Guia de Estudos da Unidade 1 Matemática Financeira

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Matemática Financeira
UNIDADE 1
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UNIDADE 1
DICIPLINA: MATEMÁTICA FINANCEIRA
APRESENTAÇÃO
Sou Deyvison Seabra e será um enorme prazer está participando desse momento tão 
especial de sua vida: seu curso superior. 
Juntos estudaremos a disciplina matemática financeira, observe, no sumário do 
livro texto da disciplina: Matemática Financeira, que a matéria está dividida em 4 
unidades e que cada unidade tem seus temas e subtemas, é importante que você 
sempre acompanhe os conteúdos que serão abordados nos nossos guias de estudo 
utilizando seu livro texto e algumas ferramentas que serão utilizadas por você, para 
uma fácil aprendizagem dos conteúdos que serão abordados durante nosso curso. 
Tais ferramentas são: 
Calculadora – que você deve ter no seu computador ou até mesmo no seu celular, 
para cálculos mais simples de matemática básica.
Calculadora financeira HP 12C (que você irá utilizar com mais frequência a partir 
da unidade 2) – se você não possui essa calculadora financeira, você pode 
utilizar, sempre que necessário, um emulador dessa ferramenta através do link: 
https://epx.com.br/ctb/hp12c.php .
O Microsoft Excel (que você irá utilizar com mais frequência a partir da unidade 2) – 
planilha eletrônica com recursos aplicáveis à matemática financeira que você encontra 
no computador e que no decorrer do curso suas funções serão discutidas com uma 
maior profundidade.
Este guia deve servir para direcionar seus estudos. Além dele você terá o livro texto 
da disciplina. 
Vamos lá! Bons estudos!
 
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Para início do estudo da disciplina, sugiro que você faça uma leitura das páginas 2 a 
6 do seu livro texto, onde você encontrará uma breve introdução sobre matemática 
financeira que é um dos ramos da matemática que concederá a você ferramentas 
para análises de financiamentos e investimentos. Lá, você encontrará alguns 
conceitos básicos sobre juros, remuneração e taxa de juros importantes para um bom 
entendimento da disciplina e diagrama das operações financeiras que é uma boa 
maneira de representar, graficamente, uma operação simples que utiliza a matemática 
financeira.
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E DIAGRAMA DAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS
Talvez você já tenha escutado a expressão “Tempo é dinheiro”, nessa expressão 
temos dois objetos de estudo da matemática financeira: tempo e dinheiro. O dinheiro 
tem um custo associado ao tempo. Exemplo:
Se alguém lhe pedisse um certo valor emprestado, por exemplo R$ 2.000,00, para 
lhe pagar daqui a 6 meses, o que você pensaria a respeito dessa proposta? Antes de 
responder você poderia pensar em algumas situações, tais como:
- Será que irei receber na data prevista?
- Será que o poder de compra desses R$ 2.000,00 atualmente permanecerá o mesmo 
daqui a 6 meses?
- Se eu permanecer com esse dinheiro poderia satisfazer outras necessidades?
- Poderia aplicá-lo ganhando juros e rendimentos durante esse período?
Essas são questões que irão fazer você refletir sobre manter a posse desse dinheiro 
ou emprestá-lo.
Você não deixar de levar em consideração que sempre haverá o risco de não receber 
no tempo programado, que esse valor poderá ser mais útil para você hoje do que 
daqui a seis meses e a posse desse dinheiro pode permitir que você aproveite melhor 
oportunidades que podem surgirem como, por exemplo, investimentos mais lucrativos.
Elementos básicos da matemática financeira
Veja abaixo, elementos básicos da matemática financeira:
Capital Inicial (Valor presente) - É a quantidade de moeda que um indivíduo tem 
disponível e concorda ceder a outro, temporariamente, mediante determinada 
remuneração.
Juros - Equivalem ao aluguel do dinheiro. É o nome que se dá à remuneração paga 
para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe.
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Montante (Valor Futuro) - É o resultado da aplicação do dinheiro inicial, capital mais 
os juros.
Tempo - Corresponde a duração da operação financeira. 
O tempo, também conhecido como período, nem sempre corresponderá a partes 
inteiras do mesmo, exemplo: 
Suponhamos que você vai ter uma aplicação para receber juros mensal, mas se você 
receber esses juros em 2 meses e 10 dias, os dois meses são períodos inteiros mas 
os 10 dias serão parte de um mês, uma fração de um mês, assim chamamos de 
período fracionário.
Diagrama das operações financeiras
Tendo visto os elementos básicos da matemática financeira, você agora deve aprender 
uma boa maneira de representar, graficamente, uma operação simples que utiliza a 
matemática financeira: o diagrama das operações financeiras ou, como também é 
conhecido, diagrama de fluxo de caixa (Entradas e saídas de caixa).
Um diagrama de fluxo de caixa é simplesmente a representação gráfica numa reta, 
dos períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período.
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo do tempo, que pode ser expresso 
em dias, meses, anos, etc., na qual são representados os valores monetários, 
considerando-se a seguinte convenção: dinheiro recebido ↑ seta para cima e dinheiro 
pago ↓ seta para baixo.
EXEMPLO:
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
 
