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Conjuntos Prof. João Marcos 1 Nível 1 1. Determine o número de conjuntos A que satisfazem a relação: 1,2 1,2,3,4,5 A 2. Dados os conjuntos 1,2,3,4,5A , 1,2,4,6,8B e 2,4,5,7C , obtenha um conjunto X tal que X A e . A X B C 3. Classifique como V ou F as sentenças a seguir: I. ( ) A B B A A B A B II. ( ) A B B A III. ( ) A B A IV. ( ) A B B 4. Se {3 | } A x x N e { |x é divisor de 120} B x N , calcule o número de elementos de: a) B b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) 𝐵 − 𝐴 5. Considerando os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que 24; 4; 16; 11, 10 n A B n A B n B C n A C n B C calcule: a) 𝑛(𝐴 − 𝐵) b) 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) c) 𝑛(𝐵 − (𝐶 ∪ 𝐴) 6. (ITA) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto: U 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 I. Ø ∈ U e n(U) = 10. II. Ø ⊂ U e n(U) = 10. III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U. IV. {0,1,2,5} ∩ {5} = 5. São verdadeiras: A. ( ) apenas I e III. B. ( ) apenas II e IV. C. ( ) apenas II e III. D. ( ) apenas IV. E. ( ) todas as afirmações. 7. (ITA) Seja o conjunto S = {r ∈ Q| r ≥ 0 e r² ≤ 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I. 5 7 S e S. 4 5 II. x R 0 }| x S .{ 2 III. 2 S. São verdadeiras: A. ( ) apenas I e II. B. ( ) apenas I e III. C. ( ) apenas II e III. D. ( ) apenas I. E. ( ) apenas II. 8. Dois conjuntos finitos A e B possuem m e n elementos respectivamente. Se o total de subconjuntos de A supera o total de subconjuntos de B em 112, calcule m. 9. Para quaisquer dois conjuntos A e B, A-(A-B) equivale a A. ( ) B B. ( ) A-B C. ( ) A ∩ 𝐵 D. ( ) 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 10. Para conjuntos A e B, a relação (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶𝑈(𝐴𝐶 ∩ 𝐵) equivale a A. ( ) 𝐴𝐶 B. ( ) 𝐵𝐶 C. ( ) A D. ( ) Nenhuma das anteriores. 11. SeY 1,2,3,4,5 ,A 1,2 eB 5 ,3,4, calcule (YxA) (YxB) 12. Se n A 4, n B 5 e n A B( ) 3, [calcule n AXB BXA ]. 13. Dados X e Y como os conjuntos de todos os divisores positivos de 400 e de 1000 respectivamente. Calcule n(𝑋 ∩ 𝑌). 14. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C − A = {7, 8, 9}; C − B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. O número de elementos do conjunto C é: A. ( ) 6 B. ( ) 7 C. ( ) 3 D. ( ) 4 E. ( ) 5 15. Marque a alternativa que possui a expressão que representa a região sombreada no Diagrama de Venn abaixo: A. ( ) (A∪B)∩(A∪C) B. ( ) (A∩B)∪(A∪C) C. ( ) (A∪B)∪A D. ( ) A∪(B∪C) E. ( ) (A∪B)∩(B∪C) 2 16. Seja 𝐴 = {1, {2}, {1,2}}. Considere as afirmações: I. 1 ∈ A II. 2 ∈ A III. ∅ ∈ A IV. {1,2} ⊂ 𝐴 Estão corretas: A. ( ) I e II B. ( ) I e III C. ( ) III e IV D. ( ) III E. ( ) I 17. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B é 30, o número de elementos de A ∩ C é 20 e o número de elementos de A ∩ B ∩ C é 15. Calcule o número de elementos de A ∩ (B U C). 18. Se P e Q são subconjuntos de A e P’ e Q’ seus respectivos complementares em A, então simplifique (P∩Q)U(P∩Q’). 19. Relativamente às operações com os conjuntos abaixo, é FALSO afirmar que: A. ( ) A U (B ∩C) = (A U B) ∩ (A U C) B. ( ) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) C. ( ) se A ∩ B = ∅, então A - B = A D. ( ) se A ∩ B = B ∩ A, então A = B E. ( ) se A - B = B - A, então A = B Nível 2 20. (ITA) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e n : \C C B A =128. Então, das afirmações abaixo: I. 