenas dois níveis, por exemplo alto e baixo ou presente e ausente. 
• Quadrado latino 
Utilizamos esse tipo de delineamento quando estamos 
interessados em estudar o efeito de um fator, mas os resultados dos ensaios 
podem ser afetados por dois outros fatores ou por fontes não homogêneas, 
sendo que não existem indícios de interação entre os fatores. 
Para realizar os ensaios é necessário que o número de tratamentos 
de fator em estudo seja igual ao número de colunas ou de linhas, sendo que o 
número de colunas é igual ao número de linhas. 
Cada tratamento ocorre uma vez em cada linha e uma vez em cada 
coluna e existe blocagem dos outros dois fatores, que correspondem às linhas e 
colunas do quadrado. 
Figura 6: Exemplo de quadrado latino 
 
Fonte:http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S010
4-530X2002000100008 
 
O objetivo do quadrado latino é estimar os efeitos dos tratamentos 
do fator em estudo, sem influência dos fatores bloqueados, comparando os 
efeitos dos tratamentos do fator analisado. 
Também buscamos estimar e comparar os efeitos dos tratamentos 
dos fatores bloqueados e estimar a variância. 
• Operação evolutiva 
Também conhecida como EVOP, é uma metodologia apropriada quando 
se deseja fazer experimentos para otimizar a saída do processo, sem par a 
produção. Os ensaios são realizados com experimentos com um único fator, 
múltiplos fatores ou blocagem, sendo que os fatores selecionados serão aqueles 
de maior influência na saída. 
Os níveis de fatores devem ser alterados de maneira sutil, sempre 
próximo ao padrão de referência, e são calculados os efeitos após alguns ciclos 
quando é estabelecido um novo padrão de referência. Na sequência os níveis 
serão mudados em torno do novo padrão de referência, indefinidamente, 
buscando a otimização na saída do processo. 
O objetivo desta metodologia é estimar e comparar os efeitos dos 
tratamentos em estudo, indicando níveis que otimizem a saída. 
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-530X2002000100008
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-530X2002000100008
Como podemos notar a estimação da variância além da comparação de 
tratamentos é tópico importante deste capítulo, por tanto iremos abordar técnicas 
de análise de variância ANOVA, bem como exemplos de aplicação. 
 
1. 3 ANOVA 
 
A análise de variância é um procedimento utilizado para comparar três 
ou mais tratamentos. Existem muitas variações da metodologia devido aos 
diferentes tipos de experimento que podem ser realizados, por exemplo, 
suponha que haja x diferentes níveis de um único fator que queremos comparar, 
a resposta para cada um dos x diferentes tratamentos que acompanham os 
níveis é uma variável aleatória, e os dados podem ser organizados como na 
tabela abaixo: 
 
Tabela 1: Exemplo de dados para um fator 
Tratamento Observações Totais Médias 
1 𝑦11 𝑦12 𝑦1𝑛 𝑦1. 𝑦1. 
2 𝑦21 𝑦22 𝑦2𝑛 𝑦2. 𝑦2. 
. . . . . . 
. . . . . . 
. . . . . . 
x 𝑦𝑥1 𝑦𝑥2 𝑦𝑥𝑛 𝑦𝑥. 𝑦𝑥. 
Fonte: autor 
Onde uma entrada da tabela 1, representa 𝑦𝑖𝑗 , ou seja, a j-ésima 
observação feita sob o tratamento i, considerando que haja um número igual de 
observações e tratamentos pelo menos inicialmente. 
Essas observações podem ser descritas por um modelo estatístico linear 
 
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 {
𝑖 = 1, 2, … , 𝑥
𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
 
 
Em que 𝑦𝑖𝑗 é uma variável aleatória que denota a (ij) – ésima 
observação, 𝜇 seria a média geral, parâmetro comum a todos os tratamentos. O 
parâmetro 𝜏𝑖 é associado ao i – ésimo tratamento, e é chamado de efeito do 
tratamento e 𝜀𝑖𝑗 é o componente do erro aleatório. A fórmula acima, também 
pode ser descrita como: 
 
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 {
𝑖 = 1, 2, … , 𝑥
𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
 
 
Sendo 𝜇 + 𝜏𝑖 = 𝜇𝑖 que é a média do i – ésimo tratamento. Desse modo 
notamos que cada tratamento define uma média 𝜇𝑖 que é a média geral, para 
todos os tratamentos acrescida de um efeito decorrente do tratamento em 
questão. 
A análise de variância é utilizada para testar a igualdade das x médias 
populacionais, verificando a igualdade dos efeitos de tratamentos, sendo que de 
maneira geral esses efeitos são definidos como desvios em relação à média de 
modo que: 
∑ 𝜏𝑖 = 0
𝑥
𝑖=1
 
 
Como estamos interessados em testar a igualdade dasmédias dos 
diferentes tratamentos, podemos montar hipóteses equivalentes a partir do efeito 
de tratamento: 
 
𝐻0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑥 = 0 
𝐻1: 𝜏𝑖 ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑖 
 
Portanto se a hipótese for verdadeira, cada observação consiste de uma 
média geral, mais o erro aleatório, logo quando a hipótese nula é verdadeira a 
mudança de níveis de um fator não tem efeito sobre a resposta média. 
Essa metodologia faz uma partição na variabilidade total da amostra em 
suas partes, sendo que esse teste de hipótese tem como base a comparação de 
duas estimativas independentes de variância populacional. 
A variabilidade total nos dados é dada pela soma dos quadrados total: 
 
𝑆𝑄𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )²
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑖=1
 
 
Que tem como identidade: 
 
∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )²
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑖=1
= 𝑛 ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )
2
+ ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)²
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑖=1
𝑥
𝑖=1
 
 
Na qual: 
∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )²
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑖=1
→ 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 (𝑆𝑄𝑡) 
 
𝑛 ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )
2
𝑥
𝑖=1
→ 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) 
 
∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖)²
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑖=1
→ 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 (𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠) 
 
E o valor esperado para a soma dos quadrados dos tratamentos será 
dada por: 
𝐸(𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) = (𝑥 − 1)𝜎
2 + 𝑛 ∑ 𝜏𝑖²
𝑥
𝑖=1
 
Que é uma estatística de teste apropriada da hipótese de nenhuma 
diferença entre as médias de tratamento já que, no caso da hipótese nula for 
verdadeira temos: 
𝐸 (
𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑥 − 1
) = 𝜎2 
 
E no caso da hipótese alternativa for verdadeira: 
 
𝐸 (
𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑥 − 1
) = 𝜎2 +
∑ 𝜏𝑖²
𝑥
𝑖=1
𝑥 − 1
 
A anova também nos indica um estimado não visado para a variância 
independente do resultado do teste de Hipótese, por meio da média quadrática 
dos erros: 
 
𝑀𝑄𝐸 =
𝑆𝑄𝐸
𝑥(𝑛 − 1)
 
 
A base da rejeição da hipótese nula está na estatística de Teste F em 
que entendemos que 
 
𝐹0 =
𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑀𝑄𝐸
 
No qual a 
𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 =
𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑥 − 1
 
 
Com x – 1 e x(n-1) graus de liberdade, a tabela está no anexo 1, mas 
lembramos que em geral esses cálculos não são feitos manualmente. 
A rejeição da hipótese nula ocorre quando: 
 
𝐹0 > 𝐹𝑥,(𝑥−1),𝑥(𝑛−1) 
Os valores aproximados da tabela F encontram-se no anexo 1 
Exemplo de aplicação, com base em (Anjos, A. dos) 
Considere o seguinte experimento que foi conduzido, considerando um 
delineamento inteiramente casualizado. 
Foram comparados 4 tratamentos (tipos de cultivo: Agar (A) , Cássia ( 
C) , Guar. (G) , Leucena ( L) ) . Mediu-se o crescimento, em gramas, de 
explantes de morango e os dados foram agrupados na tabela 2: 
Tabela 2 : dados para o crescimento de explantes de morango 
 
Fonte: http://www.est.ufpr.br/ce003/material/cap7.pdf 
 
O modelo considerado foi: 
 
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 {
𝑖 = 1, 2, … , 𝑥
𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
 
 
No qual: 
I = 4 tratamentos 
J = o repetições 
𝑦𝑖𝑗 é o peso em gramas correspondente ao i-ésimo tratamento na j-ésima 
unidade experimental 
𝜏𝑖 é o efeito do i-ésimo tratamento 
𝜀𝑖𝑗 é o erro experimental 
 
As hipóteses testadas são: 
 
𝐻0: 𝜏1 = 𝜏2 = 𝜏3 = 𝜏4 
𝐻1: 𝜏𝑖 ≠ 𝜏𝑖′ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑝𝑎𝑟, 𝑐𝑜𝑚 𝑖 ≠ 𝑖′ 
 
Os cálculos efetuados são 
𝑆𝑄𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )
2
𝑛
𝑗=1
𝑥
𝑖=1
= 0,4504 
 
𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑛 ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦. . )
2
𝑥
𝑖=1
= 0,3828 
E a soma dos quadrados dos resíduos que será dada pela diferença 
entre total e tratamento 
𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 0,0676 
 
Os quadrados médios serão dados por: 
𝑀𝑄𝐸 =
𝑆𝑄𝐸
𝑥(𝑛 − 1)
=
0,0676
4(8 − 1)
= 0,002414 
http://www.est.ufpr.br/ce003/material/cap7.pdf
𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 =
𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑥 − 1
=
0,3828
4 − 1
= 0,1276 
 
O teste F é calculado pelo quociente: 
 
𝐹0 =
𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑀𝑄𝐸
=
0,1276
0,002414
= 52,8583 
 
Com 3 e 28 graus de liberdade, o F está tabelado no anexo 1, se que a 
1% temos 2,95 e a 5% temos 4,57, dados que estão resumidos a tabela 3. 
 