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve 
investimento inicial de R$ 1.000, pagamento de R$ 500 no terceiro ano, e que produz 
receitas de R$ 600 no primeiro ano, R$ 300 no segundo, R$ 900 no quarto e R$ 400 
no quinto ano.
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A importância do desenho e da interpretação de diagramas de fluxo de caixa é, em 
muitas ocasiões, fundamental na matemática financeira. Por exemplo:
- Você está interessado em comprar um tablet que custa à vista R$ 500,00 e 
pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 300,00 sendo 
a primeira parcela paga no ato da compra, ou seja, 1 + 1 de R$ 300,00. Qual é a 
taxa de juros mensal cobrada pela loja?
Resolução:
No exemplo acima, você pode estar pensando: “como o tablet, à vista, custa R$ 
500,00 e pode ser comprado a prazo em duas prestações de R$ 300,00, totalizando 
R$ 600,00, a taxa de juros cobrada pela loja é de 20%, pois estou pagando R$ 100,00 
a mais quando comparado com o valor do tablet à vista que é de R$ 500,00, ou seja 
100/500 = 0,20 = 20%”. Esse raciocínio não está correto, você deve lembrar que o 
juro é cobrado sobre o valor devido, no caso do exemplo acima, você pode utilizar o 
diagrama de operações financeiras para responder a questão. Veja abaixo:
 
Acima, observe que temos um diagrama de operações financeiras onde inicialmente, 
ou seja, na data zero, temos uma entrada de R$ 500,00 (seta para cima) que 
representa o valor do tablet à vista e temos uma saída de R$ 300,00 (seta para baixo) 
que representa o valor da primeira parcela paga no ato da compra (entrada), no mês 1, 
temos outra saída de R$ 300,00 (seta para baixo) que representa o valor da segunda 
parcela, encerrando a operação financeira.
Abaixo, para seu melhor entendimento, temos um diagrama de operações financeiras 
líquido:
 
