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Alex Marime
Análise Matemática III
– Notas teóricas –
– Faculdade de Ciencias - Departamento de Matemática e Informática –
– Outubro, 2020 –
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Conteúdo
1 Equações diferenciais ordinárias 3
1.1 Resumo teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Equações diferenciais de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Equações diferenciais homogêneas da 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Equações exactas. Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Equações lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Equações diferenciais de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Método da equação caracteŕıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Método de variação de parâmetros (Método de Lagrange) . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Método de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Cálculo operacional 17
2.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Solução de Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Licenciatura em Engenharias 2 Alex Marime c©, 2020
1 Equações diferenciais ordinárias
1 Equações diferenciais ordinárias
1.1 Resumo teórico
Suponhamos que no processo de estudo teórico de um fenómeno f́ısico não seja posśıvel encontrar a
dependência funcional entre certas grandezas variáveis x e y que caracterizam este fenômeno, isto é,
y = f(x). Entretanto, existe a possibilidade de achar uma relação anaĺıtica entre x, y e as derivadas
da variável y com respeito a x, a saber:
F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (1)
A relação (1) denomina-se equação diferencial. Exemplos de problemas f́ısicos que leval às equações
diferenciais
Definição 1.1. Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação
anaĺıtica entre a variável independente x, a função desconhecida y = ϕ(x) e as suas derivadas
y′, y′′, · · · , y(n), o que se escreve na forma simbólica seguinte: F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0.
Definição 1.2. Denomina-se ordem equação diferencial à ordem da derivada superior que
contém essa equação.
Definição 1.3. Chama-se solução de uma equação diferencial a toda função y = ϕ(x) que
satisfaça identicamente essa equação.
Exemplo 1.1. É fácil verificar que toda função da forma y = C1 sin(x) +C2 cos(x), onde C1, C2
são constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial da 2a ordem y′′ + y = 0.
Definição 1.4. Chama-se solução geral de uma equação diferencial de ordem n a uma função
y = ϕ(x,C1, C2, . . . , Cn) que contém n constantes arbitrárias C1, C2, . . . , Cn, chamadas constantes
de integração, e que goza das seguintes propriedades:
1. esta função satisfaz a equação diferencial dada quaisquer que sejam os valores admisśıveis
das constantes C1, C2, . . . , Cn;
2. sendo dadas certas condições y(x0) = α0, y
′(x0) = α1, . . . , y
(n−1)(x0) = αn−1, chamadas de
condições iniciais, é sempre posśıvel encontrar tais valores numéricos C01, C02, . . . , C0n das
constantes de integração que a função y = ϕ(x,C01, C02, . . . , C0n), denominada de solução
particular da equação diferencial, verifica as condições iniciais indicadas.
Definição 1.5. Chama-se integral geral de uma equação diferencial de ordem n a uma relação
φ(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0 que define implicitamente a solução geral desta equação.
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.2 Equações diferenciais de 1a ordem
Nota 1.1. Resolver, ou seja, integrar uma equação diferencial significa achar a solução geral (ou
integral geral) desta equação.
Definição 1.6. Denomina-se Problema de Cauchy a um problema formulado de modo se-
guinte:
“sendo dada uma equação diferencial e sendo colocadas respectivas condições iniciais, é preciso
encontrar uma solução particular desta equação que satisfaça as condições iniciais indicadas.”
1.2 Equações diferenciais de 1a ordem
Vamos estudar equações diferenciais da 1a ordem que, caso geral, podem ser escritas sob a seguinte
forma geral: F (x, y, y′) = 0. As vezes esta equação pode ser resolvida em relação à derivada y′ e
escrita na forma y′ = f(x, y). Para tal equação verifica-se o seguinte teorema de existência e unicidade
da solução , conhecido como
Teorema 1.1 (Teorema de Cauchy). Dada uma equação diferencial da 1a ordem y′ = f(x, y).
Suponha-se que a função f(x, y) e a sua derivada parcial fy sejam cont́ınuas num domı́nio D
do plano das coordenadas x0y contendo um ponto P0(x0, y0). Então, existe uma única solução
y = ϕ0(x) da equação diferencial dada, denominada solução particular, que verifica a seguinte
condição: y = y0 quando x = x0, ou seja, y(x0) = y0.
1.2.1 Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis
Definição 1.7. Chama-se equação diferencial com variáveis separadas a uma equação diferencial
da 1a ordem que tem a seguinte forma geral: M(y)dy = N(x)dx, onde M(y) e N(x) são certas
funções de variáveis y e x, respectivamente.
Desta definição resulta que uma equação diferencial com variáveis separadas representa, de facto,
uma igualdade de dois diferenciais de algumas funções primitivas que se diferem por uma constante
C. Logo, ao integrar ambas partes desta equação, obteremos o seu integral geral:∫
M(y)dy =
∫
N(x)dx+ C, C ∈ R.
Definição 1.8. Denomina-se equação diferencial com variáveis separavéis a uma equação di-
ferencial da 1a ordem que tem a seguinte forma geral: M(y)N(x)dy + P (x)Q(y)dx = 0, onde
M(y), N(x), P (x) e Q(y) são certas funções de variáveis y e x.
