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EQUAÇÃO DIFERENCIAL

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2012
EquaçõEs DifErEnciais
Prof. Ruy Piehowiak
Copyright © UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof. Ruy Piehowiak
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
515.35
 P613ePiehowiak, Ruy Equações diferenciais / Ruy Piehowiak. Indaial: 
 Uniasselvi, 2012.
 211 p. : il 
 ISBN 978-85-7830-595-6
 1. Equações diferenciais.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
Impresso por:
III
aprEsEntação
Caro(a) acadêmico(a)! Seja bem-vindo(a) à disciplina de Equações 
Diferenciais.
Para estudar Equações Diferenciais não há como desvincular o 
estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois as palavras equação e diferencial 
sugerem que estudemos equações que envolvam derivadas. As derivadas 
são estudadas no segmento da matemática chamado de cálculo diferencial, 
que, consequentemente, nos leva ao cálculo integral. O cálculo utiliza ideias 
da matemática elementar e as estende para situações mais gerais, ou seja, o 
cálculo consiste na matemática elementar (álgebra, geometria, trigonometria) 
aperfeiçoada pelo processo do limite.
Nesta disciplina, você irá aprimorar seus conhecimentos sobre o 
Cálculo Diferencial e Integral. Se você já se interessou pelo que foi estudado 
no cálculo, vai ver que neste caderno terá tópicos mais abrangentes e, também, 
interessantes.
A disciplina fornece uma série de ferramental necessária a outras 
disciplinas, como, por exemplo, a Física. 
O cálculo é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano. 
Espero que, além de perceber a utilidade, também perceba a beleza 
matemática. O entendimento do conteúdo e das nuances que circundam este 
estudo é apenas a ponta do iceberg, principalmente para aqueles acadêmicos 
que pretendem avançar seus estudos, como em especialização, mestrado etc.
Prof. Ruy Piehowiak
Quero enfatizar a postura que um(a) acadêmico(a) de matemática deve ter 
ao estudar. Inicialmente, para ler um texto de matemática, principalmente na modalidade 
de ensino a distância, é bastante diferente de ler uma revista ou um jornal. Assim, não 
desanime se precisar ler um conceito ou a resolução de um exemplo mais de uma vez para 
entendê-lo. Sugiro que possua um papel, lápis e computador com software matemático 
(por exemplo, o winplot) à sua mão para entender o conteúdo trabalhado no Caderno de 
Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algébrica.
UNI
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
VI
VII
sumário
UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ............................................................. 1
TÓPICO 1 – FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS ....................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 3
2 RECORDANDO A FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ................................................................. 3
3 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS .................................................................................................... 5
 3.1 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS .............................................................. 13
4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ....................................................................................... 15
RESUMO DO TÓPICO 1 ......................................................................................................................... 18
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 19
TÓPICO 2 – CURVAS DE NÍVEL ........................................................................................................ 21
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 21
2 CURVAS DE NÍVEL ............................................................................................................................... 22
RESUMO DO TÓPICO 2 ......................................................................................................................... 28
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 29
TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE ...................................................................................... 31
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 31
2 DEFINIÇÕES BÁSICAS ....................................................................................................................... 31
3 LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ............................................................ 34
4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS ...................................... 38
RESUMO DO TÓPICO 3 ......................................................................................................................... 41
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 42
TÓPICO 4 – DERIVADAS PARCIAIS .............................................................................................. 43
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 43
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO ................................................ 43
3 DERIVADAS PARCIAIS ..................................................................................................................... 44
 3.1 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS ........................ 44
 3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA ............................................................................................ 51
4 GENERALIZAÇÃO ................................................................................................................................ 53
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR ................................................................54
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 59
RESUMO DO TÓPICO 4 ......................................................................................................................... 63
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 64
UNIDADE 2 – DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MÚLTIPLAS ........................... 65
TÓPICO 1 – REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA .......................................... 67
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 67
2 REGRA DA CADEIA ............................................................................................................................. 67
3 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ................................................................................................................... 75
RESUMO DO TÓPICO 1 ......................................................................................................................... 79
VIII
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................... 80
TÓPICO 2 – DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE ........................................................... 81
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 81
2 DIFERENCIABILIDADE .................................................................................................................... 81
3 DIFERENCIAL ......................................................................................................................................... 85
4 GRADIENTE ............................................................................................................................................. 89
5 DERIVADAS DIRECIONAIS ........................................................................................................... 95
RESUMO DO TÓPICO 2 ......................................................................................................................... 99
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 100
TÓPICO 3 – MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ...... 103
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 103
2 EXTREMOS LOCAIS ......................................................................................................................... 103
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE 
DUAS VARIÁVEIS ................................................................................................................................. 111
RESUMO DO TÓPICO 3 ...................................................................................................................... 117
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 118
TÓPICO 4 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS ........................................................................................ 119
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 119
2 INTEGRAL DUPLA ............................................................................................................................ 119
 2.1 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETÂNGULO ........................................................................ 119
 2.2 INTEGRAIS ITERADAS .............................................................................................................. 120
 2.3 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIÕES GENÉRICAS ...................................................... 124
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 134
RESUMO DO TÓPICO 4 ...................................................................................................................... 136
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 137
UNIDADE 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................................. 139
TÓPICO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM .............................. 141
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 141
2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS ........................................................................................... 141
 2.1 TIPOS DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................................................... 142
 2.2 ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .................................................................. 142
 2.3 LINEARIDADE DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .................................................. 143
 2.4 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ............................................................. 143
 2.4.1 Solução geral ................................................................................................................................ 145
 2.4.2 Solução particular ........................................................................................................................ 145
3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEPARÁVEL ................................................................................ 148
 3.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................... 149
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª ORDEM ................................................ 158
 4.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................... 159
5 EQUAÇÕES EXATAS .......................................................................................................................... 168
 5.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................... 169
RESUMO DO TÓPICO 1 ...................................................................................................................... 175
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 176
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA 
 ORDEM – SUBSTITUIÇÕES ........................................................................................................... 177
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 177
2 EQUAÇÕES DE BERNOULLI ........................................................................................................ 177
IX
 2.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................... 177
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS .................................................................... 184
 3.1 FUNÇÕES HOMOGÊNEAS ........................................................................................................ 184
 3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS ..................................................................................................... 186
 3.2.1 Método de resolução da equação diferencial ......................................................................... 187
RESUMO DO TÓPICO 2 ......................................................................................................................193
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 194
TÓPICO 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .... 195
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 195
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM ........................... 195
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM COM COEFICIENTES 
 CONSTANTES ...................................................................................................................................... 199
 3.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ...................................... 200
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 204
RESUMO DO TÓPICO 3 ...................................................................................................................... 207
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 208
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 209
X
1
UNIDADE 1
FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade você deverá ser capaz de:
• conhecer os principais conceitos que envolvem funções de diversas variáveis;
• identificar o domínio de funções de diversas variáveis;
• reconhecer as curvas de níveis de forma algébrica;
• reconhecer as curvas de níveis geometricamente;
• calcular os limites de funções de diversas variáveis;
• identificar a continuidade de funções de diversas variáveis;
• calcular as derivadas parciais;
• interpretar geometricamente as derivadas parciais.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos, apresentando os conceitos e 
a utilização das funções de diversas variáveis. No Tópico 1 é apresentado o 
estudo do domínio de uma função de diversas variáveis e as curvas de nível, 
seguido de vários exemplos para auxiliá-lo(a) na compreensão e resolução 
dos exercícios propostos no final de cada tópico. No Tópico 2 daremos uma 
atenção especial às curvas de nível, tanto na representação gráfica como no 
seu reconhecimento algébrico. No Tópico 3 serão estendidos os conceitos de 
limite e continuidade estudados para as funções de uma variável. No Tópico 
4 aprenderemos como derivar funções de diversas variáveis e, sobretudo, 
entender o significado geométrico das derivadas parciais. Finalizamos a 
unidade com um texto complementar onde será dada ênfase às personalidades 
matemáticas que contribuíram no desenvolvimento do cálculo diferencial e 
integral e, consequentemente, das equações diferenciais.