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Observe que nesse diagrama de fluxo de operações financeiras líquido, você vê uma 
entrada de R$ 200,00 (seta para cima) que representa a diferença entre o valor do 
tablet de R$ 500,00 à vista e o valor da entrada que você pagou no ato da compra que 
é de R$ 300,00, ou seja, sua dívida com a loja é de R$ 200,00, pois você pagou R$ 
300,00. E 1 mês após a compra você desembolsará o valor da segunda parcela que 
é de R$ 300,00. Por tanto, você pagou R$ 100,00 a mais em relação a sua dívida que 
não é R$ 500,00, pois você deu uma entrada de R$ 300,00, e sim de R$ 200,00 que 
é, de fato, o saldo devido (R$ 500,00 – R$ 300,00), por tanto a loja está cobrando uma 
taxa de juros de 50%, ou seja, 100/200 = 0,50 = 50%.
Veja como o diagrama de operações financeiras facilita o entendimento das atividades 
financeiras.
Regimes de capitalização 
É muito comum você ouvir alguém falar que tá pagando muitojuro, ou que o juro está 
alto, que estão cobrando juro sobre juro, então isso leva a pessoa a pensar que nesse 
país só se usa juro sobre juro que é uma característica do regime de capitalização 
composto que você vai estudar a partir da unidade 2, então, você pode se questionar: 
pra que serve o juro simples, será que ele é utilizado?
Antes de começar a responder essa questão, você tem que saber o que significa 
capitalização. A capitalização é a transformação do dinheiro, ou seja, do capital. 
Então perceba que se você tem um capital aplicado numa caderneta de poupança, 
suponha que você deseja ser remunerado, ou seja, receber juro ao longo do tempo 
durante o qual esse capital está investido, capital, por tanto, é dinheiro, e como se 
calcula a remuneração, ou seja, o juro? Aplicando-se o percentual em cima desse 
capital. Por exemplo: 
- Emprestei R$ 200,00 ao meu amigo, com a promessa de receber juros de 10% ao 
mês e que esse pagamento ocorreria em um mês, quanto receberei do meu amigo?
Resolução:
Observe que calculando 10% de R$ 200,00 obtemos R$ 20,00 (0,10 x 200 = 20), por 
tanto receberei R$ 220,00.
Veja que na resolução do exemplo acima, houve uma transformação do meu capital, 
pois emprestei R$ 200,00 e recebi R$ 220,00, havendo assim uma capitalização.
Perceba que quando se fala no cálculo do juro, calculamos o percentual em cima 
do capital (10% de R$ 200,00) e veja que esse percentual só tem sentido se estiver 
associado ao tempo (10% ao mês). A partir do momento que calculamos o juro e 
somamos ao dinheiro aplicado, houve uma transformação do dinheiro aplicado, então 
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capitalizar é somar ao capital investido, o juro obtido na aplicação desse capital, ou 
seja, a capitalização é a transformação do capital investido. 
Diante do exposto acima, vamos iniciar o estudo sobre regime de capitalização simples, 
sugiro que você leia da página 6 à página 10 do seu livro texto, onde você encontrará 
conceitos e exemplos sobre regime de capitalização simples.
Regime de capitalização simples
Você observou anteriormente que a capitalização é a transformação do capital, no 
regime de capitalização simples (RCS), essa capitalização ocorre no final da aplicação 
e a taxa de juros incide sempre sobre o valor inicial da aplicação. Veja o exemplo 
abaixo:
- Desejo fazer uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 durante 3 meses a uma 
taxa de juros simples de 10% ao mês. Quanto receberei de montante no final da 
aplicação?
Resolução:
Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de 
aplicação. 
Os juros gerados no 1º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000. 
Os juros gerados no 2º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000. 
Os juros gerados no 3º mês são 10.000 x (0,10) = 1.000. 
No cálculo dos juros de cada mês, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Assim, 
o montante após 3 meses é R$ 13.000,00 (R$ 10.000,00 + R$ 3.000,00).
Assim, genericamente, os juros capitalizados por n períodos no regime de capitalização 
simples poderiam ser apresentados como:
J = VP . i . n
Onde:
J = juros
VP = valor presente 
i = taxa
n = nº de períodos da capitalização
Isso significa que o seu capital renderá mais juro, quanto maior for a taxa conseguida 
junto ao operador financeiro, claro que 4% é um rendimento menor do que 7%, desde 
que essas taxas estejam na mesma unidade de tempo, 4% ao ano e 7% ao ano. E o 
juro também será maior, se maior for o prazo de aplicação. Se você deixar seu dinheiro 
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numa caderneta de poupança durante quatro meses, vai receber juro equivalente a 
esses quatro meses, mas se deixar durante 1 ano, vai render muito mais juro do que 
se deixasse durante apenas quatro meses. Quanto maior a taxa maior o juro, quanto 
menor a taxa menor o juro, quanto maior o tempo maior o juro e quanto menor o tempo 
menor o juro, então isso quer dizer que são grandezas diretamente proporcionais, ou 
seja, se o tempo dobra, mantendo-se o capital e a taxa constantes, o juro também 
dobra, se a taxa triplica, mantendo-se o capital e o tempo, o juro triplica e assim 
sucessivamente. 
Veja, novamente o exemplo abaixo, agora utilizando para cálculo do juro a fórmula 
descrita acima.
- Desejo fazer uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 durante 3 meses a uma 
taxa de juros simples de 10% ao mês. Quanto receberei de montante no final da 
aplicação?
Resolução:
1º passo: Organize as informações.
VP = 10.000 i = 10% ao mês n = 3 meses
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses.
3º passo: Utilização da fórmula.
J = VP . i . n
J = 10000 . 0,10 . 3
J = 3.000
Veja que a taxa informada no texto é de 10% ao mês, mas para substituir na formula, 
você precisa transformar a taxa que está em forma percentual para forma decimal, por 
tanto 10% significa 10/100 = 0,10. 
4º passo: Cálculo do montante.
Para o cálculo do montante temos M = VP + J, ou seja, o montante é o capital mais o 
juro. Logo:
M = 10.000 + 3.000 = 13.000
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Então:
Se montante é capital mais juro (M = VP + J), lembre-se que juro é J = VP. i . n, então 
