TRIGONOMETRIA: apostila para acompanhar as aulas que estão disponíveis nesta lista

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pcdamatematica 
 
 
 O triângulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Seja α um ângulo agudo. Definimos: 
1. 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 2. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 3. 𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
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Ex01: Na figura a seguir, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retãngulo em 𝐵. O 
cosseno do ângulo 𝐵�̂�𝐶 é: 
 
a) 
12
13
 
b) 
11
13
 
c) 
10
13
 
d) 
6
13
 
e) 
1
13
 
 
Ex02: Na figura, o ângulo 𝜃 é tal que 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
1
3
 e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 2𝑚. 
 
A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é, em m2, é: 
a) 16√2 
b) 18√2 
c) 32√2 
d) 36√2 
e) 72√2 
 
 
Ex03: (EsPCEx-08) Na figura a seguir, está representado um 
muro (BD) de 6 m de altura em que está apoiada uma escada 
representada por AC, que faz um ângulo α com a horizontal. 
Sabe-se que a parte da escada indicada pelo segmento AB 
corresponde a 2/3 do seu comprimento. Num determinado 
momento do dia, os raios de sol fazem com a vertical um ângulo 
também de valor α, projetando no ponto F a sombra da 
extremidade C da escada. 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
Aula 01: Trigonometria no triângulo retângulo 
Dados: senα = 3/5 
 cosα = 4/5 
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 pcdamatematica 
 
Assim, considerando desprezível a espessura do muro, a 
medida do segmento DF, que corresponde à parte da sombra da 
escada que está além do muro, nesse instante, é igual a 
a) 6,75 m 
b) 10,75 m 
c) 14,75 m 
d) 18,75 m 
e) 22,75 m 
 
 
 
Ex04: Dois observadores, A e B, estão situados a 1m de uma das 
margens paralelas de um rio e conseguem ver um pedra P sobre a 
outra margem. Com seus teodolitos (aparelho usado para medir 
ângulo), eles medem os ângulos 𝑃�̂�𝐵 = 𝛼 e 𝑃�̂�𝐴 = 𝛽. Sabendo 
que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 54𝑚, 𝑡𝑔𝛼 = 4 e 𝑡𝑔𝛽 = 5, a largura do rio, em 
metros, é: 
a) 109 
b) 115 
c) 129 
d) 105 
e) 119 
 
 
 
 
 𝟑𝟎𝒐 𝟒𝟓𝒐 𝟔𝟎𝒐 
𝒔𝒆𝒏 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 
𝒄𝒐𝒔 √
3
2
 
√2
2
 
1
2
 
𝒕𝒈 √
3
3
 1 √3 
 
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Ex01: Observe a figura, onde �̂� = 60𝑜 , �̂� = 45𝑜 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2𝑚. 
O lado 𝐵𝐶 do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é: 
 
 
a) (1 − √3)𝑚 
b) √3𝑚 
c) (1 + √3)𝑚 
d) (1 + 2√3)𝑚 
e) (1 − 2√3)𝑚 
 
 
Ex02: (EsPCEx-05) Um topógrafo, querendo conhecer a altura 
de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio 
(ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é 
desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 30º e 
BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi 
 
 
a) 15√3 𝑚 
b) 12√3 𝑚 
c) 10√3 𝑚 
d) 20√3 𝑚 
e) 40√3 𝑚 
 
 
Aula 02: Tabela de arcos notáveis 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex03: (EsPCEx-03) Um soldado, sua sombra e a trajetória do 
Sol estão em um mesmo plano perpendicular ao solo onde o 
soldado se encontra. O soldado está de sentinela em um quartel 
quando os raios solares formam ângulos de 60º e 30º com o solo, 
respectivamente no início e no final de sua missão. Nestas 
condições, pode-se afirmar que a medida da sombra do soldado 
no final de sua missão é: 
a) a metade da medida de sua sombra no início da missão. 
b) o dobro da medida de sua sombra no início da missão. 
c) o triplo da media de sua sombra no início da missão. 
d) o quádruplo da medida de sua sombra no início da missão. 
e) um terço da media de sua sombra no início da missão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (EsPCEx-05) Na figura, as circunferências são tangentes 
entre si e seus raios estão na razão 
1
3
. Se a reta r passa pelos 
centros O O’ das duas circunferências, e a reta s é tangente a 
ambas, então o menor ângulo formado por essas duas retas mede. 
 
a) 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
1
3
 
b) 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
1
2
 
c) 60º 
d) 45º 
e) 30º 
 
 
 
 
 
Ex05: (UFES) Calcule a medida do lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ na figura abaixo, 
sabendo que 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ mede 50cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: (Fuvest) No quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 da figura abaixo, 𝑬 é um 
ponto sobre o lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ tal que o ângulo 𝐴�̂�𝐸 mede 60𝑜 e os 
ângulos 𝐸�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐷 são retos. Sabe-se ainda que 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 =
√3 e 𝐵𝐶 = 1. Determine a medida de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . Definição e elementos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 03: Circunferência 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
 Unidades para medir arcos 
1. Grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Radiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comprimento de um arco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: Expresse em radianos: 
a) 30º b) 120º c) 15º d) 300º 
 
 
 
 
 
Ex02: expresse em graus: 
a) 
𝜋
3
 rad b) 
𝜋
4
 rad c) 
3𝜋
4
 rad e) 1 rad 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Quanto mede, em radianos, o arco 𝐴�̂�, contido em uma 
circunferência de raio 3cm, cujo comprimento é 4,5cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: Qual é o comprimento de um arco de 72º sobre uma 
circunferência de raio 8cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex05: (EsPCEx-96) Na figura abaixo, o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , paralelo 
ao segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , representa o lado do hexágono regular inscrito 
na circunferência de centro 𝑂. O comprimento do arco 𝐴𝐵𝐶 é de 
20
3
𝜋𝑐𝑚. Nestas condições, a medida, em cm, do raio da 
circunferência é de: 
 
a) 
5𝜋
3
 
b) 
10𝜋
3
 
c) 20 
d) 15 
e) 10 
Ex06: (Vunesp) As rodas dianteiras de um trator tem 0,70m de 
diâmetro e as traseiras tem o dobro desse diâmetro. 
Considerando 𝜋 = 3,14, a distância percorrida por esse trator, 
em metros, se as rodas dianteiras derem 2.500 voltas a mais que 
as traseiras, é: 
a) 5.000 
b) 7.500 
c) 8.345 
d) 10.990 
e) 12.500 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex07: (Fuvest) A figura abaixo representa duas polias circulares 
𝐶1 e 𝐶2 de raio 𝑅1 = 4𝑐𝑚 e 𝑅2 = 1𝑐𝑚, apoiadas em uma 
superfície plana em 𝑃1 e 𝑃2, respectivamente. Uma correia 
envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os 
pontos 𝑃1 e 𝑃2 é 3√3𝑐𝑚, determine o comprimento da correia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex08: (Vunesp) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um 
relógio às 14 horas e 20 minutos é: 
a) 8º 
b) 50º 
c) 52,72º 
d) 60º 
e) 62º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
 Definição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: Marque no ciclo trigonométrico as extremidades dos 
arcos: 0,
𝜋
3
,
3𝜋
4
,
7𝜋
6
,
7𝜋
4
, −
𝜋
6
, −
3𝜋
4
. 
 
 
Ex02: O triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 está inscrito na circunferência 
trigonométrica seguinte. Quais são os arcos 𝒙, com 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, 
que correspondem aos vértices do triângulo? 
 