TÓPICO 1 – FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
TÓPICO 2 – CURVAS DE NÍVEL
TÓPICO 3 – LIMITES E CONTINUIDADE
TÓPICO 4 – DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
1 INTRODUÇÃO
Você já estudou limites, derivadas e integrais: conceitos vistos em funções 
de uma variável. Nesta unidade estudaremos as funções de duas ou mais variáveis, 
e veremos que as regras do cálculo para funções de uma variável permanecem 
essencialmente as mesmas. 
Funções com mais de uma variável independente se apresentam mais 
costumeiramente em modelos matemáticos aplicados à engenharia, por exemplo, 
do que funções de uma variável. Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica 
dos fluidos e trabalho são exemplos que conduzem, de uma maneira natural, a 
funções de mais de uma variável; daí a importância do seu estudo.
2 RECORDANDO A FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
Representamos a função de uma variável por duas variáveis x e y, sendo 
que chamamos de x a variável independente da função e de y a variável dependente 
da função. Assim, denotamos a relação entre as variáveis por y = f (x), deixando 
explícito que y depende de x.
Exemplo 1 y = 2x + 1.
Exemplo 2 f (x) = 3 + 
x
2 - x
Habitualmente, ao trabalharmos com funções, um dos primeiros cuidados 
que devemos ter é em relação ao conjunto domínio das funções, isto é, para que 
valores reais as funções estão definidas. Então, dada uma função f(x), devemos 
encontrar valores para os quais a função tenha imagem.
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
4
Exemplo 3
Encontre o domínio da função f(x) = 
Resolução
A função f(x) é uma função racional, pois temos a variável x no denominador.
Esta função tem dois cuidados a serem tomados em relação ao domínio.
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com frações, sabemos que não é 
possível ter zero no denominador das frações. Assim,
(ii) Temos a variável x no radicando da raiz quadrada. Como estamos 
considerando f(x) uma função real, o radicando não pode assumir valores 
negativos. Logo,
x² – 16 ≥ 0
Assim, juntando as condições (i) e (ii), teremos x² – 16 > 0.
Observe que temos que resolver uma inequação do 2º grau. Para isso, 
consideramos inicialmente apenas a equação (igualdade) a fim de obtermos as 
raízes.
x² - 16 = 0.
Determinando as raízes desta equação do segundo grau incompleta:
x² = 16
x = 
x = 
Analisando a função quadrática f(x) = x² - 16, sabemos que seu gráfico 
corresponde a uma parábola com concavidade voltada para cima e zeros de função 
em x = - 4 e x = 4. Logo, os valores de x que satisfazem a inequação são x < - 4 ou 
x > 4.
Assim, D(f) = {x ∈ R | x < - 4 ou x > 4}.
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 – ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO f (x) = x² - 16, ATRAVÉS DE 
SEU ESBOÇO GRÁFICO
FONTE: O autor
3 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Definição 1.3.1 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de 
números reais (x,y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que 
associa um único número real z = f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto 
D(f) é o domínio de f(x,y).
Os números x, y e z são denominados variáveis. Como os valores da função 
f(x,y) dependem de x e de y, e os valores de z dependem da escolha de x e de y, 
então x e y são denominadas variáveis independentes e z é denominada variável 
dependente.
Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto 
do R2 e cuja imagem é um subconjunto de R. Uma maneira de visualizá-la é através 
de um diagrama de flechas, conforme a seguir: 
FIGURA 2 – DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMÍNIO E A IMAGEM DE 
UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
FONTE: O autor
+ +
–
– 4 4
R
y
(x, y)
x
f
f(x, y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
6
Exemplo 4
Dada a função que calcula o perímetro de um 
retângulo f(x,y) = 2(x + y), calcule o valor de f (2,5).
Resolução
Basta substituir, em f(x,y), o x por 2, o y por 5 e calcular.
Então:
f(2,5) = 2(2 + 5)
f(2,5) = 2 · 7
f(2,5) = 14
Exemplo 5
A função T (x,y) = 60 - 2x² - 3y² representa a temperatura em qualquer 
ponto de uma chapa. A temperatura oscila em relação à distância percorrida no 
sentido dos eixos positivos x e y. Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no 
ponto (3, 1) em graus Celsius.
Resolução
T (3,1) = 60 - 2 · 3² - 3 · 1²
T (3,1) = 60 - 2 · 9 - 3 · 1
T (3,1) = 39° C
x
y
FIGURA 3 – AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE: O autor
Exemplo 6
Dada a função f(x,y) = x² + y², calcule f(1, - 2). . 
chapa
x
y
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
7
Resolução
f(x,y) = x² + y² 
f(1, – 2) = 1² + (–2)²
f(1, – 2) = 1 + 4
f(1, – 2) = 5
No estudo do domínio de uma função devemos avaliar quais números reais são 
possíveis atribuir para as variáveis x e y para obtermos valores reais para z = f(x,y) . Vamos 
relembrar algumas restrições!
