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ESCOLA ESTADUAL LICEU CUIABANO MARIA DE ARRUDA MULLER APOSTILA – MATEMÁTICA – 2° ANO DETERMINANTES CUIABÁ, OUTUBRO DE 2020. DOCENTES: ÁLVARO POLIDO CARDOSO ANNELISE SEBBEN MARIONEY LUCIO NASCIMENTO ABREU MARIVALDA DE FÁTIMA FERREIRA GOMES DISCENTE: 1 SUMÁRIO SUMÁRIO .............................................................................................................................................. 1 1. DETERMINATES ............................................................................................................................ 2 1.1 CONCEITO DE DETERMINATES ............................................................................................. 2 1.2 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 ............................................................................. 2 1.3 DETERMINANTES DE MATRIZES DE ORDEM 2 ...................................................................... 2 1.4 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3 ............................................................................. 2 • Regra de Sarrus ...................................................................................................................... 2 1.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .................................................................................................... 3 1.6 DETERMINANTES DE ORDEM 𝒏 ≥ 𝟐 ..................................................................................... 3 1.6.1 Menor Complementar (Dij) ............................................................................................... 3 1.6.2 Cofator de uma matriz (Cij) .............................................................................................. 3 1.6.3 Teorema de Laplace ........................................................................................................ 3 2. LISTAS ........................................................................................................................................... 4 2.1 LISTA 1 ................................................................................................................................... 4 2.2 LISTA 2 ................................................................................................................................... 4 3. ATIVIDADE AVALIATIVA ................................................................................................................ 6 4. REFERÊNCIAS ............................................................................................................................... 7 5. ORIENTAÇÕES PARA A ENTREGA DAS ATIVIDADES ................................................................... 7 2 1. DETERMINATES 1.1 CONCEITO DE DETERMINATES O determinante de uma matriz possui várias aplicações atualmente. Utilizamos o determinante para verificar se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre outras aplicações na matemática. O estudo de determinantes não se limita à matemática, há algumas aplicações na física, como no estudo de campos elétricos. Calculamos determinantes somente de matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que a quantidade de colunas e a quantidade de linhas são iguais. Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente. No entanto, há métodos importantes realizar-se o exercício, como a regra de Sarrus, utilizada para calcular-se determinantes de matrizes 3x3. 1.2 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo. A = (a11) det(A) = | a11 | = a11 Exemplo: A = [2] det(A) = |2| = 2 Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é necessário então apenas conhecer o seu único elemento. 1.3 DETERMINANTES DE MATRIZES DE ORDEM 2 A matriz quadrada 2x2, conhecida também como matriz de ordem 2, possui quatro elementos, nesse caso, para calcular o determinante, é necessário conhecermos o que é a diagonal principal e a diagonal secundária. Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será: Exemplo: 1.4 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3 Nela é necessário utilizar o que conhecemos como regra de Sarrus. • Regra de Sarrus A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, conforme o exemplo a seguir. Agora vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal. Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela. 1.2 CONCEITO DE MATRIZ. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz.htm https://brasilescola.uol.com.br/matematica/subtracao.htm https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm 3 Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária. Exemplo: 1.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. (Vunesp) Considerando as matrizes A e B, determine o valor de det(A·B): a) -1 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 Resolução Alternativa E 02. Dada a matriz A, qual deve ser o valor de x para que det(A) seja igual a 0? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/9 d) 3 e) 9 Resolução Alternativa B 1.6 DETERMINANTES DE ORDEM 𝒏 ≥ 𝟐 Determinantes de ordem n 2 Para o cálculo de tais determinantes, precisamos definir alguns conceitos fundamentais. 