 
(EsPCEx-08) Na figura, está representado um círculo 
trigonométrico em que os pontos P1 a P5 indicam extremidades 
de arcos. Esses pontos, unidos, correspondem aos vértices de um 
pentágono regular inscrito no círculo. Se o ponto P1 corresponde 
a um arco de 
𝜋
6
 radianos, então o ponto P4 corresponderá à 
extremidade de um arco cuja medida, em radianos, é igual a 
 
 
 
 
a) 
13𝜋
30
 
b) 
17𝜋
30
 
c) 
29𝜋
30
 
d) 
41𝜋
30
 
e) 
53𝜋
30
 
 
 
 Arcos côngruos 
Dois ou mais arcos são côngruos quando possuem a mesma extremidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 04: Ciclo trigonométrico 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 Expressão geral dos arcos côngruos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: Obtenha a 1ª determinação positiva, a 1ª determinação 
negativa e a expressão geral dos arcos côngruos a: 
a) 8000 
 
 
 
 
 
b) 15000 
 
 
 
 
 
c) 
13𝜋
2
 
 
 
 
 
 
d) 
16𝜋
3
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: Determine, em cada caso, a expressão geral dos arcos que 
possuem extremidades nos vértices do polígono regular 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Ex03: (EsPCEx-01) São côngruos: 
a) −7300 e −
𝜋
12
rad 
b) 16400 e −
7𝜋
6
rad 
c) 3500 e −
𝜋
18
rad 
d) 12350 e 
5𝜋
6
rad 
e) −20000 e 
4𝜋
3
rad 
 
Ex04: (EsPCEx-10) Considere a progressão aritmética 
representada pela sequência (
7𝜋
12
,
47𝜋
60
,
59𝜋
60
, … ). Se todos os 
termos dessa PA forem representados num círculo 
trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices de um 
a) pentágono (5 lados) 
b) hexágono (6 lados) 
c) octógono (8 lados) 
d) decágono (10 lados) 
e) dodecágono (12 lados) 
 
 
 
 Definição 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 05: Seno e cosseno no ciclo trigonométrico 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: Calcule: 
a) 𝑠𝑒𝑛1500 b) 𝑐𝑜𝑠1500 
 
 
c) 𝑠𝑒𝑛2400 d) 𝑐𝑜𝑠2400 
 
 
e) 𝑠𝑒𝑛3150 f) 𝑐𝑜𝑠3150 
 
 
g) 𝑠𝑒𝑛1200 h) 𝑐𝑜𝑠1200 
 
 
i) 𝑠𝑒𝑛12000 j) 𝑐𝑜𝑠17700 
 
 
 
 
Ex02: Calcule o valor de cada expressão: 
a) 𝐴 =
𝑠𝑒𝑛0 + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
 − 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
6
𝑠𝑒𝑛
7𝜋
6
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 𝐴 =
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
 − 𝑠𝑒𝑛𝜋 + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
2⋅𝑠𝑒𝑛
5𝜋
6
 + 𝑠𝑒𝑛0
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝐴 =
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
 − 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
 + 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
 
 
 
 
 
Ex03: (UPE) Na figura abaixo, estão representados a 
circunferência trigonométrica e um triângulo isósceles 𝑂𝐴𝐵. 
Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo 𝑂𝐴𝐵 
em função do ângulo α? 
 
a) 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 
b) 
1
2
∙ 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 
c) 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 
d) 
1
2
∙ 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 
e) 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 
 
 
 
Ex04: (PUC) O ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) pertence à circunferência de raio 
1 e é estremidade de um arco de medida α, conforme figura. 
Então o par (𝑥, 𝑦) é igual a: 
 
a) (𝑡𝑔𝛼, 𝑠𝑒𝑛𝛼) 
b) (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑡𝑔𝛼) 
c) (𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛼) 
d) (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑠𝑒𝑛𝛼) 
e) (𝑠𝑒𝑛2𝛼, 𝑐𝑜𝑠2𝛼) 
 
 
 
 
 
Ex04: (EsPCEx-00) O número de arcos existentes entre 0º e 
1560º cujo seno vale 
2
7
 é 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: Calcule: 
a) 𝑡𝑔1200 b) 𝑡𝑔2100 
 
c) 𝑡𝑔2250 d) 𝑡𝑔3150 
 
e) 𝑡𝑔1350 f) 𝑡𝑔3300 
 
 
Ex02: Calcule o valor da expressão: 
𝑦 =
𝑡𝑔𝜋 − 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
+ 𝑐𝑜𝑠𝜋
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
− 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Sendo 𝑥 = 300, calcule o valor da expressão: 
𝑦 =
2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (UFRR) Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira: 
a) 𝑐𝑜𝑠2000 < 𝑡𝑔2000 < 𝑠𝑒𝑛2000 
b) 𝑐𝑜𝑠2000 < 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑡𝑔2000 
c) 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑡𝑔2000 < 𝑐𝑜𝑠2000 
d) 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑐𝑜𝑠2000 < 𝑡𝑔2000 
e) 𝑡𝑔2000 < 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑐𝑜𝑠2000 
 
 
Ex05: Na circunferência trigonométrica a seguir, considere o 
arco 𝐴�̂� de medida 
𝜋
3
 radianos. Então: 
 
a) 𝐴𝑃 = 1 
b) 𝑀𝑁 = √3 
c) 𝑂𝑁 = √2 
d) 𝐴𝑁 = √
1
3
 
e) 𝑂𝑃 = 2 
 
 
Ex06: (UFRGS) Considere as desigualdades abaixo sobre arcos 
medidos em radianos 
 I. 𝑠𝑒𝑛1 < 0 
 II. 𝑐𝑜𝑠2 < 0 
 III. 𝑡𝑔1 < 𝑡𝑔2 
Quais são verdadeiras 
a) apenas I 
b) apenas II 
c) apenas III 
d) apenas I e III 
e) apenas II e III 
 
 
Aula 06: Tangene no ciclo trigonométrico 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
1. Cotangente no ciclo trigonométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Secante no ciclo trigonométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Cossecante no ciclo trigonométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: Calcule: 
a) 𝑠𝑒𝑐
𝜋
6
 b) 𝑠𝑒𝑐2100 
c) 𝑐𝑜𝑡𝑔
2𝜋
3
 d) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3150 
e) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
5𝜋
6
 f) 𝑐𝑜𝑡𝑔450 
g) 𝑠𝑒𝑐1500 h) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
11𝜋
6
 
 
Ex02: Qual o valor de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
2
+
𝜋
4
+
𝜋
8
+
𝜋
16
+ ⋯ )? 
 
 
 
 
Ex03: Na figura, 𝐶𝑆 ⃡ é tangente à circunferência trigonométrica, 
e 𝑃 é imagem do número real 𝛼, 0 < 𝛼 <
𝜋
2
. 
 
Qual é a área do triângulo 𝑃𝑂𝑆, se 𝛼 =
𝜋
4
? 
 
 
 
Aula 07: Cotangente, secante e cossecante no ciclo trigonométrico 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex04: (FUVEST) Na figura a seguir, a reta 𝑟 passa pelo ponto 
𝑇(0,1) e é paralela ao eixo 𝑂𝑥. A semi-reta 𝑂𝑡 forma um ângulo 
𝛼 com o semi-eixo 𝑂𝑥 (00 < 𝛼 < 900) e intercepta a 
circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos 𝐴 e 𝐵, 
respectivamente. 
 
A área do triângulo 𝑇𝐴𝐵, como função de α, é dada por: 
a) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙
𝑐𝑜𝑠𝛼
2
 
b) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) ∙
𝑠𝑒𝑛𝛼
2
 
c) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙
𝑡𝑔𝛼
2
 
d) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙
𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼
2
 
e) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙
𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼
2
 
 
Ex05: Com base na figura, que representa o círculo 
trigonométrico e os eixos da tangente e da cotangente, calculea 
área do triângulo 𝐴𝐵𝐶, para 𝛼 =
𝜋
3
. 
 
Ex06: (EsPCEx-03) Considere as expressões 
(I) 
𝑠𝑒𝑛300∙𝑐𝑜𝑠1500
𝑡𝑔2100
 
(II) 
𝑐𝑜𝑡𝑔500∙𝑠𝑒𝑛930
𝑡𝑔1810
 
(III) 
𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥∙𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
, 𝑥 ∈ ]
3𝜋
2
, 2𝜋[ 
(IV) 
𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥
, 𝑥 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[ 
Têm valor sempre negativo: 
a) I e II 
b) I e IV 
c) II e III 
d) I e III 
e) III e IV 
 
 
 
Ex07: (EsPCEx-11) O valor da expressão 
𝐸 =
𝑠𝑒𝑐13200
2
− 2𝑐𝑜𝑠 (
53𝜋
3
) + (𝑡𝑔22200)2 é 
a) -1 
b) 0 
c) 
1
2
 
d) 1 
e) −
√3
2
 
 
Ex08: (EsPCEx-02) O produto 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 é positivo, portanto 
x pertence ao 
a) 1º ou 2º quadrantes 
b) 1º ou 4º quadrantes 
c) 2º ou 3º quadrantes 
d) 2º ou 4º quadrantes 
e) 3º ou 4º quadrantes 
 
 
 
 
 
 
1. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
2. 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
3. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
4. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =
1
𝑡𝑔𝑥
; 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ 
5. 𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
6. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
7. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
8. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
 
Aula 08: Relações trigonométricas 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −
4
7
 e α está no 2º quadrante, 
obtenha as outras razões trigonométricas de α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex02: (EsPCEx-01) Se 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
5
13
 e 𝛼 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋], então o valor de 
𝑡𝑔𝛼 é igual a: 
a) −
5
12
 
b) 
5
12
 
c) 
12
13
 
d) 
12
5
 
a) −
12
13
 
 
Ex03: Quanto vale 𝑡𝑔𝑥, se 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 4 e 0 < 𝑥 <
𝜋
2
? 
 