Consideremosos casos a seguir em que A e B são expressões em função de x e y.
Se f(x,y) = 
A
B então, necessariamente, B ≠ 0.
Se f(x,y) = , onde n é par, então, necessariamente, A ≥ 0.
Se f (x,y) = log
c 
A com c > 0 e c ≠ 1 então, necessariamente, A > 0.
Exemplo 7
Encontre o conjunto domínio da função f (x,y) = 3x² – y² .
Resolução
Esta função não apresenta nenhuma restrição para os valores de x e y.
Portanto, D(f) = {(x, y) ∈ R2} ou D( f ) = R2.
Exemplo 8
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = e o represente 
graficamente.
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 
3x – 2y não pode ser negativo.
3x – 2y ≥ 0 
– 2y ≥ – 3x 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (–1) e alterando a relação 
de ordem:
2y ≤ 3x 
y ≤ 32 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
8
Portanto, 
Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x, y) do exemplo 
anterior, primeiro trace o gráfico de y = 32 x e depois determine qual a região 
correspondente à desigualdade y ≤ 32 x .
O gráfico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que contém a 
origem. Note que esta reta divide o plano em duas regiões. Para identificar qual 
região expressa o domínio de f (x,y), atente para a desigualdade estabelecida. 
Neste exemplo, como se trata de uma reta e a relação de ordem é dada pelo sinal 
“≤”, então isto implica que o domínio é expresso pelos infinitos pontos que se 
encontram na reta e abaixo dela.
FIGURA 4 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f.
FONTE: O autor
Exemplo 9
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = 5xy – x² .
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o denominador 
y – x² não pode tornar-se nulo.
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
9
Então,
y – x² ≠ 0 
y ≠ x²
Portanto, 
Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x,y) = 5xy – x² 
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior. A função que expressa 
o domínio é dada por y ≠ x² , cuja representação no plano é uma parábola com 
concavidade voltada para cima e que possui seu vértice na origem. A relação de 
diferença, porém, implica que pertencem ao domínio todos os pontos do plano, 
exceto os que se encontram sobre a parábola expressa pela relação y = x². 
FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
Exemplo 10
Determine o conjunto domínio de f(x,y) = e o represente 
graficamente.
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 
3x² + y² – 18 não pode ser negativo.
3x² + y² – 18 ≥ 0
3x² + y² ≥ 18
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18: 
3x ² y ² 18
18 18 18
+ ≥
A função 
x² y²
6 18 +
= 1 representa uma elipse centrada na origem do 
plano cartesiano, cujo eixo maior, definido sobre o eixo das ordenadas, é igual a 
2 8,48 e cujo eixo menor, definido sobre os eixos das abscissas, é igual a 2 
 4,90.
Atribuídas as características geométricas da função que define o domínio, 
traçamos o seu gráfico. A relação de desigualdade estabelecida é “≥”. Isto implica 
que os pontos que pertencem ao domínio se encontram sobre a elipse e fora dela.
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funções quanto à sua representação 
geométrica, retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analítica.
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
ATENCAO
x² y²
6 18 +
≥ 1
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = In (x − 3y + 1) e o represente 
graficamente.
Resolução
Como In (x − 3y + 1) é definido somente quando x − 3y + 1 > 0 , então, 
x − 3y + 1 > 0
x − 3y > − 1
− 3y > − x − 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a 
relação de ordem:
3y < x + 1
y < x + 1 3
Neste exemplo a função domínio, expressa pela desigualdade y < x + 1 3 , 
representa, no plano, uma região que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 . Observe que os pontos sobre a reta não pertencem ao conjunto domínio.
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
12
Exemplo 12
Determine o conjunto domínio de f (x,y) = e o represente 
graficamente.
Resolução
Esta função apresenta restrição para os valores de x e y. A expressão que 
representa o radicando, 4 – x² – y², não pode ser negativa.
4 – x² – y² ≥ 0 
– x² – y² ≥ – 4 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a 
relação de ordem:
x² + y² ≤ 4
O conjunto domínio da função f(x,y) = , expresso pela 
desigualdade x² + y² ≤ 4, compreende os infinitos pontos interiores juntamente 
com os infinitos pontos pertencentes à circunferência centrada na origem do plano 
cartesiano, de raio 2.
FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f
FONTE: O autor
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
13
3.1 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o 
conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R3 tal que z = f (x,y) e (x,y) ∈ D .
Fazer a representação gráfica das funções de duas variáveis é normalmente 
complicado e requer habilidade manual. Assim, vamos recorrer ao uso de 
programas computacionais matemáticos que fazem os gráficos de superfícies. O 
objetivo aqui é apenas mostrar os gráficos das funções de duas variáveis e não a 
construção manual dos gráficos.
Os gráficos, que você encontrará ao longo do Caderno de Estudos, foram 
construídos através do Winplot, que é um software livre disponível na internet, e do 
Maple 11, um software comercial que possui inúmeros recursos matemáticos.
Caro(a) acadêmico(a)! Você pode baixar o software Winplot diretamente da internet 
ou do material de apoio da disciplina no AVA.
Exemplo 13
Represente graficamente a função f (x,y) = 2 – 3x – 4y.
Resolução
FIGURA 9 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 2 – 3x – 4y 
FONTE: O autor
DICAS
30
20
10
0
–10
–20
–30
– 5
0
5 – 4 – 2
0 2
4
x y
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
14
Exemplo 14
Represente graficamente a função f (x,y) = 3x² – y².
Resolução
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 3x² – y²
FONTE: O autor
Exemplo 15
Represente graficamente a função f (x,y) .
Resolução 
FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 
FONTE: O autor
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16
Represente graficamente a função f (x,y) = sen x · sen y
Resolução
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = sen x · sen y
FONTE: O autor
4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Definição 1.4.1 Seja D um subconjunto de Rn. Uma função real f de n 
variáveis reais definida em D é uma relação entre D e R, que associa a cada ponto 
(x1, x2,..., xn) ∈ D um único valor real z, denotado por z = f (x1, x2,..., xn).