Para integrar uma equação diferencial deste tipo é preciso separar as suas variáveis, transcrevendo-a
para a forma M(y)N(x)dy = −P (x)Q(y)dx e, em seguida, divindido ambas partes da equação obtida
por N(x) · Q(y) na suposição de que N(x) 6= 0 e Q(y) 6= 0. No resultado obteremos uma equação
diferencial com variáveis separadas
M(y)
Q(y)
dy = −P (x)
N(x)
dx, cujo integral geral é∫
M(y)
Q(y)
dy = −
∫
P (x)
N(x)
dx+ C, C ∈ R.
Além disso, é necessário analisar adicionalmente cada um dos casos N(x) = 0 e Q(y) = 0 que
eventualmente podem ser soluções complementares da equação dada.
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.2 Equações diferenciais de 1a ordem
Exemplo 1.2. Resolver o problema de Cauchy
{
(1 + x2)y3 − (y2 − 1)x3y′ = 0
y(1) = −1 .
Resolução: Primeiro, multipliquemos ambas partes da equação diferencial dada por dx 6= 0 e,
atendendo a que y′dx = dy, transformemo-la para a forma: (1+x2)y3dx = (y2−1)x3dy. Supondo
que x 6= 0, y 6= 0 e dividindo ambas as partes desta equação por x3y3, obtemos uma equação com
variáveis separadas:
y2 − 1
y3
dy =
x2 + 1
x3
dx. Ao integrar esta última equação, achamos o integral
geral da equação dada: ln |y| + 1
2y2
= ln |x| − 1
2x2
+ C, C ∈ R. A seguir temos que determinar
o valor da constante de integração C de modo que seja satisfeita a condição inicial y(1) = −1.
Fazendo x = 1 e y = −1 no integral geral, achamos C = 1. Assim, encontramos uma solução
particular da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial indicada, isto é, solução do
problema de Cauchy, colocado: ln |y|+ 1
2y2
= ln |x| − 1
2x2
+ 1.
É fácil ver, que caso x = 0 a equação diferencial dada não se verifica, pois não existe a derivada
y′. Ao mesmo tempo, a função y = 0, cuja derivada y′ = 0, satisfaz esta equaçãoe cosntitui sua
solução complementar que, entreteanto, não é solução do problema de Cauchy dado.
Exemplo 1.3. Resolver a equação diferencial y′ − y = 2x− 3.
Resolução: Transformando a equação dada para a forma y′ = y+ 2x− 3 e introduzindo a nova
função desconhecida z = y + 2x − 3 obtemos uma equação diferencial com variáveis separáveis
em relação à função auxiliar z(x) : z′ = 2 + z. Multiplicando ambas partes desta equação por dx
e divindido por 2 + z 6= 0, obtemos uma equação diferencial com variáveis separadas dz
2 + z
= dx
ou
∫
dz
2 + z
=
∫
dx+ln |C̄|, onde C̄ 6= 0. A forma logaŕıtmica da constante de integração permite
apresentar a solução da equação acima na forma mais simples: z = −2 + C̄ex. Verificando o caso
2 + z = 0, obtemos que a função z = −2 é uma solução complementar da equação z′ = 2 + z.
Assim, a solução geral desta equação é (z = −2 + C̄ex) ∨ (z = −2), onde C̄ 6= 0. Esta solução
pode ser escrita sob uma única forma z = −2 + Cex, onde C é constante arbitrária, isto é,
C ∈ R. Atendendo a que z = y + 2x + 3, achamos a solução geral da equação diferencial dada:
y = 1− 2x+ Cex.
1.2.2 Equações diferenciais homogêneas da 1a ordem
Definição 1.9. Uma função f(x, y) diz-se função homogênea de grau k em relação aos seus
argumentos x e y se para qualquer número real λ > 0 verifica-se a igualdade
f(λx, λy) ≡ λkf(x, y), k ∈ N.
Exemplo 1.4.
1. a função f(x, y) = x3 + 2xy2 − 3x2y é homogênea de grau k = 3, pois dado qualquer λ > 0
cumpre-se a igualdade f(λx, λy) ≡ λkf(x, y);
2. é fácil verificar que a função f(x, y) =
xy − 2y2
xy
+ arctg
(y
x
)
é homogênea de grau k = 0;
Licenciatura em Engenharias 5 Alex Marime c©, 2020
1 Equações diferenciais ordinárias 1.3 Equações exactas. Factor integrante
3. a função f(x, y) = x2 + 2y2 − 5xy + 7 não é homogênea.
Definição 1.10. Uma equação diferencial da 1a ordem diz-se equação homogênea se for dada
numa das seguintes formas: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 ou y′ = f(x, y), onde M(x, y), N(x, y)
são funções homogêneas de um mesmo grau k, mas f(x, y) é função homogênea de grau zero.
Na resolução de uma equação diferencial homogênea utilizam-se as substituições y = xu, dy = xdu
ou y′ = u + xu′, que levam a uma equação com variáveis separáveis em relação a nova função
desconhecida u(x).
Exemplo 1.5. Resolver a equação xy′ = y
(
1 + ln
y
x
)
.
Resolução: Sendo x 6= 0, podemos transformar a equação dada para a forma y′ = y
x
(
1 + ln
y
x
)
.
A parte direita desta equação f(x, y) =
y
x
(
1 + ln
y
x
)
é função homogênea de grau zero. Então
conclúımos que a equação dada é homogênea. Utilizando as substituições y = xu⇔ y′ = u+xu′,
obtemos uma equação diferencial com variáveis separáveis em relação a nova função desconhecida
u(x) : xu′ = u lnu ou
du
u lnu
=
dx
x
, na suposição que lnu 6= 0, sendo u > 0. Na resolução desta
última equação vamos escolher a constante de integração na forma logaŕıtmica. Então, obteremos:
ln | lnu| = ln |x|+ ln |C̄|, onde C̄ 6= 0. Daqui resulta: u = eC̄x.
