Análise combinatória: apostila para acompanhar as aulas que estão disponíveis nesta lista

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pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
 
Seja n um número natural, 2.n  Define-se o fatorial de n, 
que indicamos n!, como o produto dos números naturais 
consecutivos n, n – 1, n – 2, ..., 1, isto é: 
! .( 1).( 2). ... 2.1n n n n= − − 
Ex01: Calcule: 
a) 5! 
 
b) 6! 
 
 
Obs 01: ! ( 1)!n n n= − 
 
Ex02: Simplifique: 
a) 
7!
4!
 
 
b) 
4! 5!
4!
+
 
 
c) 
( 1)!
!
n
n
+
 
 
d) 
! ( 1)!
( 2)!
n n
n
+ −
−
 
 
e) 
( 2)! ( 1)( 1)!
( 1)( 1)!
n n n
n n
+ + + −
+ −
 
 
 
 
 
Obs 02: 1! = 1 e 0! = 1. 
Ex03: Resolva as equações: 
a) (3 2)! 1x − = 
 
 
 
 
 
b) 
( 1)!
6
( 1)!
n
n
+
=
−
 
 
 
 
 
Ex04: (UFC) Se n é um número inteiro positivo, determine o 
valor de n que satisfaz: 
2 49
! 1 ! 2 ! 3 ... !
2
n n
n n n n n
+
+ + + + + + + + = 
 
a) 24 
b) 4 
c) 6 
d) 3 
e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: (CESGRANRIO) Se 
2!( 1)
( 1)!
n n
an n
−
=
+
, então 
1984a é igual 
a: 
a) 1
1985
 
b) 1984 
c) 1983 
d) 
2
1985
1984 1−
 
e) 
21984 1
1984
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: (FUR-RN) O conjunto solução da equação 
(x 2)! x!
3!.x! (x 1)!
+
=
−
 
é: 
 
a) {1, 2} 
b) {0, 3} 
c) {1, 3} 
d) {2, 3} 
e) {0, 2} 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Aula 01: Fatorial 
 
pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
Ex07: A expressão E = 2.4.6.8. ... .(2n) é igual a: 
 
a) (2n)! 
b) 2n.n! 
c) (n + 2)! 
d) (2n - 1.n)! 
e) (4n)! 
 
 
 
 
 
 
 
Ex08: Exprimindo mediante fatoriais a expressão E = 1.3.5. ... 
.(2n - 1) obtemos: 
 
a) 
n!.2
(2n)!
n
 
b) (2n - 1)! 
c) (2n - 1)! 
d) 
n2
n!
 
e) n! 
 
 
 
 
 
 
Ex09: (FUVEST) O valor de m na expressão 9.(2m)! = 
2m.m!.1.3.5.7. ... .(2m + 1) é igual a: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
Ex10: Simplificando a expressão 





−−
n
1
12)!..(nn 2 para n ≥ 
2 obtemos: 
a) 0 
b) 1 
c) n! 
d) (n - 1)! 
e) (2n)! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex11. (EsPCEx-15) A solução da equação 
3!(𝑥−1)!
4(𝑥−3)!
=
182(𝑥−2)!−𝑥!
2(𝑥−2)!
 
é um número natural 
a) maior que nove 
b) ímpar 
c) cubo perfeito 
d) divisível por cinco 
e) múltiplo de três 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se um evento é composto de n etapas sucessivas e 
independentes de tal forma que: 
➢ p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa ocorrer; 
➢ p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa ocorrer; 
➢ p3 é o número de possibilidades da 3ª etapa ocorrer; 
... 
➢ pn é o número de possibilidades da enésima etapa ocorrer. 
Então o número de possibilidades do evento ocorrer é dado por: 
p = p1.p2.p3. ... pn 
 
 
Ex01: Considerando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6 e 8, determine: 
a) A quantidade de números de três algarismos que podemos 
formar; 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 02: Princípio Fundamental da Contagem 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
b) A quantidade de números de três algarismos distintos que 
podemos formar; 
 
 
 
c) A quantidade de números pares de três algarismos que 
podemos formar; 
 
 
d) A quantidade de números ímpares de três algarismos que 
podemos formar; 
 
 
e) A quantidade de números pares de três algarismos distintos 
que podemos formar; 
 
 
f) A quantidade de números ímpares de três algarismos distintos 
que podemos formar 
 
 
 
Ex02: Resolva o Ex01 considerando os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: (OBM) Num relógio digital, as horas são exibidas por 
meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 
sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta 
um minuto para meia noite. Quantas vezes por dia os quatro 
algarismos mostrados são todos pares? 
a) 60 
b) 90 
c) 105 
d) 180 
e) 240 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (ENEM) A bandeira de um estado é formada por cinco 
faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura 
 
