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Construção de um Absorvedor Dinâmico de Vibrações

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1 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
CAMPUS DE JOAÇABA 
ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS - ACET 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
ANDRE ZARDO CRUBER 
ADRIANO ANZANELLO 
CAMILA DA COSTA DOS SANTOS 
CRISTIANE BERNARDINI CHINATO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE UM ABSORVEDOR DE VIBRAÇÕES DINÂMICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOAÇABA 
2019 
2 
 
ANDRE ZARDO CRUBER 
ADRIANO ANZANELLO 
CAMILA DA COSTA DOS SANTOS 
CRISTIANE BERNARDINI CHINATO 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE UM ABSORVEDOR DE VIBRAÇÕES DINÂMICO 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado como parte das 
exigências da disciplina de Vibrações 
Mecânicas, pela Universidade do Oeste de 
Santa Catarina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Leonardo Ferreira Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOAÇABA 
2019 
3 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................4 
2 OBJETIVOS ........................................................................................................................................................... 5 
2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................................................5 
3 REFERENCIAL TEÓRICO ..............................................................................................................6 
3.1 ANÁLISE MATEMÁTICA DE UM SISTEMA VIBRATÓRIO NÃO AMORTECIDO COM DOIS 
GRAUS DE LIBERDADE SOB VIBRAÇÃO FORÇADA ......................................................................................... 6 
3.2 ANÁLISE MATEMÁTICA DE UM SISTEMA VIBRATÓRIO NÃO AMORTECIDO COM 
DOIS GRAUS DE LIBERDADE SOB VIBRAÇÃO FORÇADA ............................................................. 10 
3.3 ANÁLISE MATEMÁTICA PARA A DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS DE UM 
ABSORVEDOR DINÂMICO DE VIBRAÇÃO ........................................................................................ 11 
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .....................................................................................15 
4.1 ESTIMATIVAS DIMENSIONAIS PARA A VIGA .......................................................................15 
4.2 MEDIÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE DO MATERIAL ......................................................... 15 
4.3 ROTAÇÃO DO MOTOR CONFORME TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO (APROXIMADA) .....18 
4.4 MEDIÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DAS MOLAS ...........................................................19 
4.5 DETERMINAÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA DO MATERIAL DA VIGA (G10) ....................21 
4.6 DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DESEJADO (LIVRE) PARA A VIGA DO SISTEMA 
EM ENSAIO .................................................................................................................................................22 
4.7 DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO E FREQUÊNCIA DO SISTEMA VIBRATÓRIO EM 
ENSAIO ........................................................................................................................................................23 
4.8 MECANISMO DE VIBRAÇÃO .....................................................................................................24 
4.9 ENSAIO DO SISTEMA VIBRATÓRIO COM 1 GRAU DE LIBERDADE .................................25 
4.10 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DE VIBRAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA O 
SISTEMA COM 1 GRAU DE LIBERDADE ..............................................................................................25 
4.11 DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DO ABSORVEDOR DINÂMICO DE VIBRAÇÕES ...26 
4.12 DETERMINAÇÃO DAS NOVAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA COM 2 GRAUS 
DE LIBERDADE ..........................................................................................................................................27 
4.13 DETERMINAÇÃO DAS NOVAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA COM 2 GRAUS 
DE LIBERDADE ..........................................................................................................................................28 
4.14 ENSAIO DO SISTEMA VIBRATÓRIO COM O ABSORVEDOR DINÂMICO MONTADO (2 
GRAUS DE LIBERDADE) ..........................................................................................................................29 
4.15 ROTAÇÃO E FREQUÊNCIAS DO SISTEMA VIBRATÓRIO ....................................................29 
5 CONCLUSÃO .................................................................................................................................31 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................32
4 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
O presente trabalho apresenta o equacionamento necessário para o 
entendimento do modo de funcionamento em regime permanente de um sistema 
vibratório mecânico com dois graus de liberdade, através do qual, foi realizada a 
análise que leva ao equacionamento para o dimensionamento de um dispositivo 
absorvedor dinâmico de vibrações. 
Neste trabalho, ainda se verificam os cálculos e resultados obtidos com a 
construção de um sistema vibratório mecânico e de um absorvedor dinâmico de 
vibrações. 
 
 
 
5 
 
2 OBJETIVOS 
 
O presente trabalho tem como objetivo, demonstrar o equacionamento 
utilizado para a criação de um absorvedor dinâmico de vibrações, além da construção 
de um sistema vibratório para demonstração em bancada do princípio de 
funcionamento do absorvedor. 
 
2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
a. Revisar o equacionamento de um sistema com dois graus de liberdade. 
b. Interpretar o equacionamento que descreve a função resposta para um sistema 
vibratório com dois graus de liberdade sob vibração forçada. 
c. Identificar os parâmetros necessários para o projeto de um absorvedor 
dinâmico de vibrações. 
d. Analisar o equacionamento envolvido para o cálculo das novas frequências 
naturais do sistema, e a relação com os parâmetros primários do sistema 
(massas e molas equivalentes). 
e. Construir um sistema vibratório mecânico para demonstração. 
f. Construir um absorvedor dinâmico de vibrações para a frequência de 
ressonância do sistema vibratório construído. 
g. Identificar as novas frequências naturais do sistema com o absorvedor 
dinâmico de vibrações acoplado. 
 
 
6 
 
3 REFERENCIAL TEÓRICO 
 
Um absorvedor dinâmico de vibrações é um dispositivo que ao ser acoplado a um 
sistema vibratório, tem por objetivo reduzir a amplitude de vibração do sistema primário sujeito 
a uma força harmônica externa. Ao ser acoplado, o abservedor dinâmico de vibrações promove 
a redução da amplitude de vibração para a frequência específica que este foi projetado. 
Veremos a seguir a formulação matemática explicada por RAO (2008), que descreve o 
comportamento vibratório de um sistema com dois graus de liberdade, e que leva ao 
desenvolvimento do absorvedor dinâmico de vibrações como sendo o segundo grau de 
liberdade do sistema descrito. 
 
 
3.1 ANÁLISE MATEMÁTICA DE UM SISTEMA VIBRATÓRIO NÃO AMORTECIDO 
COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE 
 
 
Figura 1 - Sistema massa-mola-amortecedor 2GDL 
 
Fonte: Página Web - Desenvolvimento de um dispositivo ferador de vibroimpacto. 
 