 
 
 
Ex04: Calcule 𝑚 de modo que se tenha 𝑡𝑔𝑥 = 𝑚 − 2 e 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =
𝑚
2
. 
 
 
 
 
 
Ex05: Resolva, em ℝ, a seguinte equação de 2º grau, na 
incógnita x: 
𝑥2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − (2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Ex06: Sabendo-se que 
𝜋
2
< 𝛼 < 𝜋 e 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
1
10
, qual o valor da 
expressão: 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔100(𝑠𝑒𝑐𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼) 
 
 
 
 
 
 
 
Ex07: Obtenha 𝑡𝑔𝑥, sabendo que 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex08: (EsPCEx-00) Sendo 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 3𝑐𝑜𝑠𝛼 e 𝜋 < 𝛼 < 3𝜋
2
, o 
valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝛼 é 
a) −
√10
3
 
b) −
√10
10
 
c) −
3√10
10
 
d) √10 
e) 
√10
3
 
 
 
 
Ex09: (EsPCEx-01) Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ}, 
simplificando a expressão 
1
1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
+
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥
+
1
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
+
1
1 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥
, 
obtém-se o valor: 
a) 1/2 
b) 1 
c) 3/2 
d) 2 
e) 0 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex10: (EsPCEx-02) O valor de 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥, sabendo que 
3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5, é: 
a) 
3
5
 
b) 
4
5
 
c) 1 
d) 
6
5
 
e) 
7
5
 
Ex11: (EsPCEx-97) A expressão 
𝑠𝑒𝑛3𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥
 ´eequivalente a: 
a) 1 
b) 2 
c) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
d) 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 
e) 
2
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
 
 
 
 
Considere o arco 𝛼 = 𝐴�̂�, 0 < 𝛼 <
𝜋
2
, nas circunferências trigonométricas abaixo: 
 
 
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___________________________________________________________________________________________________________ 
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Aula 09: Redução ao 1º quadrante 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: (EsPCEx-99) Para todo x real, podemos afirmar que 
a) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −cos (𝜋 + 𝑥) 
b) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos (𝜋 − 𝑥) 
c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
− 𝑥) 
d) −𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos (2𝜋 − 𝑥) 
e) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = sen(2𝜋 + 𝑥) 
 
 
Ex02: (MACK) Se 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) = cos (𝜋 − 𝑥), então 𝑥 pode ser: 
a) 𝜋 
b) 
𝜋
2
 
c) 
3𝜋
4
 
d) 
5𝜋
4
 
e) 
7𝜋
4
 
 
 
 
 
Ex03: Simplificando a expressão 
 
𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝑥) ∙ cos (𝜋 + 𝑥)
𝑡𝑔(𝜋 − 𝑥) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
− 𝑥)
 
Obtemos: 
a) 𝑐𝑜𝑠𝑥 
b) – 𝑠𝑒𝑛𝑥 
c) – 𝑐𝑜𝑠𝑥 
d) 𝑠𝑒𝑐𝑥 
e) – 𝑠𝑒𝑐𝑥 
 
Ex04: (UFCE) Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
√3
2
 e que 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
1
2
, 
podemos afirmar corretamente que 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 +
𝜋
2
) + 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
𝜋
2
) é 
igual a: 
a) 0 
b) −
√3
2
−
1
2
 
c) 
√3
2
+
1
2
 
d) 
√3
2
−
1
2
 
e) −
√3
2
+
1
2
 
 
 
 
1. Função seno: 
 
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___________________________________________________________________________________________________________ 
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Aula 10: Funções trigonométricas 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: (FGV) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por 
dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. 
Com base nos dados observados, estima-se que o número de 
clientes possa ser calculado pela função trigonométrica 𝑓(𝑥) =
900 − 800𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
12
, onde 𝑓(𝑥) é o número de clientes e x, a hora 
da observação (x é um inteiro tal que 0 ≤ 𝑥 ≤ 24). 
Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número 
máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, 
em dia completo, é igual a: 
a) 600 
b) 800 
c) 900 
d) 1500 
e) 1600 
 
 
 
Ex02: (EsPCEx-00) O domínio e a imagem da função 𝑓(𝑥) =
1
5−𝑠𝑒𝑛𝑥
 são, respectivamente, 
a) ℝ − {5} e [−1, 1] 
b) ℝ e ]−
1
5
,
1
4
[ 
c) ℝ e [
1
6
,
1
4
] 
d) ℝ∗ e ]
1
6
,
1
3
[ 
e) ℝ − {5} e [−1,
1
3
] 
Ex03: (EsPCEx-04) Dadas as funções reais 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) e 
𝑔(𝑥) =
1
2
 tal que 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. Então, o número de interseções 
entre os grá ficos de f e g é: 
a) 6 
b) 2 
c) 1 
d) 4 
e) 8 
 
 
 
 
 
Ex04: Obtrnha o valor de m para que o período da função 
𝑓(𝑥) = 𝑚 + 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
5𝑥
𝑚
+ 𝜋) seja 4𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Função cosseno: 
 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: (UEPB) Sendo 𝑓(𝑥) = −4𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
− 𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠𝑥, o valor 
de 𝑓 (−
7𝜋
4
) é: 
a) √2 
b) 2 
c) −√2 
d) −1 
e) 
√2
2
 
 
Ex02: Um determinado inseto no período de reprodução emite 
sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor mínimo de 20 
decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a variável tempo 
em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor 
representa a variação da intensidade sonora com o tempo 𝐼(𝑡) é: 
a) 50 − 10𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
𝑡 
b) 30 + 10𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
𝑡 
c) 40 + 20𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
𝑡 
d) 60 − 20𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
𝑡 
 
Ex03: (FGV) A previsão mensal da venda de sorvetes para 
2012, em uma sorveteria, é dada por 𝑃 = 6000 + 50𝑥 +
2000𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑥
6
), em que 𝑃 é o número de unidades vendidas no 
mês x; 𝑥 = 0 representa janeiro de 2012, 𝑥 = 1 representa 
fevereiro de 2012 e assim por diante. Se essas previsões se 
verificarem, emjulho haverá um queda na quantidade vendida, 
em relação a março, de aproximadamente: 
a) 39,5% 
b) 38,5% 
c) 37,5% 
d) 36,5% 
e) 35,5% 
Ex04: (UCE) Se 𝑦 = 𝑎 + cos (𝑥 + 𝑏) tem gráfico 
 
Podemos afirmar que: 
a) 𝑎 = 2 e 𝑏 =
𝜋
2
 
b) 𝑎 = 1 e 𝑏 = −
𝜋
2
 
c) 𝑎 = 2 e 𝑏 = −
𝜋
2
 
d) 𝑎 = 1 e 𝑏 =
𝜋
2
 
e) 𝑎 = 0 e 𝑏 = 0 
 
Ex05: (EsPCEx-03) Sejam as funções 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ → ℝ, 
definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥, em 
que a e b são constantes reais. Se𝑓(6) = −2 e 𝑔(6) = −9, então 
o valor de 𝑓(6) + 2𝑓(−6) + 3𝑔(6) + 4𝑔(−6) é 
a) -69 
b) 3 
c) 11 
d) 57 
e) -61 
 
 
 
 
 
 
 
3. Função tangente: 
 
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___________________________________________________________________________________________________________ 
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TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
 
1. 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎 
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏− 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎 
3. cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎 
4. 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑏 
5. 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) =
𝑡𝑔𝑎+𝑡𝑔𝑏
1−𝑡𝑔𝑎∙𝑡𝑔𝑏
 
6. 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑔𝑎−𝑡𝑔𝑏
1+𝑡𝑔𝑎∙𝑡𝑔𝑏
 
 
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Aula 11: Funções trigonométricas da soma e da diferença 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
Ex01: Calcule: 
a) 𝑠𝑒𝑛150 
 
 
 
b) 𝑐𝑜𝑠750 
 
 
 
c) 𝑡𝑔150 
 
 
 
 
 
Ex02: Calcule o valor de cada expressão: 
a) 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛700 ∙ 𝑐𝑜𝑠200 + 𝑠𝑒𝑛200 ∙ 𝑐𝑜𝑠700 
 
 
b) 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠700 ∙ 𝑐𝑜𝑠200 − 𝑠𝑒𝑛700 ∙ 𝑠𝑒𝑛200 
 
 
c) 𝐴 =
𝑡𝑔
𝜋
18
+𝑡𝑔
𝜋
9
1−𝑡𝑔
𝜋
18
∙𝑡𝑔
𝜋
9
 
 
 
 
 
Ex03: Calcule a medida do lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ do triângulo representado a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (UFGO) Um ponto P, interno a um ângulo cuja medida é 
450, dista 2𝑐𝑚 de um dos lados do ângulo e 4𝑐𝑚 do vértice do 
ângulo. Qual a distância desse ponto ao outro lado do ângulo? 
 
 
 
 
 
 
Ex05: (EsPCEx-99) A expressão 
𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 2𝑎) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
− 𝑎) + 𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
2
+ 𝑎) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
− 2𝑎) 
É igual a: 
a) 𝑐𝑜𝑠𝑎 
b) 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎 
c) 𝑠𝑒𝑛𝑎 
d) 𝑐𝑜𝑠2𝑎 
e) 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
 
Ex06: (EsPCEx-07) Na figura a seguir, são fornecidas as 
coordenadas cartesianas dos pontos P1 e P2. Denomina-se 𝜃 o 
ângulo 𝑃1�̂�𝑃2. 
 
Com base nessas informações pode-se afirmar que o valor de 
𝑐𝑜𝑠𝜃 é 
a) 
4√3−3
10
 
b) 
13
10
 
c) 
3√3−4
10
 
d) 
3
10
 
e) 
4+3√3
10
 
 
Ex07: (EsPCEx-11) O cosseno do menor ângulo formado pelos 
ponteiros de um relógio às 14 horas e 30 minutos vale 
a) −
(√3+1)
2
 
b) −
(√2+1)
2
 
c) 
(1+√2)
4
 
d) −
(√6−√2)
4
 
e) 
(√2+√3)
4
 
 
Ex08: (EsPCEx-99) Sendo 𝑋 =
𝜋
3
+
𝜋
6
+
𝜋
12
+ ⋯ e 𝑌 =
𝜋
4
+
𝜋
5
+
4𝜋
25
+
16𝜋
125
+ ⋯, o valor de 𝑠𝑒𝑛(𝑋 + 𝑌) é 
a) 
−√3+√2
2
 
b) 
−√6+√2
4
 
c) 
−√6−√2
2
 
d) 
√6−√2
4
 
e) 
√3−√2
2
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
1. 𝑠𝑒𝑛(2𝑎) = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎 
2. 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
3. 𝑡𝑔(2𝑎) =
2𝑡𝑔𝑎
1 − 𝑡𝑔2𝑎
 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
Ex01: Dados 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
2
3
 e 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −
√5
3
, obtenha: 
a) 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 
 
 
 
b) 𝑐𝑜𝑠(2𝛼) 
 
 
 
c) 𝑡𝑔(2𝛼) 
 
 
 
 
Ex02: Um observador vê, do solo, a 150m, o topo de uma torre 
vertical de 75m de altura. Aproximando-se, e ainda mirando a 
partirdo solo, o ângulo de observação do topo da torre passa a 
medir o dobro da anterior. Determine a distância percorrida pelo 
observador entre os dois instantes de observação. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
17
13
, quanto vale 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)? 
 
 
 
 
 
 
Ex04: (FUVEST) Um arco x está no 3º quadrante do círculo 
trigonométrico e verifica a equação 5 cos(2𝑥) + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 4. 
Determine os valores de 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑐𝑜𝑠𝑥. 
 
 
 
Ex05: (UFAL) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é 
agudo. Se a tangente desse ângulo é igual ao dobro do quadrado 
do seu seno, determine o cosseno da soma dos ângulos da base. 
 
 
 
 
Ex06: (EsPCEx-00) O valor de 3𝑠𝑒𝑛100 ∙ (𝑡𝑔50 + 𝑐𝑜𝑡𝑔50) é 
igual a 
a) 
3
2
 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 6 
 
Ex07: (EsPCEx-02) O valor numérico da expressão 𝑠𝑒𝑛
13𝜋
12
∙
𝑐𝑜𝑠
13𝜋
12
 é: 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
1
4
 
d) 
1
6
 
e) 
1
8
 
 
Ex08: (EsPCEx-06) O valor da expressão 
cos150 + 𝑐𝑜𝑠750
𝑠𝑒𝑛150
+
𝑠𝑒𝑛150 + 𝑠𝑒𝑛750
𝑐𝑜𝑠150
 
é igual a 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
Aula 12: Razões trigonométricas de 𝟐𝒂 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
1. 𝑠𝑒𝑛(𝑝 + 𝑞) = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 + 𝑞
2
) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝑝 − 𝑞
2
) 
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑝 − 𝑞) = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 − 𝑞
2
) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝑝 + 𝑞
2
) 
3. 𝑐𝑜𝑠(𝑝 + 𝑞) = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝑝 + 𝑞
2
) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝑝 − 𝑞
2
) 
4. 𝑐𝑜𝑠(𝑝 − 𝑞) = −2𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 + 𝑞
2
) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 − 𝑞
2
) 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
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___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________________________________ 
Ex01: Transforme em produto: 
a) 𝑠𝑒𝑛400 + 𝑠𝑒𝑛800 
 
 
b) cos800 + 𝑐𝑜𝑠400 
 
 
c) 𝑠𝑒𝑛800 + 𝑐𝑜𝑠500 
 
 
d) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
 
e) 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
 
f) 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
 
 
Ex02: Seja 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥. 
a) Qual é o período de f? 
b) Qual é o valor máximo que f pode assumir? 
 
 
 
 
 
 
Ex03: Quanto vale 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
∙ 𝑐𝑜𝑠
7𝜋
8
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 13: Transformação em produto 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
1. Equações do tipo 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒌, 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒌 𝒐𝒖 𝒕𝒈𝒙 = 𝒌, 𝐜𝐨𝐦 𝒌 ∈ ℝ 
a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 4 b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
√3
2
 c) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
2
 e) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 f) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
7
 
 
 
 
 
 
 
g) 𝑡𝑔𝑥 = 1 h) 𝑡𝑔𝑥 = −
√3
3
 i) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔
𝜋
9
 
 
 
 
 
 
 
2. Equações na forma fatorada 
a) (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
b) (2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1)(4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 14: Equações trigonométricas 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
3. Equações polinomiais 
a) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 7𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3𝑡𝑔2𝑥 + 2√3𝑡𝑔𝑥 − 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex01: (EsPCEx-00) O número de soluções da equação 𝑠𝑒𝑛4𝑥 +
𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 1, satisfazendo a condição 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, é 
a) infinito 
b) 4 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
 
 
Ex02: (EsPCEx-04) A quantidade de valores inteiros que a pode 
assumir para que a equação 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (𝑎 − 1)2 tenha solução é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Ex03: (EsPCEx-14) A soma de todas as soluções da equação 
2𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0, que estão contidas no 
intervalo [0, 2𝜋], é igual a 
a) 2𝜋 
b) 3𝜋 
c) 4𝜋 
d) 5𝜋 
e) 6𝜋 
 
 
Ex04: (EsPCEx-16) A soma das soluções da equação cos(2𝑥) −
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, com 𝑥 ∈ [0, 2𝜋), é igual a 
a) 
5𝜋
3
 
b) 2𝜋 
c) 
7𝜋
3
 
d) 𝜋 
e) 
8𝜋
3
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
 
1. Inequações imediatas em seno, cosseno e tangente 
a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥
√2
2
 b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 < −
1
2
 
 
 
 
 
 
c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥
√2
2
 d) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ −
1
2
 
 
 
