Cinemática angular - 1° ano

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Cinemática 
angular
Módulo: 1
Capítulo: 3
Página: 36 a 53
Espaço angular
Quando pontos materiais descrevem trajetórias circulares, podemos determinar suas
posições por meio de ângulos centrais 𝜑 (letra grega fi minúscula) em lugar do espaço s
(arco 𝑂𝑃 ) medido na própria trajetória (fig. 1). O espaço s permite determinar a posição P
do ponto material em cada instante; o ângulo A também localiza P e, por isso, é chamado
espaço angular. O espaço s é chamado espaço linear para diferenciar do espaço angular 𝜑.
Trabalharemos com ângulos em radianos. O arco s
relaciona-se com o ângulo 𝜑 em radianos pela
fórmula:
s = 𝜑R
(R é o raio de curvatura da trajetória do ponto
material)
De modo análogo às definições de velocidade escalar e aceleração escalar, definimos
velocidade angular 𝜔 (letra grega ômega minúscula) e aceleração angular 𝛾 (letra grega
gama minúscula). As grandezas angulares 𝜑, 𝜔 e 𝛾 compõem a cinemática angular, em
contraposição às grandezas lineares já estudadas s, v e 𝛼, que compõem a cinemática linear.
Velocidade angular
a) Velocidade angular média𝝎m
Seja 𝜑1 o espaço angular de um ponto material, num instante t1, e 𝜑2 o espaço angular,
num instante posterior t2 (fig. 2). No intervalo de tempo Δt = t2 – t1, a variação do espaço
angular é Δ𝜑 = 𝜑2 – 𝜑1. A velocidade angular média 𝜔m, no intervalo de tempo Δt, é, por
definição:
𝜔𝑚 =
Δ𝜑
Δ𝑡
b) Velocidade angular instantânea𝝎
A velocidade angular instantânea 𝜔 é o valor limite ao qual tende a velocidade
angular média, quando o intervalo de tempo Δt tende a zero (Δt→ 0):
𝜔 = lim
Δ𝑡 → 0
Δ𝜑
Δ𝑡
Medindo-se Δ𝜑 em radianos e Δ𝑡 em segundos, a velocidade angular (média e
instantânea) é medida em radianos por segundo (rad/s).
c) Relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular𝝎
De s1 = 𝜑1R e s2 = 𝜑2R, vem:
s2 – s1 = (𝜑2 – 𝜑1)R ou Δs = Δ𝜑R
Dividindo ambos os membros da última igualdade por Δt, resulta:
Δ𝑠
Δ𝑡
=
Δ𝜑
Δ𝑡
𝑅 ⟹ 𝑣𝑚 = 𝜔𝑚𝑅
Considerando o intervalo de tempo Δt tendendo a zero (Δt → 0), a igualdade anterior
se torna:
v = 𝜔𝑅
Aceleração angular
a) Aceleração angular média 𝜸m
Seja 𝜔1 a velocidade angular de um ponto material num instante t1 e 𝜔2 a
velocidade angular num instante posterior t2. No intervalo de tempo Δt = t2 – t1,
a variação da velocidade angular é Δ𝜔 = 𝜔2 – 𝜔1. A aceleração angular média
Dm no intervalo de tempo Δt é, por definição:
𝜸𝑚 =
Δ𝜔
Δ𝑡
b) Aceleração angular instantânea 𝜸
A aceleração angular instantânea 𝜸 é o valor limite ao qual tende a aceleração
angular média quando o intervalo de tempo Δt tende a zero (Δt→ 0):
𝛾 = lim
Δ𝑡 → 0
Δ𝜔
Δ𝑡
Medindo-se Δ𝜔 em radianos por segundo e Δ𝑡 em segundos, a aceleração angular
(média e instantânea) é medida em radianos por segundo ao quadrado (rad/s2).
c) Relação entre a aceleração escalar 𝜶 e a aceleração angular 𝜸
De v1 = 𝜔1R e v2 =𝜔2R, vem:
v2 – v1 = (𝜔2 – 𝜔1)R ou Δ𝑣 = Δ𝜔R
Dividindo ambos os membros da última igualdade por Δt, resulta:
Δ𝑣
Δ𝑡
=
Δ𝜔
Δ𝑡
𝑅 ⟹ 𝛼𝑚 = 𝛾𝑚𝑅
Considerando o intervalo de tempo Δt tendendo a zero (Δt → 0), a igualdade
anterior se torna:
𝛼 =𝛾𝑅
Podemos observar na tabela abaixo que a cada grandeza angular (espaço, velocidade e
aceleração) corresponde uma grandeza linear:
No estudo dos movimentos circulares é possível estabelecer uma relação entre grandezas
lineares, grandezas angulares e raio, de modo que as grandezas lineares correspondam às
grandezas angulares multiplicadas pelo raio.
