MatFin_Aula_8

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Aula 08 – Matemática 
Financeira 
Amortização de Empréstimos
Introdução
• Freqüentemente, nas operações de médio e 
longo prazo, as operações de empréstimos são 
analisadas período por período.
• Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, ..., 
n, na unidade expressa pela taxa de juros. Seja 
P o valor do principal. O saldo devedor no 
instante zero (0) indicado por S0 é o próprio 
principal P, e o saldo devedor no instante t é 
igual ao saldo devedor no instante anterior (t-
1), acrescido dos juros produzidos por ele, 
menos o pagamento feito no instante t.
Introdução
• Assim, teremos:
• Amortização
tttt RJSS  1
ttt
tt
ttt
ASS
Assim
iSJ
JRA





1
1
,
Introdução
• De forma que podemos escrever:
• O nome prestação é utilizado para 
representar o pagamento acrescido de 
impostos e outros encargos.
• Desconsiderando-se esses impostos e 
encargos, a prestação se reduz ao 
pagamento Rt , que é igual à soma da 
amortização com o juro de cada período.
nAAAP  21
Introdução
• Exemplo
– Um empréstimo de 50.000 UR deve ser 
devolvido em quatro prestações semestrais à 
taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos 
semestralmente. Obtenha a planilha de 
pagamentos, sabendo que as amortizações são 
semestrais, com os seguintes valores:
– A1 = 5.000 UR
– A2 = 10.000 UR
– A3 = 15.000 UR
– A4 = 20.000 UR
Introdução
• Resolução:
000.45000.5000.50
500.7
000.5
500.2)05,0(000.50
1
1
1
1




S
R
A
J
000.35000.10000.45
250.12
000.10
250.2)05,0(000.45
2
2
2
2




S
R
A
J
000.20000.15000.35
750.16
000.15
750.1)05,0(000.35
3
3
3
3




S
R
A
J
0000.20000.20
000.21
000.20
000.1)05,0(000.20
1
1
1
4




S
R
A
J
Introdução
Semestre Saldo Devedor (St ) Amortização (At) Juros (Jt ) )Prestação (Rt )
0 50.000 - - -
1 45.000 5.000 2.500 7.500
2 35.000 10.000 2.250 12.250
3 20.000 15.000 1.750 16.750
4 20.000 1.000 21.000
Total 50.000 7.500 57.500
Introdução
• Exercícios:
– Um empréstimo de 50.000 UR deve ser 
devolvido em quatro prestações semestrais à 
taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos 
semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo 
que as amortizações semestrais são iguais.
– Um empréstimo de 50.000 UR deve ser 
devolvido em quatro prestações semestrais à 
taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos 
semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo 
que as três primeiras amortizações semestrais 
são iguais a zero e a última é igual a 50.000 UR.
Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
• O Sistema de Amortizações Constantes 
(SAC) é um dos mais utilizados na 
prática. Tal sistema consiste em se 
fazer que todas as parcelas de 
amortização sejam iguais. Considerando-
se um principal a ser amortizado em n 
parcelas, e supondo pagamento dos juros 
em todos os períodos.
• Teremos, então:
Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
AinPiAiAnPAJAR
AiPiAiAPAJAR
PiAJAR
A
n
P
AAA
nn
n
)1(])1([
)(22
11
21






• Exemplo:
– Um empréstimo de 800 mil reais deve ser devolvido 
em cinco prestações semestrais pelo SAC à taxa de 
4% a.s. Obtenha a planilha.
• Resolução: A = 800/5 = 160
Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
Semestre St At Jt Rt
0 800 - - -
1 640 160 32 192,00
2 480 160 25,60 185,60
3 320 160 19,20 179,20
4 160 160 12,80 172,80
5 - 160 6,40 166,40
Total 800 96,00 896,00
• Exercícios:
– Um empréstimo de 800 mil reais deve ser 
devolvido pelo SAC em cinco parcelas 
semestrais de amortização, com dois 
semestres de carência, isto é, a primeira 
parcela só é devida no terceiro semestre. 
Sabendo-se que não há carência para os juros e 
que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha.
– Um empréstimo de $ 50.000,00 deve ser pago 
pelo SAC em 50 parcelas mensais à taxa de 1% 
a.m. mais correção monetária. Obtenha o 
estado da dívida correspondente ao 31º mês, 
antes de ser corrigida monetariamente.
Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
Sistema Francês (ou Sistema Price)
• O Sistema Francês foi desenvolvido pelo 
matemático e físico belga Simon Stevin, no 
século XVI. Todavia, foi utilizado pelo 
economista e matemático inglês Richard 
Price, no século XVIII, no cálculo 
previdenciário inglês da época. Dessa 
forma, ficou conhecido no Brasil como 
Sistema Price.
• Nesse sistema, as prestações são iguais e 
periódicas, a partir do instante em 
começam a ser pagas.
• O valor das prestações sendo dado por:
• Quando desejamos calcular o saldo devedor, em um 
determinado instante, no sistema francês, o 
procedimento consiste em calcularmos o valor atual 
das prestações a vencer. Com isso eliminamos o valor 
dos juros contidos nas prestações.
Sistema Francês (ou Sistema Price)
 
  








11
1
n
n
i
ii
PR
• Exercícios:
– Um banco libera um crédito de 60.000 UR a 
uma empresa, para pagamento pelo Sistema 
Price em 20 meses, sendo a taxa de 6% a.m.
Obtenha o valor das prestações.
– Em um empréstimo de $ 100.000,00 a ser 
pago pelo sistema francês, em 40 meses e à 
taxa de 3% a.m., qual o saldo devedor no 
25º mês? (supor paga a prestação deste 
mês)
Sistema Francês (ou Sistema Price)
Sistema Americano
• Por este sistema, o pagamento do 
principal é feito de uma só vez, no final 
do período do empréstimo. Em geral, os 
juros são pagos periodicamente; 
entretanto, eventualmente capitalizados 
e pagos de uma só vez, junto com o 
principal.
Sistema Americano
• Exemplo:
– Por um empréstimo de 800 mil reais, um cliente propõe-
se a devolver o principal daqui a dois anos, pagando 
semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s.
Obtenha a planilha.
• Resolução:
Semestre St At Jt Rt
0 800 - - -
1 800 - 32 32
2 800 - 32 32
3 800 - 32 32
4 - 800 32 832
Total 800 128 928
Exercícios
• O senhor X adquiriu uma fazenda de $ 
3.000.000,00 dando 30% de entrada e financiando 
o restante em 180 meses pelo sistema Francês à 
taxa de 1% a.m. qual o valor das prestações?
• O senhor Y recebeu um financiamento de 5.000 UR 
para a compra de uma casa, sendo adotado o 
Sistema Price à taxa de 1,5% a.m. para pagamento 
em 180 meses. Qual o estado da dívida no 64º mês?
• O valor de $ 1.500.000,00 é financiado à tax de 
10% a.a. para ser amortizado pelo sistema 
americano, com três anos de carência. Sabendo-se 
que os juros são pagos anualmente, construa a 
planilha.