 
 
 
e) 𝑡𝑔𝑥 > 1 f) 𝑡𝑔𝑥 ≤ −
√3
3
 
 
 
 
 
 
2. Inequações polinomiais 
a) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0 
 
 
 
 
 
 
b) {2𝑠𝑒𝑛
2𝑥 − 7𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0
 
 
 
 
 
 
3. Inequações produto e quociente 
a) (4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1)(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − √3) ≤ 0 
 
 
 
 
 
 
Aula 15: Inequações trigonométricas 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
*EXERCÍCIOS* 
01. (CESGRANRIO) Uma escada de 2m de comprimento está 
apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° 
com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: 
a) 0,5 m 
b) 1 m 
c) 1,5 m 
d) 1,7 m 
e) 2 m 
 
02. (UNESP) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam 
formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra 
na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma 
rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do 
posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em 
quilômetros, é 
a) 
√2
8
 
b) 
√2
4
 
c) 
√3
2
 
d) √2 
e) 2√2 
 
03. (UFSM) Um estudante de Engenharia vê um prédio do 
Campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um 
ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-
lo sob um ângulo de 60°. Considerando que a base do prédio está 
no mesmo nível do olho do estudante, então a altura h do prédio 
é igual a 
a) 30√3 𝑚 
b) 20√3 𝑚 
c) 30 𝑚 
d) 10√3 𝑚 
e) 28 𝑚 
 
04. (UFSC) Na figura, 0 ,
2

  C é o centro do círculo, AB 
tangencia o círculo no ponto A, os pontos B, C e D estão 
alinhados, assim como os pontos A, C e E. 
 
Uma condição necessária e suficiente para que as duas áreas 
sombreadas na figura sejam iguais é 
a) .tg   
b) 2 .tg   
c) 4 .tg   
d) 2 .tg   
e) .
2
tg

 
05. (ENEM) Para determinar a distância de um barco até a praia, 
um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um 
ponto A, mediu o ângulovisual  fazendo mira em um ponto 
fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu 
até um ponto B de mdo que fosse possível ver o mesmo ponto P 
da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura ilustra 
ssa situação: 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º  e, ao 
chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a 
distância AB = 2000m. Com base nesses dados e mantendo a 
mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P 
será 
a) 1000 𝑚 
b) 1000√3 𝑚 
c) 2000
√3
3
 𝑚 
d) 2000 𝑚 
e) 2000√3 𝑚 
 
06. (UFES-Adapatada) Um homem de 1,80m de altura avista o 
topo de um edifício sob um ângulo de 45° em relação à 
horizontal. Quando ele se aproxima 20m do edifício, esse ângulo 
aumenta para 60°. Qual a altura do edifício, em metro? 
a) 31,8 + 10√3 
b) 31,8 + √3 
c) 30 + 10√3 
d) 38 + 10√3 
e) 31 + 15√3 
 
07. (UNICAMP-Adaptada) Para medir a largura AC de um rio 
um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B 
de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que 
o ângulo ABC fosse 60°; determinou o ponto D no 
prolongamento de CA de forma que o ângulo ˆCBD fosse de 90°. 
Medindo AD 40 m, achou a largura do rio. Determine essa 
largura 
 
a) 120 m 
b) 100 m 
c) 110 m 
d) 80 m 
e) 90 m 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
08. (ITA) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de 
uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O 
primeiro, lançcado sob um ângulo 𝜃 entre 0 e 
𝜋
4
, atinge a torre a 
uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2𝜃,a tinge-
a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será: 
a) 𝐻 =
2ℎ𝑑2
𝑑2−ℎ2
 
b) 𝐻 =
2ℎ𝑑2
𝑑2+ℎ
 
c) 𝐻 =
2ℎ𝑑2
𝑑2−ℎ
 
d) 𝐻 =
2ℎ𝑑2
𝑑2+ℎ2
 
a) 𝐻 =
ℎ𝑑2
𝑑2+ℎ
 
 
09. Um homem inicia viagem quando os ponteiros do relógio 
estão juntos entre 8 e 9 horas; termina a viagem quando o 
ponteiro menor está entre 14 e 15 e o ponteiro maior a 180° do 
outro. Quanto tempo durou a viagem? 
a) 4 horas 
b) 5 horas 
c) 6 horas 
d) 7 horas 
e) 8 horas 
 
10. O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central 
medindo α radinaos é igual ao perímetro de um quadrado de lado 
R. Então α é igual a: 
a) 
𝜋
3
 
b) 2 
c) 1 
d) 
2𝜋
3
 
e) 
𝜋
2
 
 
11. (ITA) Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) = {
𝑎 (𝑥 +
𝜋
2
) se 𝑥 <
𝜋
2
𝜋
2
−
𝑎
𝑥
∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 se 𝑥 ≥
𝜋
2
 
Onde 𝑎 > 0 é uma constante. Considere 𝐾 = {𝑦 reais; 𝑓(𝑦) =
0}. Qual o valor de a, sabendo-se que 𝑓 (
𝜋
2
) ∈ 𝐾? 
a) 
𝜋
4
 
b) 
𝜋
2
 
c) 𝜋 
d) 
𝜋2
2
 
e) 𝜋2 
 
12. (ITA) Determine o valor de 𝑘 para que as raízes da equação 
do segundo grau (𝑘 − 5)𝑥2 − 4𝑘𝑥 + 𝑘 − 2 = 0 seja o seno e o 
cosseno de um mesmo arco. 
 
 
 
13. (ITA) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros 
das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos 
varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a 
a) 
23𝜋
11
 
b) 
16𝜋
6
 
c) 
24𝜋
11
 
d) 
25𝜋
11
 
e) 
7𝜋
3
 
 
14. (FGV) Na circunferência trigonométrica de raio unitário 
indicado na figura abaixo, o arco 𝐴�̂� mede 𝛼. Assim, 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ é igual 
a: 
 
a) −1 − 𝑡𝑔𝛼 
b) 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 
c) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 
d) 1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 
e) −1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 
 
15. (UFOP) No ciclo trigonométrico representado na figura 
abaixo, temos 𝛼 = 1200. 
 
O valor de (𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅)2 é 
a) 
1
3
 
b) 
√3
3
 
c) √3 
d) 3 
 
16. (EsPCEx-00) Se y é a medida de um ângulo 00 < 𝑦 < 300, 
o maior dentre os números 𝑠𝑒𝑛𝑦, 𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝑠𝑒𝑛2𝑦, 𝑐𝑜𝑠2𝑦 e 𝑠𝑒𝑛𝑦 ∙
𝑐𝑜𝑠𝑦 é 
a) 𝑠𝑒𝑛𝑦 
b) 𝑐𝑜𝑠𝑦 
c) 𝑠𝑒𝑛2𝑦 
d) 𝑐𝑜𝑠2𝑦 
e) 𝑠𝑒𝑛𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
17. (EsPCEx-00) Pode-se afirmar que o sistema 
{
2𝑥 − 1 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥 − 2 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
, 𝑥 ∈ ℝ e 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 
a) possui apenas um par ordenado (𝑥, 𝜃) como solução. 
b) possui dois pares ordenados (𝑥, 𝜃) como solução. 
c) possui três pares ordenados (𝑥, 𝜃) como solução. 
d) possui infinitas soluções. 
e) não possui solução. 
 