Tabela 3: Análise de variância 
 
Fonte: http://www.est.ufpr.br/ce003/material/cap7.pdf 
 
Na qual podemos concluir que de acordo com o teste F, foram 
encontradas evidências de diferenças significativas, ao nível de 1% de 
probabilidade, entre os tratamentos observados. 
Logo a hipótese nula deve ser rejeitada, devendo existir uma diferença 
significativa entre as médias de tratamentos. 
No capítulo seguinte iremos aplicar a metodologia da análise de 
variância ao delineamento de experimentos de maneira específica. 
 
Questões: 
 
1) Escolha um processo problemático no qual exista interesse de sua 
organização em melhorar o desempenho e: 
a) Informe qual é o processo e quais os motivos para a melhora. 
b) Determine: entradas, fatores controláveis e não controláveis e saída. 
http://www.est.ufpr.br/ce003/material/cap7.pdf
c) Organize um experimento de otimização da saída informando quais 
fatores serão controlados e os níveis e os tratamentos de cada fator. 
 
2) Uma empresa está interessada em reduzir o tempo de processamento 
para determinado ambiente. Para isso utilizou 5 procedimentos diferentes, que 
foram cumpridos por equipes compostas por 4 pessoas escolhidas ao caso. Os 
tempos de processamento (em minutos) foram: 
Pessoa Procedimento 
 A B C D E 
Joao 328 354 329 328 351 
Tiago 344 354 339 311 342 
Marcos 353 369 351 312 359 
Pedro 329 361 343 315 338 
 
a) Calcule a variância residual dos tratamentos 
86,33 
b) Calcule a variância entre os tratamentos 
990 
c) Informe se há evidência que o tratamento tem tempos diferentes de 
processamento 
Sim, há evidencias 
 
3) Defina o que são tratamentos e como diferencia-los de níveis. 
 
Níveis de fator: São os valores que são escolhidos para o fator de um 
experimento. Tratamento: é um nível único que é assinalado para um fator. 
 
 
4) Descreva quando devemos utilizar a análise de variância. 
 
A Quando queremos comparar três ou mais tratamentos 
 
 
2 PRINCÍPIOS GERAIS DA EXPERIMENTAÇÃO 
 
A análise de variância descrita no capítulo anterior, pode ser estendida 
para lidar com experimentos fatoriais de dois fatores. Indicando os fatores como 
A e B, com a níveis para A e b níveis para B, sendo que a replicação ocorre n 
vezes temos a disposição dos dados, conforme a figura 7. 
Figura 7: Dados para um experimento fatorial de dois fatores 
 
Montgomery, 2016, p. 410 
 
As observações para experimentos fatoriais de dois fatores podem ser 
descritas pelo modelo: 
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝜏𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 {
𝑖 = 1, 2, … , 𝑎
𝑗 = 1, 2, … , 𝑎
𝑘 = 1, 2, … , 𝑎
 
 
Sendo 𝜇 o efeito médio geral, 𝜏𝑖 o efeito do nível do fator A, 𝛽𝑗 o efeito 
do j-ésimo nível do fator B, (𝜏𝛽)𝑖𝑗 é o efeito da interação entre A e B, e 𝜀𝑖𝑗𝑘 é o 
componente do erro aleatório. 
A análise de variância decompõe a soma dos quadrados total, como se 
segue: 
𝑆𝑄𝑇 = ∑ ∑ ∑(
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦)² 
A decomposição dos graus de liberdade é 
𝑎𝑏𝑛 − 1 = (𝑎 − 1) + (𝑏 − 1) + (𝑎 − 1)(𝑏 − 1) + 𝑎𝑏(𝑛 − 1) 
E está detalhada na figura 8, as fórmulas para a soma do quadrados 
dos efeitos principais são dadas por: 
𝑆𝑄𝐴 = ∑
𝑦𝑖..
2
𝑏𝑛
−
𝑎
𝑖=1
𝑦…
2
𝑎𝑏𝑛
 
 
𝑆𝑄𝐵 = ∑
𝑦𝑖.𝑗.
2
𝑏𝑛
−
𝑏
𝑗=1
𝑦…
2
𝑎𝑏𝑛
 
 
E sua interação dada por: 
 
𝑆𝑄𝐴𝐵 = ∑ ∑
𝑦𝑖𝑗.
2
𝑛
−
𝑏
𝑗=1
𝑦…
2
𝑎𝑏𝑛
−
𝑎
𝑖=1
𝑆𝑄𝐴 − 𝑆𝑄𝐵 
E seu erro por: 
𝑆𝑄𝐸 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐴 − 𝑆𝑄𝐵 − 𝑆𝑄𝐴𝐵 
 
Nessa estrutura utilizamos as médias 𝑦
𝑖..
, 𝑦
𝑖.𝑗.
, 𝑦
𝑖𝑗.
, 𝑦
𝑖…
, como as 
médias correspondentes a linha, coluna, cela e total, dadas por: 
𝑦𝑖.. = ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑗=1𝑦
𝑖..
=
𝑦𝑖..
𝑏𝑛
 𝑖 = 1, 2, … , 𝑎 
𝑦𝑖.𝑗. = ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑎
𝑗=1
 𝑦
𝑖.𝑗.
=
𝑦𝑖.𝑗.
𝑎𝑛
 𝑗 = 1, 2, … , 𝑏 
𝑦𝑖𝑗. = ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘
𝑛
𝑘=1
 𝑦
𝑖𝑗.
=
𝑦𝑖𝑗.
𝑏𝑛
 
𝑖 = 1, 2, … , 𝑎
𝑗 = 1, 2, … , 𝑎
 
𝑦𝑖… = ∑ ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
 𝑦
𝑖…
=
𝑦
𝑖…
𝑏𝑛
 
 
A soma quadrática, os graus de liberdade, a média quadrática e a 
Estatística de teste estão separadas por fator na figura 8, em seguida. 
 
 
Figura 8: Tabela Anova para dois fatores, com efeito fico 
 
Fonte: Montgomery, 2016, p.411 
 
2.1 O PLANEJAMENTO FATORIAL 2K 
 
O planejamento fatorial 2K é muito útil na melhoria e desenvolvimento de 
processos, pois tem uma análise simplificada que formam a base de muitos 
outros planejamentos. 
Em muitos casos, pode haver interesse em muitos fatores, seja 4, 5 ou 
mais, quanto maior o número de níveis, maior o número de tratamentos e 
consequentemente, mais unidades experimentais são necessárias para a 
análise. 
Em diversos casos podemos considerar apenas dois níveis de cada 
fator, sendo estes os principais, ou apenas a ausência e presença de cada fator, 
para entendermos quais fatores são realmente relevantes. Enquanto em outros 
casos, tempos apenas dois níveis para serem analisados, sendo que este podem 
ser qualitativos ou quantitativos. 
Exemplo: 
Suponha que um pesquisador esteja estudando os efeitos de 
concentrações de determinado reagente e da quantidade de catalisador em um 
processo químico. 
A resposta é a produção esperada para esse processo químico, sendo 
que : 
Fator A: Trata do reagente em dois níveis de 15% e 25% 
Fator B: trata do catalisador em dois níveis de 1 e 2 unidades de medida. 
Nesse experimento foram feitas três repetições por tratamento, e seus 
resultados se apresentam na tabela 4 a seguir, onde os símbolos + e – denotam 
respectivamente maior e o menor nível de cada fator. 
 