É fácil verificar que o caso lnu = 0 dá mais uma solução da equação xu′ = u lnu, isto é, u = 1.
Assim, a solução geral desta equação é u = eCx, C ∈ R. Atendendo a que u = y
x
, achamos a
solução geral da equação dada: y = xeCx, C ∈ R.
Exemplo 1.6. Resolver o problema de Cauchy ou problema de valor inicial{
x cos(y/x)(ydx+ xdy) = y sin(y/x)(xdy − ydx)
y(1) = 2π
.
Resolução: Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Agrupando
os seus termos com dx e com dy, transformemo-la para a forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy =
0, onde M(x, y) = xy cos(y/x) + y2 sin(y/x), N(x, y) = x2 cos(y/x) − xy sin(y/x) são funções
homogêneas do mesmo grau k = 2. Logo, a equação acima é homogênea que se resolve, utlizando
as substituições y = xu, dy = xdu + udx que levam a uma equação diferencial com variáveis
separáveis: 2u cosudx+ x(cosu− u sinu)du = 0. Resolvendo esta equação achamos: x2u cosu =
C,C ∈ R. Atendendo a condição inicial y(1) = 2π, encontramos C = 2π. Assim, a solução do
problema de Cauchy dado é xy cos(y/x) = 2π.
1.3 Equações exactas. Factor integrante
Definição 1.11. Chama-se equação exacta a uma equação diferencial da 1a ordem da forma
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, onde P (x, y), Q(x, y) são funções que verificam a seguinte condição
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
.
Licenciatura em Engenharias 6 Alex Marime c©, 2020
1 Equações diferenciais ordinárias 1.4 Equações lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
Sob esta condição a parte esquerda da equação exacta representa o diferencial total de uma função
F (x, y), sendo P (x, y) =
∂F
∂x
,Q(x, y) =
∂F
∂y
. Da teoria de integrais curviĺıneos de 2a espécie é sabido
que neste caso verifica-se a seguinte igualdade
F (x, y) =
∫ x
x0
P (x, y0)dx+
∫ y
y0
Q(x, y)dy = C, C ∈ R
que determina o integral geral da equação exacta dada. Notemos que (x0, y0) é ponto fixo no qual
as funções P (x, y), Q(x, y) são cont́ınuas.
Exemplo 1.7. Resolver o problema de Cauchy ydx− (y3 − x)dy = 0, y(1) = 2.
Resolução: Temos que P (x, y) = y,Q(x, y) = −(y3 − x), onde ∂Q
∂x
=
∂P
∂y
= 1. Logo, a
equação diferencial dada é exacta. Então, ao escolher o ponto (x0, y0) = (0, 0) e atendendo a que
P (x, 0) = 0, obtemos
∫ x
0
0dx −
∫ y
0
(y3 − x)dy = C,C ∈ R. Desta igualdade achamos o integral
geral da equação diferencial dada y4 = 4xy+C. Utilizando da condição inicial y(1) = 2, achamos
C = 8. Assim a solução do problema de Cauchy é y4 = 4xy + 8.
1.3.1 Factor integrante
Seja dada uma equação diferencial da forma P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0. Suponhamos que
∂Q
∂x
6= ∂P
∂y
,
isto é, a equação dada não é exacta. Em certos casos é posśıvel encontrar uma função µ(x, y),
chamada factor integrante, tal que sendo multiplicada pela equação diferencial dada obter-se-á
uma equação diferencial exacta, isto é, µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0. Então, o factor
integrante determina-se pelas seguintes condições:
1. se
1
Q
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
= u(x), então µ = µ(x) = e−
∫
u(x)dx;
2. se
1
P
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
= v(y), então µ = µ(y) = e
∫
v(y)dy.
Exemplo 1.8. Resolver a equação diferencial y(1 + xy)dx− xdy = 0.
Resolução:
Temos que P (x, y) = y(1 + xy), Q(x, y) = −x, onde ∂P
∂y
= 1 + 2xy e
∂Q
∂x
= −1, verifica-se que
∂Q
∂x
6= ∂P
∂y
. Logo, a equação diferencial dada não é exacta.
Entretanto,
1
P
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
= −2
y
= v(y). Isso significa que existe um factor integrante depen-
dente da variável y que calculamos pela fórmula µ = µ(y) = e
∫
v(y)dy = e−
∫
2
y
dy =
1
y2
. Agora
multiplicando a equação diferencial dada pelo factor integrante µ = 1/y2, obtemos uma equação
exacta
1 + xy
y
dx− x
y2
dy = 0, cujo integral geral é x(2 + xy) = Cy,C ∈ R.
1.4 Equações lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
Licenciatura em Engenharias 7 Alex Marime c©, 2020
1 Equações diferenciais ordinárias 1.4 Equações lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
Definição 1.12. Chama-se equação linear da 1a ordem a uma equação diferencial da forma
seguinte
y′ + P (x)y = Q(x),
onde P (x), Q(x) são certas funções de x.
A parte esquerda desta equação é do 1o grau, ou seja, linear em relação à função desconhecida y(x)
e à sua derivada y′. O método de resolução de uma equação linear de primeira ordem consiste no
seguinte:
Procurar a sua solução na forma de produto de duas funções desconhecidas u(x) e v(x), isto é,
y = uv. Neste caso uma destas funções, digamos v(x), pode ser escolhida arbitrariamente, mas a
outra, isto é, u(x), deve ser determinada de modo que o produto uv satisfaça a equação linear dada.
