Lista 1 Álgebra Linear Felipe Moreti Bolini

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Lista 1 – Álgebra Linear – Felipe Moreti Bolini
Seção 1.2 – Exercício 41:
a) 
	Se uma matriz é invertível, ou seja, possui determinante não nulo, significa que , ou seja, se realizarmos a eliminação gaussiana, obteremos, a partir de , uma matriz identidade e, se realizarmos as mesmas operações na matriz identidade, obteremos . Assim, para que isso seja verdadeiro, .
	Além disso, tendo , sabemos que nenhuma linha da matriz é nula, de tal forma que podemos encontrar o pivô de cada linha e, portanto, realizar a eliminação gaussiana para obter a matriz escalonada reduzida por linhas igual à matriz identidade ().
b) Temos o seguinte sistema linear:
Do item anterior, temos que a matriz escalonada reduzida por linhas de é . Assim, temos que
Portanto, temos uma solução única .
Seção 1.7 – Exercício 31:
Teorema 1.7.4: Se for uma matriz simétrica invertível, então é simétrica.
Matriz quadrada simétrica: .
Matriz invertível: .
a) 
Verificando se é simétrica: Como , é simétrica.
Verificando se é invertível: Como , é invertível.
Verificando se :
Encontrando : 
· Somamos a primeira linha no dobro da segunda: 
· Multiplicamos a segunda linha por : 
· Somamos a segunda linha à primeira: 
· Dividimos a primeira linha por 2: 
Portanto 
Como , .
Portanto, temos que é verdade, o que mostra que o teorema 1.7.4 é válido para a matriz em questão.
b) 
Verificando se é simétrica: Como , é simétrica.
Verificando se é invertível:
Como , é invertível.
Verificando se :
Encontrando : 
· Somamos o dobro da primeira linha na segunda linha: 
· Subtraímos o triplo da primeira linha da terceira: 
· Dividimos a segunda linha por : 
· Somamos a segunda linha na terceira: 
· Multiplicamos a terceira linha por : 
· Subtraímos a terceira linha, multiplicada por 1/3, da segunda linha: 
· Subtraímos a terceira linha, multiplicada por , da primeira linha: 
· Somamos o dobro da segunda linha na primeira: 
Portanto 
Como , .
Portanto, temos que é verdade, o que mostra que o teorema 1.7.4 é válido para a matriz em questão.
Seção 2.3 – Exercício 35:
a) 
Calcular é o equivalente a calcular o determinante de 
Portanto, pelo teorema 2.3.4, temos que . Assim, como e , temos que .
b) 
Pelo teorema 2.3.5, temos que se é invertível, ou seja, o determinante é não nulo (nosso caso), . Assim, .
c) 
Utilizando raciocínio similar ao do item (a) e sabendo que , do item anterior, temos que, pelo teorema 2.3.4, , onde . Assim, como e , .
d) 
Pelo teorema 2.3.5, temos que se é invertível, ou seja, o determinante é não nulo, . Assim, .
Pelo teorema 2.3.4, temos que , onde . Assim, como e , temos que .
Uma vez que , a matriz é invertível e, portanto, o teorema 2.3.5 é válido, de tal forma que .
e) 
Tendo em vista que que estamos trabalhando com matrizes quadradas e que a matriz em questão é, apenas, a matriz transposta, com a terceira coluna trocada com a segunda, pelo teorema 2.2.2, .
Seção 2.3 – Exercício 38: é invertível se, e só se, é invertível.
Utilizarei dos seguintes resultados para a prova:
Teorema 2.3.3: Uma matriz quadrada é invertível se, e só se, .
Teorema 2.2.2: .
Teorema 2.3.4: .
Provando a ida (se é invertível, é invertível):
Se é invertível, . Como ,. Portanto, como . Assim, como , é invertível.
Provando a volta (se é invertível, é invertível):
Se é invertível, . Como , e , simultâneamente. Portanto, como , é invertível.
Exercício 4: Prove a Regra de Cramer.
Regra de Cramer: se for um sistema de equações em incógnitas tal que , então o sistema tem uma única solução. Essa solução é
em que é a matriz obtida substituindo as entradas da coluna de pelas entradas da matriz 
PROVA: se , então é invertível e, pelo teorema , é a única solução de . Portanto, pelo teorema , 
Multiplicando as matrizes, temos
 
Portanto, a linha de é
Seja, agora, 
Como difere de somente na coluna, segue que os cofatores das entradas de coincidem com os cofatores das entradas correspondentes da coluna de . A expansão em cofatores de ao longo da coluna é, portanto, 
Substituindo esse resultado em , temos que