 
 A aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa 𝑚1 e 𝑚2, temos: 
∑𝐹1 = 𝑚1𝑥1̈ (1) 
𝑚1𝑥1̈ + (𝑘1 + 𝑘2). 𝑥1 − 𝑘2.𝑥2 = 𝐹1 (2) 
∑𝐹2 = 𝑚2𝑥2̈ (3) 
𝑚2𝑥2̈ − 𝑘2.𝑥1 + 𝑘2.𝑥2 = 0 (4) 
[
𝑚1
𝑚2
] . {
𝑥1
𝑥2̈
̈ } + [
𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
] . {
𝑥1
𝑥2
} = {
𝐹1
0
} (5) 
 
 Considerando 𝐹1 = 0, para 𝑚1 e 𝑚2 oscilarem harmonicamente: 
7 
 
𝑚1𝑥1̈+ (𝑘1 + 𝑘2). 𝑥1 − 𝑘2.𝑥2 = 0 (6) 
𝑚2𝑥2̈ − 𝑘2.𝑥1 + 𝑘2.𝑥2 = 0 (7) 
 Sabe-se que: 
𝑥1(𝑡) = 𝑋1. cos(𝑤𝑡 − ∅) (8) 
𝑥2(𝑡) = 𝑋2. cos(𝑤𝑡 − ∅) (9) 
 Derivando duas vezes, obtem-se a aceleração: 
𝑥1̈(𝑡) = −𝑤
2. 𝑋1. cos(𝑤𝑡 − ∅) (10) 
𝑥2̈(𝑡) = −𝑤
2. 𝑋2. cos(𝑤𝑡 − ∅) (11) 
 Substituindo (8), (9), (10) e (11) em (6) e (7): 
 
𝑚1(−𝑤
2. 𝑋1. cos(𝑤𝑡 − ∅)) + (𝑘1 + 𝑘2). (𝑋1. cos(𝑤𝑡 − ∅) ) − 𝑘2.(𝑋2. cos(𝑤𝑡 − ∅)) = 0 
(12) 
𝑚2(−𝑤
2. 𝑋2. cos(𝑤𝑡 − ∅)) − 𝑘2.(𝑋1. cos(𝑤𝑡 − ∅)) + 𝑘2.(𝑋2. cos(𝑤𝑡 − ∅)) = 0 
(13) 
 
 Simplificando: 
[𝑚1(−𝑤
2. 𝑋1) + (𝑘1 + 𝑘2). 𝑋1 − 𝑘2.𝑋2]. cos(𝑤𝑡 − ∅) = 0 (14) 
[𝑚2(−𝑤
2. 𝑋2. ) − 𝑘2.𝑋1 + 𝑘2.𝑋2]. cos(𝑤𝑡 − ∅) = 0 (15) 
 
 Como (14) e (15) devem ser satisfeitas para todos os valores de (t), a resultante 
dos termos dos colchetes deve ser zero, portanto: 
𝑚1(−𝑤
2. 𝑋1) + (𝑘1 + 𝑘2). 𝑋1 − 𝑘2.𝑋2 = 0 (16) 
𝑚2(−𝑤
2. 𝑋2. ) − 𝑘2.𝑋1 + 𝑘2.𝑋2 = 0 (17) 
 Se 𝑋1 = 𝑋2 = 0, satisfaz a condição, o que implicaria em um sistema sem 
vibração, o qual não é o objetivo da análise. 
 Considerando que 𝑋1 ≠ 0 e 𝑋2 ≠ 0, para satisfazer as igualdades acima, o 
determinante da matriz formada por (16) e (17) deve ser zero: 
𝑑𝑒𝑡 [
−𝑚1. 𝑤
2 + (𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2.
−𝑘2. −𝑚2. 𝑤
2 + 𝑘2.
] = 0 (18) 
Ou 
𝑚1.𝑚2. 𝑤
4 − 𝑚1.𝑤
2. 𝑘2 − 𝑚2. 𝑤
2. 𝑘1 − 𝑚2.𝑤
2. 𝑘2 + 𝑘1. 𝑘2 + 𝑘2
2 − 𝑘2² = 0 
8 
 
(19) 
Simplificando 
𝑚1. 𝑚2. 𝑤
4 + (−𝑚1. 𝑘2 − 𝑚2. 𝑘1 − 𝑚2. 𝑘2). 𝑤
2 + 𝑘1. 𝑘2 = 0 (20) 
Definindo 𝑤2=𝛼²; 
𝑚1. 𝑚2. 𝛼² + (−𝑚1. 𝑘2 − 𝑚2. 𝑘1 − 𝑚2. 𝑘2). 𝛼 + 𝑘1. 𝑘2 = 0 (21) 
As raízes da equação (21), são definidas por: 
 
𝑤1, 𝑤2 = √
(𝑚2.𝑘1+(𝑚1+𝑚2).𝑘2)±√(−𝑚2.𝑘1−(𝑚1+𝑚2).𝑘2)2−4.𝑚1.𝑚2.𝑘1.𝑘2
2.𝑚1.𝑚2
 (22) 
 
 
 As frequências 𝑤1 e 𝑤2, são as frequências naturais do sistema, portanto 𝑤1 =
𝑤𝑛1 e 𝑤2 = 𝑤𝑛2 . 
 Reescrevendo as equações homogêneas (16) e (17) para determinar os modos 
de vibração: 
 [−𝑚1. 𝑤
2 + (𝑘1 + 𝑘2)]. 𝑋1 = 𝑘2.𝑋2 (23) 
−𝑘2.𝑋1 = [𝑚2. 𝑤
2 − 𝑘2]. 𝑋2 (24) 
 Para encontrar as amplitudes 𝑋1 e 𝑋2, sabe-se que: 
𝑟 =
𝑋1
𝑋2
 (25) 
 Portanto: 
𝑟 =
𝑋1
𝑋2
=
−𝑚1.𝑤
2+(𝑘1+𝑘2)
𝑘2
=
−𝑘2
𝑚2.𝑤
2−𝑘2
 (26) 
 Para as frequências 𝑤1 (primeiro modo) e 𝑤2 (segundo modo), devemos escrever 
as relações da seguinte maneira: 
 