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou 
amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não 
sejam pintadas com a mesma cor. 
O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa 
bandeira, com a exigência acima, é 
a) 1 2 1 1 2    
b) 3 2 1 1 2    
c) 3 2 1 1 3    
d) 3 2 1 2 2    
e) 3 2 2 2 2    
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: Quantos números de 3 algarismos possuem pelo menos 
um algarismo igual a 2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 
exemplares iguais da revista B e 10 exemplares iguais da revista 
C. Quantas coleções não vazias de revista dessa banca é possível 
formar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
Ex07: (PEIES) Uma função f: A→B, de domínio A e 
contradomínio B, é injetora, se os elementos distintos de A 
tiverem imagens distintas em B, isto é, se x1 x2 em A, então 
f(x1) f(x2) em B. Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, o 
número máximo de funções injetoras f:A→B é: 
a) 20 
b) 20! 
c) 24 
d) 120 
e) 4!5! 
 
Ex08: Cada linha telefônica de uma cidade é identificada por 
uma sequência de sete algarismos, com os três primeiros não-
nulos e distintos entre si, podendo haver repetição dentre os 
demais algarismos. A partir do próximo mês, cada linha será 
identificada por uma sequência de oito algarismos, com os três 
primeiros não-nulos e distintos entre si, podendo haver repetição 
dentre os demais algarismos. Com essa mudança, o acréscimo no 
número de linhas telefônicas dessa cidade será: 
a) 504 x 105 
b) 729 x 105 
c) 5.040 
d) 504 x (105 - 104) 
e) 729 x (105 - 104) 
 
 
Ex09: (Vunesp) Um turista, em viagem de férias pela Europa, 
observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia 
três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B a outra cidade C, 
havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos 
diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando 
pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mas 
em qualquer ordem, é: 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
 
 
Ex10: (U.Gama Filho-RJ) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, 
quantos múltiplos positivos de 5 composto de três algarismos 
distintos podemos formar? 
a) 32 
b) 36 
c) 40 
d) 60 
e) 72 
 
 
Ex11. (EsPCEx-06) Um tabuleiro possui 16 casas dispostas em 
4 linhas e 4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível 
colocar 4 peças iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada 
linha e em cada coluna, seja colocada apenas uma peça? 
a) 4096 
b) 576 
c) 256 
d) 64 
e) 16 
 
12. (EsPCEx-08) Para se ter acesso a um arquivo de 
computador, é necessário que o usuário digite uma senha de 5 
caracteres, na qual os três primeiros são algarismos distintos, 
escolhidos de 1 a 9, e os dois últimos caracteres são duas letras, 
distintas ou não, escolhidas dentre as 26 do alfabeto. Assim, o 
número de senhas diferentes, possíveis de serem obtidas por esse 
processo, é 
a) 327650 
b) 340704 
c) 473805 
d) 492804 
e) 501870 
 
 
 
13. (EsPCEx-17) Duas instituições financeiras fornecem senhas 
para seus clientes, construídas segundo os seguintes métodos: 
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do 
conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, 
dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha,seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto 
{3,4,5,6,7,8,9}. 
Para comparar a eficiência entre os métodos de construção 
das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi 
definida a grandeza “força da senha”, de forma que, quanto mais 
senhas puderem ser criadas pelo método, mais “forte” será a 
senha. 
Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação 
à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição é 
a) 10% mais fraca. 
b) 10% mais forte. 
c) De mesma força. 
d) 20% mais fraca. 
e) 20% mais forte. 
 
 
 
 
 
 
Seja I = {a1, a2, ... , an} um conjunto formado por n 
elementos e seja p um natural não-nulo tal que .p n Chama-se 
arranjo simples de n elementos tomados p a p, toda sequência 
formada por p elementos distintos de I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 03: Arranjo Simples 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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Ex01: Se 
(n 1)!
3
(n 2)!
−
=
−
 então o valor de 2 1An+ é: 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 42 
e) 56 
 
 
 
 
Ex02: Sendo 3 2 A = An n o valor de n é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 0 
 
 
 
 
Ex03: A solução da equação 4 3 3 A + A = 10Ax x x é: 
a) 5 
b) 10 
c) 12 
d) 33 
e) 42 
 
 
 
 
 
Ex04: Com 7 algarismos distintos e n letras distintas, o número 
de sequências que se podem formar tal que cada uma possua 6 
elementos distintos com pelo menos uma letra é: 
a) An + 7, 6 
b) A7, 6 + An, 1 
c) A7 + n, 6 + An, 6 
d) A7 + n, 6 - An, 6 
e) A7+n, 6 - A7, 6 
 
 
 
 
 
 
Ex05: Com n algarismos distintos entre si e não-nulos podem ser 
formados k números naturais, múltiplos de 5, com p algarismos 
distintos cada um. Sendo k  0, podemos afirmar que: 
a) An, p = k + 1 
b) An - 1, p = k 
c) An, p + 1 = k 
d) An - 1, p - 1 = k + 1 
e) An - 1, p - 1 = k 
 
