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2012
EquaçõEs DifErEnciais
Prof. Ruy Piehowiak
Copyright © UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof. Ruy Piehowiak
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
515.35
 P613ePiehowiak, Ruy Equações diferenciais / Ruy Piehowiak. Indaial: 
 Uniasselvi, 2012.
 211 p. : il 
 ISBN 978-85-7830-595-6
 1. Equações diferenciais.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
Impresso por:
III
aprEsEntação
Caro(a) acadêmico(a)! Seja bem-vindo(a) à disciplina de Equações 
Diferenciais.
Para estudar Equações Diferenciais não há como desvincular o 
estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois as palavras equação e diferencial 
sugerem que estudemos equações que envolvam derivadas. As derivadas 
são estudadas no segmento da matemática chamado de cálculo diferencial, 
que, consequentemente, nos leva ao cálculo integral. O cálculo utiliza ideias 
da matemática elementar e as estende para situações mais gerais, ou seja, o 
cálculo consiste na matemática elementar (álgebra, geometria, trigonometria) 
aperfeiçoada pelo processo do limite.
Nesta disciplina, você irá aprimorar seus conhecimentos sobre o 
Cálculo Diferencial e Integral. Se você já se interessou pelo que foi estudado 
no cálculo, vai ver que neste caderno terá tópicos mais abrangentes e, também, 
interessantes.
A disciplina fornece uma série de ferramental necessária a outras 
disciplinas, como, por exemplo, a Física. 
O cálculo é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano. 
Espero que, além de perceber a utilidade, também perceba a beleza 
matemática. O entendimento do conteúdo e das nuances que circundam este 
estudo é apenas a ponta do iceberg, principalmente para aqueles acadêmicos 
que pretendem avançar seus estudos, como em especialização, mestrado etc.
Prof. Ruy Piehowiak
Quero enfatizar a postura que um(a) acadêmico(a) de matemática deve ter 
ao estudar. Inicialmente, para ler um texto de matemática, principalmente na modalidade 
de ensino a distância, é bastante diferente de ler uma revista ou um jornal. Assim, não 
desanime se precisar ler um conceito ou a resolução de um exemplo mais de uma vez para 
entendê-lo. Sugiro que possua um papel, lápis e computador com software matemático 
(por exemplo, o winplot) à sua mão para entender o conteúdo trabalhado no Caderno de 
Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algébrica.
UNI
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
VI
VII
sumário
UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ............................................................. 1
TÓPICO 1 – FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS ....................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 3
2 RECORDANDO A FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ................................................................. 3
3 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS .................................................................................................... 5
 3.1 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS .............................................................. 13
4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ....................................................................................... 15
RESUMO DO TÓPICO 1 ......................................................................................................................... 18
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 19
TÓPICO 2 – CURVAS DE NÍVEL ........................................................................................................ 21
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 21
2 CURVAS DE NÍVEL ............................................................................................................................... 22
RESUMO DO TÓPICO 2 ......................................................................................................................... 28
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 29
TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE ...................................................................................... 31
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 31
2 DEFINIÇÕES BÁSICAS ....................................................................................................................... 31
3 LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ............................................................ 34
4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ...................................... 38
RESUMO DO TÓPICO 3 ......................................................................................................................... 41
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 42
TÓPICO 4 – DERIVADAS PARCIAIS .............................................................................................. 43
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 43
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO ................................................ 43
3 DERIVADAS PARCIAIS ..................................................................................................................... 44
 3.1 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS ........................ 44
 3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA ............................................................................................ 51
4 GENERALIZAÇÃO ................................................................................................................................ 53
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ................................................................