 
18. (EsPCEx-00) Sendo {𝑘 ∈ ℤ e 𝑥 ≠
𝑘𝜋
4
}, então 2 −
2𝑡𝑔𝑥
𝑡𝑔2𝑥
 é 
equivalente a 
a) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
b) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
c) 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
d) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
e) 1 
 
 
19. (EsPCEx-01) No círculo trigonométrico (raio = 1), 
representado na figura, a medida de β é 150º e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ representa um 
diâmetro. O valor do produto das medidas dos segmentos 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ e 
𝑂𝐷̅̅ ̅̅ é: 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 
√3
4
 
d) 
√3
2
 
e) 
√2
2
 
 
 
20. (EsPCEx-01) A cossecante do ângulo α da figura abaixo é: 
a) 
4
3
 
b) 
4
5
 
c) −
3
5
 
d) 
5
3
 
e) −
5
4
 
 
 
 
 
21. (EsPCEx-02) Se o cosseno de um ângulo de medida k é o 
dobro do cosseno de um outro ângulo de medida w, ambos 
pertencentes ao 1º quadrante, pode-se afirmar que todos os 
valores de w que satisfazem esta condição pertencem ao 
intervalo 
a) [0º, 15º] 
b) [15º, 30º] 
c) [30º, 45º] 
d) [45º, 60º] 
e) [60º, 90º] 
 
22. (EsPCEx-02) Se 𝑧 =
2−3𝑠𝑒𝑛𝑥
4
 , pode-se afirmar que todos os 
valores de z que satisfazem essa igualdade estão compreendidos 
em 
a) −2 ≤ 𝑧 ≤ −1 
b) −1 ≤ 𝑧 ≤ −
1
4
 
c) −
1
4
≤ 𝑧 ≤
5
4
 
d) 0 ≤ 𝑧 ≤
3
2
 
e) 
1
4
≤ 𝑧 ≤ 2 
 
 
23. (EsPCEx-05) A água utilizada em uma fortificação é captada 
e bombeada do rio para uma caixa d’água localizada a 50 m de 
distância da bomba. A fortificação está a 80 m de distância da 
caixa d’água e o ângulo formado pelas direções bomba – caixa 
d’água e caixa d’água – fortificação é de 60º, conforme mostra a 
figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, 
diretamente para a fortificação, quantos metros de tubulação são 
necessários? 
 
a) 54 metros 
b) 55 metros 
c) 65 metros 
d) 70 metros 
e) 75 metros 
 
 
24. (EsPCEx-05) A função 𝑓(𝑥) = [𝑠𝑒𝑛2𝑥 ∙ (
1
2𝑐𝑜𝑠𝑥
+
1
2𝑠𝑒𝑛𝑥
)]
2
−
𝑠𝑒𝑛2𝑥 é definida para todo x real e 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, com k inteiro. Nessas 
condições, pode-se afirmar que 
a) 𝑓(2006) = 𝑓(2004) + 𝑓(2005) 
b) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 2𝑓(2003) 
c) 𝑓(2006) = 𝑓(2005) + 𝑓(2004) + 𝑓(2003) 
d) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 𝑓(2004) 
e) 𝑓(2006) = 𝑓(2003) + 𝑓(2004) − 𝑓(2005) 
 
 
25. (ITA) Sobre o período da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 podemos 
afirmar que: 
a) é uma função periódica de período 4𝜋 
b) é uma função periódica de período 2𝜋 
c) é uma função periódica de período 𝜋 
d) é uma função periódica onde o período pertence ao intervalo 
(𝜋, 2𝜋) 
 
26. (EsPCEx-09) O número de arcos no intervalo [0,
19𝜋
6
] cujo 
valor do cosseno é igual a 
1
2
 é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
27. (EsPCEx-06) Conforme a figura, a 60 metros do chão o 
helicóptero H avista, sob um ângulo α, dois alvos 𝐵 e 𝐶, que 
serão logo abatidos. 
 
Se 𝐴𝐵 = 40𝑚 e 𝐵𝐶 = 260𝑚, então α mede 
a) 115º 
b) 30º 
c) 45º 
d) 60º 
e) 75º 
 
 
28. (EsPCEx-06) Os ângulos α e β pertencem aos triângulos 
abaixo 
 
Se o seno de β é o dobro do seno de α, então α pertence ao 
intervalo 
a) ]0º, 45º[ 
b) [45º, 60º] 
c) ]30º, 45º[ 
d) ]0º, 60º[ 
e) ]0º, 30º[ 
 
 
29. (EsPCEx-07) No triângulo ABC, a base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ mede 8 cm, o 
ângulo �̂� mede 30º e o segmento 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ é congruente ao segmento 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅, sendo M o ponto médio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . A medida, em centímetros, 
de altura h, relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ do triângulo ABC, é de 
 
a) √2 cm 
b) 2√2 cmc) √3 cm 
d) 2√3 cm 
e) 3√3 cm 
 
30. (UNIFRA) O período e a imagem da função real f definida 
por 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥, respectivamente, são: 
a) 𝜋 e [−3, 3] 
b) 4𝜋 e [−3, 3] 
c) 2𝜋/3 e [−2, 2] 
d) 6𝜋 e [−2, 2] 
e) 2𝜋 e [−1, 1] 
31. (EsPCEx-07) Os termos da sequência de números em 
progressão aritmética 
𝜋
3
,
7𝜋
12
,
5𝜋
6
, … correspondem às medidas em 
radianos de arcos, que podem ser representados na circunferência 
trigonométrica abaixo. 
Os pontos identificados por 0 a VII representam as medidas 
de arcos que dividem a circunferência trigonométrica em 8 partes 
iguais, medidas no sentido anti-horário, a partir de O. 
 
Nessas condições, o arco correspondente ao 13º termo da 
sequência, igualmente medido no sentido anti-horário e a partir 
de O, terá sua extremidade situada entre os pontos 
a) I e II 
b) II e III 
c) IV e V 
d) V e VI 
e) VII e 0 
 
32. (ITA) O valor de 𝑦2 − 𝑥𝑧 para o qual os números 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
12
, 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑠𝑒𝑛750, nesta ordem, formam uma progressão 
aritmética, é: 
a) 3−4 
b) 2−6 
c) 6−2 
d) 2−5 
e) 0 
 
33. (EsPCEx-09) As funções 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 estão 
representadas no gráfico abaixo. Então, a medida da área do 
triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos 
𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 é: 
 
 
a) 
𝜋
8
(2 − √2) 
b) 
𝜋
8
 
c) 
𝜋
16
(2 − √2) 
d) 
𝜋√2
16
 
e) 
𝜋
16
(1 − √2) 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
34. (EsPCEx-12) Em uma das primeiras tentativas de determinar 
a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade 
observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura 
conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente 
à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo 
esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado 
por: 
 
a) 𝑅 =
𝑠𝑒𝑛(𝛼ℎ)
1−𝑠𝑒𝑛𝛼
 
b) 𝑅 =
ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼
1−𝑠𝑒𝑛𝛼
 
c) 𝑅 =
ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼−1
 
d) 𝑅 =
1−𝑠𝑒𝑛𝛼
ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼
 
e) 𝑅 =
1+𝑠𝑒𝑛𝛼
ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼
 
 
 
35. (ITA) Se ℝ denota o conjunto dos números reais e (𝑎, 𝑏) o 
intervalo aberto {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}, seja 𝑓: (0,
𝜋
2
) → ℝ, definida 
por 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥. Se 𝛼 ∈ (0,
𝜋
2
) é tal que 𝑡𝑔𝛼 =
𝑎
𝑏
, então 𝑓(𝛼) é igual a: 
a) 
𝑎+𝑏
2
 
b) 
1
2
√𝑎2 + 𝑏2 
c) 
𝑎2−𝑏2
𝑎𝑏
 
d) 
𝑎2+𝑏2
𝑎𝑏
 
e) n.d.a. 
 
 
 
36. (EsPCEx) O valor da expressão é: 
𝑠𝑒𝑛800 ∙ 𝑐𝑜𝑠400 + 𝑠𝑒𝑛400 ∙ 𝑐𝑜𝑠800
𝑐𝑜𝑠720 ∙ 𝑐𝑜𝑠270 + 𝑠𝑒𝑛720 ∙ 𝑠𝑒𝑛270
 
a) 
√6
2
 
b) 
√3
2
 
c) 
√3
4
 
d) 
√6
3
 
e) 
2√3
5
 
 
 
 
37. (ITA) Sejam f e g duas funções definidas por 𝑓(𝑥) =
√2
3𝑠𝑒𝑛𝑥−1
 e 𝑔(𝑥) = (
1
2
)
3𝑠𝑒𝑛2𝑥−1
, 𝑥 ∈ ℝ. A soma do valor 
mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a: 
a) 0 
b) -1/4 
c) 1/4 
d) 1/2 
e) 1 
 
 
38. (EsPCEx) Seja 𝐸 = 4𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥 . O valor máximo de 𝐸 e os 
correspondentes valores de x são, respectivamente: 
a) 
1
2
 e 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
b) 1 e 
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
c) 1 e 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
d) 2 e 
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
e) 2 e 
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
 