 
 
 
Ex06: (UFMG) A equação An, 2 + An + 1, 2 = 18: 
a) possui infinitas raízes distintas 
b) possui duas raízes distintas 
c) possui uma única raiz 
d) não possui raiz 
 
 
 
 
 
Ex07: (ITA) O número de arranjos de n + 2 objetos tomados 
cinco a cinco vale 180n. Nestas condições, concluímos que: 
a) n é um número ímpar 
b) n é um número primo 
c) n está compreendido entre 100 e 200 
d) n é um número par 
e) n é divisível por 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja I = {a1, a2, ... , an} um conjunto formado por n 
elementos. Chama-se permutação simples de n elementos toda 
sequência formada por esses n elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 04: Permutação Simples 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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Ex01: Considere os anagramas da palavra ESCOLA: 
a) Quantos são? 
 
 
 
b) Quantos começam por vogal? 
 
 
 
c) Quantos tem as letras ESC juntas e nessa ordem? 
 
 
 
d) Quantos tem as letras ESC juntas? 
 
 
 
e) Quantos tem as vogais e consoantes intercaladas? 
 
 
 
f) Quantos começam por E e terminam por A? 
 
 
 
g) Quantos começam por E ou terminam por A? 
 
 
 
 
Ex02: De quantos modos é possível sentar 7 pessoas em cadeiras em fila 
de modo que duas determinadas pessoas dessas 7 não fiquem juntas? 
 
 
 
 
 
Ex03: Seja A um conjunto com n elementos, quantas são as 
funções 𝑓: 𝐴 → 𝐴 bijetoras? 
 
 
 
 
 
 
Ex04: De quantos modos é possível colocar em uma prateleira 5 
livros de matemática, 3 de física e 2 de estatística, de modo que 
livros de um mesmo assunto permaneçam juntos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: Quantas são as permutações dos números (1, 2, ... , 10) nas 
quais o 5 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3, embora 
não necessariamente em lugares consecutivos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras 
em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do 
Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Iraque e o dos 
Estados Unidos não podem sentar juntos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex07: (ITA) O número de anagramas da palavra 
VESTIBULANDO, que não apresentam as 5 vogais juntas, é: 
a) 12! 
b) (8!)(5!) 
c) (12!) – (8!)(5!) 
d) 12! – 8! 
e) 12! – (7!)(5!) 
 
 
 
 
 
Ex08: (ITA) Considere todos os números de cinco algarismos 
formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em qualquer ordem, 
sem repetição. A soma de todos esses números está entre: 
a) 5x106 e 6x106 
b) 6x106 e 7x106 
c) 7x106 e 8x106 
d) 9x106 e 10x106 
e) 10x106 e 11x106 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
 
Seja I = {a1, a2, ... , an} um conjunto formado por n elementos 
distintos e seja p um natural não-nulo tal que .p n Chama-se 
combinação simples de n elementos tomados p a p, todo 
subconjunto formada por p elementos de I. 
Ex01: Determine o número de subconjuntos de 2 elementos do 
conjunto A = {a, b, c, d, e}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: Determine o número de subconjuntos de 3 elementos do 
conjunto A = {a, b, c, d, e}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Na composição da chapa contendo o nome dos candidatos 
a prefeito e a vice-prefeito de uma determinada cidade, um 
partido apresenta 7 nomes, todos podendo ser escolhidos para os 
referidos cargos. O número de possibilidades de composição da 
chapa é: 
a) 7! 
b) 
!5
!7
 
c) 
!2!5
!7
 
d) 
!2
!7
 
e) 2! 
 
 
Ex04: São dados sete pontos distintos, A, B, C, D, E, F e G sobre 
uma circunferência. Unindo-se esses pontos dois a dois, são 
determinadas _________ retas. O número de triângulos 
determinados por esses pontos é _________. Desses triângulos, 
exatamente _________ tem vértice no ponto A. 
 
 A alternativa que preenche corretamente as lacunas é: 
 
a) 21, 70, 15 
b) 21, 35, 15 
c) 42, 45, 15 
d) 42, 70, 30 
e) 21, 70, 30 
 
 
 
 
Ex05: O conselho do Departamento de Matemática da UFSM é 
composto de 3 professores e 2 alunos sendo renovado, por 
eleição, a cada 2 anos. Para a próxima eleição, candidataram-se 7 
professores e 5 alunos. O número de maneiras diferentes com que 
esse conselho pode ser eleito é: 
a) 350 
b) 410 
c) 420 
d) 792 
e) 798 
 
 
 
Ex06:(EsPCEx-06) A equipe de professores de uma escola 
possui umbanco de questões de matemática composto de 5 
questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. 
De quantas maneiras diferentes a equipe pode montar uma prova 
com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de 
retas? 
a) 80 
b) 96 
c) 240 
d) 640 
e) 1280 
 
 
 