Então, efectuando as substituições y = uv, y′ = u′v + uv′, obteremos
u′v + uv′ + P (x)uv = Q(x) ou u′v + u[v′ + P (x)v] = Q(x).
Agora, para simplificar a última equação vamosescolher a função v(x) de tal maneira que a expressão
entre os parêntesis rectos seja igual à zero, isto é, v′ + P (x)v = 0. Resolvendo esta equação de
variáveis separáveis, achamos uma solução particular, correspondente a constante de integração nula
v0(x) = e
−
∫
P (x)dx. Neste caso a função u(x) satisfaz a seguinte equação u′v0 = Q(x), cuja solução é
u(x) =
∫
Q(x)
v0(x)
dx+ C,C ∈ R. Assim, a solução geral da equação linear tem a seguinte forma
y = v0(x)
[∫
Q(x)
v0(x)
dx+ C.
]
Exemplo 1.9. Resolver a equação diferencial (x+ 1)y′ − 2y = (x+ 1)4.
Resolução: A parte esquerda da equação dada é do primeiro grau em relação a y e y′, a sua
parte direita é uma função de x. Logo, a equação dada é linear. Efectuando as substituições
y = uv e y′ = u′v + uv′, obtemos a seguinte equação
(x+ 1)u′v + u[(x+ 1)v′ − 2v] = (x+ 1)4.
Igualando a zero a expressão (x+ 1)v′ − 2v = 0, temos a seguinte solução particular, correspon-
dente a constante de integração nula v0(x) = (x+1)
2. Então, a função u(x) é definida pela equação
(x+ 1)u′v0 = (x+ 1)
4 ou (x+ 1)3u′ = (x+ 1)4, cuja solução geral é u(x) =
1
2
(x+ 1)2 +C,C ∈ R.
Atentendo a que y = uv, encontramos a solução geral da equação dada é
y = (x+ 1)2
[
1
2
(x+ 1)2 + C.
]
Definição 1.13. Chama-se equação de Bernoulli a uma equação diferencial da 1a ordem da
forma seguinte
y′ + P (x)y = Q(x)yα, α 6= 0 ∨ 1,
onde P (x), Q(x) são certas funções de x.
Para resolução da equação de Bernoulli, segui os mesmos passos da resolução de equações lineares
da primeira ordem, com as seguintes substituições y = uv, y′ = u′v + uv′.
Licenciatura em Engenharias 8 Alex Marime c©, 2020
1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
Exemplo 1.10. Resolver a equação diferencial x(x lny − 2)dy − ydx = 0.
Resolução: A equação dada não é nem linear nem de Bernoulli em relação a y(x), pois contém
lny. Vamos considerar a variável x como função desconhecida do argumento y, isto é, x = x(y).
Neste caso dx = x′dy e a equação dada pode ser transformada à forma yx′ + 2x = x2 lny.
Conforme a definição 1.13 esta equação é de Bernoulli que resolvemos aplicando as substi-
tuições x = u(y)v(y), x′ = u′v + uv′, onde x′, u′, v′ são derivada em relação a y. No resultado
obtemos
yvu′ + u(yv′ + 2v) = u2v2 lny.
A função v(y) é dado igualando yv′ + 2v = 0, que tem como solução particular v0 =
1
y2.
Então,
a função u(y) é definida pela equação y(1/y2)u′ = u2(1/y2)2 lny, cuja solução geral é
u =
4y2
1 + 2 lny + Cy2
.
Assim, atendendo a que x = uv, obtemos a solução geral da equação diferencial dada como
x =
4
1 + 2 lny + Cy2
.
Exemplo 1.11. Resolver a equação de Cauchy y′ cosx− y = y2(sinx− 1) cosx, y(0) = 1.
Resolução: A equação é de Bernoulli. Aplicando a substituição y = uv, obtemos
u′v cosx+ u(v′ cosx− v) = u2v2(sinx− 1) cosx.
Da equação v′ cosx− v = 0 achamos v0 =
1 + sinx
cosx
. Então, a função u(x) é definida pela equaçào
u′ = − cosx, cuja solução geral é u(x) = 1
C + sinx
,C ∈ R. Atendendo a que y = uv, encontramos
a solução geral da equação dada
y =
1 + sinx
(C + sinx) cosx
Da condição inicial y(0) = 1 obtemos C = 1. Assim, a solução do problema de Cauchy é y =
1
cosx
.
Teorema 1.2. A equação diferencial linear de primeira ordem y′ + P (x)y = Q(x) admite um
factor integrante µ(x) = e
∫
P (x)dx e a solução geral é
y = e−
∫
P (x)dx
[∫
Q(x) ·e
∫
P (x)dxdx+ C
]
(2)
1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
Definição 1.14. Uma equação diferencial se segunda ordem y′′ = f(x, y, y′) é linear quando a
função f é linear em y e y′, isto é, a funçã f pode ser escrita na forma
f(x, y, y′) = −p(x)y′ − q(x)y + r(x).
Licenciatura em Engenharias 9 Alex Marime c©, 2020
1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
E a forma geral da equação diferencial linear de segunda ordem é
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x). (3)
Esta equação será chamada de homogênea se r(x) = 0. Caso contrário, será chamada de não-
homogênea.