Tabela 4: Resultados do experimento 
Fator Tratamento Tratamento Total 
A B 1 2 3 
- - A15 B1 28 25 27 80 
+ - A25 B1 36 32 32 100 
- + A15 B2 18 19 23 60 
+ + A25 B2 31 30 29 90 
Fonte: Autor 
Que tem a seguinte representação gráfica: 
 
Figura 9: Representação gráfica do exemplo: 
 
Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~cnaber/aula_Intro_Fatorial_2k.pdf 
 
http://www.ime.unicamp.br/~cnaber/aula_Intro_Fatorial_2k.pdf
Na análise deste experimento, os símbolos A B e AB serão os efeitos do 
fator A, do fator V e da interação entre os fatores A e B, sendo n o número de 
repetições do experimento. Os efeitos serão indicados pela diferença de médias. 
• Para o fator A: 𝐴 = 𝑦
𝐴+
− 𝑦
𝐴−
=
1
2𝑛
(𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1)) 
• Para o fator B: 𝐴 = 𝑦
𝐵+
− 𝑦
𝐵−
=
1
2𝑛
(𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏) 
No caso da interação, temos: 
𝐴𝐵 = (𝑦
𝐴+,𝐵+
− 𝑦
𝐴−,𝐵+
) − (𝑦
𝐴+,𝐵−
− 𝑦
𝐴−,𝐵−
) =
=
1
2𝑛
(𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏) 
 
Utilizando as estruturas acima no exemplo, temos: 
𝐴 =
1
2 ∙ 3
(90 + 100 − 60 − 80) = 8,33 
𝐵 =
1
2 ∙ 3
(90 + 60 − 100 − 80) = −5,00 
𝐴𝐵 =
1
2 ∙ 3
(90 + 80 − 100 − 60) = 1,67 
 
Analisando este caso, podemos notar que o fator A tem efeito crescente, 
enquanto que o fator B tem efeito decrescente, no primeio resposta média 
aumenta de 15% para 25% enquanto qu no segundo a uma diminuição de 1 para 
2. Também notamos que a interação tem um impacto menor comparada aos 
efeitos principais. 
A análise de variância pode ser usada para confirmar a existencia de 
interação como também confrmar o efeito dos fatores principais, neste exemplo 
no cálculo de cada fator forma empregados contrastes, que na prática nos 
indicam o efeito total de determinado fator. 
Para complementar nossa análise podemos usar as fómrmulas de soma 
de quadrados, como definidas anteriormente, tendo assim: 
 
𝑆𝑄𝐴 =
1
4𝑛
[𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1)]2 = 208,33 
𝑆𝑄𝐵 =
1
4𝑛
[𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎 − (1)]2 = 75 
𝑆𝑄𝐴𝐵 =
1
4𝑛
[𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏]2 = 8,33 
 
Fórmulas muito úteis quando nalisamos grandes bancos de dados, os 
cálculos do 𝑆𝑄𝑇 𝑒 𝑆𝑄𝐸, são dados da forma usual, dessa forma podemos 
construir a seguinte tabela de análise: 
 
Tabela 5: Análise do experimento: 
Fator Estimativa do efeito SQ Contribuição % 
A 8,33 208,33 64,44 
B -5,00 75,00 23,22 
AB 1,67 8,33 2,58 
Resíduo 31,33 
Total 323 
Fonte: Autor 
Exemplo 2: 
Iremos utilizar um exemplo presente em Montgomery, 2016, p. 415. 
Um roteador é usado para fazer trilhas de gravação em placas de circuito 
impresso. A dimensão média da trilha é satisfatória, e o processo est[a sob 
controle estatístico, veja figura 10: 
 
Figura 10: Gráficos de controle para a dimensão da trilha 
 
Fonte: Montgomery, 2016, p. 415 
 
Apesar de sob controle este processo apresenta muita variabilidade. 
Esse excesso de variabilidade resulta em problemas na montagem da placa. Os 
componentes são inseridos na placa por equipamentos automáticos, e a 
variabilidde na dimensão da trilha ocasiona uma gravação imprópria da placa. 
Como resulatdo, o equipamento de auto inserção não funciona adequadamente. 
Vamos ver como esse processo pode ser melhorado. 
Uma solução poss´vel já que o processo está sob controle é utilizar um 
experimento planejado para o estudo do processo, considerando dois fatores A: 
broca e B: velocidade. 
Para cada fator foram escolhidos dois níveis: 
• A: broca, de 1/16 ou 1/8 
• B: velocidade de 40 rpm e 80 rpm 
Logo iremos realizar um planejamento 2². O problema nesse tipo de 
experimento seria medir a variação na dimensão da trilha diretamente, logo foi 
decidido medir essa variaão de maneira indireta. 
Dezesseis placas de teste foram instrumentadas com acelerômetros que 
permitiam que a vibração dos eixos coordenados (X, Y e Z) fosse media. O vetor 
resultante destes três componentes foi usada como variável de resposta. Como 
a vibração na superficie da placa quando ela é cortada, está diretamente 
relacionada com a com a variabilidade na dimensao da trilha, espera-se que ao 
reduzir os níveis de vibração, se diminua também a variabilidade na dimensão. 
Quatro placas foram testadas em cada uma das quatro rodadas , e os 
resulatdos paracem na tabela 6. 
 
Tabela 6: Dados do experimento do roteador 
 Fatores 
Rodada A B Vibração Total 
1 (1) - - 18,2 18,9 12,9 14,4 64,4 
2 a + - 27,2 24,0 22,4 22,5 96,1 
3 b - + 15,9 14,5 15,1 14,2 59,7 
4 ab + + 36,3 43,9 36,3 39,9 161,1 
Fonte: Adaptado de Montgomery, 2016, p. 416 
 
Os efeitos dos fatores podem ser calculados utilizando as fórmulas do 
exemplo anterior. 
𝐴 = 𝑦
𝐴+
− 𝑦
𝐴−
=
1
2𝑛
(𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1)) 
𝐴 = 𝑦
𝐵+
− 𝑦
𝐵−
=
1
2𝑛
(𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏) 
𝐴𝐵 = (𝑦
𝐴+,𝐵+
− 𝑦
𝐴−,𝐵+
) − (𝑦
𝐴+,𝐵−
− 𝑦
𝐴−,𝐵−
) ==
1
2𝑛
(𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏) 
 
Em que temos: 
 
𝐴 =
1
2 ∙ 4
= [96,1 + 161,1 − 59,7 − 64,4] = 16,64 
𝐵 =
1
2 ∙ 4
= [59,7 + 161,1 − 96,1 − 64,4] = 7,54 
𝐴 =
1
2 ∙ 4
= [161,1 + 64,4 − 96,1 − 59,7] = 8,71 
Note que todas as estimativas numéricas para defeitos parecem 
grandes. Por exemplos quando mudamos o nível do fator A de 1/16 (baixo) para 
1/8 (alto) o nível de vibração médio aimenta 16,64 cps. 
A magnitude desses efeitos pode ser confrmada pela análise de 
variância, conforme tabela 7. 
 
Tabela 7: Análise de variância para o experimento do roteador 
Fonte de 
variação 
Soma de 
quadrados 
Graus de 
liberdade 
Média 
Quadrática 
F Valor P 
Tamanho 
da Broca 
(A) 
1107,226 1 1107,226 185,25 1,17𝑥10−8 
Velocidade 
(B) 
277,256 1 227,256 38,03 4,82𝑥10−5 
Erro 71,723 12 303,631 50,80 1,20𝑥10−5 
Total 1709,836 15 
Fonte: Adaptado de Montgomery, 2016, p. 416 
 
Essa análise pode ser completada com um modelo de regressão e 
análise de residuos, para esse experimento o modelo é: 
 
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1. 𝑥2 + 𝜀 
No qual os fatores A e B, são apresentados por variàveis codificadas 
𝑥1 𝑒 𝑥2, e a interaçãoAB é representada pelo produto 𝑥1. 𝑥2, sendo os níevsi mais 
baixos associados ao valor -1 e o nível mais alto assiciado ao valor +1. Os 
coeficientes 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽12 são chamados de coeficientes de regressão, quando 
que 𝜀 é o erro aleatório, que é emelehate ao erro obtio na análise de variância. 
Para o exemplo do roetador o modelo de regressão ajustado é: 
 
𝑦 = 23,83 + 8,32𝑥1 + 3,77𝑥2 + 4,355𝑥1. 𝑥2 
 
Em que a estimativa para 𝛽0 é a média geral de todas as dezesseis 
observações, e as outras estimaticas dos coeficientes de regressão são a 
metdade das estimativas para o efeito do fator correspondente. 
No caso do problema estudado, podemos utilizar esse modelo para a 
obtenção de valores preditos no nivel de vibração em qualquer poto da região de 
experimentação. 
Para isso vamos considerar: 
 
• Ponto com broca pequena (𝑥1 = −1) 
• Baixa velocidade (𝑥2 = −1) 
 
Sendo que o nível de vibração predito é: 
 
𝑦 = 23,83 + 8,32(−1) + 3,77(−1) + 4,355(−1)(−1) = 16,1 
 
Os quatro resíduos correspondentes as observações nesse ponto do 
planejamento são encontrados pela diferença entre a observação real e o valor 
predito, segue-se: 
• 𝑒1 = 18,2 − 16,1 = 2,1 
• 𝑒2 = 18,9 − 16,1 = 2,8 
• 𝑒1 = 12,9 − 16,1 = −3,2 
• 𝑒1 = 14,4 − 16,1 = −1,7 
 
Lebrando que esse cálculo é valido para a primeirra rodada, da tabela 6: 
 Fatores 
Rodada A B Vibração Total 
1 (1) - - 18,2 18,9 12,9 14,4 64,4 
2 a + - 27,2 24,0 22,4 22,5 96,1 
3 b - + 15,9 14,5 15,1 14,2 59,7 
4 ab + + 36,3 43,9 36,3 39,9 161,1 
 
Os resíduos das outras três rodas são calculados de maneira similar. 
É possível ainda elaborar o gráfico da probabilidade normal, versus o 
gráfico para os valores ajustados, onde podemos notar que há indicação de que 
pode haver menos variabilidade nos dados no ponto de níve de vibração predito 
mais baixo. 
 