1.6.1 Menor Complementar (Dij) É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado. 1.6.2 Cofator de uma matriz (Cij) Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Cij = (-1) i+ j . Dij, em que Dij é o menor complementar. 1.6.3 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A, de ordem n 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 4 2. LISTAS 2.1 LISTA 1 1) Calcule o determinante abaixo usando a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace: 212 112 321 −− − − . 2) Calcule o determinante da matriz −− −− = 1352 0321 0024 4321 A . 3) Calcule o valor dos determinantes a seguir: a) 32 51− d) 325 430 221 −− −− b) 351 02 c) 931 407 213 − 4) Calcule o determinante da matriz A, sendo A uma matriz quadrada de ordem 2, definida por jiaij .2 2 += : 5) Para que valor de K a matriz + − K K 21 11 tem determinante nulo: 6) Calcule os valores de x que tornam iguais os determinantes das matrizes − − 532 321 0 e 3 22 2xx x x 7) Calcule o determinante abaixo, desenvolvendo-o pela 2ª linha: 1110 1101 1011 dcba 8) Dadas as matrizes: ,, = −= = 100 010 5432 101 e 01 11 10 21 12 x x x C x x x B x x A calcule o valor de x para que se tenha CBA detdetdet =+ . 9) Resolvaas equações: a) 0 12 1 2 =+xx x b) 0 41 1 111 = x xx Calcule ( ) : 43 22 11 e 03 11 32 , de a transpostmatriz a :sendo , det −= − = BA AABA tt 2.2 LISTA 2 1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes: 5 a) A= 83 3,0 2 1 b) A= .jia onde ,a ij2x2ij += 2) Calcular o valor de Rx na igualdade 34 33 +x x =0 3) O conjunto solução de 1x 11 1x 11 11 x1 = é: a) 1x|Rx b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 4) Determinar a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz A= − − − 2 2 1 0 1 4 1 23 . 5) Dada a matriz A= − − −−− 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 . Calcule A , conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A. 6) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace: a) 987 654 321 b) 0010 1000 2002 3110 7) O determinante 0 300 2 10 0 21 10 0 − − − x x x representa o polinômio: a) 1x 2 + b) 1x 2 −− c) 1x3 2 − d) )1x(3 2 + e) )1x)(1x(3 −+ 8) (Fuvest – SP) O determinante da matriz ab ba , onde xxxx ee2b e eea2 −− −=+= é igual a: a) 1 b) –1 c) xe d) xe− e) 0 9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 081 112 15,03,0 3 2 1 20 − − − 10) Sendo A= 231 210 032 , calcule: a) det A b) det tA 11) Calcular x na igualdade 0 31 31 101 = − x x 12) Calcular x na igualdade 0 964 32 111 22 = +− − xxx xx 13) Sendo A= −− −− 164278 11694 1432 1111 , calcular det A. 14) Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes justificando os valores obtidos: a) − − 152 311 243 b) 1302 2804 4903 5102 − c) 3201 81264 3124 4632 −− − −− 6 d) 5000 3400 9230 5421 − −− −− e) = − ++−+ − 431 220 100 17218 134 892 097 022 043 54827 723428 184255 15) (MACK-SP) Se = 4x b1 y3 2a , A= yx ba e B = tA , então det(A.B) vale: a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4 16) (FAAP-SP) Dada a matriz A= − 30 21 , calcule o determinante da matriz inversa de A. 17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: a) A= − 23 10 b) B= − 207 135 064 3. ATIVIDADE AVALIATIVA 01. O determinante da matriz A = | 2 3 𝑙𝑜𝑔102 −2 √8 |é: a) 4. (√2 + 1) b) √2 +3 c) 4. ( √2 3 + 1) d) 2√3 + 4 e) -5 02. O determinante da matriz B = | 2 1 −1 0 1 2−1 1 −1 1 | é: a) 1 2 b) 3 2 c) 5 2 d) 7 2 e) 9 2 03. O determinante da matriz C = | 𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 𝑠𝑒𝑛 𝜋 6 | é: a) √3 2 b) √3 3 c) √3 4 d) √3 5 e) √3 6 04. O determinante da matriz D = | 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 | é: a) ab + cd b) ae – bd c) bd – ae d) ae + bd e) ab – de 05. O valor do determinante| 3 5 −4 12 | é: a) 56 b) 16 c) -16 d) – 56 e) 0 06. Dada a matriz A = | 1 5 6 3 6 9 −4 0 −4 |, então o determinante é igual a: a) -48 b) 76 c) 0 d) -408 e) 408 07. (Mack – SP) Sendo A = (𝑎𝑖𝑗 ) uma matriz quadrada de ordem 2 e 𝑎𝑖𝑗 = j - 𝑖 2, o determinante da matriz A é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 08. (PUC-MG) Considere as matrizes A = [ 2 −1 0 1 −2 2 ] e B = [ 0 1 2 1 2 1 ]. O valor de det (A.B) é: a) -6. b) -4. c) 0. d) 4. 09. (FEI-SP) Dada a matriz A = [ 2 3 −1 2 ], 𝐴𝑡 sua transposta, o determinante da matriz A𝐴𝑡 é: a) 1. b) 7. c) 14. d) 35. e) 49. 7 10. (FESP) Dada a equação [ 2𝑥 −1 2 3 5𝑥 1 2 5 −1 ] = 45, o seu conjunto de solução é: a) {1,2} b) {3,2} c) {−1,2} d) {1, −2} e) {−1, −2} 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 A B C D E 4. REFERÊNCIAS BRASIL ESCOLA. Determinantes. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes- 1.htm. Acesso em 23 de setembro de 2020. 5. ORIENTAÇÕES PARA A ENTREGA DAS ATIVIDADES • A entrega das listas de exercícios deve ser feita da seguinte forma: respostas em folha A4, feitas à mão e constando todos os desenvolvimentos das questões. Organização é um ponto fundamental para a verificação de aprendizagem. • Listas sem desenvolvimento não serão consideradas no processo avaliativo. • Material entregue fora do prazo não será considerado no processo avaliativo e nem será contabilizada frequência do período correspondente. • Especificar a identificação de cada lista. • Preencher o gabarito na Atividade Avaliativa e anexar o desenvolvimento das questões. • Materiais a serem entregues: LISTA 1 e LISTA 2 e ATIVIDADE AVALIATIVA. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm
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