se no lugar de j você escrever VP. i . n e se colocar o VP em evidência , obteremos a 
fórmula geral da capitalização simples M = VP. (1 + i . n), que você pode observar na 
página 7 do seu livro texto. Muita atenção em duas coisas, ao substituir nessa fórmula 
dados numéricos para calcular o valor da incógnita, você precisa primeiro se lembrar 
do seguinte, uma taxa de 5% não é substituir na fórmula i por 5 e sim por 0,05, por que 
a taxa é igual a 5%, que significa 5 dividido por 100 (0,05). Ao substituir esse valor na 
fórmula, você deve mentalizar a que período essa taxa se refere, se por exemplo for 
5% ao mês, você deve ver se o período está relacionado a meses, por tanto, o valor 
de n ao ser substituído na fórmula, deverá ser também em meses, resumindo existe a 
necessidade observar essas duas grandezas, i e n (taxa e prazo) se a taxa é ao dia, 
n será fornecido em dias, se a taxa for fornecida em mês, n será fornecido em meses, 
se a taxa for fornecida em ano, n será fornecido em anos e assim sucessivamente. 
Veja, abaixo, outros exemplos:
- O valor de R$ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de 
um montante de R$ 300,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, 
calcule a taxa mensal da operação?
Resolução:
1º passo: Organize as informações.
VP = 200 i = ? n = 5 meses J = 100 (300 – 200)
Observe que o juro foi de R$ 100,00, pois a aplicação foi de R$ 200,00 e o montante 
de R$ 300,00, então houve uma remuneração de R$ 100,00, por tanto o juro é R$ 
100,00.
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses.
3º passo: Utilização da fórmula.
J = VP . i . n
100 = 200 . i . 5
100 = 1000 . i 
i = 1000/100
i = 0,1 = 10% ao mês
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Logo, para receber um montante de R$ 300,00 através de uma aplicação de R$ 200,00 
no regime de capitalização simples durante um prazo de 5 meses, a taxa mensal deve 
ser de 10%. 
- A quantia de R$ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de R$ 68,00 
feita a taxa de 2% a.m. no RCS. Qual a duração da operação? 
Resolução:
1º passo: Organize as informações.
VP = 68 i = 2 % a.m. n = ? meses J = 66 (134 – 68)
Observe que o juro foi de R$ 66,00, pois o capital foi de R$ 68,00 e o montante de R$ 
134,00, então houve uma remuneração de R$ 66,00, por tanto o juro é R$ 66,00.
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa está em meses por tanto o tempo será calculado em meses.
3º passo: Utilização da fórmula.
J = VP . i . n
66 = 68 .0,02 . n
66 = 1,36 . n 
n = 66/1,36
n = 48,53 meses
Logo, para receber um montante de R$ 134,00 através de uma aplicação de R$ 68,00 
no regime de capitalização simples, aplicado a uma taxa de2% ao mês, é necessário 
um prazo de, aproximadamente, 48,53 meses. Observe que o prazo não é um número 
inteiro de meses (período fracionário), então podemos transformar a parte decimal 
desse resultado para dias, veja abaixo:
48,53 meses = 48 meses e 0,53 mês.
Como um mês comercial tem 30 dias, podemos multiplicar 0,53 por 30, assim obtemos:
0,53 x 30 = 15,9 dias (16 dias), então:
O prazo é de 48 meses e 16 dias.
Veja o próximo exemplo:
- Calcule a que taxa mensal um capital de R$ 600,00 produziu juros simples de 
R$ 720,00 em 2 anos.
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Resolução:
1º passo: Organize as informações.
VP = 600 i = ? % a.m. n = 2 anos J = 720
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Observe que a taxa exigida como resposta é mensal e o período é anual (2 anos), por 
tanto, vamos transformar o tempo para a mesma unidade de medida da taxa exigida, 
sabendo que um ano tem 12 meses, então 2 anos tem 24 meses. 
3º passo: Utilização da fórmula.
720 = 600 . i . 24
720 = 14400 . i
i = 720/14400
i = 0,05 = 5% ao mês
Logo, para receber um juro de R$ 720,00 através de uma aplicação de R$ 600,00 
no regime de capitalização simples durante um prazo de 2 anos (24 meses), a taxa 
mensal deve ser de 5%. 
Para uma melhor compreensão do conteúdo que você estudará ainda nessa unidade: 
equivalência de capitais a juros simples, veja o próximo exemplo:
- Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a 
R$ 750,00 após cinco meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da 
operação?
Resolução:
1º passo: Organize as informações.
VP = ? i = 10 % a.m. n = 5 meses M = 750
Observe que o montante é de R$ 750,00, como não temos a informação “capital” não 
temos condições de determinar o juro dessa aplicação, então utilizaremos a fórmula 
do montante: M = VP . (1 + i . n)
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses, você pode prosseguir.
3º passo: Utilização da fórmula.
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M = VP . (1 + i . n )
750 = VP . (1 + 0,10 . 5)
750 = VP .(1 + 0,50)
750 = VP .1,50
VP = 750/1,50
VP = 500
Logo, para receber um montante de R$ 750,00 no regime de capitalização simples 
durante um prazo de 5 meses, a uma taxa mensal de 10%, é preciso uma aplicação 
de R$ 500,00. 
Agora, vamos estudar nosso próximo conteúdo.
Desconto Simples
Aluno(a), antes de iniciar o nosso próximo conteúdo, você deve saber que se você 
adquirir uma dívida, essa quantia deve ser paga numa data futura, é normal que você 
entregue ao credor um documento (título de crédito) que é o comprovante dessa dívida. 
Todo título tem uma data de vencimento, porém você pode resgatá-lo antecipadamente, 
obtendo com isso um desconto, ou seja, um abatimento dessa dívida.
Além disso, temos abaixo alguns termos utilizados nas operações com desconto, veja:
•	 Dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) 
da aplicação;
•	 Valor nominal (Valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor 
indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);
•	 Valor atual (valor descontado) é o líquido pago (ou recebido) antes do 
vencimento;
•	 Tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se 
negocia o título e o seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, 
então, incluindo o último e não o primeiro.
Assim:
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual.
Vamos utilizar o diagrama de operações financeiras para deixar mais claro o 
entendimento sobre a operação de desconto, veja abaixo:
 
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No diagrama a cima, o VP significa o valor presente que representa a dívida que 
está sendo adquirida na data zero, o M significa o montante (VP + J), ou seja, o valor 
presente acrescido de juro que deve ser pago até a data de vencimento, porém, se 
o pagamento dessa dívida for antecipado, o valor a ser pago pela dívida está sendo 
representado por Vd (valor descontado), que é maior que o VP, pois deve ser pago 
juro correspondente ao prazo até a data de antecipação e menor que o M, pois haverá 
desconto de juro pelo tempo que foi antecipado em relação ao vencimento. 
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (DESCONTO BANCÁRIO)
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, 
produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e a taxa 
fixada.
Chamando de:
DC - o valor do desconto comercial;
N - o valor nominal do título (valor futuro);
VD - o valor atual comercial ou valor descontado comercial;
n - o tempo;
i - a taxa de desconto.
Temos:
 DC = N x i x n que é o valor do desconto comercial.
VALOR ATUAL COMERCIAL OU VALOR DESCONTADO COMERCIAL
O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:
VD = N - DC
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Veja alguns exemplos:
1º Um título de R$ 8.000 vai ser descontado à taxa de 2% a.m. Faltando 2 meses para 
o vencimento do título, determine:
a) o valor do desconto comercial simples;
b) o valor atual comercial.
RESOLUÇÃO DO ITEM A:
1º passo: Organize as informações.
DC = ? i = 2 % a.m. n = 3 meses N = 8000
Observe que o montante da dívida é de R$ 8000,00, que está sendo representado 
pela letra N, ou seja, valor nominal do título.
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses, você pode prosseguir.
3º passo: Utilização da fórmula.
DC = N . i . n
DC = 8000 . 0,02 . 3
DC = 480
Isso significa que, se antecipar em 3 meses um título no valor de R$ 8.000,00, utilizando 
a modalidade de desconto comercial simples à uma taxa de 2% ao mês, o valor que 
deve ser descontado é de R$ 480,00. Ou seja, a dívida será diminuída em R$ 480,00.
RESOLUÇÃO DO ITEM B:
Para descobrir o valor atual (valor descontado), veja o resultado do item “a” e utilize a 
fórmula do valor atual:
VD = N - DC
VD = 8000 – 480
VD = 7520
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Utilizando o gráfico de operações financeiras, temos:
 
Isso significa que, se antecipar em 3 meses um título no valor de R$ 8.000,00, utilizando 
a modalidade de desconto comercial simples à uma taxa de 2% ao mês, o valor que 
deve ser descontado é de R$ 480,00. Ou seja, a dívida será diminuída em R$ 480,00, 
passando de R$ 8.000,00 para R$ 7.520,00.
2º Uma duplicata de R$ 10.500,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 
8.610,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial 
simples foi de 3% ao mês.
1º Passo: Organizar as informações.
N = 10500 VD = 8610 n = ? i = 3 % a.m. DC = 1890 (10500 – 8610)
Veja que nas informações da questão, não está explícito o valor do desconto comercial, 
porém, a questão traz a informação do valor do título (R$ 10.500) e traz também a 
informação do valor descontado (R$ 8.610), por tanto, há condições de encontrar o 
valor do desconto comercial fazendo uma simples subtração entre o valor do título e o 
valor descontado (R$ 10.500 – R$ 8.610), então DC = 1890.
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses, você pode prosseguir.
3º passo: Utilização da fórmula.
DC = N . i . n
1890 = 10500 . 0,03 . n
1890 = 315 . n
n = 1890 / 315
n = 6
 
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Utilizando o gráfico de operações financeiras, temos:
 
Isso significa que para pagar antecipadamente R$ 8.610,00 sobre um título que possui 
valor de R$ 10.500,00, obtendo assim um desconto de R$ 1.890,00, esse pagamento 
deve ser antecipado em 6 meses sobre uma taxa de desconto comercial simples de 
3% ao mês. 
Caro(a) aluno(a), observe que nos exemplos anteriores, o desconto foi sempre 
calculado sobre o valor nominal do título, por tanto chamado de desconto comercial 
simples. 
DESCONTO RACIONAL SIMPLES
O desconto racional é o equivalenteao juro produzido pelo valor atual do título numa 
taxa fixada e durante o tempo correspondente. 
No regime de capitalização simples, os juros sempre incidem sobre o valor aplicado 
inicialmente, então, as operações de desconto racional representam a aplicação 
da fórmula de capitalização simples, com o objetivo de encontrar o valor presente 
(montante).
Então, voltamos a fórmula:
 