𝑟1 =
𝑋1
(1)
𝑋2
(1)
=
−𝑚1.𝑤1
2+(𝑘1+𝑘2)
𝑘2
=
−𝑘2
𝑚2.𝑤1
2−𝑘2
 (27) 
𝑟2 =
𝑋1
(2)
𝑋2
(2)
=
−𝑚1.𝑤2
2+(𝑘1+𝑘2)
𝑘2
=
−𝑘2
𝑚2.𝑤2
2−𝑘2
 (28) 
 Assim, a partir das relações encontradas, precisamos calcular apenas uma das 
amplitudes, e os ângulos de fase ∅1 e ∅2. Para encontrar a outra amplitude apenas 
9 
 
aplicamos a devida relação de acordo com as equações (27) ou (28). 
 Para o primeiro modo de vibração: 
𝑋2
(1) = 𝑋1
(1). 𝑟1 (29) 
 Para o segundo modo de vibração: 
𝑋2
(2) = 𝑋1
(2). 𝑟2 (30) 
 Reescrevendo as equações (8) e (9), temos: 
𝑥1(𝑡) = 𝑋1
(1)
. cos(𝑤1𝑡 − ∅1) + 𝑋1
(2)
cos(𝑤2𝑡 − ∅2) (31) 
𝑥2(𝑡) = (𝑋1
(1). 𝑟1). cos(𝑤1𝑡 − ∅1) + (𝑋1
(2)
. 𝑟2) cos(𝑤2𝑡 − ∅2) (32) 
 Para determinar as constantes desconhecidas 𝑋1
(1)
, 𝑋1
(2)
, ∅1 e ∅2, precisamos 
conhecer as seguintes condições iniciais: 𝑥1(𝑡 = 0) = 𝑥10, 𝑥1̇(𝑡 = 0) = 𝑥10̇ , 
𝑥2(𝑡 = 0) = 𝑥20 e 𝑥2̇(𝑡 = 0) = 𝑥20̇ . 
 Substituindo as incógnitas em (31) e (32), temos: 
𝑥10 = 𝑋1
(1). cos(−∅1) + 𝑋1
(2). cos(−∅2) (33) 
𝑥10̇ = −𝑤1. 𝑋1
(1). sen(−∅1) + −𝑤2. 𝑋1
(2). sen(−∅2) (34) 
𝑥20 = 𝑟1. 𝑋1
(1). cos(−∅1) + 𝑟2. 𝑋1
(2). cos(−∅2) (35) 
𝑥20̇ = −𝑤1. 𝑟1. 𝑋1
(1). sen(−∅1) + −𝑤2. 𝑟2. 𝑋1
(2). sen(−∅2) (36) 
 A solução do sistema de equações pode ser definida por: 
 
𝑋1
(1). cos(−∅1) =
𝑟2.𝑥10−𝑥20
𝑟2−𝑟1
 (37) 
𝑋1
(2). cos(−∅2) =
−𝑟1.𝑥10−𝑥20
𝑟2−𝑟1
 (38) 
𝑋1
(1). sen(−∅1) =
−𝑟1.𝑥10̇ −𝑥20̇
𝑤1(𝑟2−𝑟1)
 (39) 
𝑋1
(2). sen(−∅2) =
𝑟1.𝑥10̇ −𝑥20̇
𝑤2(𝑟2−𝑟1)
 (40) 
 
 Da qual obtemos a solução desejada: 
𝑋1
(1) =
1
𝑟2−𝑟1
. √(𝑟2. 𝑥10 − 𝑥20)
2
+ (
−𝑟2.𝑥10̇ +𝑥20̇
𝑤1
)² (41) 
10 
 
 
𝑋1
(2) =
1
𝑟2−𝑟1
. √(−𝑟1. 𝑥10 + 𝑥20)
2
+ (
𝑟1.𝑥10̇ −𝑥20̇
𝑤2
)² (42) 
∅1 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
−𝑟2.𝑥10̇ +𝑥20̇
𝑤1.(𝑟2.𝑥10−𝑥20)
) (43) 
∅2 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
𝑟1.𝑥10̇ −𝑥20̇
𝑤2.(𝑟1.𝑥10+𝑥20)
) (44) 
 
3.2 ANÁLISE MATEMÁTICA DE UM SISTEMA VIBRATÓRIO NÃO AMORTECIDO 
COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE SOB VIBRAÇÃO FORÇADA 
 
Considerando 𝐹1 ≠ 0, as equações de movimento de 𝑚1 e 𝑚2 podem ser expressas de 
forma matricial, como 
[𝑚]�̈⃗� + [𝑐]�̇⃗� + [𝑘]�⃗� = �⃗� (45) 
 Onde [𝑚], [𝑐], e [𝑘] são denominadas as matrizes de massa, amortecimento e 
rigidez. 
 Considerando o amortecimento 𝑐 = 0, temos que: 
[
𝑚1
𝑚2
] . {
𝑥1
𝑥2̈
̈ } + [
𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
] . {
𝑥1
𝑥2
} = {
𝐹1
0
} (46) 
 Considerando 𝐹1 como uma força harmônica, com 𝑤 sendo a frequência de 
excitação, têm-se que: 
𝐹1(𝑡) = 𝐹1𝑒
𝑗.(𝑤𝑡−Φ) (47) 
 Ou 
𝐹1(𝑡) = 𝐹1 cos(𝑤𝑡 − 𝜙) (48) 
 Pode-se escrever a solução em regime permanente como: 
𝑋1(𝑡) = 𝑋1cos (𝑤1𝑡 − ∅1) (49) 
𝑋2(𝑡) = 𝑋2cos (𝑤2𝑡 − ∅2) (50) 
 
 Substituindo (47), (49) e (50) em (46): 
[
−𝑤2. 𝑚1 + (𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 −𝑤
2. 𝑚2−𝑘2
] {
𝑥1
𝑥2
} = {
𝐹1
0
} (51) 
 Da equação da amplitude: 𝑋 =
𝐹0
(𝑘−𝑚𝑤2)+𝑖𝑐𝑤
 (47), pode-se escrever que: 
𝑍(𝑖𝑤). 𝑋 = 𝐹0 (52) 
 Portanto, a Impedância mecânica do sistema é definida como: 
11 
 
𝑍(𝑖𝑤) = −𝑚𝑤
2 + 𝑖𝑤 𝑐 + 𝑘 (53) 
 Escrevendo a matriz impedância mecânica, também conhecida como rigidez 
dinânica, têm-se que: 
[𝑍𝑖𝑤] = [
−𝑤2. 𝑚1 + (𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 −𝑤
2. 𝑚2−𝑘2
] (54) 
 A solução do sistema pode ser obtida fazendo a inversa da matriz impedância, 
que também é chamada de matriz receptância: 
𝐻(𝑠) = [𝑍𝑖𝑤]−1 (55) 
[𝑍𝑖𝑤]
−1 =
1
[𝑍11(𝑖𝑤).𝑍22(𝑖𝑤)− 𝑍12(𝑖𝑤)²]
[
𝑍22(𝑖𝑤) −𝑍12(𝑖𝑤)
−𝑍12(𝑖𝑤) 𝑍11(𝑖𝑤)
] (56) 
[𝑍𝑖𝑤]
−1 =
1
[(−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2)).(−𝑤
2.𝑚2−𝑘2)−𝑘2
2]
[
−𝑤2. 𝑚2−𝑘2 𝑘2
𝑘2 −𝑤
2. 𝑚1 + (𝑘1 + 𝑘2)
] (57) 
 
 Como 𝑍(𝑖𝑤). �⃗� = �⃗�0 (48), pode-se dizer que: �⃗� = [𝑍(𝑖𝑤)]
−1. �⃗�0 (58). 
Portanto, fazendo algumas manipulações matemáticas, temos: 
𝑋1(𝑖𝑤) =
𝑍22(𝑖𝑤).𝐹1− 𝑍12(𝑖𝑤).0
𝑍11(𝑖𝑤).𝑍22(𝑖𝑤)−𝑍12(𝑖𝑤)²
 (59) 
𝑋2(𝑖𝑤) =
𝑍11(𝑖𝑤).0− 𝑍12(𝑖𝑤).𝐹1
𝑍11(𝑖𝑤).𝑍22(𝑖𝑤)−𝑍12(𝑖𝑤)²
 (60) 
Substituindo os valores: 
 𝑋1(𝑖𝑤) =
(−𝑤2.𝑚2−𝑘2)𝐹1−𝑘2.0
(−𝑤2.𝑚2−𝑘2).(−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2))−𝑘2²
 (61) 
𝑋2(𝑖𝑤) =
−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2).0 −𝑘2.𝐹1
(−𝑤2.𝑚2−𝑘2).(−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2))−𝑘2²
 (62) 
Substituindo as Equações, podemos determinar a solução completa do sistema: 
𝑋1(𝑡) =
(−𝑤2.𝑚2−𝑘2)𝐹1−𝑘2.0
(−𝑤2.𝑚2−𝑘2).(−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2))−𝑘2²
 cos (𝑤1𝑡 − ∅1) (63) 
𝑋2(𝑡) = 
−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2).0 −𝑘2.𝐹1
(−𝑤2.𝑚2−𝑘2).(−𝑤2.𝑚1+(𝑘1+𝑘2))−𝑘2²
cos (𝑤2𝑡 − ∅2) (64) 
 
3.3 ANÁLISE MATEMÁTICA PARA A DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS DE UM 
ABSORVEDOR DINÂMICO DE VIBRAÇÃO 
 
 
Para a definição dos parâmetros do absrovedor dinâmico de vibrações, 
consideraremos o sistema vibratório primário (compreendidos por M1 e K1) como o 
sistema original, e os componentes do segundo grau de liberdade (compreendidos por 
M2 e K2) como sendo o absorvedor dinâmico de vibrações. 
Tendo a seguinte equação de amplitude de regume permanente da massa 𝒎𝟏: 
12 
 
𝑋1 =
(−𝑤2.𝑚2+𝑘2)𝐹1
𝑚1.𝑚2.𝑤4−𝑤²(𝑚1.𝑘2+𝑚2.𝑘1+𝑚2.𝑘2).𝑤2+𝑘1.𝑘2
 (63) 
Como a ideia central por trás da adição de um absorvedor ddinâmico de 
vibração é reduzir a amplitude de vibração de 𝑚1, devemos igualar o numerador da 
equação acima descrita a zero: 
 
(−𝒘𝟐. 𝒎𝟐+𝒌𝟐)𝑭𝟏 = 𝟎 
 Para zerar a amplitude, o caminho mais prático seria eliminar a força 𝑭𝟏, 
porém, com isso, seria desnecessário o uso de um absorvedor dinâmico de vibrações, 
pois simplesmente não haveria vibração no sistema. 
 O segundo caminho para zerar a amplitude é zerar o valor resultante dos 
termos contidos dentro dos parênteses: 
−𝒘𝟐. 𝒎𝟐+𝒌𝟐 = 𝟎 
𝒘𝟐 =
𝒌𝟐
𝒎𝟐
 (64) 
𝒘 = √
𝒌𝟐
𝒎𝟐
 (65) 
 Considerando que antes da adição de absorvedor dinâmico de vibração 
(compreendido pela mola equivalente 𝒌𝟐 e massa equivalente 𝒎𝟐, o sistema original 
(descrito por 𝒌𝟏 e 𝒎𝟏) já esteja trabalhando em uma frequência próxima à natural, 
temos que: 
𝒘 ≅ 𝒘𝟏 = √
𝒌𝟏
𝒎𝟏
 (66) 
Sendo que: 
𝒘 – Frequência de trabalho; 
𝒘𝟏 – Frequência natural original; 
Então, temos que: 
 
𝒘𝟐 =
𝒌𝟏
𝒎𝟏
=
𝒌𝟐
𝒎𝟐
 (67) 
Ou, olhando cada grau de liberdade separadamente: 
𝒘𝟏=√
𝒌𝟏
𝒎𝟏
 (68) 
𝒘𝟐=√
𝒌𝟐
𝒎𝟐
 (69) 
Como a amplitude de vibração de 𝒎𝟏 será zero, também podemos definir: 
13 
 
∆𝒔𝒕=
𝑭𝟏
𝒌𝟏
 (70) 
Assim, podemos reescrever o par de equações (61) e (62) como: 
𝑿𝟏
∆𝒔𝒕
=
𝟏−(
𝒘
𝒘𝟐
)²
[𝟏+
𝒌𝟐
𝒌𝟏
−(
𝒘
𝒘𝟏
)
𝟐
].[𝟏−(
𝒘
𝒘𝟐
)
𝟐
]−
𝒌𝟐
𝒌𝟏
 (71) 
𝑿𝟐
∆𝒔𝒕
=
𝟏
[𝟏+
𝒌𝟐
𝒌𝟏
−(
𝒘
𝒘𝟏
)
𝟐
].[𝟏−(
𝒘
𝒘𝟐
)
𝟐
]−
𝒌𝟐
𝒌𝟏
 (72) 
Como visto anteriormente para a situação em que 𝒘 = 𝒘𝟏, temos que 𝑿𝟏 = 𝟎, porém 
ainda não conhecemos 𝑿𝟐. Para encontrar 𝑿𝟐, tem-se a seguinte relação: 
𝑿𝟐 =
−𝒌𝟏
𝒌𝟐
. ∆𝒔𝒕= −
𝑭𝟏
𝒌𝟐
 (73) 
Assim, é demonstrado que a força exercida pela mola 2 é oposta à força resultante 
sobre 𝒎𝟏. 
 
𝒌𝟐. 𝑿𝟐 = −𝒌𝟏. ∆𝒔𝒕 ∴ 𝒌𝟐. 𝑿𝟐 = 𝒎𝟐.𝒘
𝟐. 𝑿𝟐 = −𝑭𝟏 (74) 
Logo, os valores de 𝒌𝟐 e 𝒎𝟐 dependem do valor permissível de 𝑿𝟐. 
Por fim, deve-se conhecer as duas novas frequências de ressonância do sistema, 
a fim de evitarmos que a frequência de trabalho se aproxime destas. Para tal, podemos 
utilizar a equação antes descrita: 
𝑤1, 𝑤2 = √
(𝑚2.𝑘1+(𝑚1+𝑚2).𝑘2)±√(−𝑚2.𝑘1−(𝑚1+𝑚2).𝑘2)2−4.𝑚1.𝑚2.𝑘1.𝑘2
2.𝑚1.𝑚2
 (75) 
 
Para simplificar a operação, temos a seguinte equação, onde as duas 
frequências de ressonância são encontradas a partir de uma relação entre estas e a 
frequência natural do absorvedor dinâmico: 
(
𝒘𝟏
𝒘𝟐
)
𝟐
, (
𝒘𝟐
𝒘𝟐
)
𝟐
=
[𝟏+(𝟏+
𝒎𝟐
𝒎𝟏
).(
𝒘𝟐
𝒘𝟏
)²]∓[(𝟏+(𝟏+
𝒎𝟐
𝒎𝟏
).(
𝒘𝟐
𝒘𝟏
)
𝟐
)
𝟐
−𝟒.(
𝒘𝟐
𝒘𝟏
)²]
𝟐.(
𝒘𝟐
𝒘𝟏
)²
𝟏
𝟐
 (76) 
 
Observações: 
a. Com a introdução do absorvedor dinâmico de vibrações, ou seja, de um 
segundo grau de liberdade ao sistema original, o sistema resultante 
passará a ter duas frequências naturais, sendo uma menor e outra maior 
que a frequência natural do sistema original. Para tal, deve-se ter 
cuidado quando se utilizar qualquer outra frequência de trabalho, ou na 
14 
 
partida de uma máquina (quando for o caso). 
b. Com o absorvedor dinâmico de vibrações dimensionado para uma 
frequência, a amplitude da vibração sistema original (compreendido 
pelo deslocamento da massa M1) será zero apenas para esta frequência. 
Para qualquer outra frequência de operação, haverá uma amplitude de 
vibração sobre M1. Se for desejado que o sistema trabalhe em uma 
frequência diferente, o absorvedor deve ser redimensionado, ou deve-
se procurar substituí-lo por um sistema de controle de vibrações ativo 
(caso se deseje uma amplitude de vibração próxima de zero em uma 
larga faixa de operação). 
 
Quando se adiciona o absorvedor dinâmico de vibrações ao sistema original, 
há ainda um outro método para se encontrar as novas frequências naturais do sistema, 
a partir de dados já conhecidos, sendo eles, a frequência natural do sistema original 
𝝎𝟏, a frequência natural do absorvedor dinâmico 𝝎𝟐 e a relação entre as massas 
equivalentes M1 e M2. De posse desses dados, basta observar o seguinte gráfico, do 
qual podemos extrair com boa aproximação as novas frequências naturais do sistema 
com o absorvedor acoplado. 
Figura 2 – Ábaco para definição das novas frequências naturais com o absorvedor dinâmico de 
vibrações acoplado. 
 
Fonte: Rao (2008) 
 
15 
 
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 
 
4.1 ESTIMATIVAS DIMENSIONAIS PARA A VIGA 
 
 Inicialmente, antes de construir o sistema, foi definida a largura da viga, a qual 
teria um comprimento significativo para o ensaio, e que fornecesse uma boa amplitude 
de vibração, facilitando a visualização. A largura também deveria atender a uma larga 
faixa de frequências possíveis para o sistema vibratório. 
 
Figura 3 - Estimativas dimensionais preliminares para a viga de G10. 
 
Fonte: os autores 
 
 
 
4.2 MEDIÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE DO MATERIAL 
 
Utilizou-se como material para a confecção da viga, o material com nome 
comercial G10 (que é composto por fibra de vidro e resinas), devido a este ter peso 
específico menor que até mesmo o alumínio, e possuir alta resistência. Além disso, o 
mesmo vem em placas de espessura constante, o que permite uma boa flexibilidade 
dimensional para a viga do sistema. 
Seu módulo de elasticidade e seu coeficiente de amortecimento é 
consideravelmentemenor que o do alumínio, porém aumentando-se a seção da viga, é 
possível conseguir uma rigidez equivalente, e ainda assim, manter a massa equivalente 
pequena. 
Para a medição do módulo de elasticidade, foi posicionado o dispositivo 
utilizado (normalmente utilizado na máquina universal de ensaios) sobre a balança. No 
centro do dispositivo, foi instalado um relógio comparador tocando a viga, mas com o 
display ainda zerado. Posteriormente, foi aplicada uma carga no centro da viga com 
punção presa ao mandril da furadeira de coluna. 
16 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4- Medição do módulo de elasticidade (G10). 
Fonte: os autores 
 Fotografia 1 – Procedimento para medição do módulo de elasticidade do material (G10). 
 Fonte: os autores 
17 
 
Tabela 1 - Módulo de elasticidade do material (G10). 
 
Fonte: os autores 
 
 
 
18 
 
4.3 ROTAÇÃO DO MOTOR CONFORME TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO 
(APROXIMADA) 
 
 
Utilizado para conhecer as rotações aproximadas conforme a tensão de 
alimentação (indicada na fonte). Também foi possível visualizar a partir de qual faixa 
de rotação o motor apresentava uma rotação estável, e qual a faixa máxima de rotação 
o motor podia atingir, conforme a limitação de potência da fonte de alimentação. 
Para a medição, o motor foi preso próximo ao engaste, para não vibrar, e 
permitir a medição da rotação com o sensor laser. Caso o sistema vibrasse, sairia do 
foco do sensor, não possibilitando a medição. 
 
 
Abaixo, a tabela mostra os valores de rotação e tensão de alimentação 
(indicada na fonte): 
 
 
 
Fotografia 2 – Medição inicial da rotação do dispositivo acoplado para gerar vibração, em função da tensão 
de alimentação. 
Fonte: os autores 
19 
 
Tabela 2 - Rotação x Tensão de alimentação 
Tensão [V] RPM 
1,0 485 
1,1 555 
1,2 635 
1,3 682 
1,4 760 
1,5 900 
1,6 1000 
Fonte: os autores 
 
 
4.4 MEDIÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DAS MOLAS 
 
 
Para a medição da constante elástica das molas, inicialmente foi colocada a 
balança na mesa da furadeira de coluna, após isso a mola foi posicionada sobre o centro 
da balança, e alinhada com o mandril da furadeira. Uma pré-carga foi aplicada na mola 
e foi observado o deslocamento inicial na régua graduada da furadeira. Após isso foi 
aplicada uma carga maior e observado o novo deslocamento na régua graduada. 
Os dados foram convertidos das unidades medidas para o S.I. e posteriormente 
foi calculado a constante elástica da mola, pela variação da carga e do deslocamento. 
 
20 
 
 Fotografia 3 - Medição da constante elástica das molas disponíveis. 
 
 Fonte: os autores 
 
 
 
21 
 
A tabela abaixo apresenta os valores medidos para as constantes elásticas: 
 
 
Tabela 3 - Constante elástica das molas 
Mola 
n° 
Variação de 
Deslocamento 
[m] 
Variação 
de Carga 
[Kg]; [N] 
Constante 
Elástica 
(K) [N/m] 
1 0,05 19,5219 390,4 
2 0,03 35,4141 1180 
3 0,007 3,3354 476,5 
4 0,01 19,3257 1932,5 
5 0,01 15,6960 1569,6 
Fonte: os autores 
 
 
 
 
 
4.5 DETERMINAÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA DO MATERIAL DA VIGA 
(G10) 
 
 
No boletim técnico, o fabricante informa uma faixa de valores possíveis para a 
massa específica da viga, porém se fosse utilizado qualquer valor dessa faixa, 
poderíamos estar induzindo a um erro significativo para os cálculos do sistema, e 
consequentemente aumentando as incertezas sobre o ensaio a ser realizado. 
Para minimizar esse erro, utilizamos a mesma viga utilizada para o ensaio de 
flexão, e realizamos a medição das dimensões da viga e da sua massa. Com os valores 
obtidos, calculamos o volume dessa viga, e a massa específica do material. 
A tabela abaixo apresenta os valores obtidos: 
 
Tabela 4 - Massa Específica do Material da Viga 
Com
prim
ento 
(mm) 
Larg
ura 
(mm) 
Espes
sura 
(mm) 
Volume 
(m³) 
M
as
sa 
(k
g) 
Massa 
Específica 
(kg/m³) 
564 16,8 4,1 𝟑, 𝟖𝟖𝟒𝟖𝟑𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟓 0,
07
0 
1801,879 
Fonte: os autores 
 
 
22 
 
4.6 DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DESEJADO (LIVRE) PARA A 
VIGA DO SISTEMA EM ENSAIO 
 
Com base nos valores medidos, e após montados os componentes necessários 
para o funcionamento na viga, foi realizado um cálculo para o comprimento que 
deveria ser deixado à frente do engaste. 
 
 
 
Para tal cálculo, foi necessário calcular a rigidez e massa equivalente do 
sistema em função do comprimento estimado da viga. 
 
𝐾𝑒𝑞 =
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝑙3
=
3 ∙ 𝐸
𝑙3
∙ (
𝑏 ∙ ℎ3
12
) 
 
𝐾𝑒𝑞 =
3 ∙ 30,2 ∙ 109
0,2213
∙ (
0,049 ∙ 0,00413
12
) = 2193,5432 N/m 
 
E para o cálculo da massa equivalente do sistema, foi empregada a seguinte 
equação: 
 
Figura 5 - Comprimento livre desejado para a viga em função da frequência de vibração. 
Fonte: os autores 
23 
 
𝑀𝑒𝑞 =
33
140
∙ 𝑚𝑣𝑖𝑔𝑎 + 𝑚𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
=
33
140
∙ (𝜌 ∙ 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑙) + 𝑚𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 ∙ (
𝑙𝑣𝑖𝑔𝑎
𝑑𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
)
2
+ 𝑚𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑠𝑚𝑜 
 
𝑀𝑒𝑞 =
33
140
∙ (1801,88 ∙ 0,049 ∙ 0,0041 ∙ 0,221) + 0,23348 ∙ (
0,221
0,195
)
2
+ 0,0203 =
0,34131 𝑘𝑔 
 
Obtém-se assim a seguinte frequência natural estimada: 
 
𝜔𝑁 = √
𝐾𝑒𝑞
𝑀𝑒𝑞
= √
2193,5432
0,34131
= 80,167 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
 
4.7 DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO E FREQUÊNCIA DO SISTEMA 
VIBRATÓRIO EM ENSAIO 
 
 
Para verificar se a frequência de trabalho do sistema vibratório condizia com a 
frequência de cálculo, foi necessário realizar uma nova medição da rotação do motor. 
Para a rotação de ensaio, foi extraído o áudio, e com auxílio de um software de 
edição de áudio (Adobe SoundBooth), foram realizadas medições da duração de alguns 
ciclos (escolhidos aleatoriamente para amostragem), e através dos períodos de duração 
dos ciclos observados, foi calculada a rotação do motor no momento do ensaio. 
Foi optado por utilizar este método, pois devido à vibração do sistema e ao 
grande deslocamento da ponta da viga (onde estava instalado o motor), seria 
impossível medir a rotação utilizando o sensor a laser. 
 