Figura 11: Grafico de probabilidade x valores ajustados: 
 
Fonte: Montegomery, 2016; p. 417 
 
A interpretação prática para este exemplo leva em conta dois fatores: 1) 
diminuir o nível de vibração e 2) Manter a produção em níveis aceitáveis. 
Para diminuir a vibração poderiámos diminuir o tamanho da brica e a 
velocidade, o problem está no segundo item, pois essa redução baixaria os 
números da produção até níveis que não seriam aceitáveis. 
A opção seria fazer uma rodada em alta velocidade mas com a broca 
pequena, já que o efeito grande da velocidade ocorre principalemte quando o 
tamanho da broca está em nível alto. 
Na prática quando foi implementado uma produão a alta velocidade com 
brocas pequenas, houve uma redução significativa na variabilidade, manntendo 
a produção em nível aceitável e sobre controle estatístico de processo. 
 
2.2 O PLANEJAMENTO 2K PARA K ≥ 3 FATORES 
 
Os métosos que estudamos anteriormente para 2 fatres, cada um com 
dois níveis podem ser estendidos para o trabalho com mais de dois fatores, neste 
tópico iremos estudar o planejamento fatorial para 3 fatores, e abalisaremos um 
exemplo de aplicação. 
É importante notar que umasituação que enolva um planejamento 
fatorial 2³ terá oito combinações fator – nível, logo geometricamente o 
experimento planejado pode ser represenatdo por um cubo. 
 
Figura 12: Exemplo de exeprimento planejado 2³ 
 
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/1582851/ 
 
Como podemos notar pela figura 12, esse modelo de planejamento 
permite que três efeitos principais sejam estimados (A, B e C) além três 
interações entre dois fatores (AB, BC e AC) e uma interação entre três fatores 
ABC,o que nos indica seu modelo fatoral completo como: 
 
𝑦 = 𝜇 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝜀 
 
http://slideplayer.com.br/slide/1582851/
Em que 𝜇 é a média geral e 𝜀 é o termo de erro aleatório, as letras 
maiusculas rerpesentam os efeitos principais e as interações entre fatores. 
Para estimar os efeitos principais devemos considerar que 
(1), 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎𝑏, 𝑏𝑐, 𝑎𝑐 𝑒 𝑎𝑏𝑐 representam o total de n replicações em cada uma das 
oito rodadas de planejamento, com base na figura 12, podemos estimar o efeito 
principal A como a média das quatro rodadas do lado direito do cubo, sendo que 
nesta A está em nível alto, subtraindo da média das quatro rodadas do lado 
esquerdo do cubo, os demais efeitos são obteidos de forma análoga, como se 
segue: 
 
𝐴 =
1
4𝑛
[𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐 − (1)] 
 
𝐵 =
1
4𝑛
[𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐 − (1)] 
 
𝐶 =
1
4𝑛
[𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏 − (1)] 
 
Com abordagem semelhante podemos obter as interações entre os 
fatores: 
 
𝐴𝐵 =
1
4𝑛
[𝑎𝑏 + (1) + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐] 
 
𝐴𝐶 =
1
4𝑛
[𝑎𝑐 + (1) + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐] 
 
𝐵𝐶 =
1
4𝑛
[𝑏𝑐 + (1) + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐] 
 
𝐴𝐵𝐶 =
1
4𝑛
[𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − (1)] 
 
As estimativas de efeito estão representada na figura 13: 
 
Figura 13: Representação geomértica dos contrastes 
 
Fonte: Montegomery, 2016; p. 419 
 
As quantidades indicadas entre colchetes nas equações acima, são 
contrastes entre as oito combinações fator-nível. Esses contraste são obtidos 
por meio de uma tabela de sinais + e – para o planejamento 2³, conforme segue: 
 
Tabela 8: Sinais para efeitos no planejamento fatorial 2³ 
Combinação 
de 
tratamentos 
Efeito Fatorial 
I A B AB C AC BC ABC 
(1) + - - + - + + - 
a + + - - - - + + 
b + - + - - + - + 
ab + + + + - - - - 
c + - - + + - - + 
ac + + - - + + - - 
bc + - + - + - + - 
abc + + + + + + + + 
Fonte: Autor 
 
É importante notar que os sinais só são estabelecidos para os efeitos 
principais, os sinais das interações são determinados pela multiplicação das 
colunas apropriadas, por exemplo o sinal da coluna BC, é a multiplicação dos 
sinais da coluna B pela coluna C. 
Além disso essa tabela tem propriedades interessantes: 
 
1. Exeto pela coluna identidade (I), todas as demais tem o mesmo 
número de sinais + e -. 
2. A soma dos produtos dos sinais de quaisquer duas colunas é 
zero, isso ocorre pois as colunas da tabela são ortogonais. 
3. A multiplicação de qualquer coluna, pela coluna identidade deixa 
a coluna inalterada. 
4. O produto que qualquer duas colunas, resulta em outra coluna da 
tabela. 
 
A estimativa de qualquer efeito principal ou interação é determinada pela 
multiplicação das combinações fator-nível na primeira coluna da tabela pelos 
sinais correspondente do efeito principal ou interação, na sequencia soma-se os 
resultados para obter um contraste, e quando dividimos o contraste pela metade 
do número total de rodadas do experimento obtemos: 
 
𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 =
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒
𝑛2𝑘−1
 
𝑆𝑄 =
(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒)²
𝑛2𝑘−1
 
 
 
Sendo SQ a soma dos quadrados para qualquer efeito. 
Para exemplificar a aplicação do palenajemtno fatorial 2³, iremos utilizar 
um exemplo disponnível em Montegomery, 2016, páginas 420 a 424. 
Exemplo: Realizou-se um experimento para analisar o acabamento da 
superfíci de uma peça de metal. O experimento é um planejamento fatorial 2³ 
com os seguintes fatores: 
• A: taxa de alimentação 
• B: profundidade do corte 
• C: ângulo de ferramenta 
Esse experimento é realizado com n = 2 replicações e tem seus valores 
organizados na tabela 9, sua representação geomértica está indicada na figuara 
14. 
Nosso objetivo é analisar os dados deste experimento. 
 
Tabela 9: Dados sobre o acabamento da superfície 
Rodada 
 A B C Acabamento 
da superfície 
Totais 
1 (1) -1 -1 -1 9, 7 16 
2 a 1 -1 -1 10, 12 22 
3 b -1 1 -1 9, 11 20 
4 ab 1 1 -1 12, 15 27 
5 c -1 -1 1 11, 10 21 
6 ac 1 -1 1 10, 13 23 
7 bc -1 1 1 10, 8 18 
8 abc 1 1 1 16, 14 30 
Fonte: Montegomery, 2016; p. 420 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14: Planejamento 2³ para o acabamento externo. 
 
Fonte: Montegomery, 2016; p. 420 
 
Os efeitos principais podem ser estimados pelas euqaçõesdefinidas 
anteriormente, por exemplo o efeito A é dado por: 
 
𝐴 = 
1
4𝑛
[𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐 − (1)] = 
𝐴 = 
1
4.2
= [22 + 27 + 23 + 30 − 20 − 21 − 18 − 16] = 3,375 
 
Enquanto que a soma dos quadrados será dada por: 
 
𝑆𝑄 =
(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒)2
𝑛2𝑘−1
=
272
2. 8
= 45,5625 
 
De maneira análoga podemos calcular os demais defeitos e suas 
respectivas somas de quadrados: 
• B = 1,625 
• C = 0,875 
• AB = 1,375 
• AC = 0,125 
• BC = -0,625 
• ABC = 1,125 
• SQB = 10,5625 
• SQAB = 7,5625 
• SQAC = 0,0625 
• SQBC = 1,5625 
• SQABC = 5,0625 
 
O que pela magnitude dos defeitos eixa claro que o efeito A, taxa de 
alimentação, é predominante, seguido pelo efeito B, profundidade do corte e pela 
interação AB, embora a interação seja relativamente pequeno em comparação 
com os valores indivisuais. 
A tabela 10, apresenta uma análise de variância para o exeprimento 
anterior. 
Tabela 10: Análise de variância para o experimento – Acabamento da 
superficie. 
Fonte de 
variação 
Soma dos 
quadrados 
Graus de 
liberdade 
Média 
quadrática 
F Valor P 
A 45,625 1 45,5625 18,69 0,00254 
B 10,5625 1 10,5625 4,33 0,07 
C 3,0625 1 3,0625 1,26 0,29 
AB 7,5625 1 7,5625 3,10 0,12 
AC 0,0625 1 0,0625 0,03 0,88 
BC 1,5625 1 1,5625 0,64 0,45 
ABC 5,0625 1 5,0625 2,08 0,19 
Erro 19,5 8 2,4375 
Total 92,9375 15 
Fonte: Montgomery, 2016, p. 421 
 
O autor ainda apresenta uma tabela obtida por meio do software Minitab, 
cabe indicar que muitos programas fazem anpalise de variância, entre eles o 
próprio Minitab, que será discutido no capítulo 4 deste livro, o Spss e o Action 
Stat, pagos, e o Assistat que é gratuito, no caso do exemplo acima, é 
apresentado uma tabela de análise de variância obtida pelo Minitab. 
Figura 15: Análise de variância para o experimento – Acabamento da 
superficie. 
 
Fonte: Montgomery, 2016, p. 421 
 
Apesar da diferença de organização os dados dizem o mesmo em 
ambas as tabelas, mas na tabela do Minitab, utiliza-se um teste t da significancia 
de cada termo individual do modelo, bem como é dado as estimativas dos 
coeficientes de regressão que seriam usados para predizer o acabamento da 
superficie em termos das variáveis no modelo fatorial completo. 
Os valores t são calculados por: 
 
𝑡0 =
�̂�
𝑒. 𝑝(�̂�)
 
 
No qual �̂� é a estimativa do coeficiente e 𝑒. 𝑝(�̂�) é o erro padrão 
estimado do coeficiente, que ´calculado por: 
 
𝑒. 𝑝(�̂�) = √
�̂�2
𝑛2𝑘
= √
2,4375
2(23)
= 0,390312 
 
Na tabla obtida pelo initab, os valores t são analogos a estatística F, e o 
quadrado de qualquer valor t, produz o valor da razão F, por isso ambos os 
procedimentos podem ser utilizados na análise de variância sem perda para o 
analista. 
Ainda com base nos dados obtidos é possível notar que o modelo fatorial 
completo, com todos os fatores não será util, já que há itens de pouca influencia, 
logo um modelo reduzido que leve em consideração os fatores A e B e a 
interação AB é mais indicado, este modelo será obtido por: 
 
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1. 𝑥2 + 𝜀 
 
Sendo que: 
1. 𝑥1: representa o fator A 
2. 𝑥2: represemta o fator B 
3. 𝑥1. 𝑥2: representa a interação AB 
 
Enquanto que os coeficientes serão dados por metade dos efeitos 
corresponndentes, sendo 𝛽0 a média geral. Cabe notar que na tabela obtida pelo 
minitab, esses valores já estão prontos em coluna, o modelo obtido será: 
 
𝑦 = 11,0625 + 1,6875𝑥1 + 0,8125𝑥2 + 0,6875𝑥1. 𝑥2 
 
Modelo este que pode ser usado para predição em qualquer acabamento 
da superfície em qualquer ponto na região experimental, por exemplo, considere 
um ponto no qual as três variàveis estão em nível baixo, nesse caso: 
 
𝑥1 = 𝑥2 = −1 
 
E o valor predito será: 
 
𝑦 = 11,0625 + 1,6875(−1) + 0,8125(−1) + 0,6875(−1)(−1) = 9,25 
 
A figura 16, mostra os valores preditos em cada ponto do planejamento 
original: 
 
Figura 16: Valores preditos no planejamento original 
 
Fonte: Montgomery, 2016, p. 422 
 
Realizando uma interpretação prática, podemos notar que ambos os 
efeitos principais A e B são positivos,e como são desejáveis valores pequenos 
de resposta do acabamento da super[ficie, isso sugere que ambos os efeitos 
devem ser rodados em nível baixo. 
 
2. 3 Comentários sobre o planejamento 2K 
 
O modelo de planejamento fatorial comdois ou mais fatores, pode ser 
utilizado de maneira ampla, mas não é o único modelo que temos para o uso, 
faz parte do papel do analista pesar os prós e os contras sobre as aplicações de 
cada modelo, além de medir as ferramentas a disposição. 
Por exemplo, se na empresa não há softwares estatísticos disponíveis 
os cálculos serão feitos somente a mão, o que pode dificultar em muito o 
trabalho do analista. 
É relevante também consultar colegas sobre a escolha dos fatores, 
principalemnte os que esyão envolvidos diretamente com a manufatura dos 
itens, essa consulta pode evitar escolha irrelevantes que indique fatores com 
efeitos desprezíveis. 
è importante também levar em consideração que os métodos aplicados 
nos devolvem valores que sem uma profunda interpretação com base em teorias 
sólidas, podem não trazer significado, por isso é relevante se aprofundar em 
metodologia estatística antes da aplicação do método na prática. 
As ferramentas estatísticas devem fazer parte de uma metodologia 
específica, sendo a mais sugerida o ciclo DMAIC ou PDCA, portanto é relevante 
que os resultados do planejamento experimental sejam checados e que o ciclo 
seja reiniciado algumas vezes, principalemente para sistemas fora de controle 
estatístico ou não capazes, ou ainda para criação de novos produtos. 
Avaixo indicamos algumas sugestoes de leitura sobre o tema para 
alunos que queiram se aprofundar: 
 
• UMA APLICAÇÃO DO PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E 
CARTA DE CONTROLE EM UMA INDÚSTRIA DE 
COSMÉTICOS: CICLO DMAIC: 
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/115586/0008
05087.pdf?sequence=1 
• APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE PLANEJAMENTO 
FATORIAL E ANÁLISE DE SUPERFÍCIES DE RESPOSTA PARA 
OTIMIZAÇÃO DA FERMENTAÇÃO ALCOÓLICA 
http://www.scielo.br/pdf/qn/v31n5/a24v31n5 
• Enriquecimento proteico do bagaço do pedúnculo de caju por 
cultivo semissólido http://www.redalyc.org/pdf/500/50050210.pdf 
• OTIMIZAÇÃO DA PREPARAÇÃO DE ELETRODO DE PASTA 
DE CARBONO CONTENDO RIBOFLAVINA IMOBILIZADA EM 
SUPORTE INORGÂNICO 
http://www.scielo.br/pdf/%0D/qn/v27n5/a09v27n5.pdf 
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/115586/000805087.pdf?sequence=1
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/115586/000805087.pdf?sequence=1
http://www.scielo.br/pdf/qn/v31n5/a24v31n5
http://www.redalyc.org/pdf/500/50050210.pdf
Questões 
 
1) Com base em seu trabalhao atual, ou estudos, elabore um 
planejamento fatorial de dois datores, com dois níveis para cada fator. Contrua 
a tabela ANOVA e tire conclusões a respeito do seu experimento. 
Resposta pessoal 
 
Dados para o próximos exercícios (fonte: 
file:///C:/Users/fast_/Downloads/Bioexp._exerc%C3%ADcio_experimento_fatori
al_resolu%C3%A7%C3%A3o_passo-a-pas.pdf) 
Os dados apresentados abaixo são uma adaptação do exemplo 
apresentado por Banzato e Kronka (1989). 
Os dados são valores em cm de altura de plantas de milho de um 
experimento inteiramente casualizado onde pretendia-se testar 3 tipos de 
sementes (M1, M2 e M3) e dois tipos de adubação (com adubação e sem 
adubação). Montado em um esquema fatorial 3 x 2. 
Tratamentos 
M1 – Milho var 1 
M2 – Milho var 2 
M3 – Milho var 3 
Ad – Com adubação 
SAd – Sem adubação 
 
 
2) Construa uma tabela anova para os dados: 
Sugestão de resposta: 
]
 
3) Com base na tabela Anova, tire conclusões de engenharia sobre os 
efeitos de maior relevância, e indique a avariação e adubação mais eficaz. 
Resposta pessoal 
4) Em um delineamento de experimentos com 4 tratamentos cada um 
com dois níveis, quantosexperimentos são realizados? 
 
Resposta 16 experimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 PROCEDIMENTOS CLÁSSICOS DO PLANEJAMENTO DE 
EXPERIMENTOS: FATORIAIS COMPLETOS, FATORIAIS FRACIONADOS E 
QUADRADOS LATINOS. 
 
Neste capítulo iremos falar de procedimentos clássicos para os 
experimentos fatoriais, bem como o tratamento matemático indicado para cada 
procedimento. 
Iremos iniciar discutindo os procedimentos fatoriais completos na 
verdade já iniciamos o trabalho com esse modelo de experimento no capítulo 
anterior, e nesse vamos trabalhar com o planejamento 2k generalizado. 
 
3.1 Experimento 2k generalizado 
Este tipo de experimento envolve k fatores, cada fator com dois níveis, 
portanto em seu tratamento incluímos k efeitos principais e: 
• (
𝑘
2
) interações de dois fatores. 
• (
𝑘
3
) interações de três fatores. 
• (
𝑘
𝑛
) =
𝑘!
𝑛!(𝑘−𝑛)!
 Interações ou permutações de k tomados n a n. 
 