Veja um exemplo:
1º Um título de R$ 8.000 vai ser descontado à taxa de 2% a.m. Faltando 2 meses para 
o vencimento do título, determine o valor do desconto racional simples e o valor atual 
do título.
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RESOLUÇÃO:
1º passo: Organize as informações.
VP = ? i = 2 % a.m. n = 3 meses N = 8000
Observe que o montante da dívida é de R$ 8000,00, que está sendo representado 
pela letra N, ou seja, valor nominal do título.
2º passo: Verifique se a taxa e o tempo estão na mesma unidade de medida.
Taxa e tempo estão em meses, você pode prosseguir.
3º passo: Utilização da fórmula.
 
 
 
 
 
VP = 7547,17
Isso significa que, se antecipar em 3 meses um título no valor de R$ 8.000,00, utilizando 
a modalidade de desconto racional simples à uma taxa de 2% ao mês, o valor do título 
será de R$ 7.547,17. Ou seja, será descontado juro de R$ 452,83 (8000 – 7547,17), 
respondendo assim a questão.
Comparando com o regime de capitalização simples, seria o mesmo em dizer que se 
aplicar hoje R$ 7.547,17 durante 3 meses à uma taxa de juros de 2% ao mês, o valor 
futuro (montante) seria de R$ 8.000,00. 
17
Analisando através do gráfico de operações financeiras, temos:
 
Por esse motivo, as operações de desconto racional representam a aplicação da fórmula 
de capitalização simples, com o objetivo de encontrar o valor presente (montante).
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES
Antes de prosseguir com a leitura desse guia, leia do seu livro texto as páginas 11 e 
12, onde você encontrará uma breve explicação, com exemplos, sobre equivalência 
de capitais a juros simples. Assunto este que será abordado a seguir.
A equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais quando descontados 
têm seus valores atuais iguais. No regime de capitalização simples essa data 
de comparação deve coincidir com a data zero. É importante especificar o tipo de 
desconto (comercial ou racional). No livro texto, a equivalência de capitais está sendo 
realizada através do desconto racional simples, que você teve a oportunidade de ver 
anteriormente, bem como teve a oportunidade de ver a outra modalidade de desconto 
aplicada chamada de desconto comercial simples. A equivalência está muito presente 
em situações como, por exemplo, renegociação de dívidas – a pessoa tem um débito, 
sabe que não poderá quitá-lo no prazo e, então, busca um acordo para o pagamento 
em outra data. Nesse caso, é preciso que o novo montante seja equivalente ao que 
seria pago se fossem cumpridas as disposições iniciais.
Veja o exemplo:
- Um título no valor nominal de R$ 7.000, com vencimento para 5 meses, trocado 
por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro simples no 
mercado é de 3% ao mês, qual o valor do novo título?
Resolução:
Pelo exposto no início desse conteúdo, partiremos da ideia que dois ou mais capitais 
têm seus valores atuais iguais, ou seja, valores presentes iguais, então fazendo uma 
comparação com o que foi abordado sobre montante, o valor nominal equivale ao 
montante e precisamos igualar os valores presentes dos dois títulos, utilizando a 
fórmula do montante você pode encontrar a fórmula para o valor presente, exemplo:
18
M = VP . (1 + i . n)
Logo:
 
Resolvendo o exemplo:
Dados do 1º título:
M1 = 7.000
n1 = 5 meses
i1 = 3% a.m.
Dados do 2º título:
M2 = x
n2 = 3 meses
i2 = 3% a.m.
como VP1 = VP2 temos:
 