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴) é único; II. 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐴) ≤ 128; III. a dupla ordenada (𝑛(𝐴), 𝑛(𝐵)) é única; É (são) verdadeira(s): A. ( ) apenas I. B. ( ) apenas II. C. ( ) apenas III. D. ( ) apenas I e II. E. ( ) nenhuma. 21. (ITA) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x A B é x A ou .x B II. . A B C A B A C III. \ \ \ . A B B A A B A B São falsas: A. ( ) apenas I. B. ( ) apenas II. C. ( ) apenas III. D. ( ) apenas I e III. E. ( ) nenhuma. 22. (ITA) Considere os conjuntos A, B ⊂ R e 𝐶 ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵). Se 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶 𝑒 𝐵 ∩ 𝐶 são os domínios das funções reais definidas por 2ln x , x 6x 8 e , 5 x π x respectivamente, pode-se afirmar que A. ( ) 𝐶 =]√𝜋, 5[ B. ( ) 𝐶 = [2, 𝜋] C. ( ) 𝐶 = [2, 5[ D. ( ) 𝐶 = [𝜋, 4] E. ( ) 𝐶 não é intervalo. 23. (ITA) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (𝐵𝐶 ∪ 𝐴)𝐶= {f, g, h}, 𝐵𝐶 ∩ 𝐴 = {a,b} e 𝐴𝐶 \B = {d,e}, então calcule n(P(A ∩ B)). 24. (ITA) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. Calcule o número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos do conjunto B. 25. Simplificando C C C CA B C A B C C obtemos A. ( ) B ∩ 𝐶𝐶 B. ( ) 𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐶 C. ( ) B ∩ 𝐶 D. ( ) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 26. Suponha que os conjuntos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴30 possuem 5 elementos cada um, e que os conjuntos 𝐵1 , 𝐵2, … , 𝐵𝑛 possuem 3 elementos cada um. Se o conjunto S é tal que 30 n i j i 1 j 1 S A B e que cada elemento de S pertence a exatamente 10 dos conjuntos 𝐴𝑖 e 9 dos conjuntos 𝐵𝑗 , então calcule n. 27. (ITA) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não- vazios, tais que ) 1 . n(P(A) P(B) n(P( A B)) Então, a diferença n(A) − n(B) pode assumir A. ( ) um único valor. B. ( ) apenas dois valores distintos. C. ( ) apenas três valores distintos. D. ( ) apenas quatro valores distintos. E. ( ) mais do que quatro valores distintos. 28. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer com B ≠ ∅, tais que: I. B ⊂ P(A), em que P(A) é o conjunto das partes de A; II. A e C são disjuntos. Com relação às seguintes proposições: I. (A B) C (A B C) II. (C B) (A B) A B C III. (A B) (C B) (A B) (C B) Podemos afirmar que A. ( ) Apenas I é verdadeira B. ( ) I e III são verdadeiras C. ( ) III é a única verdadeira D. ( ) I e II são verdadeiras E. ( ) todas são verdadeiras. 3 29. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos. O número de elementos do conjunto C-[(A ∩ B) ∩ C] pode variar entre: A. ( ) 2 e 4 B. ( ) 2 e 3 C. ( ) 0 e 4 D. ( ) 0 e 3 E. ( ) 0 e 2 30. A fórmula A - B = A ∩ B’ pode definir a diferença de dois conjuntos usando somente as operações de interseção e complemento. Da mesma forma, A U B pode ser representada por: A. ( ) [A B'] [B A'] [A B] B. ( ) [A B'] B C. ( ) [A B'] [B A'] [A B] D. ( ) [A B'] B 31. (IME) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que A. ( ) (X ∆ Y) ∩ (X ∩ Y) = Ø B. ( ) (X ∆ Y) ∩ (X – Y) = Ø C. ( ) (X ∆ Y) ∩ (Y – X) = Ø D. ( ) (X ∆ Y) U (X – Y) = X Nível 3 32. (PUTNAM) Determine o número de triplas ordenadas (𝐴1,𝐴2,𝐴3) de conjuntos tais que: I. 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, e II. 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = ∅, em que ∅ representa o conjunto vazio. Expresse a resposta na forma 2𝑎3𝑏5𝑐7𝑑 , em que a,b,c,d são inteiros não-negativos. 33. (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. (A \𝐵𝐶 ) \ 𝐶𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶); II. (A \𝐵𝐶 ) \ C = A ∪ (𝐵 ∩ 𝐶𝐶)𝐶; III. 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐶 = (𝐵 ∩ 𝐶)𝐶 . É (são) sempre verdadeiras(s) apenas: A. ( ) I B. ( ) II C. ( ) III D. ( ) I e III E. ( ) II e III 34. (ITA)Analise a existência de conjuntos A e B,ambos não vazios,tais que (𝐴\𝐵) ∪ (B\A)= A. 35. (ITA) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos dos naturais tais que (X – Y) ∩ Z = {1, 2, 3, 4} , Y = {5, 6}, Z ∩ Y = ∅, W ∩ (X – Z) = {7, 8} , X ∩ W ∩ Z = {2, 4} . Determine o conjunto dado pela expressão [X ∩ (Z ∪ W)] – [W ∩ (Y ∪ Z)]. 36. Dados os conjuntos M, N e P tais que 𝑁 ⊂ 𝑀, n(M∩N)=60%n(M), n(N∩P)=50%n(N), n(M∩N∩P)=40%n(P) e n(P)=x%n(M), calcule o valor de x. 37. (ITA) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de IR, não-vazios. Com respeito às afirmações: I. C C C CX {[Y (XUY) ] [X (X Y ) ]} X. II. Se Z X então . C Z Y X Z Y X Y III. C CSe X Y Z então Z X. temos que: A. ( ) apenas (I) é verdadeira. B. ( ) apenas (I) e (II) são verdadeiras. C. ( ) apenas (I) e (III) são verdadeiras. D. ( ) apenas (II) e (III) são verdadeiras. E. ( ) todas são verdadeiras. 38. (ITA) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 9, n(B U C) = 10, n(A U B U C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) =2. Calcule n(A) + n(B) + n(C). 39. (ITA) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações I. (𝐴 − 𝐵)𝐶 ∩ (𝐵 ∪ 𝐴𝐶)𝐶 = ∅ II. (𝐴 − 𝐵𝐶)𝐶 = 𝐵 − 𝐴𝐶 III. [(𝐴𝐶 − 𝐵) ∩ (𝐵 − 𝐴)]𝐶 = 𝐴 Sobre essas afirmações podemos garantir que: A. ( ) apenas a afirmação I é verdadeira. B. ( ) apenas a afirmação II é verdadeira. C. ( ) apenas a afirmação III é verdadeira. D. ( ) todas as afirmações são verdadeiras. E. ( ) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 40. (ITA) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: I. Se (E X G) ⊂ F X H), então E ⊂ F e G ⊂ H. II. Se (E X G) ⊂ (F X H), então (E X G) U (F X H) = F X H. III. Se (E X G) U (F X H) = (F X H), então (E X G) ⊂ (F X H). Então: A. ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira. B. ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira. C. ( ) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. D. ( ) Apenas as afirmações I e I são verdadeiras. E. ( ) Todas as afirmações são verdadeiras. 41. (IME) Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no mesmo conjunto universo U. Assinale a opção correta. A. ( ) Se A D C e B D C então A B C B. ( ) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B) C. ( ) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) D. ( ) (A B C) (A B C) (A B C) (A B) (B C)(A C) E. ( ) Se A C e B C então A B C 42. (IME) Sejam os conjuntos 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑆1 e 𝑆2 tais que (𝑃2 ∩ 𝑆1) ⊂ 𝑃1, (𝑃1 ∩ 𝑆2) ⊂ 𝑃2 e (𝑆1 ∩ 𝑆2) ⊂ (𝑃1 ∪ 𝑃2). Demonstre que (𝑆1 ∩ 𝑆2) ⊂ (𝑃1 ∩ 𝑃2). 4 Gabarito 1. 8 2. {1,3,5} 3. VVFV 4. a) 16 b) 8 c) 8 5. a) 8 b) 1 c) 7 6. C 7. D 8. 7 9. C 10. A 11. 12. 9 13. 12 14. E 15. A 16. B 17. 35 18. P 19. D 20. A 21. E 22. C 23. 2 24. 247 25. B 26. 45 27. A 28. C 29. A 30. A 31. A 32. 10 102 30 33. C 34. Não existem 35. {1,3,7,8} 36. 75 37. B 38. 18 39. A 40. E 41. E 42. demonst.
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