Exemplo 1.12. .
1. A equação diferencial y′′ = 2xyy′ + e−x é uma equação de segunda ordem, porém não é
linear por causa do termo 2xyy′.
2. A equação diferencial y′′ = 2xy′ + e−xy é uma equação de segunda ordem linear.
3. A equação diferencial y′′ = 2xy′ + e−x é uma equação de segunda ordem linear.
Definição 1.15. Uma solução da equação (3) é uma função φ(x) definida num intervalo aberto,
pelo menos duas vezes diferenciável e que satisfaz a equação diferencial, isto é,
φ′′(x) + p(x)φ′(x) + q(x)φ(x) = r(x).
Proposição 1.1. Se y1, y2, . . . , yn são soluções de y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 então a combinação
linear
y = C1y1 + C2y2 + · · ·+ Cnyn
também é solução.
Definição 1.16. Um Problema de Valor Inicial (PVI) de segunda ordem tem a forma
y′′ = f(x, y, y′)
y(x0) = y0
y′(x0) = y1
onde x0, y0 e y1 são valores dados. Uma soluçào deste PVI é uma solução da equação diferencial
y′′ = f(x, y, y′) e que satisfaz as condições iniciais dadas, isto é, φ′(x) = y1 e φ(x) = y0.
Teorema 1.3 (Existência e Unicidade). Sejam p(x), q(x) e r(x) funções cont́ınuas em [a, b].
Dados x0 ∈ [a, b] e y0, y′0 ∈ R, o problema de Cauchy
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x)
y(x0) = γ
y′(x0) = δ
possui uma única solução em [a, b].
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
Definição 1.17. Dadas as funções diferenciáveis f(x) e g(x), o wronskiano de f e g é a função
W (f, g)(x) =
∣∣∣∣ f(x) g(x)f ′(x) g′(x)
∣∣∣∣ = f(x)g′(x)− g(x)f ′(x)
Proposição 1.2. Se y1 e y2 são linearmente independentes em [a, b], então o Wronskiano destas
duas funções é diferente de zero, i.e, W (y1, y2)(x) 6= 0.
Teorema 1.4 (Solução Geral). Se y1 e y2 são soluções linearmente independentes da equação
diferencial ordinária
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
então qualquer outra solução dessa equação é da forma
y = C1y1(x) + C2y2(x),
para quaisquer constantes reais C1, C2.
Exemplo 1.13. Mostre que as funções y1 = x
1/2 e y2 = x
−1 são soluções da equação
2x2y′′ + 3xy′ − y = 0.
Resolução:
• Precisamos achar primeiro as derivadas de y1 = x1/2
y′1 =
1
2
x−1/2, y′′1 = −
1
4
x−3/2
• Substituindo:
2x2
(
−1
4
x−3/2
)
+ 3x
(
1
2
x−1/2
)
− x1/2 = −x
1/2
2
+
3x1/2
2
− x1/2 = 0.
• Para provar que y2 = x−1 é solução, notemos que y′2 = −x−2 e y′′2 = 2x−3. Portanto,
2x2
(
2x−3
)
+ 3x
(
−x−2
)
− x−1 = 4x−1 − 3x−1 − x−1 = 0.
Exemplo 1.14. Conforme vimos no exemplo anterior, y1 e y2 são linearmente independente.
Portanto,
y = C1x
1/2 + C2x
−1,
é a solução geral no intervalo ]0,∞[.
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
Teorema 1.5 (Fórmula de Liouville). Seja y1 uma solução particular não nula da equação
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 com p(x) e q(x) funções cont́ınuas no intervalo [a, b], a segunda solução
da equação diferencial é dada por
y2(x) = y1(x)
[∫
1
y21(x)
e−
∫
p(x)dxdx
]
.
Ademais, as duas soluções são linearmente independente.
Exemplo 1.15. Ache a solução geral da equação
(x2 + 1)y′′ − 2xy′ + 2y = 0
conhecendo sua solução particular y = x.
Resolução:
• É fácil comprovar que y1 = x é uma solução;
• Se aplicarmos a fórmula de Liouville obteremos a outra solução. Portanto,
y2(x) = x
(∫
1
x2
e
∫
2x
x2+1
dx
dx
)
= x
(∫
1
x2
eln(x
2+1)dx
)
= x
(∫
x2 + 1
x2
dx
)
= x
(
x− 1
x
)
= x2 − 1.
• A solução geral da equação (x2 + 1)y′′ − 2xy′ + 2y = 0 é
y = C1x+ C2(x
2 − 1).
Teorema 1.6. A solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea (3) é igual a
soma y = y0 + yp, onde y0 é a solução da equação homogênea correspondente e yp uma qualquer
solução de (3).
Resolução de equaçõesdiferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes cons-
tantes
1.5.1 Método da equação caracteŕıstica
Sejam p(x) = a, q(x) = b e r(x) = 0 da equação (3), onde a e b são constantes:
y′′ + ay′ + by = 0. (4)
Observe que a função exponencial ekx tem a propriedade de que suas derivadas são todas constantes
multiplicadas por si própria. Isto nos faz considerar a função y = ekx como uma solução posśıvel de
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
(4), se k for convenientemente escolhida. Fazendo y = ekx solução da equação e substituido y e suas
derivadas y′ = kekx e y′′ = k2ekx na equação (4), temos:
k2ekx + akekx + bekx = 0⇔ k2 + ak + b = 0. (5)
Observe que a exponencial ekx nunca se anula. A equação (5) chama-se equação caracteŕıstica
associada à equação diferencial (4). Para achar o valor de k basta resolver a equação caracteŕıstica
k1 =
−a+
√
a2 − 4b
2
e k2 =
−a−
√
a2 − 4b
2
.