 
Ex07: Existem quantos subconjuntos de X = {1, 2, 3, ..., 19, 20), 
com três elementos, tais que o produto dos três elementos de cada 
subconjunto seja divisível por 4? 
a) 795 
b) 820 
c) 860 
d) 900 
e) 1000 
 
 
 
 
Aula 05: Combinação Simples 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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Ex08: (EsPCEx-05) Uma prova de um concurso público engloba 
as disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de 
cada uma. Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato 
precisa acertar, no mínimo, 70% das questões da prova, além de 
obter acerto maior do que ou igual a 60% em cada disciplina. Em 
relação às questões da prova, quantas possibilidades diferentes 
terá um candidato de alcançar, exatamente, o índice mínimo de 
aprovação? 
a) 18 900. 
b) 33 300. 
c) 38 760. 
d) 77 520. 
e) 125 970. 
 
 
 
 
Ex09:(EsPCEx-00) Entre duas cidades A e B há dois postos de 
pedágio, sendo o primeiro com 5 cabines e o segundo com 4 
cabines. Há também 10 postos de abastecimento. Um viajante 
realizará o percurso entre essas duas cidade passando pelos dois 
pedágios e parando três vezes para abastecimento. Entendendo 
por “formas diferentes de realizar o percurso” cada uma das 
opções de passar pelas cabines de pedágio e parar nos postos de 
abastecimento, o número de formas diferentes como ele poderá 
realizar o percurso da cidade A para a cidade B é 
a) 60 
b) 600 
c) 1200 
d) 2400 
e) 14.400 
 
 
 
 
Ex10: (EsPCEx-02) Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 
são oriundos de Colégios Militares (CM) e 20, de Colégios Civis 
(CC). Pretende-se formar grupos com três alunos, de tal forma 
que um seja oriundo de CM e dois de CC. O número de grupos 
distintos que podem ser constituídos dessa forma é 
a) 200 
b) 900 
c)1260 
d) 1900 
e) 406 
 
 
 
 
 
 
Ex11: (EsPCEx-03) Um conjunto contém 5 números inteiros 
positivos e 6 números inteiros negativos. Os valores absolutos 
destes 11 números são primos distintos. A quantidade de 
números positivos distintos que podem ser formados pelo 
produto de 3 destes números é 
a) 25 
b) 70 
c) 85 
d) 120 
e) 210 
 
 
Ex12: (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 
dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano 
contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos 
podemos formar com vértices nestes pontos? 
a) 210 
b) 315 
c) 410 
d) 415 
e) 521 
 
 
Ex13: (EPCAR) Num acampamento militar, serão instaladas três 
barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles 
o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados 
na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado a 
deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca 
III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual 
a: 
a) 560 
b) 1.120 
c) 1.680 
d) 2.240 
 
 
 
 
Ex14: (UFPA) Quantos paralelogramos são determinados por 
um conjunto de sete retas paralelas, interceptando um outro 
conjunto de quatro retas paralelas? 
a) 162 
b) 126 
c) 106 
d) 84 
e) 33 
 
 
 
Ex15: (PUC) De um grupo de 9 professores, 5 lecionam 
Matemática. Quantas comissões de 3 componentes podem ser 
formadas, de modo que em cada uma compareça pelo menos um 
professor de Matemática? 
a) 80 
b) 79 
c) 84 
d) 83 
e) n.d.a. 
 
 
Ex16:(EsPCEx-07) Num determinado setor de hospital, 
trabalham 4 médicos e 8 enfermeiros. O número de equipes 
distintas, constituídas cada uma de 1 médico e 3 enfermeiros, que 
posem ser formados nesse setor é de 
a) 60 
b) 224 
c) 495 
d) 1.344 
e) 11.880 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
 
Ex01: Determine o número de anagramas que podemos formar 
com as letras das palavras abaixo: 
a) CASA 
 
 
 
b) ELEMENTO 
 
 
 
c) CASACO 
 
 
 
d) MATEMÁTICA 
 
 
 
 
Ex02: Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000, 
podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 
8? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03:Quantos números de 5 algarismos podem ser formados 
usando apenas os algarismos 1, 1, 1, 1, 2 e 3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto 
querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo 
é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas 
possíveis é: 
a) 10 
b) 24 
c) 30 
d) 60 
e) 120 
 
Ex05: Uma partícula, estando no ponto (x, y, z), pode mover-se 
para o ponto (x + 1, y, z) ou para o ponto (x, y + 1, z) ou para o 
ponto (x, y, z + 1). Quantos são os caminhos que a partícula pode 
tomar para, partindo do ponto (0, 0, 0), chegar ao ponto (3, 4, 5)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: De quantos modos 3 crianças podem brincar de roda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: De quantos modos 4 crianças podem brincar de roda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar 
uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não 
fiquem juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 06: Permutação com Elementos Repetidos 
➢ Aula 07: Permutação Circular 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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Ex04: De quantos modos 6 crianças podem formar uma roda de 
ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: De quantos modos n casais podem formar uma roda de 
ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua 
mulher? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: De quantos modos n casais podem formar uma roda de 
ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua 
mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: Determine o número de soluções inteiras positivas e 
inteiras não negativas das equações abaixo: 
a) 
1 2 3 4 7x x x x+ + + = 
 
