Notação Científica

Prévia do material em texto

Notação Científica
Ao estudarmos os logaritmos decimais vimos que eles são uma forma de se escrever números reais positivos como potências de 10. Por exemplo, , pois . O logaritmo decimal é o expoente da base 10.
A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.
Mantissa e Ordem de Grandeza
Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:
Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que 10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.
Exemplos de Números Escritos em Notação Científica
Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.
A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.
Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.
Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.
Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:
2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.
Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103 como compensação.
Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:
Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3. Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa.
Veja o número 1 escrito em notação científica:
Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é igual a 0.
Outros Exemplos de Números Escritos em Notação Científica
Note que em todos os exemplos acima o valor absoluto da mantissa é igual ou maior que 1 e menor que 10 e que a ordem de grandeza é um número inteiro.
Observe que 12,5 . 10-1 e 4,7 . 102,5 são exemplos de números que não estão escritos corretamente em notação científica.
No primeiro exemplo a mantissa 12,5 é maior que 10.
No segundo exemplo a ordem de grandeza 2,5 não é um número inteiro.
Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o Expoente
Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte:
Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.
Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.
Como visto acima, 12,5 . 10-1 não está na forma padronizada, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao expoente, o que resulta em 1,25 . 100.
No caso do número 0,0078 . 105 precisamos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8 . 102.
Operações Envolvendo Notação Científica
Adição
Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles possuam a mesma ordem de grandeza.
Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10.
Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2.
A primeira parcela permanece inalterada:
No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula na mantissa será deslocada uma posição para direita:
Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também por 10.
A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa será deslocada o mesmo número de posições para a esquerda:
Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 103 e multiplicar a potência pelo mesmo valor.
Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza:
Somamos as mantissas:
Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a esquerda, acrescentando também uma unidade ao expoente:
Portanto:
Subtração
Para a realização da subtração também é necessário que o minuendo e o subtraendo possuam a mesma ordem de grandeza.
Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição:
Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração:
Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente:
Logo:
Multiplicação
A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza.
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos:
Então:
Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza.
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos:
Portanto:
Potenciação
Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n.
Realizando os procedimentos indicados temos:
Logo:
Radiciação
Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, para assim podermos realizar a retirada do radical.
Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, vamos adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda e realizar a radiciação:
Então:
Comparação de Números em Notação Científica
Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior:
1,5 . 104 é maior que 3,2 . 102, mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, pois a sua ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2.
8,7 . 10-3 é menor que 5,3 . 10-2, ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 5,3, isto porque a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2.
Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir a maior mantissa:
Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 2,45 . 105 é o menor deles, pois é o que possui a menor mantissa.
Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 4,5456 . 103 é o maior dos dois, pois é o que tem a maior mantissa.
Nem é preciso dizer que quando tanto a mantissa, quanto a ordem de grandeza forem iguais, os números também serão iguais:
Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são iguais.
Conversão da Notação Científica para a Notação Decimal
Realizamos tal conversão simplesmente deslocando a vírgula da mantissa para a direita ou para esquerda, em função da ordem de grandeza ser respectivamente positiva ou negativa.
Como neste exemplo a ordem de grandeza é positiva, devemos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e eliminar a potência:
Neste outro exemplo a ordem de grandeza é negativa, devemos então deslocar a vírgula 2 posições para a esquerda eliminando a potência: