LISTA DE EXERCÍCIOS MATRIZES II

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATRIZES II 
 
1. Adição de Matrizes: 
 
Dadas as matrizes A=  
n x mij
a e B =  
n x mij
b , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz C =
 
n x mij
c , tal que ijijij bac += , para todo mi1  e todo ni1  . 
 
Notação: A + B = C 
 
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). 
 
Propriedades : A, B e C são matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes propriedades: 
 
1) Associativa: 
(A + B) + C = A + (B + C) 
 
2) Comutativa 
 
A + B = B + A 
 
3) Elemento Neutro 
 
A + O = O + A = A 
 
onde O é a matriz nula m x n. 
 
4) Elemento Oposto 
 
A + (-A) = (-A) + A = O 
 
Exemplos: 
 
1) 
( )






=





++
−++
=




 −
+





90
33
2700
1421
2 0
12
70
41
 
 
2) 
( ) 




=





+−−++
+++
=





+





− 10 1
145
2111 10
10 13 32
2 1- 1
1 1 3
11 0
0 3 2
 
 
 
2. Subtração de Matrizes: 
 
Dadas as matrizes A=  
n x mij
a e B=  
n x mij
b , chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de 
A com a matriz oposta de B 
 
Notação: A - B = A + (-B) 
 
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OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). 
 
Exemplo: 
 
1) 





−
−
=





+−+
−−
=




−
+





−
=





−





− 54
22
2704
2013
2 0 
2-1
74
0 3
2-0
2 1
74
0 3
 
 
 
3. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
 
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A é uma matriz do tipo m 
x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x. 
 
Notação: B = x.A 
 
OBS.: Cada elemento ijb de B é tal que ijb = x ija 
 
Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem 
as seguintes propriedades: 
 
1) Associativa: 
 
x.(y.A) = (x.y).A 
 
2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: 
 
x.(A+B) = x.A + x.B 
 
3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: 
 
(x + y).A = x.A + y.A 
 
4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 
 
1.A = A 
 
Exemplo: 
 
1) 
( ) 




−
=





−
=





− 03
216 
0.31.3
7.32.3
01
72 
.3 
 
 
 
 
 
 
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4. Multiplicação de matrizes: 
 
 O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos 
elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais. 
 Assim, o produto das matrizes A=  
p x mij
a e B=  
n x pij
b é a matriz C=  
n x mij
c , onde cada elemento ijc 
é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos 
da j-ésima coluna de B. 
 
 OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que ocupam a 
mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam 





=
203
461
A e 





=
437
205
B . Os elementos 
2b e 4a 1313 == são elementos correspondentes. 
 
 Decorrência da definição: 
 
 A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número 
de linhas da segunda matriz (B). 
 
Assim: ( ) n x mn x pp x m B.AB e A  
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do 
segundo fator. 
 
Exemplos: 
 
1) Se ( ) 5 x 35 x 22 x 3 B.AB e A  
2) Se produto existe não que B e A 3 x 21 x 4  
3) ( ) 1 x 41 x 22 x 4 B.AB e A  
 
Propriedades : Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas 
as seguintes propriedades: 
 
1) Associativa: 
 
(A.B).C = A.(B.C) 
 
2) Distributiva em relação à adição: 
 
a) A.(B+C) = A.B + A.C 
 
b) (A+B).C = A.C + B.C 
 
3) Elemento Neutro: 
 
A. nI = nI .A = A 
onde nI é a matriz identidade de ordem n. 
 
 
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Atenção: Não valem as seguintes propriedades: 
 
1) Comutativa, pois, em geral, A.B  B.A 
2) Sendo n x mO uma matriz nula, A.B = n x mO não implica, necessariamente, que A = n x mO ou B = 
n x mO . 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Sendo A= 





14
32
 e B= 





43
21
, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados 
Solução: 
 
A.B = 





14
32
. 





43
21
 
 
coluna 1 e linha 1a
aa
11
−−= = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11 
coluna 2 e linha 1a
aa
12
−−= = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16 
coluna 1 e linha 2a
aa
21
−−= = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7 
coluna 2 e linha 2a
aa
22
−−= = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12 
 
Assim: 
 
A.B = 
2 x 2
14
32






.
2 x 2
43
21






= 
2 x 2
127
1611
4834
12492
4.12.43.11.4
4.32.23.31.2






=





++
++
=





++
++
 
 
B.A = 
2 x 2
43
21






.
2 x 2
14
32






= 
2 x 2
1322
510
49166
2382
1.43.34.42.3
1.23.14.22.1






=





++
++
=





++
++
 
 
Comparando os resultados, observamos que A.B  B.A, ou seja, a propriedade comutativa para 
multiplicação de matrizes não vale. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Seja A=
3 x 2
2 x 3
402
321 
B e 
41
10 
32 