 
 
 
b) 
1 2 3 10x x x+ + = 
 
 
 
 
 
c) 
1 2 3 4 5 9xx x x x ++ + + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: (ITA) O número de soluções inteiras e não negativas da 
equação x + y + z + w = 5 é: 
a) 36 
b) 48 
c) 52 
d) 54 
e) 56 
 
 
 
Ex03: De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma 
loja que os oferece em 7 sabores? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (ITA) Determine quantos paralelepípedos retângulos 
diferentes podem ser construídos de tal maneira que a medida de 
cada uma de suas arestas seja um número inteiro positivo que não 
exceda 10. 
 
 
 
 
 
Ex05: Uma mercearia tem em seu estoque pacotes de café de 6 
marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. 
De quantas formas pode fazê-lo? 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos 
em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). 
Quantas caixas diferentes podem ser formadas? 
 
 
 
 
 
 
➢ Aula 08: Soluções Inteiras 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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*EXERCÍCIOS* 
01. A solução da equação 
(6 − 𝑛)! − (4 − 𝑛)!
(5 − 𝑛)!
=
11
3
 
a) 𝑆 = {1} 
b) 𝑆 = {2} 
c) 𝑆 = {3} 
d) 𝑆 = {4} 
e) 𝑆 = {5} 
 
02. (ITA) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos 
formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes 
números são ímpares e começam com um dígito par? 
a) 375 
b) 465 
c) 545 
d) 585 
e) 625 
 
 
03. (CESESP) Num acidente automobilístico, após ouvir várias 
testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado do acidente 
dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais 
distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo 
das unidades era o dígito 2. Assinale, então, a única alternativa 
correspondente ao número de veículos suspeitos. 
a) 1.080 
b) 10.800 
c) 10.080 
d) 840 
e) 60.480 
 
 
04. (UFSM) Para ter acesso a uma sala reservada, cada usuário 
recebe um cartão de identificação com 4 listras coloridas, de 
modo que qualquer cartão deve diferir de todos os outros pela 
natureza das cores ou pela ordem das mesmas nas listras. 
Operando com 5 cores distintas e observando que listras vizinhas 
não tenham a mesma cor, quantos usuários podem ser 
identificados? 
a) 10 
b) 20 
c) 120 
d) 320 
e) 625 
 
 
 
05. Chama-se “palíndromos”, números inteiros que não se 
alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por 
exemplo: 383, 4.224, 74.847). O número total de palíndromso de 
cinco algarismos é: 
a) 900 
b) 1.000 
c) 1.900 
d) 2.500 
e) 5.000 
06. (ITA)Determine quantos números de 3 algarismos formados 
com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: o número 
não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 
ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma 
vez. Assinale o resultado obtido. 
a) 204 
b) 206 
c) 208 
d) 310 
e) 212 
 
07. Quantos números de 7 algarismos, maiores que 6.000.000, 
podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem 
repití-los? 
a) 1.800 
b) 720 
c) 5.400 
d) 5.040 
e) 2.160 
08. (MACK) O total de números, formados com algarismos 
distintos, maiores que 50.000 e menores que 90.000 e que são 
divisíveis por 5 é: 
a) 1.596 
b) 2.352 
c) 2.686 
d) 2.788 
e) 4.032 
09. (FEI) De todos os números menores que 100.000 e maiores 
que 50.000 quantos são os que lidos da esquerda para direita ou 
da direita para a esquerda fornecem o mesmo valor? (Por 
exemplo: 56.365) 
a) 450 
b) 1.500 
c) 1.000 
d) 900 
e) 500 
 
10. (MACK) Os números dos telefones de uma cidade são 
constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca 
pode ser zero, se os números de telefones passarem a ser de 7 
dígitos, o aumento possível na quantidade de telefones será: 
a) 81 x 103 
b) 90 x 103 
c) 81 x 103 
d) 81 x 105 
e) 90 x 105 
 
 
11. Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é 
um número natural de cinco algarismos distintos e não-nulos. 
Com o objetivo de acessar esse arquivo, o hacker programou o 
computador para testar, como senha, todos os números naturais 
nessas condições. O computador vai testar esses números um a 
um, demorando 5 segundos em cada tentativa. O tempo máximo 
para que o arquivo seja aberto é: 
a) 12h30min 
b) 11h15min36s 
c) 21h 
d) 12h26min 
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12. (ENEM-2004) No Nordeste brasileiro é comum 
encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas 
preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. 
Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, 
verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as 
cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. 
 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, 
nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou 
verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da 
palmeira, por uma questão de contraste, então o número de 
variações que podem ser obtidas para a paisagem é: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
13. (ENEM) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras 
brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende 
produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um 
molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos 
seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham 
sempre pedras de cores diferentes. 
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos 
vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas 
pedras. 
 