 
39. (EsPCEx-11) A função real 𝑓(𝑥) está representada no 
gráfico abaixo 
 
A expressão algébrica de 𝑓(𝑥) é 
a) 𝑓(𝑥) = {
−|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 < 0
|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 ≥ 0
 
b) 𝑓(𝑥) = {
|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 < 0
|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 ≥ 0
 
c) 𝑓(𝑥) = {
−|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 < 0
|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 ≥ 0
 
d) 𝑓(𝑥) = {
|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 < 0
|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 ≥ 0
 
e) 𝑓(𝑥) = {
−𝑠𝑒𝑛𝑥, se 𝑥 < 0
𝑐𝑜𝑠𝑥, se 𝑥 ≥ 0
 
 
 
40. (EsPCEx-14) O valor de 𝑐𝑜𝑠1650 + 𝑠𝑒𝑛1550 + 𝑐𝑜𝑠1450 −
𝑠𝑒𝑛250 + 𝑐𝑜𝑠350 + 𝑐𝑜𝑠150 é 
a) √2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 
1
2
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
41. (EsPCEx-12) Os pontos P e Q representados no círculo 
trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois 
arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados 
respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de 
𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) é 
 
 
 
a) 
3+√3
3
 
b) 
3−√3
3
 
c) 2 + √3 
d) 2 − √3 
e) −1 + √3 
 
 
42. (EsPCEx-13) Um tenente do Exército está fazendo um 
levantamento topográfico da região onde será realizado um 
exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que 
corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: 
marcou dois pontos, 𝐴 (uma árvore que ele observou na outra 
margem) e 𝐵 (uma estaca que ele fincou no chão na margem 
onde ele se encontra); marcou um ponto 𝐶 distante 9 metros de 
𝐵, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo 
que o ângulo no ponto 𝐵 seja reto e obteve uma medida de 
𝜋
3
 rad para o ângulo 𝐴�̂�𝐵. Qual foi a largura do rio que ele 
encontrou? 
a) 9√3 metros 
b) 3√3 metros 
c) 
9√3
2
 metros 
d) √3 metros 
e) 4,5 metros 
 
 
43. (EsPCEx-14) A população de peixes em uma lagoa varia 
conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período 
chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é 
descrita pela expressão 𝑃(𝑡) = 103 ∙ (𝑐𝑜𝑠 (
𝑡−2
6
𝜋) + 5) em que o 
tempo t é medido em meses. É correto afirmar que 
a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano 
b) a população atinge seu máximo em 𝑡 = 6 
c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano 
d) a população média anual é de 6.000 animais 
e) a população atinte seu mínimo em 𝑡 = 4 com 6.000 animais 
 
44. (EsPCEx-14) Seja 𝛽 =
1
2
∙
𝑙𝑜𝑔103
𝑙𝑜𝑔103−𝑙𝑜𝑔107
. O conjunto solução 
da desigualdade 3𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ (
3
7
)
𝛽
 no intervalo [0, 2𝜋), é igual a 
a) [0,
𝜋
3
[ 
b) [
𝜋
3
,
5𝜋
3
] 
c) [
𝜋
3
, 2𝜋] 
d) [
𝜋
3
, 2𝜋[ 
e) [
3𝜋
2
, 2𝜋[ 
 
45. (EsPCEx-17) Considere o triângulo com ângulos internos 
𝑥, 450 e 1200. O valor de 𝑡𝑔2𝑥 é igual a 
a) √3 − 2 
b) 4√3 − 7 
c) 7 − 4√3 
d) 2 − √3 
e) 2 − 4√3 
 
46. (EsPCEx-17) O conjunto solução da inequação 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 ≥ 0, no intervalo ]0, 2𝜋] é 
a) [
2𝜋
3
,
4𝜋
3
] 
b) [
𝜋
3
,
5𝜋
6
] 
c) [
𝜋
3
,
5𝜋
3
] 
d) [
𝜋
3
,
2𝜋
3
] ∪ [
4𝜋
3
,
5𝜋
3
] 
e) [
𝜋
6
,
5𝜋
6
] ∪ [
7𝜋
6
,
10𝜋
6
] 
 
47. (EsPCEx-17) Sendo 𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥), 𝑁 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
𝑥
) e 𝑃 =
𝑡𝑔(𝑀 − 𝑁), o valor de 30𝑃 para 𝑥 = 15 é 
a) 
224
30
 
b) 
45
6
 
c) 45 
d) 224 
e) 225 
 
48. (EsPCEx-18) Dentre as alternativas a seguir, aquela que 
apresenta uma função trigonométrica de período 2𝜋, cujo gráfico 
está representado na figura abaixo é 
 
a) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) = 1 + cos (𝜋 − 𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) = 2 − cos (𝜋 + 𝑥) 
d) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑥) 
e) 𝑓(𝑥) = 1 − cos (𝜋 − 𝑥) 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
49. (EsPCEx-18) O número de raízes reais da equação 
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0 no intervalo ]0, 2𝜋[ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
50. (EsPCEx-96) De posse dos dados da figura abaixo e sabendo 
que as circunferências são tangentes entre si e que ambas 
tangenciam os lados do ângulo 𝐴�̂�𝐵, pode-se concluir que o 
valor de 𝑠𝑒𝑛𝛼 é igual a: 
 
a) 
𝑅+𝑟
𝑅−𝑟
 
b) 
𝑅−𝑟
𝑅+𝑟
 
c) 
𝑅
𝑅+𝑟
 
d) 
𝑅2
𝑅+𝑟
 
e) 
𝑅2
𝑅−𝑟
 
 
51. (EsPCEx-96) Da figura abaixo, sabe-se que 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
√2
2
. 
Então, o 𝑐𝑜𝑠𝛼 vale: 
 
a) 
√6
4
−
√2
4
 
b) 
√6
4
−
√3
4
 
c) 
√6
4
+
√2
4
 
d) 
√6
4
+
√3
4
 
e) 
√3
2
 
 
52. (EsPCEx-96) O valor de 𝑠𝑒𝑛
53𝜋
6
 é igual ao de: 
a) 𝑐𝑜𝑠2250 
b) 𝑐𝑜𝑠1500 
c) 𝑐𝑜𝑠600d) 𝑠𝑒𝑛2100 
e) 𝑠𝑒𝑛1200 
 
53. (EsPCEx-97) A equação 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑚2 − 𝑚 − 1 admite 
solução se, e somente se: 
a) 𝑚 ≤ 0 ou 𝑚 ≥ 1 
b) −1 ≤ 𝑚 ≤ 2 
c) 0 ≤ 𝑚 ≤ 2 
d) 𝑚 ≥ 0 ou 𝑚 ≤ 1 
e) −1 ≤ 𝑚 ≤ 0 ou 1 ≤ 𝑚 ≤ 2 
 
54. (EsPCEx-96) Simpliflicando a expressão 𝐸 = (1 +
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥) ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥), teremos: 
a) 𝐸 = 𝑡𝑔𝑥 
b) 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
c) 𝐸 = √2 
d) 𝐸 = 1 
e) 𝐸 = −1 
 
55. (EsPCEx-97) Para todo x real, pode-se afirmar que é sempre 
válida a relação: 
a) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
b) 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
c) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −1 
d) 𝑡𝑔𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
e) 𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
 
56. (EsPCEx-97) A figura abaixo representa o gráfico da função 
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ cos (𝑏𝑥). Os valores de a e b são, 
respectivamente: 
 
a) 1 e 2 
b) -1 e 1/2 
c) 1 e 1/2 
d) -1 e 1 
e) -1 e 2 
 
57. (EsPCEx-97) Considere as seguintes proposições: 
I. A função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (2𝑥 +
𝜋
6
) é periódica, de período 
𝜋
2
 
II. A equação 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
√3
2
 tem infinitas soluções 
III. Sendo 𝑡𝑔𝑥 =
3
4
 e 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
, temos 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
3
5
 e 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =
4
3
 
Sobre as proposições acima, pode-se afirmar que: 
a) todas são verdadeiras 
b) todas são falsas 
c) apenas I e II são verdadeiras 
d) apenas I e III são verdadeiras 
e) apenas II e III são verdadeiras 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
58. (EsPCEx-97) O ângulo 𝛼 =
32𝑘𝜋
3
𝑟𝑎𝑑, onde 𝑘 ∈ ℕ∗, é tal 
que: 
a) 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 > 0, se 𝑘 = 1 
b) 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 < 0, se 𝑘 = 2 
c) 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 > 0, se 𝑘 = 3 
d) 𝑠𝑒𝑛𝛼 não varia para 𝑘 = 1 ou 𝑘 = 2 
e) 𝑐𝑜𝑠𝛼 não varia para 𝑘 = 1 ou 𝑘 = 2 
 
