Cálculo I_UI_Em construção (1)

Prévia do material em texto

1
Cálculo Aplicado – Uma Variável
Prof. Me. Francinaldo Florencio do Nascimento
f.nascimento@fpb.edu.br
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
http://www.desbravandoafisica.com.br/
2
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
✓ FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A.
São Paulo: Makron Books.
✓ SOUZA, J. Novo olhar matemática. São Paulo. FTD.
✓ PAIVA, M. Matemática. São Paulo. Moderna.
Referências Bibliográficas
➢ Bibliografia Básica
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
3
➢ 1ª UNIDADE_N1 (Peso 40%)
Funções Elementares (Lista1)
Limite e Continuidade (Lista2)
Derivadas e Aplicações (Lista3)
➢ 2ª UNIDADE_N2 (Peso 60%)
APS:Atividade Prática Supervisionada (Lista4)
Integral e Aplicações (Lista5)
Ementa da Disciplina
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Avaliação (2,5 pontos)+Nivelamento (1,5 pontos)
Avaliação (5,4 pontos)
+
APS (0,6 pontos)
http://www.desbravandoafisica.com.br/
4
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
http://www.desbravandoafisica.com.br/
5
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Cap. 1: Funções Elementares
http://www.desbravandoafisica.com.br/
6
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
✓ 1.1 Função Afim
✓ 1.2 Função Quadrática
✓ 1.3 Função definida por mais
de uma sentença
✓ 1.4 Função Modular
✓ 1.5 Função Exponencial
✓ 1.6 Função Logarítmica
Seções de estudo
Fonte: Descomplica
http://www.desbravandoafisica.com.br/
7
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
➢ Objetivo de Aprendizagem:
✓ Revisar Funções
✓ Esboçar gráficos de funções reais de variáveis reais.
Fonte: MicroPower
http://www.desbravandoafisica.com.br/
8
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
1.1 Função Afim ou função do 1° grau
http://www.desbravandoafisica.com.br/
9
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Contextualização: A temperatura interna de
um forno elétrico era 30ºC. Quando o forno foi
ligado, a temperatura passou a aumentar 10ºC
por minuto, até atingir 80°C. Em quanto tempo
esse forno atingiu 80°C?
Contextualização
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
10
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Definição: Toda função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 números reais, mas 𝑎 ≠ 0, é
denominada função afim onde a é o coeficiente angular (declividade da reta) e b é o
coeficiente linear (ponto onde a reta corta o eixo y). O gráfico da função afim é sempre uma
RETA.
Exemplos: Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear das funções abaixo:
➢ 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 3
➢𝑓 𝑥 = −2𝑥 − 7
➢𝑓 𝑥 =
𝑥
3
+
2
5
➢𝑓 𝑥 = 11𝑥
Função Polinomial do 1º Grau ou função Afim
http://www.desbravandoafisica.com.br/
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
11
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Zero da Função Afim
✓ É todo número x cuja imagem é nula, isto é,
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 0.
✓ Dessa forma, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equação do 1º grau
✓ OBS: Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a 
abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x.
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
12
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
➢ Pontos de intersecção do gráfico da função afim com os eixos coordenados
✓ O gráfico da função afim intercepta o eixo Ox no ponto (−
𝑏
𝑎
; 0).
✓ O gráfico da função afim intercepta o eixo Oy no ponto (0, 𝑏).
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
13
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Definição: É uma função afim com 𝑏 = 0, isto é, 𝑦 = 𝑎𝑥. O gráfico sempre passará na
origem. Os valores correspondentes das variáveis x e y são diretamente proporcionais.
Função Linear
Exemplos :
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙
𝒇 𝒙 = −𝟑𝒙
𝒇(𝒙) =
𝒙
𝟐
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
14
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
✓ É uma função linear (b=0) com 𝑎 = 1,
isto é,𝑓(𝑥) = 𝑥.
✓ O gráfico da função identidade é uma reta
que passa pela origem (0,0).
✓ A reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou
seja, divide os quadrantes em dois ângulos
iguais.
Função Identidade
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
https://www.todamateria.com.br/bissetriz/
15
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Definição: É uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏, isto é, com 𝑎 = 0.