 
 
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, 
nesse formato, o artesão poderá obter? 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 36 
 
 
14. (AFA) Usando-se 5 algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti-
los, a quantidade de números pares que se pode formar é: 
a) 1080 
b) 2160 
c) 2520 
d) 5040 
 
15. (FUVEST) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua 
conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 
podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de 
uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha 
contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido 
imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas 
Maria pode escolher sua senha? 
 
a) 551 
b) 552 
c) 553 
d) 554 
e) 555 
 
16. (UFC-CE) Considere os números inteiros maiores que 
64.000 que possuem cinco algarismos, todos distintos, e que não 
contém nenhum dos dígitos 3 e 8. A quantidade desses números 
é: 
a) 2.160 
b) 1.320 
c) 1.440 
d) 2.280 
e) 2.880 
 
 
17. (UFRN) Quantos números de 7 algarismos, maiores que 
6.000.000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 
e 9, sem repeti-los é: 
a) 1.800 
b) 720 
c) 5.400 
d) 5.040 
e) 2.160 
 
 
18. (ENEM) O setor de recursos humanos de uma empresa vai 
realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de 
contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato 
um número, colocar a lista de números em ordem numérica 
crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, 
por um defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos 
pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver 
recebido o número 75913 é 
a) 24 
b) 31 
c) 32 
d) 88 
e) 89 
 
 
19. (ITA) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma 
comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De 
quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? 
a) 125 
b) 130 
c) 150 
d) 155 
e) 160 
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20. (GV) São dados 10 pontos num plano, dos quais 8 sobre uma 
mesma reta r e os outros 2 não alinhados com qualquer um dos 
oito pontos sobre a reta r. Quantos diferentes triângulos podem 
ser formados usando os pontos dados como vértice? 
a) 56 
b) 64 
c) 80 
d) 120 
e) 144 
 
21. (ENEM) Uma família composta por sete pessoas adultas, 
após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma 
empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava 
quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas 
ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis 
são as mostradas em branco. 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo 
é calculado por 
a) 
9!
2!
 
b) 
9!
7!2!
 
c) 7! 
d) 
5!
4!
2!
 
e) 
5! 4!
4! 3!
 
 
 
22. (ENEM) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez 
o seguinte desenho e o entrgou à criança juntamente com três 
lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente 
os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um 
segmento tenham cores diferentes. 
 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai 
pediu? 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 72 
23. (ITA) Uma escola possui 18 professores sendo 7 de 
Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas maneiras 
podemos formar comissões de 12 professores de modo que cada 
uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, com no 
mínimo 2 de Física e no máximo 2 de Química? 
a) 875 
b) 1877 
c) 1995 
d) 2877 
e) n.d.a. 
 
24. Num torneio de tênis, no qual todas as partidas são 
eliminatórias, estão inscritos 8 jogadores. Para definir a primeira 
rodada do torneio realiza-se um sorteio casual que divide os 8 
jogadores em 4 grupos de 2 jogadores cada um. De quantas 
maneiras diferentes pode ser constituída a tabela de jogos da 
primeira rodada: 
a) 60 
b) 65 
c) 80 
d) 105 
e) 120 
 
25. (UNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra 
reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. O número de 
triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é: 
a) 26 
b) 90 
c) 25 
d) 45 
e) 42 
 
26. (ITA) Listando-se em ordem crescente todos os números de 
cinco algarismos distintos, formados com os elementos do 
conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62.417 ocupa o n-ésimo lugar. 
Então n é igual a: 
a) 74 
b) 75 
c) 79 
d) 81 
e) 92 
 
27. (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos podemos 
formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quaiso 1 e o 2 
nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre 
ocupam posições adjacentes? 
a) 144 
b) 180 
c) 240 
d) 228 
e) 360 
 
 
28. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que 
começam por vogal? 
a) 500 
b) 600 
c) 650 
d) 700 
e) 710 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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29. (IME) É dado um tabuleiro quadrado 4 X 4. Deseja-se 
atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrado superior 
esquerdo. Os movimentos permitidos são os representados pelas 
setas: 
 
De quantas maneiras isso é possível? 
a) 63 
b) 69 
c) 72 
d) 80 
e) 81 
 
 
30. Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em 
fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do 
Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Iraque e o dos 
Estados Unidos não podem sentar juntos? 
a) 544408 
b) 564480 
c) 444869 
d) 558967 
e) 896754 
 
 
31. Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 
5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas 
distintas tal comissão poderá ser formada? 
a) 125 
b) 315 
c) 410 
d) 415 
e) 521 
 
 
 