 
59. (EsPCEx-97) Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =
5
4
 e que x pertence ao 
primeiro quadrante, o valor da expressão 25𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 9𝑡𝑔2𝑥 é: 
a) 2 
b) 3 
c) 0 
d) 4 
e) 1 
 
60. (EsPCEx-97) A soma das raízes da equação 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
3
4
= 0, 
onde 0 < 𝑥 < 3600, é 
a) 60º 
b) 240º 
c) 180º 
d) 720º 
e) 300º 
 
 
61. (EsPCEx-98) Se 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
5
, com 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, então o 
valor de 𝑠𝑒𝑛2𝑥 é: 
a) −
12
25
 
b) −
24
25
 
c) 
12
25
 
d) 
16
25
 
e) 
24
25
 
 
 
62. (EsPCEx-98) Sendo 𝑘 ∈ ℤ, o número de valores distintos 
assumidos por 𝑠𝑒𝑛
𝑘𝜋
9
 é igual a: 
a) 5 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 18 
 
 
63. (EsPCEx-98) Se 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 ≠ 0, então 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑦 é 
equivalente ao produto: 
a) (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦) ∙ (𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦) 
b) (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦) ∙ (𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑦) 
c) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑦) 
d) 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 
e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 
 
64. (EsPCEx-98) A soma das soluções da equação 
625𝑐𝑜𝑠
2𝑥
25𝑐𝑜𝑠𝑥
= 1, 
para 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 é: 
a) 
𝜋
6
 
b) 
𝜋
3
 
c) 
𝜋
2
 
d) 
2𝜋
3
 
e) 
5𝜋
6
 
 
65. (EsPCEx-98) Dada a função 𝑓(𝑥) =
1−𝑠𝑒𝑛2𝑥
1+𝑠𝑒𝑛2𝑥
 e o intervalo 
𝐼 = [0, 2𝜋], podemos afirmar que 
a) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼 e a imagem de f em I é [0, 2] 
b) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼|𝑥 ≠
3𝜋
2
 e a imagem de f em I é 
[0, 2[ 
c) f não é definida para 𝑥 = −1 e a imagem de f em I é ] − 1, 1[ 
d) f não é definida para 𝑥 =
𝜋
2
 e a imagem de f em I é [0, 2[ 
e) f não é definida para 𝑥 =
3𝜋
2
 e a imagem de f em I é [0, 1[ 
 
66. (EsPCEx-98) Para todo 𝑘 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ∗ e 𝑥 ∈ ℝ, a 
expressão [(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥]𝑛 é equivalente a: 
a) [𝑠𝑒𝑛(2𝑘𝜋)]𝑛 
b) [𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋 + 𝜋)]𝑛 
c) cos (𝑛𝑘𝜋) 
d) [𝑠𝑒𝑛 (2𝑘𝜋 +
𝜋
2
)]
𝑛
 
e) sen(𝑛𝑘𝜋) 
 
 
67. (EsPCEx-98) Dada a função 𝑓(𝑥) =
1−𝑠𝑒𝑛2𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
 e o itnervalo 
𝐼 = [0, 2𝜋], pode-se afirmar que: 
a) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼 e a imagem de f em I é [0, 2[ 
b) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼|𝑥 ≠
3𝜋
2
 e a imagem de f em I é 
[0, 2[ 
c) f não é definida para 𝑥 = −1 e a imagem de f em I é ] − 1, 1[ 
d) f não é definida para 𝑥 =
𝜋
2
 e a imagem de f em I é [0, 2[ 
e) f não é definida para 𝑥 =
3𝜋
2
 e a imagem de f em I é [0, 1[ 
 
68. (FGV) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da 
água do mar em um certo ponto era dada por 
𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑥
6
) 
em que x representa o número de horas decorridos a partir de 
zero hora de determinado dia, e a altura 𝑓(𝑥) é medida em 
metros. Em que isntantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a 
altura de 2,5m naquele dia? 
a) 5 e 9 horas 
b) 7 e 12 horas 
c) 4 e 8 horas 
d) 3 e 7 horas 
e) 6 e 10 horas 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
69. (EsPCEx-99) Na figura abaixo, estão representados os 
gráficos das funções reais 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥. 
 
O valor de x que satisfaz a equação 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 está entre: 
a) 0 e 1 
b) 1 e 1,6 
c) 1,6 e 3,4 
d) 2,4 e 3,2 
e) 3,2 e 4 
 
 
70. (EsPCEx-99) A equação 𝑓(𝑥) = −5 tem solução real se 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 10𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(|𝑥| + 1) 
 
71. (EsPCEx-99) Se 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑞 =
1
𝑥−1
 e sec 𝑞 =
√3−𝑥2
3−𝑥2
, então o 
valor de x que verifica essas igualdades é 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
1
4
 
d) 
3
4
 
e) 
3
2
 
 
72. (UFGO) Observe a figura a seguir, em que estão indicados 
as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos. 
 
O seno do ângulo indicado por α na figura vale: 
a) 
4√3−3
10
 
b) 
4−√3
10
 
c) 
4−3√3
10
 
d) 
4+3√3
10
 
e) 
4√3+3
10
 
73. (EsPCEx-99) Um triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 é inscrito num 
círculo trigonométrico de raio unitário, conforme a figura abaixo. 
 
Os vértices do triângulo estão nos pontos: 
a) 𝐴 (
√3
2
,
1
2
) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (
√3
2
, −
1
2
) 
b) 𝐴 (
√3
2
,
1
2
) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (
1
2
, −
√3
2
) 
c) 𝐴 (
1
2
,
√2
2
) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (
1
2
, −
√2
2
) 
d) 𝐴 (
√2
2
,
√2
2
) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (
√2
2
, −
√2
2
) 
e) 𝐴 (
1
2
,
√3
2
) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (
1
2
, −
√3
2
) 
 
74. (FEI) A soma das raízes da equação 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
cos(−𝑥) = 0, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, é igual a: 
a) 
3𝜋
2
 
b) 
5𝜋
2
 
c) 3𝜋 
d) 5𝜋 
e) 
7𝜋
2
 
 
 
75. (UECE) O valor de x mais próximo de 0, para o qual 
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
5𝜋
2
) = 1, é: 
a) −
𝜋
2
 
b) 
3𝜋
2
 
c) 𝜋 
d) 
𝜋
2
 
e) 0 
 
 
76. (VUNESP) O conjunto solução (S) para a inequação 2 ∙
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + cos(2𝑥) > 2, em que 0 < 𝑥 < 𝜋, é dado por: 
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|0 < 𝑥 <
𝜋
6
 ou 
5𝜋
6
< 𝑥 < 𝜋} 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|
𝜋
3
< 𝑥 <
2𝜋
3
} 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|0 < 𝑥 <
𝜋
3
 ou 
2𝜋
3
< 𝑥 < 𝜋} 
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|
𝜋
6
< 𝑥 <
5𝜋
6
} 
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)} 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 pcdamatematica 
 
77. (FGV) A soma das raízes da equação 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) no 
intervalo [0, 2𝜋] é: 
a) 
7𝜋
2
 
b) 
9𝜋
2
 
c) 
5𝜋
2
 
d) 3𝜋 
e) 
3𝜋
2
 
 
 
 
78. (FEI) Sabendo que 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 e que (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 +
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥, pode-se afirmar que x é igual a: 
a) 
𝜋
2
 
b) 
𝜋
3
 
c) 
𝜋
4
 
d) 
2𝜋
3
 
e) 𝜋 
 
79. (PUC) Assinale o valor de 𝜃 para o qual 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑡𝑔𝜃 
a) 
𝜋
2
 
b) 
𝜋
3
 
c) 
2𝜋
3
 
d) 
4𝜋
3
 
e) 
3𝜋
4
 
 
80. (FUVEST) O número real x, com 0 < 𝑥 < 𝜋, satisfaz a 
equação 𝑙𝑜𝑔3(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑙𝑜𝑔3(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = −2. Então, 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 vale 
a) 
1
3
 
b) 
2
3
 
c) 
7
9
 
d) 
8
9
 
e) 
10
9
 
 
81. Seja 𝑆 o conjunto