−
=










−
, determine: 
a) A.B 
b) B.A 
 
Solução: 
 
a) A.B = 
3 x 3
3 x 2
2 x 3
4.43.10.42.1)2.(41.1
4.13.00.12.0 )2.(11.0
4.33.20.32.2 )2.(31.2
402
321 
. 
41
10 
32 










+−+−−+−
++−+
++−+
=





−










−
= 
 = 
3 x 33 x 3
1329
40 2
184 4
16302)8(1
40 00 )2(0
126 04 )6(2










−−
−
−
=










+−+−−+−
++−+
++−+
 
 
 
b) B.A = 
2 x 2
2 x 3
3 x 2
4.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2
)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1
41
10 
32 
402
321 
. 





++−−++−
++−++
=










−






−
= 
 = 
2 x 22 x 2
108
171
1606)4(04
1223)3(02






−
−
=





++−−++−
++−++
 
 
Conclusão: Verificamos que A.B  B.A 
 
 
5. Matriz Inversa: 
 
 Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 'A , de mesma ordem, tal que A. 'A
= 'A .A = nI , então 
'A é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. 'A = 'A .A = nI , isto implica que 
'A é a matriz inversa de A, e é indicada por 1A − ). 
 
 Notação: 
1A − 
 
 Exemplo: Sendo A = 
2 x 2
12
21 






−
, vamos determinar a matriz inversa de A, se existir. 
 
Solução: 
 
 Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. 
 Como, para que exista inversa, é necessário que A. 'A = 'A .A = nI , vamos trabalhar em duas 
etapas: 
 
 
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−
o
1 Passo: Impomos a condição de que A. 'A = nI e determinamos 
'A : 
 
A. 'A = nI 
2 x 2
12
21 






−
.
2 x 2
dc
ba






= 





2 x 2
10
01
 
 
2 x 22 x 2
2 x 22 x 2
10
01
d2b-ca2
d2b c2a 
10
01
1.d2.b-c.1a.2
d.2b.1 c.2a.1 






=





++−
++







=





++−
++

 
 
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à: 
 
 
 
 
 
 
5
1
a0
5
2
2a- 
0c2a- 
 
 
5
2
c 25c 
0c 2a-
24c2a 
 
 0ca2
(-2) 1c2a 
 
__________________
==+
=+










==
=+
=+




=+−
=+5
2
b1
5
1
2b- 
1d2b- 
 
 
5
1
d 15d 
1d 2b- 
04d2b 
 
 1db2
(-2) 0d2b 
 
__________________
−==+
=+










==
=+
=+




=+−
=+
 
Assim temos: 
 
 
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'A =.
2 x 2
dc
ba






= 
2 x 25
1 
5
2
5
2
5
1









 −
 
 
−
o
2 Passo: Verificamos se 'A A = 2I : 
 
'A .A = 
2 x 25
1 
5
2
5
2
5
1









 −
.
2 x 2
12
21 






−
= 
 
( )( ) ( )
( )
2
2 x 2
2 x 22 x 2
I
10
01
5
50
0
5
5
 
5
1
5
4
5
2
5
2
5
2
5
2
5
4
5
1
1.
5
12.
5
22.
5
11.
5
2 
1..
5
22.
5
1 2.
5
21.
5
1 
 
=








=










=
=










+−
−+
=










+−+
−+−−+
=
 
 
Portanto temos uma matriz 'A , tal que: A. 'A = 'A .A = 2I 
Logo, 'A é inversa de A e pode ser representada por: 
1A − = 
2 x 25
1 
5
2
5
2
5
1









 −
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/user/oprofessortelmo PROF. TELMO 8 
 
 
 
 
 
LISTA EXERCÍCIOS 
 
1-) Sendo A= 





3
2
1
0
4
1
 e B= 





−124
103
, calcule: 
a-) A + B b-) A – B c-) B – A 
 
2-) Calcule x, y e z, tais que 






=





−





− 04
z23
17
71
1yx
zx2
. 
 
3-) Sendo A= ( )
2x3ij
a , onde ija =2i-j, e B= ( ) 2x3ijb , 
com ijb = ,ji
2 + calcule: 
a-) A – B b-) B – A c-) ( )tBA + 
 
4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são 
matrizes do mesmo tipo, então ( ) ttt BABA +=+ . 
Sugestão: Considere A e B as matrizes 
encontradas no exercício 3. 
 
5-) Sendo A= 





20
02
 e 





=
30
03
B , determinar as 
matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = 
A – B. 
 