Função Constante
Exemplos :
𝑓(𝑥) = 4
𝑓(𝑥) = −3
𝑓(𝑥) =
1
2
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
16
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Análise da Função Afim
✓ A taxa de variação da função afim 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏 é a constante 𝑎, não nula, obtida da
seguinte maneira:
➢ Taxa de variação
OBS: Se duas funções afins têm a mesma taxa de 
variação, então as retas que as representam são 
paralelas. Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
17
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
➢ Para o caso de uma função linear 𝑦 = 𝑐𝑥, 𝑐 é chamado de tangente do ângulo 𝜶 , que a
reta forma com o sentido positivo do eixo x e é denotado por 𝑐 = 𝑡𝑔𝛼. Ele caracteriza a
inclinação da reta e, por isso, é denominado também de coeficiente angular da reta.
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
18
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
➢ 𝑎 > 0 ⇒ Função Crescente (inclinação para direita)
➢ 𝑎 < 0 ⇒ Função Decrescente (inclinação para esquerda)
➢ Crescimento e decrescimento
➢ Estudo do Sinal da Função
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
19
Vamos praticar!!!
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
20
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Construa o gráfico das funções abaixo:
1ª Questão
a) 𝑦 = 3𝑥 − 6
b) 𝑦 = −2𝑥 + 4
c) 𝑦 = 2𝑥 − 1
d) 𝑦 = −𝑥
e) 𝑦 = −3
http://www.desbravandoafisica.com.br/
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+3x-6
21
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Resolva analítica e graficamente o sistema de equações:
2ª Questão
a) ቊ
𝑥 − 𝑦 = −3
2𝑥 + 3𝑦 = 4
b) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
c) ቊ
3𝑥 − 2𝑦 = −14
2𝑥 + 3𝑦 = 8
d) ቊ
2𝑥 + 5𝑦 = 0
3𝑥 − 2𝑦 = 0
http://www.desbravandoafisica.com.br/
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x-y%3D-3%2C+2x%2B3y%3D4
22
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos:
3ª Questão
a) (1, 2) e (3, -2)
b) (1, -1) e (-1, 2)
c) (1, 2) e (2, 2)
d) (3, -2) e (2, -3)
http://www.desbravandoafisica.com.br/
23
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
a) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto: (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
4ª Questão
b) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto: (-2, 4) e tem coeficiente angular igual a -3.
c) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto: (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4.
d) Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto (-3, -2).
http://www.desbravandoafisica.com.br/
24
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
5ª Questão
Determine a raiz de cada uma das funções de R em R dadas pelas seguintes leis:
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 6
b) 𝑓 𝑥 =
3𝑥−4
2
𝑐) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 10
http://www.desbravandoafisica.com.br/
25
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
A água potável utilizada em propriedades rurais, de modo
geral, é retirada de poços com o auxílio de uma bomba-d’água
elétrica. Em certo sítio, para abastecer o reservatório de água, é
utilizada bomba-d´água com capacidade para bombear 15 L
por minuto. Essa bomba é ligada automaticamente quando o
reservatório está com 250 L de água e desligadaao enchê-lo.
6ª Questão
http://www.desbravandoafisica.com.br/
26
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Com essas informações, podemos escrever uma fórmula que permite calcular a quantidade de água
contida no reservatório em função do tempo em que a bomba permanece ligada, considerando que
não haja consumo de água durante esse período. Calcular a quantidade de água no reservatório 25
minutos após a bomba entrar em funcionamento.
http://www.desbravandoafisica.com.br/
27
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Para construir uma estrada, uma empresa cobra uma taxa fixa e uma taxa que varia de acordo com
o número de quilômetros de estrada construído. O gráfico descreve o custo da obra, em milhões de
dólares, em função do número de quilômetros construídos.
a) Obter a lei y = f(x), que determina esse gráfico.
b) Determinar a taxa fixa cobrada pela empresa para a
construção da estrada.
c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a estrada
terá 50 km de extensão?
7ª Questão
http://www.desbravandoafisica.com.br/
28
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 90000,00 e, com quatro anos de uso, passa a ser R$
40000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro
com um ano de uso é? Construa o gráfico da reta.
Determine :
a) Os valores de a e b;
b) A raiz da função.