Poddemos ter três casos para os valores de k :
Caso 1: as ráızes são reais e distintas, k1 6= k2.
Neste caso, a solução geral correspondente é
y = C1e
k1x + C2e
k2x
Caso 2: as ráızes são reais e iguais, isto é, k1 = k2.
Neste caso, a solução geral correspondente é
y = (C1 + C2x)e
k1x
Caso 3: as ráızes são complexas, isto é, k1 = α + iβ e k2 = α− iβ.
Neste caso, a solução geral correspondente é
y = eαx (C1 cos βx+ C2 sin βx))
Exemplo 1.16. Resolva o problema de Cauchy y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(0) = y′(0) = 1
equação caracteŕıstica: k2 − 5k + 4 = 0;
Ráızes da equação caracteŕıstica: k1 = 1, k2 = 4;
Solução geral:
y = C1e
x + C2e
4x
Condições iniciais: y(0) = C1 + C2 = 1
y′(x) = C1e
x + 4C2e
4x
y′(0) = C1 + 4C2 = 1.
Resolvendo o sistema de equações achamos C1 = 1, C2 = 0.
Solução: y = ex.
Exemplo 1.17. Resolva o problema de Cauchy y′′ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 5
Resolução:
equação caracteŕıstica: k2 + 2k + 5 = 0;
Ráızes da equação caracteŕıstica: k1,2 = −1± 2i;
Solução geral:
y = e−x(C1 cos 2x+ C2 sin 2x);
Condições iniciais: y(0) = C1 = 1
y′(x) = e−x (−C1 cos 2x− C2 sin 2x− 2C1 sin 2x+ 2C2 cos 2x)
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
y′(0) = −C1 + 2C2 = 5⇔ C2 = 3;
Solução: y = e−x(cos 2x+ 3 sin 2x).
Aseguir métodos de resolução de equação não homogêneas, sendo o método de variação das
constantes geral.
1.5.2 Método de variação de parâmetros (Método de Lagrange)
Seja a, b constantes arbitrárias. Considere a equação diferencial
y′′ + ay′ + by = r(x). (6)
Suponhamos que y = C1y1 + C2y2 seja a solução da equação homogênea
y′′ + ay′ + by = 0.
O método de varição das constantes consiste em trocar as constantes C1 e C2 por funções C1(x)
e C2(x) adequadas, de modo que y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) seja uma solução particular de (6).
Portanto, as funções C1(x) e C2(x) são obtidas do sistema:{
C ′1(x)y1 + C
′
2(x)y2 = 0
C ′1(x)y
′
1 + C
′
2(x)y
′
2 = r(x)
Está garantida a existência da solução deste sistema pois o seu determinante é o Wronskiano de y1
e y2, que é diferente de zero, pois y1 e y2 são linearmente independentes.
Exemplo 1.18. Resolva
y′′ + y′ =
1
ex + 1
Resolução
Equação homogênea correspondente: y′′ + y′ = 0
equação caracteŕıstica: k2 + k = 0;
Ráızes da equação caracteŕıstica: k1 = 0, k2 = −1
Solução da parte homogênea:
y0 = C1 + C2e
−x
Solução particular: yp = C1(x) + C2(x)e
−x, onde
C ′1(x) + C
′
2(x)e
−x = 0
C ′1(x)0− C ′2(x)e−x = 1ex+1
obtêm-se C ′2(x) =
ex
ex + 1
e C ′1(x) =
1
ex + 1
. Assim,
C2(x) =
∫
exdx
ex + 1
= ln(ex + 1), C1(x) =
∫
e−x
e−x + 1
dx = − ln(e−x + 1).
Portanto,
yp(x) = − ln(e−x + 1) + e−x ln(ex + 1).
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
Assim, a solução geral é
y = C1 + C2e
−x − ln(e−x + 1) + e−x ln(ex + 1)
1.5.3 Método de coeficientes indeterminados
Seja p, q constantes arbitrárias. Considere a equação diferencial
y′′ + ay′ + by = r(x). (7)
Suponhamos que y = C1y1 + C2y2 seja a solução da equação homogênea
y′′ + ay′ + by = 0.
Este método pode ser aplicado só caso o segundo membro r(x) da equação não-homogênea tiver
uma forma especial. Vamos considerar dois casos t́ıpicos de aplicação do método de coeficientes
indeterminados:
Caso 1: o segundo membro r(x) da equação não-homogênea tem a forma r(x) = eaxPm(x), onde a é
um número real que chama-se parâmetro real do segundo membro da equação não-homogênea,
Pm(x) é um polinômio de x com grau m. Então a solução particular yp da equação não-
homogênea dada procura-se sob a seguinte forma:
yp = x
reaxUm(x)
onde o expoente da potência xr admite o valor r = 0 se o parâmetro real a não é raiz da
equação caracteŕıstica, e admite os valores naturais r = 1, 2, 3, . . . se o parâmetro a fôr raiz de
ordem de multiplicidade r da equação caracteŕıstica. Um(x) é um polinômio com coeficientes
indeterminados cujo o grau m é mesmo que do polinômio Pm(x). Por exemplo, um polinômio de
grau m = 0 tem a forma U0(x) = A, um polinômio de grau m = 1 tem a forma U1(x) = Ax+B,
do grau m = 2 é U2(x) = Ax
2 + Bx + C etc., sendo A,B,C, . . . coeficientes indeterminados.