Logo podemos calcular (2k – 1) efeitos, tendo como base 2k tratamentos, 
por exemplo: 
 
Um projeto com planejamento 24 terá os seguintes tratamentos: 
 
• (1) 
• A 
• B 
• AB 
• C 
• AC 
• BC 
• ABC 
• D 
• AD 
• BD 
• ABD 
• CD 
• ACD 
• BCD 
• ABCD 
 
O que torna trabalhoso a montagem da tabela de sinais, portanto 
podemos usar como alternativa: 
 
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵…𝐾 = (𝑎 ± 1)(𝑏 ± 1) … (𝑘 ± 1) 
 
Utilizando no parênteses o sinal – quando o fator estiver incluído no 
efeito e o sinal + quando não estiver incluído, os efeitos e somas quadradas 
serão calculados como anteriormente e o modelo da tabela de ANOVA é dado 
na figura 17: 
Podemos exemplificar o cálculo do contraste pela fórmula apresentada 
nesse tópico, considerando um planejamento 2³, onde queremos calcular o efeito 
da interação AB: 
 
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒𝐴𝐵 = (𝑎 − 1)(𝑏 − 1)(𝑐 − 1) = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑐 + (1) − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎 − 𝑏 
 
O que fcilita nossso trabalho com valores de k maiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16: Análise de variância para o planejamento 2k 
 
Fonte: Ribeiro e Caten, 2011, p. 93 
 
É importante notar que em planejamentos deste tipo, não raro iremos 
encontrar efeitos pouco relevantes para o experimento como um todo, nesse 
caso podemos excluí-lo na primeira análise, com a intenção de mantermos 
apenas os dois mais relevantes, no caso de um planejamento 2³, que é 
geometricamente um cubo, nossa intenção desconsiderar quando possível um 
dos efeitos para tratar a situação em um plano, o que é consideravelmente mais 
simples. 
 
3.1.1 Experimento 2k sem repetições 
 
Na medida em que cresce o número de fatores em um experimento 
fatorial, cresce também o número de efeitos que podem ser estimados, por 
exemplo em um planejamento 24 há: 
• Quatro efeitos principais 
• Seis interações de dois fatores 
• Quatro interações de três fatores 
• Uma interação de quatro fatores. 
 
Enquanto que um experimento 26 têm: 
 
• Seis efeitos principais 
• Quinze interações de dois fatores 
• 20 interações de três fatores 
• 15 interações de quatro fatores 
• 6 interações de cinco fatores 
• Uma interação de 6 fatores 
 
Ou seja, são muitos efeitos, sendo que se aplica o princípio da escassez, 
onde o experimento é dominado pelos efeitos principais em e pelas interações 
de ordem inferior. Em geral podemos afirmar que interações de três ou mais 
fatores, são desprezíveis. 
Essa quantidade de combinações justifica uma prática comum que é em 
experimentos de quatro fatores ou mais, rodar apenas uma réplica e então 
combinar as interações de ordem maior com uma estimativa de erro. 
Vejamos um exemplo de quatro fatores, com uma réplica trabalhado em 
Ribeiro e Caten 2011. 
Taxa de filtragem de um produto químico. Os fatores considerados 
serão: 
• A: temperatura 
• B: Pressão 
• C: Concentração de reagentes 
• D: Taxa de agitação 
 
Os dados para o exemplo são: 
 
E seu tratamento está resumido na tabela apresentada na figura 17. 
 
Figura 17: Tratamento dos quatro fatores o experimento 
 
Fonte: Ribeiro e Caten, 2011, p. 95 
 
Considerando as interações de 3 ou quatro fatores insignificantes, 
podemos utiliza-la como estimativa de erro: 
 
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝐴𝐵𝐶 + 𝑆𝑄𝐴𝐵𝐷 + 𝑆𝑄𝐴𝐶𝐷 + 𝑆𝑄𝐵𝐶𝐷 + 𝑆𝑄𝐴𝐵𝐶𝐷 
𝑆𝑄𝑅 = 14,1 + 68,1 + 10,6 + 27,6 + 7,6 = 127,56 
 
E gerar a seguinte tabela Anova: 
 
 
 
 
Figura 18: Tabela Anova para o exemplo 
 
Fonte: Ribeiro e Caten, 2011, p. 96 
 
Indicando os valores significativos, o que deve ser claro a partir dos 
valores para SQ, sendo que os fatores que irão garantir qualidade em nosso 
exemplo são os fatores A, C e D e as interações AC e AD. 
 
3. 2 Fatoriais Fracionados 
 
É importante notar que na medida que aumentamos o número de fatores 
de um experimento 2k, amentamos rapidamente o número de rodadas 
necessárias para o experimento, por exemplo: 
• 25 exige 32 rodadas 
• 26 exige 64 rodadas 
• 27 exige 128 rodadas 
 
Como já discutimos anteriormente interações de mais de três fatores, 
costumam ser desprezíveis, portanto é possível supor que podemos utilizar um 
fatorial fracionado, ao invés do fatorial completo, sem perder capacidade de 
análise. 
É importante ter em mente que frações de ordem superior em geral são 
difíceis de interpretar e não são significativas, e que na prática quando temos 
experimentos de muitos fatores, pode não ser possível rodar o fatorial completo, 
além de que a mesma informação pode ser obtida com ½ dos ensaios. 
Os procedimentos de rodagem envolvem dividir os projeto em dois ou 
mais blocos, confundindo uma ou mais interações de ordem superior, e em 
seguida determinar um dos blocos de maneira aleatória. 
Para entender melhor esse processo iremos trabalhar com um caso 
simples de planejamento 2³, no qual o técnico só tem recursos para rodar quatro 
ensaios, sendo a primeira etapa confundir os efeitos a, b e c. 
 
• Bloco 1: (1) ab ac bc 
• Bloco 2: a b c abc 
 
Digamos que por sorteio se determine o bloco 2, qual informação será 
perdida ou confundida? 
Para determinar isso retomaremos uma tabela de tratamento para esse 
modelo : 
 
Tabela 11: análise do planejamento 2³ 
Combinação 
de 
tratamentos 
Efeito Fatorial 
I A B AB C AC BC ABC 
(1) + - - + - + + - 
a + + - - - - + + 
b + - + - - + - + 
ab + + + + - - - - 
c + - - + + - - + 
ac + + - - + + - - 
bc + - + - + - + - 
abc + + + + + + + + 
Fonte: autor 
 
De acordo com o bloco escolhido nossa tabela será: 
 
 
Tabela 12: análise do planejamento 2³ fracionado 
Combinação 
de 
tratamentos 
Efeito Fatorial 
I A B AB C AC BC ABC 
a + + - - - - + + 
b + - + - - + - + 
c + - - + + - - + 
abc + + + + + + + + 
Fonte: autor 
 
Que tem a seguinte visão geométrica: 
 
Figura 19: fração principal e alternada 
 
Fonte: Montgomery, 2016, p. 432 
 
Note que uma fração de um meio de um planejamento 2k tem 2k-1 
rodadas, estamos tratando neste exemplo um planejamento 23-1 de quatro 
rodadas. 
A seleção de rodadas garante que ABC tenha sinal positivo, logo 
podemos dizer que ABC ´gerador dessa fração particular, assumindo papel do 
elemento identidade: 
 
𝐼 = 𝐴𝐵𝐶 
 
Ou relação definidora do planejamento. Cada efeito terá como 
estimativa: 
 
𝐴 =
1
2
[𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐] 
 
𝐵 =
1
2
[−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐] 
 
𝐶 =
1
2
[−𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐] 
 
E suas interações são definidas por: 
 
𝐴𝐵 =
1
2
[−𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐] 
 
𝐴𝐶 =
1
2
[−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐] 
 
𝐵𝐶 =
1
2
[𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐] 
 
Uma relação importante é que podemos multiplicar qualquer efeito pela 
relação definidora resulta em um efeito de estimativa chamado aliase, termo que 
tem a ver com o confundimento que ocorre no fracionamento de um 
planejamento conforme definido: 
“O confundimento ocorre em experimentos fatoriais fracionados porque 
o experimento não inclui todas as combinações de níveis de fator. Por exemplo, 
se o fatorA for confundido com a interação de 3 fatores BCD, o efeito estimado 
para A será a soma do efeito de A e do efeito de BCD. Não é possível determinar 
se um efeito significativo é devido a um A ou a um BCD, ou a uma combinação 
de ambos. Ao analisar o experimento no Minitab, é possível incluir termos 
confundidos no modelo. O Minitab remove os termos que são listados 
posteriormente na lista de termos. No entanto, certos termos são sempre 
ajustados primeiro. Por exemplo, se você incluir blocos no modelo, o Minitab 
mantém os termos do bloco e remove todos os termos que são confundidos com 
blocos. 
A estrutura de confundimento descreve o padrão de confundimento que 
ocorre em um experimento. Diz-se também que os termos que são confundidos 
são aliases. 
A chave para a estrutura de confundimento é a declaração de identidade, 
por exemplo I + ABCDE. Para determinar quais efeitos foram confundidos, 
multiplique o termo de interesse pela declaração de identidade e depois elimine 
qualquer termo elevado ao quadrado. Por exemplo, para determinar o termo com 
qual BC é confundido: 
(BC)(I + ABCDE) = BC + AB 2C 2DE = BC + ADE 
Por isso BC e ADE são confundidos entre si.” 
Texto disponível em : https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-
and-how-to/modeling-statistics/doe/supporting-topics/basics/what-are-
confounding-and-alias-structure/ 
Em nosso exemplo o Alias para os efeitos A, B e C, são definidos por: 
 
𝐴 = 𝐴. 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴2𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 
 
𝐴 = 𝑏. 𝐴𝐵𝐶 = 𝐵2𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 
 
𝐴 = 𝐶. 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵 
 
No caso de após rodar a fração principal de experimentos, ainda termos 
dúvidas a respeito de suas interações, é possível produzi-la a partir de suas 
frações alternadas: 
 
[𝐴]′ = 𝐴 − 𝐵𝐶 
 
[𝐵]′ = 𝐵 − 𝐴𝐶 
 
[𝐴]′ = 𝐴 − 𝐵𝐶 
 
https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/modeling-statistics/doe/supporting-topics/basics/what-are-confounding-and-alias-structure/
https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/modeling-statistics/doe/supporting-topics/basics/what-are-confounding-and-alias-structure/
https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/modeling-statistics/doe/supporting-topics/basics/what-are-confounding-and-alias-structure/
A combinação dessas duas frações, nos permitem obter a seguinte 
tabela: 
 
Tabela 13: Comparação de efeitos 
Efeito, i 1
2
([𝑖] + [𝑖]′) 
1
2
([𝑖] − [𝑖]′) 
i = A 1
2
(𝐴 + 𝐵𝐶 + 𝐴 − 𝐵𝐶) = 𝐴 
1
2
(𝐴 + 𝐵𝐶 − (𝐴 − 𝐵𝐶)) = 𝐵𝐶 
i = B 1
2
(𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵 − 𝐴𝐶) = 𝐵 
1
2
(𝐵 + 𝐴𝐶 − (𝐵 − 𝐴𝐶) = 𝐵 
i = C 1
2
(𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐶 − 𝐴𝐵) = 𝐶 
1
2
(𝐶 + 𝐴𝐵 − (𝐶 − 𝐴𝐵)) = 𝐶 
Fonte: Autor, com base me Montgomery 
 
Logo quando combinamos as sequencias de dois planejamentos 
fracionados, podemos isolar tanto os efeitos principais quanto as interações 
entre os dois fatores, o que torna esse modelo de planejamento fatorial 
extremamente útil. 
Vejamos um exemplo de aplicação, com base em Montgomery (2016, 
página 433 a 435) 
O artigo Solid State Technology descreve a aplicação de planejamentos 
fatoriais no desenvolvimento de um processo de gravação por nitreto em um 
gravador de plasma de placa única. O processo usa C2F6 como o gás reagente. 
É possível variar-se o fluxo de gás, a potência aplicada ao catodo, a pressão na 
câmera do reator e o espaçamento entre o anodo e o catodo. 
Vamos supor que para resolver essa situação tomamos como decisão 
usar um experimento 24-1 com I = ABCD par analisar os quatro fatores: 
 
• A: espaçamento 
• B: pressão 
• C: Taxa de fluxo de C2F6 
• D: potência 
 
Vamos estabelecer esse planejamento considerando 2³, com A, B e C e 
D = ABC, planejado geometricamente como: 
Figura 20: Planejamento para o exemplo 
 
Fonte: Montgomery, 2016, p. 433 
 
Os aliases desse planejamento são dados por: 
𝐴. 𝐼 = 𝐴. 𝐴𝐵𝐶𝐷 
 
𝐴 = 𝐴²𝐵𝐶𝐷 
 
𝐴 = 𝐵𝐶𝐷 
 
De forma análoga temos: 
 
𝐵 = 𝐴𝐶𝐷 
 
𝐶 = 𝐴𝐵𝐷 
 
𝐷 = 𝐴𝐵𝐶 
 
Que tem como tabela de planejamento: 
 
Tabela 14: O planejamento com relação definidora I = ABCD 
Rodada A B C D=ABC Taxa de 
gravação 
1 (1) - - - - 550 
2 ad + - - + 749 
3 bd - + - + 1052 
4 ab + + - - 650 
5 cd - - + + 1075 
6 ac + - + - 642 
7 bc - + + - 601 
8 abcd + + + + 729 
Fonte: Autor, com base em Montgomery 
 
As estimativas para os efeitos principais são encontradas usando-se as 
quatro colunas de sinais da tabela. 
 
[𝐴] = 𝐴 + 𝐵𝐶𝐷 = 
=
1
4
(−550 + 749 − 1052 + 650 − 1075 + 642 − 601 + 729) = −127 
 
Enquanto que as outras colunas dão: 
 
[𝐵] = 𝐴 + 𝐴𝐶𝐷 = 4 
 
[𝐶] = 𝐶 + 𝐴𝐵𝐷 = 11,50 
 
[𝐷] = 𝐴 + 𝐵𝐶𝐷 = 290,5 
 
Podemos notar que as estimativas A e D são grandes, e devem afetar 
significativamente a taxa de gravação, se quisermos ainda podemos testar as 
interações e verificar como as mesmas se comportam: 
 
[𝐴𝐵] = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = −10 
 
[𝐴𝐶] = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 = −25,50 
 
[𝐴𝐷] = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐷 = −197,50 
 
Notamos que além dos efeitos A e D serem grandes sua interação 
também o é, o que significa que o espaçamento e a potência são os efeitos 
diretamente ligados a qualidade nesse exemplo, o que por sinal confirma os 
resultados do artigo obtidos com fatoriais completos. 
 
3.3 Quadrado Latino 
 
O princípio utilizado no quadrado latino é o de quando um fator primário 
está sobre investigação, ele pode ou não ser afetado por outras fontes de ruído, 
ou de não homogeneidade. Quando assumimos que não existe interação entre 
esses fatores, essas fontes de ruído podem ser bloqueadas e o experimento é 
realizado de tal forma que o número de níveis dos três fatores (1 fator primário + 
2 fontes de ruído) sejam iguais. 
𝑎 = 𝑏 = 𝑘 = 𝑝 
No qual 
• a: n níveis do fator coluna (fonte de ruído) 
• b: n níveis do fator linha (fonte de ruído) 
• k: n níveis do fator primário 
• p: constante indicativa do número de níveis 
 
Nos exemplos de tabela, apresentados a seguir os fatores coluna e linha 
são as fontes bloqueadas de ruído. 
 
Tabela 7: Exemplos de tabela para o Quadrado Latino 
3 níveis 
 Colunas 
Linha 1 2 3 
1 A B C 
2 B C A 
3 C A B 
 
 
 
4 níveis 
 Coluna 
Linha 1 2 3 4 
1 D C B A 
2 C B A D 
3 B A D C 
4 A D C B 
 
5 níveis 
 Coluna 
Linha 1 2 3 4 5 
1 A B C D E 
2 B C D E A 
3 C D E A B 
4 D E A B C 
5 E A B C D 
Fonte: autor 
 
As letras A,B, C, D e E representam os níveis do fator principal, note que 
cada letra aparece uma única vez em cada linha ou coluna. A disposição das 
letras fica ao critério do analista, desde que siga a recomendação anterior. 
O modelo estatístico utilizado para o experimento sem réplicas delineado 
pelo quadrado latino é: 
 
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝛾𝑘 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 
 
Com: 
{
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑝
𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑝
𝑘 = 1, 2, 3, … , 𝑝
 
 
E 
• 𝜇 é a média global. 
• 𝜏𝑖 é o efeito da coluna i, ou a fonte de ruído. 
• 𝛽𝑗 é o efeito da colina j, ou a fonte de ruído. 
• 𝛾𝑘 é o efeito do tratamento k, do fator primário. 
• 𝜀𝑖𝑗𝑘 é o erro aleatório 
• 𝑝 é o número de linha ou colunas 
 
A análise de variância para o quadrado latino consiste essencialmente 
em fracionar a soma dos quadrados totais em quatro partes: 
 
𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑄𝐶 + 𝑆𝑄𝐿 + 𝑆𝑄𝐿𝐴𝑇 + 𝑆𝑄𝑅 
 
Em que: 
 
• 𝑆𝑄𝐿𝐴𝑇 é a soma dos quadrados do fator primário 
• 𝑆𝑄𝑇 é a soma dos quadrados totais 
• 𝑆𝑄𝐶 soma dos quadrados do fator coluna 
• 𝑆𝑄𝐿 soma dos quadrados do fator linha 
• 𝑆𝑄𝑅 soma dos quadrados dos resíduos 
 