, utilizando a propriedade matemática que diz que o produto 
dos meios é igual ao produto dos extremos, temos:
X . (1 + 0,03 . 5) = 7000 . (1 + 0,03 . 3)
X . (1 + 0,15) = 7000 . (1 + 0,09)
X . 1,15 = 7000 . 1,09
X . 1,15 = 7630
X = 7630 / 1,15
X = 6.634,78
Isso significa que um título cujo valor nominal é de R$ 7.000,00 reais com vencimento 
para daqui a 5 meses é equivalente, no regime de capitalização simples e uma taxa 
mensal de 3%, a um título de valor nominal de R$ 6.634,78 com vencimento em 3 
meses.
Você utilizar o diagrama de operações financeiras para verificar se esses dois títulos 
possuem o mesmo valor presente. Veja:
19
1º Título
 
2º Título
 
Observe que o título 1 que possui valor nominal de R$ 7.000,00 em 5 meses, quando 
trazido para data zero, seu valor presente é de R$ 6.086,96, o mesmo acontece com 
o título 2 que possui valor nominal de R$ 6.634,78 em 3 meses e valor presente de R$ 
6.086,96 no regime de capitalização simples.
Outro exemplo:
- Verifique se os fluxos de caixa 1 e 2 apresentados na tabela seguinte são 
equivalentes mediante o desconto racional simples a uma taxa igual a 10% ao 
mês na data focal zero.
Mês Fluxo de caixa 1
1 R$ 220,00
3 R$ 390,00
Mês Fluxo de caixa 2
2 R$ 120,00
4 R$ 560,00
Resolução:
Utilizando o diagrama de operações financeiras para a resolução do problema acima 
e maior facilidade de interpretação dos dados temos:
20
Fluxo de caixa 1
 
Somando os valores presentes do fluxo de caixa 1 temos:
R$ 200,00 + R$ 300,00 = R$ 500,00.
Fluxo de caixa 2
 
Somando os valores presentes do fluxo de caixa 2 temos:
R$ 100,00 + R$ 400,00 = R$ 500,00.
Resposta:
Se as somas dos fluxos de caixa apresentados foram iguais a R$ 500,00, então os 
fluxos de caixas são equivalentes, pois houve equivalência de capital na data zero.
No próximo item deste guia, você irá estudar sobre taxas de juros nominais e taxas de 
juros proporcionais.
TAXAS DE JUROS PROPORCIONAIS.
Duas taxas de juros que se referem a períodos diferentes no regime de capitalização 
simples são proporcionais quando resultam na mesma taxa quando trazidas para 
mesma unidade de tempo. 
EXEMPLO:
•	 Qual é a taxa mensal proporcional a uma taxa de 24% ao ano?
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RESOLUÇÃO:
Como um ano tem 12 meses, basta fazer uma simples divisão:
24 / 12 = 2
Por tanto, a taxa 2% ao mês é proporcional a taxa de 24% ao ano. Isso quer dizer que 
se você fizer uma aplicação no regime de capitalização simples a uma taxa de 2% ao 
mês você teria o mesmo rendimento aplicando o mesmo capital a uma taxa de 24% 
ao ano, Independentemente do prazo da aplicação. 
•	 Qual é a taxa semestral proporcional a uma taxa de 3% ao mês?
RESOLUÇÃO:
Como um semestre tem 6 meses, basta fazer uma simples multiplicação:
3 . 6 = 18
Por tanto, a taxa 18% ao semestre é proporcional a uma taxa de 3% ao mês. Isso quer 
dizer que se você fizer uma aplicação no regime de capitalização simples a uma taxa 
de 3% ao mês você teria o mesmo rendimento aplicando o mesmo capital a uma taxa 
de 18% ao semestre, Independentemente do prazo da aplicação. 
Olá! Chegamos ao final da nossa primeira unidade. Espero que você tenha entendido o 
significado de regime de capitalização simples, desconto simples comercial, desconto 
simples racional, equivalência de capitais no regime de capitalização simples e taxas 
proporcionais. 
Estudaremos na próxima unidade o regime de capitalização composto. Até mais!