Resumo Método de Gauss-jordan

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CÁLCULO NUMÉRICO 
– SISTEMAS LINEARES – 
– Método de Gauss-Jordan – 
 
 
 
Resumo para estudos gerais de 
Cálculo Numérico feito por Mirla 
Rocha de Oliveira Ferreira 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
SISTEMAS LINEARES .............................................................................................................. 1 
Método de Gauss - Jordan..................................................................................................................... 1 
Exercícios .............................................................................................................................................. 3 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 4 
 
 
 
1 
SISTEMAS LINEARES 
Método de Gauss - Jordan 
 
Método de Gauss - Jordan é um procedimento usado para resolver sistemas de 
equações lineares através de uma manipulação do sistema até que se obtenha um sistema 
equivalente a forma matricial diagonal. Ou seja: 
[
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] = [
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑏4
] → [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] = 
[
 
 
 
𝑏1
,
𝑏2
,
𝑏3
,
𝑏4
,
]
 
 
 
 
 
Exemplo: 
O sistema linear é: 
4𝑥1 − 2𝑥2 − 3 𝑥3 + 6 𝑥4 = 12
−6𝑥1 + 7 + 6,5 𝑥3 − 6 𝑥4 = −6,5
𝑥1 + 7,5𝑥2 + 6,25𝑥3 + 5,5 𝑥4 = 16
−12𝑥1 + 22𝑥2 + 15,5 𝑥3 − 𝑥4 = 17
 
 
A matriz fica assim: 
 
[
4 −2 −3 6 12
−6 7 6,5 −6 −6,5
1 7,5 6,25 5,5 16
−12 22 15,5 −1 17
] 
 
O primeiro procedimento é transformar o elemento a11 em 1. Para isso, elege-se o 
elemento a11 como pivô e divide-se toda a linha 1 pelo valor de a11, ou seja, no exemplo, por 4. 
 
[
 
 
 
 
4
4
−2
4
−3
4
6
4
12
4
−6 7 6,5 −6 −6,5
1 7,5 6,25 5,5 16
−12 22 15,5 −1 17]
 
 
 
 
= [
1 −0,5 −0,75 1,5 3
−6 7 6,5 −6 −6,5
1 7,5 6,25 5,5 16
−12 22 15,5 −1 17
] 
 
O próximo passo é eliminar os primeiros elementos de cada linha: a21, a31, a41, ou seja, 
transformá-los em 0. Para isso, em cada linha, faça-se o seguinte: 
 
[
1 −0,5 −0,75 1,5 3
−6 7 6,5 −6 −6,5
1 7,5 6,25 5,5 16
−12 22 15,5 −1 17
]
.
−(−6) ×
− (1) ×
−(−12) ×
.
[1 −0,5 −0,75 1,5 3]
[1 −0,5 −0,75 1,5 3]
[1 −0,5 −0,75 1,5 3]
= [
1 −0,5 −0,75 1,5 3
0 4 2 3 11,5
0 8 7 4 13 
0 16 6,5 17 53
] 
 
Depois, é preciso transformar o segundo elemento da segunda coluna, ou seja, a22, em 
1. 
 
[
 
 
 
 
1 −0,5 −0,75 1,5 3
0 
4 
4
 
 2
4
 
 3
4
 
11,5
4
0 8 7 4 13 
0 16 6,5 17 53]
 
 
 
 
= [
1 −0,5 −0,75 1,5 3
0 1 0,5 0,75 2,875
0 8 7 4 13 
0 16 6,5 17 53
] 
 
2 
Continuando, o próximo passo é eliminar os elementos da segunda coluna: a12, a32, a42. 
Todos devem ficar igual a 0. 
 
[
1 −0,5 −0,75 1,5 3
0 1 0,5 0,75 2,875
0 8 7 4 13 
0 16 6,5 17 53
]
−(0,5) ×
.
− (8) ×
−(16) ×
[0 1 0,5 0,75 2,875]
.
[0 1 0,5 0,75 2,875]
[0 1 0,5 0,75 2,875]
= [
 1 0 −0,5 1,875 4,4375
 0 1 0,5 0,75 2,875
 
0 0 3 −2 −10 
0 0 −1,5 5 7 
] 
 
Continuando da mesma forma, o próximo passo é transformar o elemento a33 em 1. 
 
[
 
 
 
 
1 0 −0,5 1,875 4,4375
 0 1 0,5 0,75 2,875
 
0 0 
3
3
 
−2
3
 
−10
3
 
0 0 −1,5 5 7 ]
 
 
 
 
= [
1 0 −0,5 1,875 4,4375
0 1 0,5 0,75 2,875 
 
0 0 1 −0,667 −3,333 
0 0 −1,5 5 7 
] 
 
Transformando o a13, a23, a43 em 0: 
 
[
1 0 −0,5 1,875 4,4375
0 1 0,5 0,75 2,875 
 
0 0 1 −0,667 −3,333 
0 0 −1,5 5 7 
]
−(−0,5) ×
− (0,5) ×
.
−(−1,5) ×
[0 0 1 −0,667 −3,333 ]
[0 0 1 −0,667 −3,333 ]
.
[0 0 1 −0,667 −3,333 ]
= [
1 0 0 1,5417 2,7708
0 1 0 1,0833 4,5417
 
0 0 1 −0,667 −3,333 
0 0 0 4 2 
] 
 
Transformando o a44 em 1: 
 
[
 
 
 
 
1 0 0 1,5417 2,7708
0 1 0 1,0833 4,5417
 
0 0 1 −0,667 −3,333 
0 0 0 
4 
4
 
2
4
 
]
 
 
 
 
= [
1 0 0 1,5417 2,7708
0 1 0 1,0833 4,5417
 
0 0 1 −0,667 −3,333 
0 0 0 1 0,5 
] 
 
Transformando os quartos elementos da linha 1, 2 e 3, ou seja, a14, a24, a34, em 0: 
 
[
1 0 0 1,5417 2,7708
0 1 0 1,0833 4,5417
 
0 0 1 −0,667 −3,333 
0 0 0 1 0,5 
]
−(1,5417) ×
− (1,0833) ×
.
−(−0,667) ×
[0 0 0 1 0,5]
[0 0 0 1 0,5]
.
[0 0 0 1 0,5]
= [
1 0 0 0 2
0 1 0 0 4
 
0 0 1 0 −3 
0 0 0 1 0,5 
] 
 
[
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] = [
2
4
−3
0,5
] 
 
 
3 
Exercícios 
1. Resolva o sistema: 
 
𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = 9
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 23
3𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 11
 
 
2. Resolva o sistema: 
 
2𝑥1 − 4 𝑥2 + 𝑥3 = 4
6𝑥1 + 2𝑥2 − 1𝑥3 = 10
−2𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 = −6
 
 
3. Resolva o sistema: 
 
2𝑥1 + 𝑥2 − 4 𝑥3 − 2 𝑥4 = 19
−3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 1
3𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 8
−2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 13
 
 
4 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BARROSO, Leonidas. Cálculo Numérico com Aplicações. 2ª Edição. Editora 
HARBRA Ltda. São Paulo. 
CAMPOS, Frederico Ferreira. Algoritmos Numéricos. 2ª Edição. Editora LTC. Belo 
Horizonte. 
LIRA, William Wagner Matos. Apostila de Cálculo Numérico. 
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos Numéricos para Engenheiros e 
Cientistas. ARTMED Editora S.A. São Paulo. 
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico. 
Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. Editora Aplicada. São Paulo.