 
24 
 
4.8 MECANISMO DE VIBRAÇÃO 
 
Como a não vibração torcional no sistema em ensaio não é desejada, foi 
necessário confeccionar um mecanismo para que através da rotação do motor, 
produzisse apenas movimentos periódicos harmônicos na vertical, eliminando assim 
qualquer torção que influenciasse o sistema. 
O mecanismo é acionado por um pino preso ao disco do motor. Para compensar 
o desbalanceamento causado pelo pino que aciona o mecanismo, foi adicionado outro 
pino a 180°, só que voltado para o outro lado do disco, para evitar que este provocasse 
o travamento do sistema. 
 
Fotografia 4 - Mecanismo de vibração utilizado para gerar uma força periódica harmônica 
 
Fonte: os autores 
 
 
25 
 
4.9 ENSAIO DO SISTEMA VIBRATÓRIO COM 1 GRAU DE LIBERDADE 
 
Para a primeira etapa de ensaio, deixaremos apenas o sistema original com 1 
grau de liberdade montado conforme a figura abaixo: 
 
 
4.10 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DE VIBRAÇÃO NO DOMÍNIO DO 
TEMPO PARA O SISTEMA COM 1 GRAU DE LIBERDADE 
 
Cálculo da amplitude da força aplicada sobre a massa Meq M1: 
 
 
𝑋 = 0,015 ∙ sin(𝜃) 
 
𝑉 =
𝑑𝑋
𝑑𝑡
∙
𝑑𝜃
𝑑𝜃
= 𝜔 ∙
𝑑𝑋
𝑑𝜃
= 0,015 ∙ 𝜔 ∙ cos(𝜃) 
 
𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
∙
𝑑𝜃
𝑑𝜃
= 𝜔 ∙
𝑑𝑉
𝑑𝜃
= −0,015 ∙ 𝜔2 ∙ sin(𝜃) 
 
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
|𝐹𝑚𝑎𝑥| = 15,2 ∙ 10
−3 ∙ (0,015 ∙ 80,292) = 1,469 𝑁 
 
 Figura 6 - Sistema Vibratório com 1 Grau de Liberdade, descrevendo o sistema vibratório mecânico 
primário. 
 Fonte: os autores 
 Figura 7 – Dispositivo acoplado para gerar uma força periódica 
harmônica. 
 Fonte: os autores 
26 
 
Cálculo da amplitude de vibração da extremidade da viga em regime 
permanente: 
 
𝑋(𝜔) =
𝐹(𝜔)
𝐾 ∙ 2 ∙ 𝜉
 → 𝑋(𝜔) ≈
1,469
2193,5432 ∙ 2 ∙ 0,025
≅ 1,34 ∙ 10−2 𝑚 
 
Equação do deslocamentoda extremidade da viga em regime permanente: 
 
𝑋(𝑡) = 𝑋𝑚𝑎𝑥 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡) 
 
𝑋(𝑡) = 1,34 ∙ 10−3 ∙ cos(80,29 ∙ 𝑡) 
 
 
4.11 DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DO ABSORVEDOR DINÂMICO 
DE VIBRAÇÕES 
 
 
O sistema original (com 1 grau de liberdade) possuía uma frequência natural 
aproximada de 80,29 rad/s. 
Com a força aplicada tendo a mesma frequência, o sistema entra em 
ressonância. Para aplicarmos o absorvedor dinâmico de vibrações, para a situação 
descrita, devemos aplicar a seguinte relação (conforme foi descrito no referencial 
teórico): 
 
𝜔 = 𝜔1 = 𝜔2 → 𝜔2 = 80,29 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Para evitar que a massa da mola pudesse influenciar na massa equivalente M1, 
foi escolhida uma mola com uma massa pequena, com K=390,4 N/m. 
 
80,29 = √
390,4
𝑀2
 → 𝑀2 = 60,5 𝑔 
 
 
27 
 
4.12 DETERMINAÇÃO DAS NOVAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO 
SISTEMA COM 2 GRAUS DE LIBERDADE 
 
Determinar através da equação (22): 
𝜔1; 𝜔2
= √
(𝑚2 ∙ 𝐾1 + (𝑚1 + 𝑚2) ∙ 𝐾2) ± √(−𝑚2 ∙ 𝐾1 − (𝑚1 + 𝑚2) ∙ 𝐾2)
2 − 4 ∙ 𝑚1 ∙ 𝑚2 ∙ 𝐾1 ∙ 𝐾2
2 ∙ 𝑚1 ∙ 𝑚2
𝜔1; 𝜔2 = 
 
√
(0,0605 ∙ 2193,54 + (0,3413 + 0,0605) ∙ 390,4) ± √(−0,0605 ∙ 2193,54 − (0,3413 + 0,0605) ∙ 390,4)2 − 4 ∙ 0,3413 ∙ 0,0605 ∙ 2193,54 ∙ 390,4
2 ∙ 0,3413 ∙ 0,0605
 
 
𝜔1 = 65,101 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔2 = 98,922 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
 
28 
 
4.13 DETERMINAÇÃO DAS NOVAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO 
SISTEMA COM 2 GRAUS DE LIBERDADE 
 
 As novas frequências naturais do sistema foram determinadas através do 
gráfico de relação entre M1 e M2: 
 
Gráfico 1 – Novas frequências naturais através da relação entre M1 e M2 
 
Fonte: Rao (2008) 
 Definições: 
𝜔𝑁1 = 𝜔𝑁2 
 
𝑚2
𝑚1
=
60,5
341,31
≅ 0,177 
 
 Resultados para o gráfico: 
 
𝜔1 ≈ 0,82 ∙ 80,29 = 65,837 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔2 ≈ 1,22 ∙ 80,29 = 97,953 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Portanto ficando próximo aos valores calculados. 
 
 
29 
 
4.14 ENSAIO DO SISTEMA VIBRATÓRIO COM O ABSORVEDOR 
DINÂMICO MONTADO (2 GRAUS DE LIBERDADE) 
 
 
Figura 8 - Sistema com dois graus de liberdade, demonstrando a montagem do absorvedor dinâmico de 
vibrações. 
 
Fonte: os autores 
 
 
4.15 ROTAÇÃO E FREQUÊNCIAS DO SISTEMA VIBRATÓRIO 
 
 
Para encontrar a rotação real de funcionamento do motor, como não era 
possível acoplar um encôder ao motor, e como não era possível realizar a aferição da 
rotação por meio de um sensor laser, utilizamos o som gerado pelo mecanismo 
vibratório. Para tal, foi gravado o som, e após, com o auxílio de um software de edição 
de áudio profissional (Adobe Soundbooth CS4) foi observada a duração de alguns 
períodos selecionados por amostragem, do arquivo com o áudio gravado. 
 
Figura 9 - Determinação da duração de um período (ciclo do mecanismo vibratório). 
 
Fonte: os autores
30 
 
 
 
Com os valores obtidos foram determinadas a rotação média e as frequências 
do mecanismo vibratório. Os valores podem ser observados na tabela abaixo: 
 
 
Tabela 5 – Período, rotação e frequências do sistema vibratório. 
 
Fonte: os autores
31 
 
 
 
5 CONCLUSÃO 
 
O absorvedor dinâmico de vibrações calculado funcionou conforme o esperado, 
comprovando o equacionamento previamente realizado. O absorvedor dinâmico de 
vibrações, ainda se mostrou muito eficiente na redução da amplitude de vibração do 
sistema primário (composto pela massa equivalente M1 e pela mola equivalente K1), para 
a frequência de projeto do absorvedor. Nesta frequência, vale ressaltar que em alguns 
momentos a amplitude de vibração da massa M1 aparentou ser nula, tornando a vibrar 
momentaneamente apenas quando o absorvedor perdia energia armazenada, devido ao 
pequeno amortecimento interno do próprio sistema massa-mola, e ao atrito com partes 
externas ao sistema (como com a guia utilizada). Quando a massa M1 vibra, o absorvedor 
ganha energia, e quando esta chega ao patamar necessário, o absorvedor consegue igualar 
a força aplicada sobre a massa M1, à força externamente aplicada, porém com sentido 
contrário a esta, anulando a aceleração causada sobre M1. Neste momento, a amplitude de 
vibração da massa M1 novamente tende a zero. 
Como foi verificado, o absrovedor dinâmico de vibrações provou ser uma boa 
opção para se reduzir a amplitude de vibração em sistemas vibratórios mecânicos, 
principalmente quando estes tem como frequência de trabalho igual ou próximo a 
frequência natural do sistema, o que faria com que este entrasse em ressonância. Porém é 
necessário ressaltar que ao acoplar um absorvedor dinâmico de vibrações, este eliminará a 
vibração para a frequência de projeto, porém introduzirá ao sistema duas novas frequências 
naturais, para as quais, se a frequência da força externa coincidir, fará o sistema vibratório 
como um todo entrar em ressonância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
[1] RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas. 4ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
 
[2] Desenvolvimento de um dispositivo ferador de vibroimpacto – PUC-Rio - Certificação Digital 
Nº0412770/CA. Disponível em: <https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/8020/8020_5.PDF>. 
 
[3] SILVA, Paulo G,A. Controle Ativo de Vibrações em uma estrutura com 2GDL Utilizando 
transdutores piezoelétricos associados a circuitos Shunt de Capacitância Negativa. Disponível em: 
<http://www.ppgem.ufcg.edu.br/arquivos/2016/ALAN%20GON%C3%87ALVES%20PAULO%
20E%20SILVA%202016.pdf>. 
 
 
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/8020/8020_5.PDF
http://www.ppgem.ufcg.edu.br/arquivos/2016/ALAN%20GON%C3%87ALVES%20PAULO%20E%20SILVA%202016.pdf
http://www.ppgem.ufcg.edu.br/arquivos/2016/ALAN%20GON%C3%87ALVES%20PAULO%20E%20SILVA%202016.pdf
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS A 
 
Equacionamento Manuscrito 
- 
Vr brdC 6('5 i-..1vv-e} (J) 
" 
2.. c. t: 
-)F1 
) X 1Lt) 
)\1\2--' CXz--X1) 
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.. :__Z2 ~ !J.~~ó x (! ""'- ( 1) <:> (G) 
- ~1· (~ w ~ Xi · c~s (JJ:t- ~ ))t (I( 1 t I<~) . (Xi. (O) ( UJ[ -p)) - t(~ ,k~ , cv5( rJ)t-fJ)~o 
~z.' (- w2. XZ· cos( L(JJ·t - 0/)) - r{1.' ( ~. <fi> (uJt -~)) flÚ.( li· CA5( cJJ{; - f))~o 
1.-> 5í~rlj fie ".J.; 
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. ~ 1 p (- (Q) ~ '(1) 1'( K 1 t{< L ), Xi .; K 2 . x-; z: O 
VVt?., • C -<1/2.. >0,) - f\l · ~ 1" Kt, X?.- -=-0 
_ C5) 
(6) ~ 
",- e éJ 
~-IC."ç:&".;r)O l",e )(1 fé) e, ;><z..fQc' pril- S(diZ~- 
;)5 0fAéJ;(J))t) (bd"lVL0j o deI (1 J( ç 7 r-»: }~'1$' f \ VVvU'& ror c 5) e C 6 j d..fv( ç ~f [-~'ft9-= .. ~ 
1.-(' S I'~r{;r' c&vv} o 
M1 . VV\2._ • (J) ~-t{-!'VI 1-- 1\ i_ - VVl2_. K 1 -YV)1_ •. 'Á 'L) .W1- + K1 . ~ 2 s O 
-? Jef;~,",JI' [UJ~ 1 
VV\ 1 .• VV\ 1- • cX~ + {-Irv\ 1. r\'L - Vv-.z_. \('1 - ~ 1-.11'2..)' o(' rK 1 <!{~ :::, () 
~ • c{1.- + ( -""1.-. ~~ - (""<+"'-'2-)' )\1.). o( +~ z: O 
e-: 'o 0- 
L?), h> (tei J CJ. 0/" J fJ, o sã o J t"f ",j;z.<; (O''''' : -- --1f: 
. . - t_- _- \ 
W 1 I UJ z" ( W1l. l{ 1 + ( W) 1 + rv} 'l_ ). K 1-) .± ( - VVl L..II\ 1 - (hl1 t Vv-_ '2. ). i '2) - 7' . M1 ."-"'L. 1<1 .I(~ 
~. """'1·~'Z.... 
/ 
L..tleJt é' (JJ~ _ 5(;0 _ (t> - - t re1 vJ'1I\. 0~ dS 
5 ; çf ~d.-.c c1JVl1 z cV1 e JJt11-;; W~} 
L) ~~ as ,er{~?75fl C 5) é' (6) Si}cl h~~e'l",~\, 
f f7J(!'~t~S - &7 51J t.-vt,Jé r. i(j ?;2J e s' pl ss , c;)~!/t)c.;z ~~f 
-- (~- _~ d ~J.o_m _-iA;bL~7 .,I(;~ 
c \, 
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