Notação: 
As variáveis (x1, x2,..., xn) são as variáveis independentes, e z é a variável 
dependente. O conjunto de todos os valores possíveis de f é chamado imagem de f, 
e é denotado por lm(f). Assim, 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
16
Definição 1.4.2 Seja f uma função de n variáveis com domínio D. O gráfico 
de f é o conjunto de todos os pontos do espaço Rn+1 dado por:
( ) ( ) ( ) ( ){ }11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x ,x ,...,x ,y R , y f x ,x ,...,x x ,x ,...,xn com D+= ∈ = ∈
No caso em que n = 1 , f será uma função de uma variável e seu gráfico será 
uma curva C com equação y = f (x1) .
Quando n = 2, f será uma função de duas variáveis e seu gráfico será uma 
superfície S com equação z = f (x1,x2) .
Quando n = 3, não podemos esboçar o gráfico da função f, pois eleestá no 
espaço de dimensão 4.
Exemplo 17
Esboce o gráfico da função f (x,y) = 6 – 2x + 3y.
Resolução
Para esboçar o gráfico de uma função, temos que conhecer o domínio desta 
função. O domínio desta função f é D(f) = R² e o gráfico da função f é o conjunto:
graf (f) = {(x,y,z) ∈ R³ | z = 6 – 2x + 3y}
Geometricamente, o gráfico de f representa um plano.
Vamos fazer algumas considerações sobre a função e os eixos, como se 
fôssemos traçar o gráfico manualmente. Então começamos encontrando os pontos 
onde o plano intercepta cada um dos três eixos coordenados.
Se na equação z = 6 – 2x – 3y fizermos:
x = 0 e y = 0, vem z = 6
x = 0 e z = 0, vem y = 2
y = 0 e z = 0, vem x = 3 .
Obtemos assim os pontos A1 = (0, 0, 6), A2 = (0, 2, 0) e A3 = (3, 0, 0), nos quais 
o plano intercepta os eixos coordenados. A porção do gráfico que está no primeiro 
octante está esboçada na figura a seguir.
TÓPICO 1 | FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 – PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE: O autor
Exemplo 18
Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função f (x, y, z) = 
Resolução
Esta função não apresenta restrição para os valores de x, y e z.
Assim, D(f) = R ³ (todo o espaço).
Já para o conjunto imagem, teremos apenas os reais não negativos.
Logo, Im (f) = R+ .
x
y
z
(0,2,0)
(3,0,0)
(0,0,6)
18
Neste tópico, os principais assuntos estudados foram:
• Definição de função de diversas variáveis.
• Conjunto domínio e conjunto imagem de função.
• Representação gráfica do domínio.
• Representação gráfica das superfícies z = f (x,y) usando recurso computacional.
• Listamos algumas situações envolvendo o estudo do domínio para funções de 
diversas variáveis que impõem restrições ao conjunto domínio.
• Consideremos os casos a seguir, em que A e B são expressos em função de x e y.
ü Se f (x,y) = então devemos considerar B ≠ 0.
ü Se f (x,y) = , onde n é par, então devemos considerar A ≥ 0. 
ü Se f (x,y) = , onde n é par, então devemos considerar A ≥ 0 e B ≠ 0.
ü Se f (x,y) = , onde n é par, então devemos considerar B > 0.
ü Se f (x,y) = logc A com c > 0 e c ≠ 1 então devemos considerar A > 0.
RESUMO DO TÓPICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
funções de diversas variáveis.
1 Nos problemas a seguir, calcule o valor da função nos pontos específicos:
a) f (x,y) = (x ‒ 1)² + 2xy³ ; f (2, ‒ 1); f (1,2)
b) f (x,y) = 
3x+2y
2x+3y
 ; f (1,2) ; f ( ‒ 4,6)
c) g (x,y) = y -x2 2 ; g (4,5); g (‒ 1,2)
d) g (u,v) = 10u ½ v ⅔; g (16,27); g (4, ‒1331)
e) f (x,y) = y xx y+ ; f (1,2); f(2, ‒3)
2 Nos problemas a seguir, descreva o domínio das funções e represente-o 
graficamente:
a) f (x,y) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (x,y) = 36 - x - y2 2
c) f (x,y) = √x + y ‒ 2
d) f (x,y) = 
3x + 5y
x² + 2y² ‒ 4
e) f (x,y) = In (x + y ‒ 4)
f) g (x,y) = e
xy
√x ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TÓPICO 2
CURVAS DE NÍVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico veremos como representar uma superfície (figura 
tridimensional) em um gráfico bidimensional. Talvez você já tenha visto algum 
gráfico nesta situação: na prática, são chamados mapas topográficos. 
Nestes mapas, uma paisagem tridimensional, como a extensão de uma 
montanha, por exemplo, está representada por linhas de contorno bidimensionais 
ou curvas de elevação constante, conforme pode ser visto na figura a seguir.
FIGURA 14 – MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE: Disponível em: <http://arqaulas.wordpress.com/category/topografia>. 
Acesso em: 11 jul. 2011.
O objetivo deste tópico é mostrar como reconhecer algebricamente e 
geometricamente as curvas de nível. Muitas das curvas que encontraremos 
correspondem a gráficos de funções já conhecidas, as quais você estudou na 
disciplina de Geometria Analítica, tais como: reta, parábola, cúbica, circunferência, 
elipse e hipérbole.
S1
S2
S3
S6
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A' B' C' D' E' F' G' H' I'
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
22
2 CURVAS DE NÍVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma função f (x,y) tem um valor 
constante c ∈ R é chamado de curva de nível de f.
Definição 2.3.1 Seja c um número real. O conjunto de pontos no plano 
onde uma função f (x,y) tem um valor constante f (x,y) = c é chamado de curva 
de nível de f.
Exemplo 1
Identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6. 
Represente graficamente.
Resolução
g (x,y) = c para c = 0
g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y
0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ x
y = ‒ x + 4
Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular –1) que 
intercepta o eixo y em 4.
g (x,y) = c para c = 6
g (x,y) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ 6 ‒ x
y = ‒ x ‒ 2
Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular –1) que 
intercepta o eixo y em –2.
TÓPICO 2 | CURVAS DE NÍVEL
23
FIGURA 15 – CURVAS DE NÍVEL DE g (x,y) = 4 – x – y
FONTE: O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de nível é o que muitos autores 
chamam de mapa de contorno, conforme figura a seguir.
FIGURA 16 – MAPA DE CONTORNO DE g (x,y) = 4 – x – y
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c, igualmente espaçados, 
obtemos um conjunto de curvas de nível chamado mapa de contorno, representadas no 
mesmo plano cartesiano.
Exemplo 2
Identifique as curvas de nível para f (x,y) = x² ‒ y² em c = 0, c = –3 e c = 4. 
Represente graficamente.
Resolução
f (x,y) = c para c = 0
x² – y² = 0
y² = x²
y = x ou y = –x 
Estas duas equações representam duas retas (Figura 17). A reta de equação 
y = x representa, no plano, a bissetriz dos quadrantes ímpares, enquanto que a reta 
de equação y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares.
f (x,y) = c para c = ‒ 3
x² ‒ y² = ‒ 3
‒
x² y² ‒3
‒3 ‒3 ‒3
=
x² y²
3 3+ = 1‒
A equação 
x² y²
3 3+ = 1‒ representa uma hipérbole equilátera, com 
a = b = √3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo 
(Figura 17).
f (x,y) = c para c = 4
x² ‒ y² = 4
‒
x² y² 4 
4 4 4=
‒
x² y² 
4 4 =
1
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | CURVAS DE NÍVEL
25
Esta equação representa uma hipérbole equilátera, com a = b = 2, centrada 
na origem do plano cartesiano, com uma concavidade voltada para a direita e 
outra para a esquerda (Figura 17).
FIGURA 18 – MAPA DE CONTORNO DE f (x,y) = x² – y² 
FONTE: O autor
FIGURA 17 – CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = x² – y²
FONTE: O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
26
Caro(a) acadêmico(a)! Para desenhar os mapas de contorno, sugiro que utilize 
um software matemático, como, por exemplo, o Winplot. Na internet você encontra 
diversos tutoriais sobre o Winplot, inclusive onde baixar o programa, que é freeware. Agora 
tente você, identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 – 2x² – y² em c = 0 e c = – 2 e as 
represente graficamente.
Exemplo 3
Identifique as curvas de nível para f (x,y) = √5 ‒ x ² ‒ y ² em c = 1 e c = 2. 
Represente graficamente.
Resolução
f (x,y) = c para c = 1
√5 ‒ x ² ‒ y ² = 1
5 ‒ x ² ‒ y ² = 1
‒ x ² ‒ y ² = ‒ 4 (-1)
x² + y² = 4
Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano 
cartesiano, com raio igual a 2 (Figura 19).
f (x,y) = c para c = 2 
√5 ‒ x ² ‒ y ² = 2
5 ‒ x ² ‒ y ² = 4
‒ x ² ‒ y ² = ‒ 1 ( ‒ 1)
x ² + y ² = 1
Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano 
cartesiano, com raio igual a 1 (Figura 19).
DICAS
TÓPICO 2 | CURVAS DE NÍVEL
27
FIGURA 19 – CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = √5 ‒ x ² ‒ y ² 
FONTE: O autor
FIGURA 20 – MAPA DE CONTORNO DE 
 
f (x,y) =√5 ‒ x ² ‒ y ²
FONTE: O autor
c = 
1
c =
 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
2
2 1 0 – 1 – 2
x
y
28
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico fizemos análises e representações gráficas das curvas de 
nível de uma função f.
• Reconhecimento algébrico das curvas de nível.
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
funções de várias variáveis.
1 Associe as superfícies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D.
(1)
(A)
(2)
(B)
y – 2 – 1 
– 1 
– 2
– 3
x
1 2 3
1 
2
3
1
0.5
0
– 0.5
– 1
– 3– 2– 1 0 1 2 3 3 2
1 0
– 1– 2
– 3
– 3
–2
– 1
– 1– 2– 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questões a seguir, identifique algebricamente as curvas de nível para 
valores de c dados.
a) f (x,y) = x ² + y ² ‒ 9 c ∈ {‒ 4, ‒ 2, ‒ 1, 0};
b) f (x,y) = y ² ‒ x c ∈ {0, 1, 2, 3}
3 Nas questões a seguir, represente graficamente as curvas de nível das 
funções. Agora, você escolherá alguns valores para c. É importante que você 
faça os gráficos manualmente e, se for possível, utilize o software Winplot 
para conferir ou como apoio nos estudos.
a) f (x,y) = x ² + 9y ²
b) f (x,y) = y ‒ x³
c) g (x,y) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 – 1 – 2 – 3
3
2
1
0
– 1
– 2
– 3
y
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
3
2
1
0
– 1
– 2
– 3
y
x
20
10
0
– 10
– 20
– 3
– 1– 2 0 1 2 3 – 2 – 1
0 1 2
3
x y
– 3 – 2 – 1 2
3
321– 1– 2– 3
00
x y
31
TÓPICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
2 DEFINIÇÕES BÁSICAS
O que estudaremos agora já foi estudado no Cálculo Diferencial e Integral, 
onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para função de uma 
variável.
Neste tópico estenderemos o conceito de limite às funções de duas variáveis, 
um conceito fundamental do cálculo do qual decorrem outros, como, por exemplo, 
a noção de continuidade. Para isso, enunciaremos algumas definições de Análise 
Matemática. Tente entender os conceitos e só depois avance para a próxima seção.
Definição 3.2.1 Sejam P = (x1, x2,..., xn) e A = (a1, a2,...an) pontos em Rn. A 
distância entre P e A, denotada por ║ P ‒ A║, é dada por:
║ P ‒ A║ = √ (x1 ‒ a1)² + (x2 ‒ a2)² + ... + (xn ‒ an)²
Exemplo 1
Dados os pontos P = (1, ‒ 2, 3) e A = (3, 1, ‒ 2) em R³, encontre ║ P ‒ A║.
Resolução
║ P ‒ A║ = √ (1 ‒ 3)² + (‒2 ‒1)² + (3 ‒ (‒ 2))² = √8 u.c.
Definição 3.2.2 Sejam A = (a1, a2,..., an) ∈ Rn e r > 0 um número real. A bola 
aberta de centro em A e raio r, que indicaremos por B(A; r), é definida como sendo 
o conjunto de todos os pontos P = (x1, x2,..., xn), tais que ║ P ‒ A║< r, ou seja:
B(A; r) = {(x1, x2,...,xn) ∈ Rn; √ (x1 ‒ a1)² + (x2 ‒ a2)² +...+ (xn ‒ an)² < r
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
32
Exemplo 2
a) Em R, a bola aberta B(a; r) é o intervalo aberto (a ‒ r, a + r).