8ª Questão
http://www.desbravandoafisica.com.br/
29
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
1.2 Função Quadrática ou função do 2°
grau
http://www.desbravandoafisica.com.br/
30
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Contextualização
Uma pedra é laçada verticalmente para cima. Um segundo após o lançamento, a pedra atingi 5
metros de altura e começa a descer. A lei que decresce a altura h, em metro, em relação ao tempo t,
em segundo, é do tipo ℎ 𝑡 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡, com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0.
.
a) Determine a lei dessa função.
b) Qual é a altura da pedra 2 segundos após o lançamento?
c) Construa o gráfico correspondente a essa situação.
d) Compare o tempo de subida com o tempo de descida da pedra. O que você pode concluir?
http://www.desbravandoafisica.com.br/
31
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Definição: É toda função do tipo:
Exemplos: Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear das funções abaixo:
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 5, 𝑎 = 2, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = 5
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = −1
𝑓 𝑥 = −4𝑥2, 𝑎 = −4, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0
Função Quadrática
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
em que a, b e c são números reais e 𝑎 ≠ 0.
http://www.desbravandoafisica.com.br/
32
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
O gráfico de toda função quadrática é uma parábola com eixo de simetria vertical.
Gráfico da Função Quadrática
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
33
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Zeros da função do 2º Grau
Chamam-se raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau, o números reais x tais que 𝑓 𝑥 = 0.
✓ Dessa forma, para determinarmos os zeros da função quadrática, basta resolver a equação do 2º
grau.
✓ A fórmula que permite obter as raízes de uma função quadrática é chamada fórmula de
Báskara.
OBS: Podemos interpretar os zeros da função quadrática, como sendo os pontos de intersecção da 
parábola com eixo Ox.
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
http://www.desbravandoafisica.com.br/
34
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Zeros da função do 2º Grau
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
35
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Ponto de Intersecção com eixo Oy
Para obter o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy, atribuímos o valor zero à variável x na
função do 2º grau.Assim, o valor c representa o ponto de intersecção com o eixo Ou, i.é, (0, c).
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
36
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Coordenadas do vértice da parábola
✓ Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para
cima e um ponto de mínimoV.
✓ Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para
baixo e um ponto de máximoV.
𝑉 = −
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
Fonte: Livro da Moderna Plus
http://www.desbravandoafisica.com.br/
37
Vamos praticar!!!
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Fonte: Google Imagens
http://www.desbravandoafisica.com.br/
38
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
A partir do esboço da função do 2º grau abaixo, pode-se concluir que:
1ª Questão
http://www.desbravandoafisica.com.br/
39
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Determinar os zeros reais das funções abaixo:
2ª Questão
a) 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2
b) 𝑦 = −𝑥2 + 7𝑥 − 12
c) 𝑦 = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2
d) 𝑦 = −5𝑥2
e) 𝑦 = −3𝑥2 + 6
f) 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥 − 4
http://www.desbravandoafisica.com.br/
40
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das
funções abaixo, definidas em R.
3ª Questão
a) 𝑦 = 2𝑥2 + 5𝑥
b) 𝑦 = −3𝑥2 + 12𝑥
c) 𝑦 = 4𝑥2 − 8𝑥 + 4
d) 𝑦 = −𝑥2 + 5𝑥 − 7
e) 𝑦 = −
𝑥2
2
+
4
3
𝑥 −
1
2
http://www.desbravandoafisica.com.br/
41
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
Fazer o esboço do gráfico das funções abaixo:
4ª Questão
a) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
b) 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 4
c) 𝑦 =
𝑥2
2
+ 𝑥 + 1
d) 𝑦 = 𝑥2
e) 𝑦 = −𝑥2 + 1
f) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
http://www.desbravandoafisica.com.br/
42
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
(Unicamp-SP) Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu
arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua
distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e
da altura são fornecidos na tabela a seguir. Seja 𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 a função que descreve a
trajetória (parabólica) do peso.
5ª Questão
a) Determine os valores de a, b e c.
b) Calcule a distância total alcançada pelo peso 
nesse arremesso.
http://www.desbravandoafisica.com.br/
43
Prof. Francinaldo Florencio: www.desbravandoafisica.com.br
http://www.desbravandoafisica.com.br/