Para encontrar esses coeficientes, é preciso substituir na equação não-homogênea dada, a função
incógnita y e as suas derivadas y′, y′′, . . . por yp, y
′
p, y
′′
p , . . . , respectivamente, e da identidade
obtida achar os coeficientes do polinômio Um(x).
Caso 2: o segundo membro r(x) da equação não-homogênea tem a forma r(x) = eax[Pm(x) cos(bx)+
Ql(x) sin(bx)], onde Pm(x) e Ql(x) são polinômios de x de graus m e l, respectivamente. Ao
número complexo a + ib chamaremos parâmetro complexo do segundo membo da equaçào
não-homogênea. Então a solução particular yp da equação dada procura-se da seguinte forma:
yp = x
reax[Uj(x) cos(bx) + Vj(x) sin(bx)],
onde o expoente da potência xr admite o valor r = 0 se o parâmetro complexo (a + ib) não é
raiz da equação caracteŕıstica, e admite valores naturais r = 1, 2, 3, . . . . se este parâmetro fôr
raiz de ordem de multiplicidade r da equação caracteŕıstica, Uj(x), Vj(x) são polinômios de x
de grau j = max(m, l) com coeficientes indeterminados, que se determinam de maneira análoga
a do Caso 1.
Exemplo 1.19. Integrar a equação y′′′ + 3y′ − 4y = −6e−2x.
Resolução: A equação diferencial dada é linear não-homogênea de coeficientes constantes, cuja
soluçào geral tem a forma y = y0 + yp. A parte homogênea y
′′′ + 3y′ − 4y = 0, tem como solução
y0 = C1e
x + (C2 + C3x)e
−2x.
Para achar a solução particular yp da equação linear homogênea dada, vamos aplicar o método de
coeficientes indeterminados, tomando em consideração que o segundo membro desta equação tem
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1 Equações diferenciais ordinárias 1.5 Equações diferenciais de 2a ordem
a primeira forma especial, a saber, representa o produto do polinômio de grau “zero” P0(x) = −6
pela exponencial e−2x, sendo o parâmetro real do segundo membro a = −2 raiz dupla da equação
caracteŕıstica r = 2. Logo, a solução particular yp é preciso procurar sob a forma yp = Ax
2e−2x,
onde A é coeficiente indeterminado. Para determinar A, vamos substituir na equação dada
y, y′′, y′′′ por yp, y
′′
p , y
′′′
p , respectivamente. No resultado obteremos A = 1. Então achamos yp =
x2e−2x. Assim, a solução geral da equação diferencial dada é
y = C1e
x + (C2 + C3x+ x
2)e−2x.
Exemplo 1.20. Integrar a equação y′′ + y′ − 2y = 8 sin(2x).
Resolução: A equação diferencial dada é linear não-homogênea de coeficientes constantes, cuja
soluçào geral tem a forma y = y0 + yp. A parte homogênea y
′′ + y′ − 2y = 0, tem como soluçãoy0 = C1e
x + C2e
−2x.
A solução particular yp da equaçào linear não-homogênea dada, vamos procurar, aplicando o
método de coeficientes indeterminados. Atendendo a que o segundo membro desta equação
tem a segunda forma especial, cujo parâmetro complexo a + ib = 2i não é raiz da equação
caracteŕıstica r = 0, sendo Pm(x) = 0, Ql(x) = 8,m = l = 0, j = max(m, l) = 0, concluimos que
yp = A cos(2x) + B sin(2x), onde A e B são coeficientes indeterminados. Aseguir substituindo
na equação diferencial y, y′, y′′ por yp, y
′
p, y
′′
p , respectivamente, obteremos a identidade
(−6A+ 2B) cos(2x) + (−2A− 6B) sin(2x) = 0 · cos(2x) + 8 · sin(2x)
resolvendo esta equação obtem-se A = −2
5
, B = −6
5
. Então a solução particular é
yp = −
2
5
cos(2x)− 6
5
sin(2x).
Assim a solução geral da equação dada é
y = C1e
x + C2e
−2x − 2
5
cos(2x)− 6
5
sin(2x).
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2 Cálculo operacional
2 Cálculo operacional
2.1 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace pode ser usada para usada para resolver equa,c‘oes diferenciais com
coeficientes constantes, ou seja, equações da forma
ay′′ + by′ + cy = f(t), para a, b, c ∈ R.
Para isso, a equação diferencial é inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa
equação algébrica. Depois resolve-se a equação algébrica e finalmente transforma-se de volta a
solução da equação algébrica na solução da equação diferencial inicial. A transformada de Laplace
de uma função f : [0,∞)→ R é definida por
L(f)(s) = F (s) =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt (8)
para todo s ≥ 0 em que a integral (8) converge. As transformadas de Laplace das funções f(t), g(t)
e h(t) serão representadas por F (s), G(s) e H(s), respectivamente.
Exemplo 2.1. Cálcule a transformada de Laplace da função f : [0,∞)→ R definida por f(t) =
1.
Resolução: Usando a fórmula (8) temos
F (s) =
∫ ∞
0
e−st1dt = lim
A→∞
∫ ∞
0
e−stdt = lim
A→∞
e−st
−s
∣∣∣A
0
= lim
A→∞
[
e−sA
−s
− e
−s·0
−s
]
=
1
s
, s ≥ 0
Exemplo 2.2. Cálcule a transformada de Laplace da função f : [0,∞)→ R definida por f(t) =
eat, a ∈ R.