Período e frequência
Dizemos que um fenômeno é periódico quando ele se repete, identicamente, em intervalos de
tempo sucessivos e iguais. O período (T ) é o menor intervalo de tempo da repetição do fenômeno.
Num fenômeno periódico, chama-se frequência (f) o número de vezes em que o fenômeno se repete
na unidade de tempo.
O período e a frequência se relacionam. Por regra de três simples e direta, temos:
Intervalo de tempo No de vezes em que o fenômeno se repete
(período) T ------------------- 1 vez
(unidade de tempo) 1 ------------------- f vezes (frequência)
Daí, temos: fT = 1
Portanto:
𝑓 =
1
𝑇
ou 𝑇 =
1
𝑓
Observe que a frequência é o inverso do período e vice-versa. O mesmo é válido para suas
unidades:
[T ] = s e [f ] = 
1
𝑠
= 1 s–1 = 1 Hz
O período T é o menor intervalo de tempo para o fenômeno se repetir; suas unidades
podem ser: segundo (s), hora (h), dia. A frequência f é o número de vezes em que ocorre o
fenômeno na unidade de tempo. Sua unidade é o inverso da unidade de tempo. Uma das
unidades mais utilizadas
de frequência é
1
𝑠
= 1 s–1 que é chamada hertz* (Hz). Assim, 1 s–1 = 1 Hz. O quilohertz (kHz)
corresponde a 1.000 Hz.
Como os fenômenos em estudo são periódicos, isto é, realizam ciclos ou rotações, é comum
nos referirmos à unidade hertz falando em ciclos por segundo (cps) ou rotações por
segundo (rps).
Outra unidade usual de frequência é rotações por minuto (rpm): 1 rpm = 60 rps.
Movimento circular uniforme (MCU)
No movimento uniforme, o ponto material percorre distâncias iguais em
intervalos de tempo iguais. No caso particular do movimento circular
uniforme (MCU), como a trajetória é circular, decorre que o intervalo de
tempo de cada volta completa é sempre o mesmo, isto é, de tempos em
tempos iguais o ponto material passa pela mesma posição.
Portanto, o MCU é um movimento periódico. Seu período (T) é o intervalo de
tempo de uma volta completa. O número de voltas na unidade de tempo é
sua frequência f:
𝑓 =
1
𝑇
A função horária do movimento uniforme é:
s = s0 + vt
Dividindo pelo raio:
𝑠
𝑅
=
𝑠0
𝑅
+
𝑣
𝑅
𝑡
Sendo 
𝑠
𝑅
= 𝜑, 
𝑠
0
𝑅
= 𝜑0 (espaço angular inicial) e 
𝑣
𝑅
= 𝜔, obtemos:
𝜑 = 𝜑0 + 𝜔𝑡
que constitui a função horária angular do MCU.
Adotando-se 𝜑0 = 0, quando o ponto material completa uma volta têm-se: 𝜑 = 2𝜋 rad e t =
T (período).
De 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔𝑡, vem:
2𝜋 = 0 + 𝜔𝑇 ⇒ 𝜔 =
2𝜋
𝑡
Sabemos que
1
𝑇
= 𝑓. Assim, obtemos:
𝜔 = 2𝜋𝑓
Como o movimento é circular e uniforme, sua aceleração vetorial é a aceleração centrípeta
acp. Seu módulo pode ser expresso em função da velocidade angular 𝜔:
𝑎𝑐𝑝 =
𝑣2
𝑅
=
(𝜔𝑅)2
𝑅
=
𝜔2𝑅2
𝑅
= 𝜔2𝑅 ⟹ 𝑎𝑐𝑝 =
𝑣2
𝑅
= 𝜔2𝑅
É importante associar as grandezas. Observe como, a partir da frequência f,
podem-se obter as demais grandezas.
De fato, de f obtêm-se: 𝑇 =
1
𝑓
, 𝜔 =
2𝜋
𝑇
, 𝑣 = 𝜔𝑅 e acp =
𝑣2
𝑅
Transmissão de movimento circular uniforme
É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas rodas, dois discos ou duas polias
empregando dois procedimentos básicos: encostando-os (fig. 5) ou ligando-os por uma correia ou
corrente (fig. 6). Em ambos os casos, costuma-se usar engrenagens cujos dentes se adaptam entre
si, quando em contato, ou se encaixam nos elos da corrente de ligação, para não haver deslizamento
ou escorregamento.
Na transmissão por contato há inversão no sentido do movimento, o que não ocorre na transmissão 
por corrente (ou correia). No entanto, as velocidades lineares dos pontos periféricos das duas rodas, 
em cada instante, têm o mesmo módulo em ambas as situações. Assim, considerando os pontos A e 
B destacados nas figuras 5 e 6, temos:
VA= VB
Os raios das rodas e, portanto, dos movimentos descritos pelos pontos A e B são
RA e RB, respectivamente. Sendo 𝜔A e 𝜔B as correspondentes velocidades
angulares, podemos escrever:
vA = 𝜔ARA e vB = 𝜔BRB
Mas, como vA = vB, obtemos:
𝜔ARA = 𝜔BRB
Portanto, as velocidades angulares das rodas são inversamente proporcionais aos
respectivos raios. Essa proporcionalidade inversa em relação aos raios vale
também para as frequências fA e fB, pois: 𝜔A = 2𝜋fA e 𝜔B = 2 𝜋 fB.
2𝜋fARA = 2𝜋fBRB⟹ fARA = fBRB
Exercícios do livro didático
17) Uma bicicleta tem acopladas, em sua engrenagem, uma coroa e uma catraca. Sabendo que a coroa
faz 10 voltas completas por segundo e que a catraca possui um raio 10 vezes menor, quantas voltas
esta executará no mesmo intervalode tempo?
18) Uma partícula desloca-se ao longo de uma circunferência de raio r ao mesmo tempo
em que outra partícula move-se em uma circunferência de diâmetro r. Sabendo que as
duas partículas estão com a mesma velocidade linear, qual a razão entre suas velocidades
angulares?
19) (UNIOEST-PR) A polia A de raio 10 cm esta acoplada à polia B de raio 36 cm por uma
correia, conforme mostra a figura. A polia A parte do repouso e aumenta uniformemente sua
velocidade angular à razão de 3,14 rad/s2. Supondo que a correia não deslize e que a polia B
parte do repouso, o tempo necessário para a polia B alcançar a frequência de 100 rpm será
de:
a) 1,91 s
b) 3,82 s
c) 12,00 s
d) 3,00 s
e) 3,60 s
20) (Fuvest-SP) Qual é a ordem de grandeza do número de voltas dadas pela
roda de um automóvel ao percorrer uma estrada de 200 km?
a) 102
b) 103
c) 105
d) 107
e) 109
21) As rodas dentadas A, B e C têm, respectivamente, 32, 64 e 96 dentes, como mostra a figura.
Sabendo que C, de raio 12cm, tem velocidade angular de 6 rad/s, a velocidade linear de um
ponto da periferia da roda B e a velocidade angular da roda A são, respectivamente:
a) 72 cm/s e 9,0 rad/s
b) 36 cm/s e 9,0 rad/s
c) 72 cm/s e 18 rad/s
d) 36 cm/s e 18 rad/s
e) 18 cm/s e 36 rad/s​
22) (Unicamp – SP) Considere um computador que armazena informações em um disco
rígido que gira a uma frequência de 120 Hz. Cada unidade de informação ocupa um
comprimento físico de 0,2μm na direção do movimento de rotação do disco. Quantas
informações magnéticas passam, por segundo, pela cabeça de leitura, se ela estiver
posicionada a 3 cm do centro de seu eixo, como mostra o esquema simplificado
apresentado abaixo? (Considere π ≈ 3.)
a) 1,62⋅106.
b) 1,8⋅106.
c) 64,8⋅108.
d) 1,08⋅108.
Até a próxima aula!