6-) Dadas as matrizes A= 





10
32
, 





=
23
40
B e C=






180
1415
 calcule: 
a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) 
b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C 
c-) a matriz X, tal que 
 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C) 
 
7-) Sendo A=










0
3
2
 e B=









 −
2
0
1
, determine as matrizes 
X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B 
 
 
 
 
 
 
8-) Determine a relação existente entre as 
matrizes A= 





3
1
4
0
2
3
 e B=










−
−
−
−
−
3
4
2
1
0
3
. 
 
9-) Sendo a matriz A= 










320
y43
c32
 simétrica, 
determine c e y. 
 
10-) Sendo A= ( )
2x2ij
a , onde ija =2i-j, e B=
( )
2x2ij
b , com ijb = ij− , determine X tal que 
3A + 2X = 3B. 
 
11-) Sendo A= 




 −
23
12
 e 





−
−
=
11
10
B , 
calcule as matrizes X e Y no sistema 



=+
=+
AY2X3
BY3X2
. 
12-) Sendo A= 









−
112
010
321
 e B=-2A, 
determine a matriz X, tal que B
2
1
A3X2 =− 
 
13-) Dadas as matrizes A= ( )
4x6ij
a , tal que 
ija = i - j, B= ( ) 5x4ijb , tal que com ijb = ij− e 
C = AB, determine o elemento 42c . 
 
14-) Sendo A= 





21
22
, calcule 
2
2 I5A4A −+ . 
 
15-) Determine a matriz X, tal que 
( )tAB.AA2X −=+ , sendo A= 





10
12
 e B=






01
21
. 
 
 
https://www.youtube.com/user/oprofessortelmo PROF. TELMO 9 
 
16-) Dadas as matrizes A=










−
−−
−
=










−−
−
−−
531
531
531
B,
431
541
532
3x3
 e C=










−−
−
−−
321
431
422
. Calcule: 
a-) A.B 
b-) B.A 
c-) A.C 
d-) C.A 
 
17-) (UFPA) A matriz A= ( )
3x3ij
a é definida de tal 
modo que 




=
−
=
+
jise,0
jise,)1(
a
ji
ij . Então, A é igual a: 
a-) 










−
−−
−
011
101
110
 b-) 










−−
101
011
001
 c-)










−
−
011
101
110
 
d-) 










−
−
100
010
001
 e-) 










−
−−
011
101
110
 
 
18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ( )ija e B= ( )ijb
, quadradas de ordem 2, com 
j3i4bej4i3a ijij −−=+= , se C=A + B, então 
2C é igual a: 
a-)






10
01 b-)






−
−
10
01 c-)






01
10 d-)






−
−
01
10 e-) 






11
11 
 
 
 
19-) Verifique se B=
2x23
1
3
2
2
1 0






−
é inversa de 
A= 





− 34
02
 
 
20-) Determinar, se existir, 
1A − em cada caso: 
a-) A= 





10
01
 b-) A= 





−12
32
. 





11
01
 
 
21-) Sendo A= 





43
21
, calcule ( ) 11A −− . 
 
22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de 
mesma ordem 2. Sendo B. 2
1 IA =− e C.B = 
A, determine C e 
1C− . 
 
23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma 
matriz mxp. A afirmação falsa é: 
a-) A + B existe se, e somente se, n = p 
b-) A=
tA implica m = n (
tA = transposta de 
A) 
c-) A.B existe se, e somente se, n = p 
d-) A. 
tB existe se, e somente se, n = p 
e-) 
tA .B sempre existe 
 
 
 
 
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Respostas 
 
1) a) 






2
3
3
0
8
4 b) 






−
−
4
1
1
0
0
2 c) 






−
−
4
1
1
0
0
2 
2) x=2, y=-9 e z=-7 
3) a) 










−
−
−
−
−
−
7
4
3
5
2
1
 b) 










7
4
3
5
2
1
 c) 






15
15
8
8
3
3 
4) ------------- 
5) X=








3
4
3
4
0
0
 e Y=








3
11
3
11
0
0
 
6) a) 






00
00 b) 






−−
−
815
144 c) 






−
−−
1396
101118 
7) X=










1
2
4
9 e Y=










−1
1
4
3 
8) A= 
tB− 
9) c=0 e y=2 
10) X= 





−−
−
36
2
3
2
3
 
 
11) X=







 −
5
4
5
11
5
1
5
6
 e Y= 





−−
−−
5
1
5
9
5
1
5
4
 
12) X=









−
112
010
321
 
13) 2 
14) 






98
169 
15) X=






−
−−
33
13 
16) a) 










000
000
000
 b) 










000
000
000
 c) AC= A d) CA= C 
17) alternativa a) 
18) alternativa b) 
19) Sim, B é inversa de A 
20) a) 






10
01 b) 








−
8
5
8
1
8
3
8
1
 
21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria 
matriz A. 
22) C= 2
1 IC =− 
23) Alternativa c)