FIGURA 21 – INTERVALO EM R
FONTE: O autor
b) Em R², a bola aberta B((a1, a2); r) representa o conjunto dos pontos internos à 
circunferência de centro em (a1, a2) e raio r.
FIGURA 22 – r de A
FONTE: O autor
Definição 3.2.1 Seja S um subconjunto de Rn. Um ponto A é um ponto de 
acumulação de S, se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de 
pontos de S, mesmo que A não necessariamente pertença a S.
Exemplo 3
Seja S = {(x,y) ∈ R² | x > 0 e y > 2}. Mostre que todos os pontos pertencentes 
ao conjunto S são pontos de acumulação.
Resolução
Todos os pontos pertencentes a S são pontos de acumulação de S, pois 
atendem à Definição 3.2.1. Ainda, os pontos (0,y), com y ≥ 2, e (x, 2), com x > 0, são 
pontos de acumulação de S e não pertencem a S. (Figura 23).
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO CONJUNTO S
FONTE: O autor
Exemplo 4
Seja S = {(x,y) ∈ Z2 | ‒ 2 ≤ x ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ 5}. Mostre que o conjunto S não 
possui pontos de acumulação.
Resolução
Mostraremos que os pontos de S não são pontos de acumulação de S pois 
não atendem à Definição 3.2.1. Para qualquer ponto P(x,y) ∈ R2, a bola aberta de 
centro P e raio r < 1 não contém uma infinidade de pontos de S. 
Portanto, o conjunto S não possui pontos de acumulação. (Figura 24).
FIGURA 24 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO CONJUNTO S
FONTE: O autor
y
x
10
9
8
6
5
4
2
1
34
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
3 LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
A seguir, definiremos limite de uma função de diversas variáveis.
Definição 3.3.1 Sejam f : S ⊂ Rn → R uma função, e A um ponto de acumulação 
de S. Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A é um número real L se, 
dado ε > 0, existir δ > 0 tal que |f (X) – L| < ε sempre que X ∈ S e 0 < ║ X – A ║ < δ.
Neste caso, escrevemos
lim f (X) = L
 x → A
O estudo de funções de três ou mais variáveis (n ≥ 3) difere pouco do estudo 
de funções de duas variáveis. Desta forma, por simplicidade de apresentação, vamos 
estudar as funções de duas variáveis no restante desta unidade. Começaremos 
reescrevendo a definição de limite de funções de duas variáveis.
Definição 3.3.2 Sejam f : S ⊂ R2 → R uma função, e (a, b) um ponto de 
acumulação de S. Dizemos que o limite de f (x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) 
é um número real L se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que
|f (x,y) – L| < ε sempre que (x,y) ∈ S e 0 < √(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 < δ
Neste caso, escrevemos
lim f (x,y) = L
 (x,y) → (a,b)
A definição de limite de função pode ser reformulada utilizando o conceito 
de bola aberta que vimos anteriormente. De fato, escrever lim f (x,y) = L equivale 
a dizer que, dado qualquer ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, para todo (x,y) ∈ 
B ((a,b); δ) tenhamos f (x,y) ∈ (L – ε, L + ε). A figura a seguir ilustra, no caso de uma 
função f : A ⊂ Rn → R, a definição de limite.
FIGURA 25 – FUNÇÃO f : A ⊂ Rn → R 
FONTE: Disponível em: <http://www.icmc.usp.br/~cmmendes/CalculoII/
Calculo2Diferencia%E7%E3o.pdf>. Acesso em: 18 jun. 2011.
(x,y) → (a,b)
A ⊂ Rn
P₀
 f
L – ε
L + ε
L

TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5
Usando a definição de limite, mostre que lim (4x – 3y) = 5.
 (x,y) → (2,1)
Resolução
Devemos mostrar que ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 < ε sempre que 
║(x,y) ‒ (2,1)║< δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado, trabalharemos com a desigualdade 
que envolve ε . Assim, usando propriedades do valor absoluto, podemos escrever:
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)
=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3
=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)
=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)
≤ 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 < √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ podemos escrever x ‒ 2 ≤ 
√(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ e y ‒ 1 ≤ √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ, temos que 4x ‒ 2 + 
3y ‒ 1< 4 δ + 3 δ.
Assim, tomando δ =
ε
7 , temos(4x ‒ 3y) ‒ 5≤ 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1< 
4 ε7 + 3 ·
ε
7 = ε
 sempre que 0 < √(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 < δ.
Portanto, lim (4x ‒ 3y) = 5
 (x,y) → (2,1)
Teorema 3.3.1 Sejam f : S ⊂ R2 → R uma função de duas variáveis, S1 e S2 
subconjuntos de S e (a,b) um ponto de acumulação de S1 e S2. Se f (x,y) tem limites 
diferentes quando (x,y) tende (a,b) através dos pontos de S1 e S2 então lim f (x,y) 
não existe. (x,y) → (a,b)
Lembre-se de que o fato de o ponto (a,b) ser um ponto de acumulação de S
1
 e 
S
2
 não significa que (a,b) ∈ S
1 
∩ S
2 
.
Exemplo 6
Usando a definição de limite, mostre que lim 
5xy
x2 + y2
 não existe.
ATENCAO
(x,y) → (2,1)
36
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Resolução
Observemos que o conjunto domínio de f é R2 ‒ (0,0). Para mostrar que o 
limite não existe, usaremos o Teorema 3.3.1.
Consideremos o conjuntode retas que passam pela origem {y = kxk ∈ R, 
(x,y) ∈ R2}.
Calculando f (x,y) com y = kx, temos
f (x,kx) = 
5xkx
x2 + (kx)2
 = 
5kx2
x2 (1+ k2)
 = 
5k
1+ k2
Então, lim f (x, kx) = lim 
5k
1+ k2 (x,y) → (0,0) (x,y) → (0,0)
Assim, o limite de f depende do percurso do ponto (x,y) quando ele tende 
à origem. Por exemplo, considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes).
lim f (x,x) = lim 5 . 1
1+1
= 5
22
 e lim f (x,a) = 5 . 0
1 0
02+
=
 (x,y) → (0,0) (x,y) → (0,0)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela 
origem. De fato, para cada coeficiente angular k ∈ R, f (x,kx) = 
5k
1+k2
, qualquer que 
seja x ∈ R, corroborando, assim, o cálculo do limite desenvolvido anteriormente.
Portanto, concluímos através do Teorema 3.3.1 que lim 
5xy
x2 + y2
 não 
existe. (x,y) → (0,0)
O teorema a seguir é muito parecido com o que já foi visto em cálculo nas 
propriedades de limites de funções de uma variável.
Teorema 3.3.2 Se lim f (x,y) = L e lim g (x,y) = M, e c ∈ R então:
 (x,y) → (a,b) (x,y) → (a,b)
(x,y) → (0,0)
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir.
Exemplo 7
Calcule 
Resolução
Exemplo 8
Calcule 
Resolução
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0. (x,y) → (2,2) (x,y) → (2,2)
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0
0
. Para resolver o limite, 
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificações possíveis, como 
fazíamos com limites indeterminados, no caderno de Cálculo Diferencial e Integral.
Então,
38
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Você se recorda da definição de continuidade estudada na disciplina de 
Cálculo Diferencial e Integral? Agora estudaremos esta definição aplicada às 
funções de diversas variáveis. Acompanhe a seguir:
Definição 3.4.1 Sejam f : S ⊂ R2 → R uma função e (a,b) ∈ S um ponto 
de acumulação de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes 
condições forem satisfeitas:
(i) f está definida no ponto (a,b)
(ii) lim f(x,y) existe;
 (x,y) → (a,b)
(iii) lim f(x,y) = f(a,b).
 (x,y) → (a,b)
Quando uma ou mais destas condições não é satisfeita, dizemos que a 
função é descontínua no ponto (a,b).
Dizemos que f é contínua, se f for contínua em todos os pontos do domínio de f.
Exemplo 9
Considere a função de duas variáveis f(x,y) = 3x + y2 .
a) Mostre que f é contínua no ponto (2, 3).
b) Mostre que f é contínua.
+
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resolução
a) Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
(i) f (2,3) = 3.2 + 32 = 15
(ii) lim f(x,y) = lim (3x + y2) = 3.2 + 32 = 15
 (x,y) → (2,3) (x,y) → (2,3)
(iii) lim (3x + y2) = f (2,3)
 (x,y) → (2,3)
Logo, f é contínua no ponto (2, 3).
b) Seja (a,b) ∈ D (f) = R2
 lim f(x,y) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (a,b).
 (x,y) → (a,b) (x,y) → (a,b)
Como (a,b) é um ponto qualquer, segue que f (x,y) é contínua.
Exemplo 10
Verifique se a função f (x,y) = In (xy + 3x) é contínua no ponto (3,2).
Resolução
Verificaremos se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
Logo, f é contínua no ponto (3, 2).
40
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Exemplo 11
Verifique se a função f (x,y) = é contínua no ponto (3,3).
Resolução
Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
(i) f (3,3) = 5, pois x = y
(ii) = ∞, portanto o limite não existe.
(iii) Como lim f(x,y) ≠ f(3,3), concluímos que a função é descontínua no ponto (3,3).
 (x,y) → (3,3)
Teorema 3.4.1 Se g(x) for contínua em a e h(y) for contínua em b, então f(x,y) = 
g(x) · h(y) é contínua em (a,b).
Teorema 3.4.2 Se h(x, y) for contínua em (a,b) e g(u) for contínua em u = h 
(a,b), então a composição f(x,y) = g(h(x,y)) é contínua em (a,b).
Exemplo 12
Use o Teorema 3.4.1 para mostrar que a função f(x,y) = 7x3y5 é contínua.
Resolução
Os polinômios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 são contínuos em cada ponto da reta real.
Logo, pelo Teorema 3.4.1, a função f(x,y) = 7x3 y5 é contínua em cada ponto 
(x,y) do plano xy, ou seja, f(x,y) é contínua.
Exemplo 13
Use o Teorema 3.4.2 para mostrar que a função f(x,y) = cos (7x3 y5) é contínua.
Resolução
Como h(x,y) = 7x3 y5 é contínua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u é 
contínua em cada ponto u da reta real, segue do Teorema 3.4.2 que a composição 
f(x,y) = cos (7x3 y5) é contínua em todo R2.
41
RESUMO DO TÓPICO 3
Caro(a) acadêmico(a)! Neste tópico os principais assuntos estudados 
foram:
• O conceito de limite de função de diversas variáveis.
• Definição de função contínua e suas propriedades. É importante saber analisar 
se uma função é contínua ou não.
• Destacamos a Definição 3.4.1, que trata da continuidade. Lembre que, se 
 f : S ⊂ R2 → R é uma função, e (a,b) ∈ S é um ponto de acumulação de S, dizemos 
que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) f está definida no ponto (a,b);
(ii) lim f(x,y) existe;
 
 (x,y) → (a,b)
(iii) lim f(x,y) = f(a,b).
 
(x,y) → (a,b)
Lembre-se de que, se uma destas condições não for satisfeita, a função é 
descontínua em (a,b).
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
limite e continuidade de funções de diversas variáveis.
1 Use a definição de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12
 (x,y) → (3,1)
2 Nos exercícios a seguir, calcule os limites.
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4). (x,y) → (2, ‒1)
b) lim (x,y) → (2, ‒1)
c) lim (x,y) → (0,0)
d) lim x2 ‒ xy
√ √x + y (x,y) → (0,0)
x + 4y
2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim 
x2y
x4 + y2
 não existe. (x,y) → (0,0)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (x,y) = 3x2 + y2 +5.
5 Verifique se a função f(x,y) = 4x
2 ‒ 3x + y
x2 + y2 ‒ 1
 é contínua no ponto (1,3).
6 Verifique se a função f(x,y) = { xy5x2 + y20, (x,y) = (0,0), (x,y) ≠ (0,0) é contínua.
43
TÓPICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Você se recorda das regras de derivação estudadas na disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral? 
Aqui veremos como elas se aplicam às funções de duas variáveis 
independentes, que permitem uma visualização gráfica, possibilitando um 
entendimento, de maneira simples, do conceito de derivadas parciais. Os resultados 
aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número 
maior de variáveis.
As regras de derivação que você aprendeu na disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral serão utilizadas neste momento novamente.