Resolução:
F (s) =
∫ ∞
0
e−steatdt = lim
A→∞
∫ ∞
0
e−(s−a)tdt = lim
A→∞
e−(s−a)t
−s+ a
∣∣∣A
0
= 0− e
−(s−a)·0
a− s
=
1
s− a
, s ≥ a
Teorema 2.1 (Linearidade). Se a transformada de Laplace de f(t) é F (s), para s > a1 e a
transformada de Laplace de g(t) é G(s), para s > a2, então para as constantes α e β
L(αf + βg)(s) = αL(f) + β L(g) = αF (s) + βG(s), s > max{a1, a2}.
Teorema 2.2 (Primeiro teorema de deslocamento). Seja a ∈ R. Se a transformação de Laplace
da função f : [0,∞)→ R é F (s), para s > c, então a transformada de Laplace da função
g(t) = eatf(t)
é
G(s) = F (s− a), s > a+ c.
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2 Cálculo operacional 2.2 Solução de Problemas de Valor Inicial
Exemplo 2.3. Achar f(t) sabendo que a transformada de Laplace é dada por F (s) =
s+ 3
s2 − 3s+ 2
.
Resolução: Colocando F (s) em função de somas parciais temos
F (s) =
s+ 3
s2 − 3s+ 2
=
−4
s− 1
+
5
s− 2
= −4 1
s− 1
+ 5
1
s− 2
cuja a transformada é F (s) é
f(t) = −4et + 5e2t.
2.2 Solução de Problemas de Valor Inicial
Diremos que a uma função f : [0,∞)→ R é seccionalmente cont́ınua ou cont́ınua por partes se f(t)
é cont́ınua em [0,∞) excepto posśıvelmente em um número finito de pontos, nos quais os limites
laterais existem.
Teorema 2.3 (Derivação).
(a) Suponha que f : [0,∞)→ R seja derivável com f ′(t) seccionalmente cont́ınua. Então
L(f ′)(s) = sF (s)− f(0),
em que F (s) é transformada de Laplace de f(t).
(b) Suponha que f : [0,∞) → R seja derivável duas vezes com f ′′(t) seccionalmente cont́ınua.
Então
L(f ′′)(s) = s2F (s)− sf(0)− f ′(0),
em que F (s) é transformada de Laplace de f(t).
Exemplo 2.4. Determinar F (s) sabendo que f(t) = t sin(at), a ∈ R.
Resolução: Temos que
f ′(t) = sin(at) + at cos(at), f ′′(t) = 2a cos(at)− a2t sin(at) = 2a cos(at)− a2f(t)
Assim, aplicando-se a transformada de Laplace e usando o Teorema 2.3 obtemos
s2F (s)− sf(0)− f ′(0) = 2a s
s2 + a2
− a2F (s)
assim,
F (s) =
2as
(s2 + a2)2
Exemplo 2.5. Resolva este PVI onde y′′ + 2y′ + 5y = 4e−t cos(2t), y(0) = 1, y′(0) = 0.
Resolução: Aplicando a transformada de Laplace, obtemos[
s2Y (s)− sy(0)− y′(0)
]
+ 2 [sY (s)− y(0)] + 5Y (s) = 4 s+ 1
(s+ 1)2 + 4
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2 Cálculo operacional 2.2 Solução de Problemas de Valor Inicial
substituindo-se os valores y(0) = 1 e y′(0) = 0 obtemos
(s2 + 2s+ 5)Y (s) = 4
s+ 1
(s+ 1)2 + 4
+ s+ 2
=
4s+ 4 + (s+ 2)(s2 + 2s+ 5)
s2 + 2s+ 5
=
s3 + 4s2 + 13s+ 14
s2 + 2s+ 5
assim,
Y (s) =
s3 + 4s2 + 13s+ 14
(s2 + 2s+ 5)2
.
Como o denominador tem somente ráızes complexas, para decompor Y (s) em frações parciais
vamos encontrar A,B,C e D tais que
Y (s) =
As+B
s2 + 2s+ 5
+
Cs+D
(s2 + 2s+ 5)2
onde A = 1, B = 2, C = D = 4. Assim,
Y (s) =
s+ 2
s2 + 2s+ 5
+
4s+ 4
(s2 + 2s+ 5)2
=
s+ 1 + 1
(s+ 1)2 + 4
+ 4
s+ 1
[(s+ 1)2 + 4]2
=
s+ 1
(s+ 1)2 + 4
+
1
2
2
(s+ 1)2 + 4
+
2 · 2(s+ 1)
[(s+ 1)2 + 4]2
De onde obtemos
y(t) = e−t cos(2t) +
1
2
e−t sin(2t) + te−t sin(2t).
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	Equações diferenciais ordinárias
	Resumo teórico
	Equações diferenciais de 1ª ordem
	Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis
	Equações diferenciais homogêneas da 1ª ordem
	Equações exactas. Factor integrante
	Factor integrante
	Equações lineares da 1ª ordem. Equação de Bernoulli
	Equações diferenciais de 2ª ordem
	Método da equação característica
	Método de variação de parâmetros (Método de Lagrange)
	Método de coeficientes indeterminados
	Cálculo operacional
	Transformada de Laplace
	Solução de Problemas de Valor Inicial