A tabela anova para o quadrado latino será 
 
Figura 21: Tabela anova para o quadrado latino com n = 1 
 
Fonte: Calegare, 2009, p. 107 
Figura 22: Quadro resumo da formulação 
 
Fonte: Calegare, 2009, p. 107 
 
A regra de decisão utilizada no quadrado latino, utiliza a distribuição F 
em anexo, se: 
 
𝐹𝐶𝑎𝑙𝑐
𝐿𝑎𝑡 ≤ 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑡
𝐿𝑎𝑡 
 
Aceitamos a hipótese nula, o que indica que não existe diferença entre 
os tratamentos,mas se: 
 
𝐹𝐶𝑎𝑙𝑐
𝐿𝑎𝑡 > 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑡
𝐿𝑎𝑡 
 
Rejeitamos a hipótese nula, e existe diferença entre os tratamentos, 
lembrando que é importante estabelecer um nível de significância para o teste, 
que seja adequado. 
Vamos agora trabalhar com um exemplo de aplicação com base em 
Calegare, 2009, páginas 108 e 109. 
Uma empresa quis estudar os efeitos de 5 diferentes aditivos (A, B, C, D 
e E) no consumo diário de combustível de certa máquina de combustão interna 
e desconfiava que poderia haver influência de dois outros fatores> Operador da 
máquina e temperatura ambiente. Delineou então um experimento utilizando o 
quadrado latino, cujos resultados de consumo diário em litros, são dados a 
seguir. 
 
 
Que tem como resultados dos níveis do fator principal: 
 
• 𝑇𝐴 = 99 + 111 + 102 + 101 + 105 = 518 
• 𝑇𝐵 = 95 + 92 + 96 + 98 + 95 = 476 
• 𝑇𝐶 = 94 + 99 + 93 + 97 + 104 = 487 
• 𝑇𝐷 = 99 + 105 + 113 + 101 + 104 = 522 
• 𝑇𝐸 = 99 + 102 + 101 + 106 + 97 = 505 
• ∑ 𝑇𝑘
2 = 𝑇𝐴
2+𝑇𝐵
2 + 𝑇𝐶
2 + 𝑇𝐷
2 + 𝑇𝐸
2 = 1259578 
• 𝑦
𝐴
= 103,6; 𝑇𝐴
2 = 268324 
• 𝑦
𝐵
= 95,2; 𝑇𝐵
2 = 226576 
• 𝑦
𝐶
= 97,4; 𝑇𝐶
2 = 237169 
• 𝑦
𝐷
= 104,4; 𝑇𝐷
2 = 272484 
• 𝑦
𝐸
= 101,0; 𝑇𝐸
2 = 255025 
 
Que tem a seguinte tabela ANOVA: 
 
 
 
Para tirar a concluso a respeito desse problema iremos utilizar um nível 
de significância de 0,05 com numerador 4 e denominador 12 para todos os 
fatores, que nos dá a partr da tabela F, um valor Fcrit = 3,26. 
Podemos notar que o valor F da tabela é maior do que o valor critico, o 
que segundo nossa regra de decisão implica na rejeição da hipótese nula, ou 
seja com 5% de significância podemos assumir que há diferenças entre os 
aditivos. 
 
Questões 
 
1) No capítulo anterior foi sugerido que a partir de uma experiencia real, o aluno 
organizasse um experimento fatorial, com base nos seus conhecimentos sobre 
fatorial fracionado, pegue seu exemplo anterior o reestabeleça com uma fração 
meio e verifique se as conclusões anteriores serão confirmadas. 
Resposta pessoal, mas espera-se que os alunos obtenham as mesmas 
conclusões. 
 
2) Escreva com suas palavrando é adequado utilizar os fatoriais fracionados ao 
invés do fatorial completo. 
Quando há muitos fatores, as interações perdem força e acabam sendo 
insignificantes, de certo modo os efeitos acabam não tendo o mesmo efeito no 
que se refere a qualidade. 
3) Exemplifique uma tabela de 6 níveis para um quadrado latino: 
 
Resposta: solução da extensão deve considerar a condição “note que cada letra 
aparece uma única vez em cada linha ou coluna” 
 
 Coluna 
Linha 1 2 3 4 5 6 
1 A B C D E 
2 B C D E A 
3 C D E A B 
4 D E A B C 
5 E A B C D 
6 
 
4) Exemplifique uma situação do seu cotidiano de estudos, ou do seu trabalho 
onde a aplicação deum quadrado latino, poderia levar a novas conclusões. 
Resposta pessoal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 OTIMIZAÇÃO E TOMADA DE DECISÃO E UTILIZAÇÃO DO APLICATIVO 
MINITAB. 
 
Iremos separa esse capítulo em três partes, a primeira com foco na 
tomada de decisão, com base nos estudos desenvolvidos por Andrade na 
pesquisa operacional, a segunda com foco na otimização e técnicas para tal e 
por último uma discussão a respeito dos uso do software Minitab e suas 
aplicações no delineamento de processos. 
 
4.1 Conceitos de tomada de decisão 
 
A tomada de decisão faz parte de um campo de estudo maior chamado 
Pesquisa operacional utilizada pela primeira vez durante a Segunda Guerra 
Mundial, com intenção de resolver determinado problemas de aspectos militares. 
Esse campo relacionado a análise de decisão caracterizou-se pelo uso 
de técnicas e métodos científicos qualitativos por equipes multidisciplinares, 
entre essas técnicas podemos incluir técnicas estatísticas, como as estudadas 
neste módulo. 
A importância das equipes multidisciplinares se deve a evitar que o 
analista enquadre os problemas da maneira que se sentir mais confortável, uma 
característica natural a qualquer ser humano, mas que em questão de análise 
não permite a observação dos múltiplos aspectos desenvolvidos. 
A tomada de decisão, com base em técnicas rigorosas, também é uma 
maneira da empresa se manter competitiva, já que hoje as condições de negócio 
são muito mais complexas, logo os profissionais responsáveis pela análise têm 
que compreender que lidam com a possibilidade de impactar a empresa tanto no 
presente quanto no futuro. 
Uma decisão pode ser definida como um curso de ação escolhido pela 
pessoa, como o meio mais efetivo à sua disposição, para alcançar os objetivos 
pretendidos, ou seja, resolver o problema que o incomoda. (Andrade, 2009, p. 2) 
Logo podemos entender que a decisão é um processo que ocorre no 
momento em que o problema foi identificado, em geral a partir do conhecimento 
dos sintomas dos problemas, logo esse processo se inicia com uma pessoa, ou 
com um grupo de pessoas que percebem os sintomas e em sequência iniciam 
uma fase de identificação do problema. 
 
Figura 23: O processo de tomada de decisão 
 
Fonte: 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ca
d=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjd_uCvxqjXAhWBF5AKHfg_Ag8QjRwIBw&url=htt
ps%3A%2F%2Fadmconecta.wordpress.com%2F2015%2F11%2F01%2Ftomad
a-de-
decisao%2F&psig=AOvVaw1nRDVJsdBv8E49xCs_1jM9&ust=1510009603479
382 
 
Analisando cada parte do quadro percebemos a identificação dos 
sintomas, é o momento em que identificamos a situação a ser resolvida, 
enquanto que a análise e diagnóstico da situação nos permite delinear o 
problema como um todo, o conjunto de alternativas que será tomado para a 
resolução do problema, deve ser feito por uma equipe multidisciplinar, que 
garanta uma observação dos diversos aspectos do problema. 
Na avaliação de alternativas é necessário que além da 
multidisciplinaridade seja considerado a experiencia dos participantes com o 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjd_uCvxqjXAhWBF5AKHfg_Ag8QjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fadmconecta.wordpress.com%2F2015%2F11%2F01%2Ftomada-de-decisao%2F&psig=AOvVaw1nRDVJsdBv8E49xCs_1jM9&ust=1510009603479382
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjd_uCvxqjXAhWBF5AKHfg_Ag8QjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fadmconecta.wordpress.com%2F2015%2F11%2F01%2Ftomada-de-decisao%2F&psig=AOvVaw1nRDVJsdBv8E49xCs_1jM9&ust=1510009603479382
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjd_uCvxqjXAhWBF5AKHfg_Ag8QjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fadmconecta.wordpress.com%2F2015%2F11%2F01%2Ftomada-de-decisao%2F&psig=AOvVaw1nRDVJsdBv8E49xCs_1jM9&ust=1510009603479382
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processo, de maneira a entender os custos das alternativas e finalmente chegar 
na escolha, implementação e monitoramento, quando o processo se reinicia 
caso seja necessário, ou caso a empresa esteja focada na melhoria contínua. 
Dentre esses processos analisados, cabe notar que a tomada de decisão 
é um processo sequencial, onde fatos anteriores baseiam a decisão, e em que