32. (EsPCEx) Um gerente de um hotel, após fazer alguns 
cálculos, chegou à conclusão de que, para atingir a meta de 
economia de energia elétrica, bastava apagar 2 lâmpadas de um 
corredor com 8 lâmpadas alinhadas. Para manter um mínimo de 
claridade ao longo do corredor, o gerente determinou que 2 
lâmpadas adjacentes não poderiam ficar apagadas ao mesmo 
tempo, e as 2 lâmpadas das extremidades deveriam permanecer 
acesas. Sendo assim, o número de maneiras que este gerente pode 
apagar 2 lâmpadas é: 
a) 24 
b) 10 
c) 15 
d) 12 
e) 6 
 
 
33. (ENEM) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a 
ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser 
canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos 
e 6 são destros. 
 O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição 
entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos 
canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos 
tenistas para a partida de exibição? 
a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
b) 
2!
10! 4!
8!
− 
c) 
10!
2
2! 8!
−

 
d) 
6!
4 4
4!
+  
e) 6 4
6!
4!
+ 
 
 
34. (ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de 
símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos 
dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se 
destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é 
representada por: 
 
O número total de caracteres que podem ser representados no 
sistema Braile é: 
a) 12 
b) 31 
c) 36 
d) 63 
e) 720 
 
 
35. Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, existem x números de 
4 algarismos, de modo que pelo menos 2 algarismos sejam 
iguais. O valor de x é: 
a) 3168 
b) 3225 
c) 3300 
d) 3500 
e) 3600 
 
36. Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais 
o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? 
a) 3168 
b) 3225 
c) 3300 
d) 3500 
e) 3600 
 
37. Uma sala tem 10 portas. Calcule o número de maneiras 
diferentes que essa sala pode ser aberta 
a) 10 
b) 1023 
c) 50 
d) 500 
e) 1000 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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38. (UFMS) Se S é a soma de todos os números de cinco 
algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 
3, 4 e 5, então: 
a) S = 3.888.950 
b) S = 3.999.960 
c) S = 3.888.960 
d) S = 3.899.970 
e) S = 3.999.950 
 
 
39. (UFMG) Para montar a programação de uma emissora de 
rádio, o programador musical conta com 10 músicas distintas de 
diferentes estilos, assim agrupados: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de 
Pop. 
Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que em cada 
um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, 
todas as 10 músicas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o 
número de programas distintos em que as músicas vão ser 
tocadas agrupadas por estilo é dado por: 
a) 4!.3!.3!.3! 
b)
10!
7!
 
c) 4!.3!.3! 
d) 
10!
.3!
7!
 
 
40. (IBMEC-RJ) O número de anagramas que podem ser 
formados com as letras de PAPAGAIO, começando por 
consoante e terminando por O, é igual a: 
a) 120 
b) 180 
c) 240 
d) 300 
e) 320 
 
 
41. (EsPCEx) Um conjunto contém 5 números inteiros positivos 
e 6 números inteiros negativos. Os valores absolutos desses 11 
números são primos distintos. A quantidade de números positivos 
distintos que podem ser formados pelo produto de 3 destes 
números é: 
a) 25 
b) 70 
c) 85 
d) 120 
e) 210 
 
 
 
42. (EsPCEx) Entre duas cidades A e B há dois postos de 
pedágio, sendo o primeiro com 5 cabines e o segundo com 4 
cabines. Há também 10 pontos de abastecimento. Um viajante 
realizará o percurso entre essas duas cidades passando pelos dois 
pedágios e parando três vezes para abastecimento. Entendendo 
por “formas diferentes de realizar o percurso” cada uma das 
opções de passas pelas cabines de pedágio e parar nos postos de 
abastecimento, o número de formas diferentes como ele poderá 
realizar o percurso da cidade A para a cidade B é: 
a) 60 
b) 600 
c) 1200 
d) 2400 
e) 14.400 
43. (ENEM) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa 
escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e 
os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa 
sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma 
letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. 
 Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse 
site é dado por 
a) 2 210 26 
b) 2 210 52 
c) 2 2
4!
2!
10 52  
d) 2 2
4!
2!2!
10 26  
e) 2 2
4!
2!2!
10 52  
 
 
44. (ITA) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos 
formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 
letras a, b e c?: 
a) 1.692 
b) 1.572 
c) 1.520 
d) 1.512 
e) 1.392 
 
 
 
45. (EsPCEx) Uma prova de concurso público engloba as 
disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada 
uma. Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa 
acertar, no mínimo, 70% das questões da prova, além de obter 
acerto maior do que ou igual a 60% em cada disciplina. 
 Em relação às questões da prova, quantas possibilidades 
diferentes terá um candidato de alcançar, exatamente, o índice 
mínimo de aprovação? 
a) 18.900 
b) 33.300 
c) 38.760 
d) 77.520 
e) 125.970 
 
 
 
46. (ITA) Considere uma prova com 10 questões de múltipla 
escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada 
questão admite uma única alternativa correta, então o número de 
formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 
questões é: 
a) 44.30 
b) 43.60 
c) 53.60 
d) 






3
7
.43 
e) 






3
7
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
pcdamatematica Prof. Paulo Cesar 
 
47. (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 
dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano 
contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos 
podemos formar com vértices nestes pontos? 
a) 210 
b) 315 
c) 410 
d) 415 
e) 521 
 
 
48. (EPCAR) Num acampamento militar, serão instaladas três 
barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles 
o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados 
na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado a 
deve ficar na barraca I eo soldado B NÃO deve ficar na barraca 
III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual 
a: 
a) 560 
b) 1.120 
c) 1.680 
d) 2.240 
 
49. (FUVEST) Uma lotação possui três bancos para passageiros, 
cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da 
família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. 
Além disso: 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco 
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado 
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os 
nove passageiros na lotação é igual a: 
a) 928 
b) 1.152 
c) 1.828 
d) 2.412 
e) 3.456 
 
 
 
50. (GV-SP) Toda vez que uma moeda é lançada e der cara, um 
ponto desloca-se de uma unidade para cima (na direção do eixo 
y) e, se der coroa, o ponto desloca-se uma unidade para a direita 
(na direção do eixo x). Partindo da origem, quantas trajetórias 
existem até o ponto de coordenadas (3, 4)? 
a) 140 
b) 35 
c) 16 
d) 7 
e) 2 
 
 
51. (EsPCEx-09) Sete livros didáticos, cada um de uma 
disciplina diferente, devem ser posicionados lado a lado em uma 
estante, de forma que os livros de Física, de Química e de 
Matemática estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O 
número de maneiras diferentes em que esses livros podem ser 
posicionados é 
a) 720 
b) 1440 
c) 2160 
d) 28807 
e) 5040 
52. (EsPCEx-10) Os alunos de uma escola realizam 
experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias 
diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades 
iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O 
professor recomenda, entretanto, que as substâncias S1, S2 e S3 
não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado 
o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de 
misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano 
é 
a) 16 
b) 24 
c) 25 
d) 28 
e) 56 
 
 
 
53. (EsPCEx-11) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX 
forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX 
ocupará, nessa ordenação, a posição 
a) 144 
b) 145 
c) 206 
d) 214 
e) 215 
 
 
54. (EsPCEx-14) Permutam-se de todas as formas possíveis os 
algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim 
formados em ordem crescente. A soma de todos os números 
assim formados é igual a 
a) 1 000 000. 
b) 1 111 100. 
c) 6 000 000. 
d) 6 666 000. 
e) 6 666 600 
 
 
 
55. (EsPCEx-15) Da análise combinatória, pode-se afirmar que 
a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados por 
três algarismos, é igual a 80. 
b) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos 
distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual 
a 24. 
c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as vogais 
juntas é igual a 60. 
d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com dez 
cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão sentar-
se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90. 
e) a quantidade de funções injetoras definidas em A={1, 3, 5} 
com valores em B={2, 4, 6, 8} é igual a 24. 
 
 
56. (EsPCEx-16) Determine o algarismo das unidades da 
seguinte soma ∑ 𝑛!2016𝑛=1 , em que 𝑛! É o fatorial do número natural 
𝑛. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
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57. (EsPCEx-16) Um grupo é formado por oito homens e cinco 
mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, 
conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem 
sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 
8. 
 
Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas 
obedecendo essas restrições? 
a) 56 
b) 456 
c) 40 320 
d) 72 072 
e) 8 648 640 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58. (EsPCEx-18) Considere o conjunto de números naturais 
{1,2, ..., 15}. Formando grupos de três números distintos desse 
conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar 
é 
a) 168. 
b) 196. 
c) 224. 
d) 227. 
e) 231. 
 
 
 
 
59. (EsPCEx-99) Sobre um plano α toman-se 8 pontos distintos 
dos quais não existem 3 na mesma reta, e fora de α toma-se um 
ponto A. O número de pirâmides de base quadrangular com 
vértice em A que pode-se obter a partir desses pontos é 
a) 64 
b) 70 
c) 72 
d) 82 
e) 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*GABARITO* 
01. B 14. A 27. A 40. B 53. B 
02. D 15. A 28. B 41. C 54. E 
03. C 16. A 29. A 42. D 55. E 
04. D 17. E 30. B 43. E 56. D 
05. A 18. E 31. A 44. D 57. C 
06. E 19. A 32. B 45. B 58. C 
07. E 20. B 33. A 46. A 59. B 
08. B 21. A 34. D 47. A 
09. E 22. C 35. A 48. B 
10. D 23. D 36. A 49. E 
11. C 24. D 37. B 50. B 
12. B 25. D 38. B 51. A 
13. B 26. D 39. A 52. C 
ANÁLISE COMBINATÓRIA