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
Se u é uma função real e c, α ∈ R, então:
(c)′ = 0 (eu)′ = eu ⋅ u ′
(c ⋅ u)′ = c ⋅ u′ (sen u)′ = cos u ⋅ u ′
(u α)′ = α ⋅ u α−1 ⋅ u′ (cos u)′ = −sen u ⋅ u ′
Exemplo 1
Se f(x) = 5x3 − 4x + 3ex − 5, então f ′(x) = 15x2 − 4 + 3ex.
Lembre-se que se y = f (x), então a taxa de variação de y em relação a x é 
dada pela derivada de f em relação a x, que é definida por
f(x + Δx) − f(x)
Δx
 f ′(x) = lim
Δx → 0
44
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seção estudaremos sobre as derivadas parciais. Acompanhe!
3.1 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
A definição de derivada parcial de uma função de duas variáveisé parecida 
com a enunciada para funções de uma variável, sendo utilizadas as mesmas regras 
de derivação. A diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve 
ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra, conforme veremos nas 
definições a seguir.
Definição 4.3.1.1 Seja f : A ⊆ R2 → R uma função de duas variáveis. As 
derivadas parciais de f em relação a x e a y são funções ∂f
∂x
 e ∂f
∂y
 definidas por
∂f
∂x
= lim
h → 0
f (x + h,y) ‒ f (x,y)
h
∂f
∂y
= lim
h → 0
f (x,y + h) ‒ f (x,y)
h
desde que os limites existam.
O símbolo “∂” chama-se “D-rond” (pronuncia-se derron), que significa 
D-redondo, em francês. Esta notação é apenas um outro tipo de simbologia 
para a derivada que, quando trabalhamos com funções de uma variável, era 
representada por “d”. É conveniente ter essa maneira distinta de estender a 
notação diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variáveis, pois 
aqui não tem sentido falarmos simplesmente em derivada, apenas em derivadas 
parciais.
 
Existem outras notações para representar as derivadas parciais. Se z = f (x,y), 
denotamos:
∂f
∂x
= fx (x,y) = = Dx f
∂z
∂x
∂f
∂y
= fy (x,y) = = Dy f
∂z
∂y
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenção na simbologia de derivada. Quando estamos derivando 
uma função de uma variável, por exemplo, y = f (x), então a derivada é identificada por 
dy
dx
. 
Mas quando estamos derivando uma função de duas ou mais variáveis, por exemplo, z = f 
(x,y), então as derivadas são identificadas por ∂ z
∂ x
 e ∂ z
∂ y
.
Exemplo 2
Aplicar a definição para achar ∂f
∂x
 e ∂f
∂y
 para f (x,y) = 3x2 ‒ 2xy.
Resolução
∂f
∂x
= lim
h → 0
f (x + h,y) ‒ f (x,y)
h
= lim
h → 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
6xh + 3h2 ‒ 2hy
h
= lim
h → 0
h (6x + 3h ‒ 2y)
h
= lim 6x + 3h ‒ 2y
h → 0
= 6x ‒ 2y.
∂f
∂y
= lim
h → 0
f (x,y + h)‒ f (x,y)
h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
= lim
h → 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xy
h
= lim
h → 0
‒ 2xh
h
= lim (‒ 2x)
h → 0
= ‒ 2x.
Logo, obtemos 
∂f
∂x
= 6x ‒ 2y e ∂f
∂y
= ‒ 2x.
Exemplo 3
Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 5x3 ‒ 4xy + 3exy³ ‒ 5.
Resolução
Para encontrar a derivada parcial de f em relação a x, devemos olhar para 
a variável y da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável x, ou 
seja, aplicaremos as regras de derivação somente na variável x.
∂f
∂x
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exy³ ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exy³
De forma análoga, para derivar parcialmente f em relação a y, devemos 
olhar para a variável x da função f como uma constante, e derivamos apenas a 
variável y, ou seja, aplicaremos as regras de derivação somente na variável y.
∂f
∂y
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exy³ ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exy³
Exemplo 4
Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 3x2 ‒ xy + y.
Resolução
Derivando f em relação a x, (lembre-se de considerar y como constante)
∂f
∂x
= 6x ‒ y
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relação a y, (agora considere x como constante)
∂f
∂y
= ‒ x + 1
Exemplo 5
Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x.
Resolução
∂f
∂x
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
∂f
∂y
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6
Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = (x + y) sen (x ‒ y).
Resolução
Observe que a função f é um produto de outras duas funções u e v. Assim, 
lembramos que (u ⋅ v)′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
∂f
∂x
= 1.sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
∂f
∂y
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7
Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = exy + In (x2 + y).
Resolução
∂
∂
= +
+
f
x
y e x
x y
xy 
 
2
2
 Utilizamos a regra 
 
lnu u
u
f
y
x e
x y
xy
( )′ = ′
∂
∂
= +
+
1
2
48
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Até aqui, estivemos preocupados com o cálculo da derivada parcial de 
uma função em relação a uma de suas variáveis. Isso quer dizer que calculamos a 
derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado. Passemos a ver como se calcula 
a derivada fixando um ponto da superfície.
Se (x0, y0) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical 
y = y0 cortará a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x, y0). (Figura 26)
Definição 4.3.1.2 A derivada parcial da função f em relação à variável x é 
representada por 
∂f
∂x
 e é definida num ponto P (x0, y0) do domínio por:
(x0, y0) = limΔ x → 0
∂f
∂x
f (x0 + Δ x, y0) ‒ f (x0, y0)
Δ x
, se este limite existir.
FIGURA 26 – FUNÇÃO f (x,y)
FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.
php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul. 2011.
Se (x0, y0) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical 
x = x0 cortará a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x,y0). (Figura 27)
Definição 4.3.1.3 A derivada parcial da função f em relação à variável y é 
representada por 
∂f
∂y
 e é definida num ponto P (x0, y0) do domínio por:
(x0, y0) = limΔ x → 0
∂f
∂y
f (x0, y0 + Δ y ) ‒ f (x0, y0)
Δ y
, se este limite existir.
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no 
plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (x,y0)
no plano y = y₀
z
z = f (x,y)
y
y₀
(x₀, y₀)
(x₀ + h, y₀)
x
x₀
0
P(x₀, y₀, f (x₀, y₀))
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 – FUNÇÃO f (x,y)
FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.
php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul. 2011.
Exemplo 8
Sendo f (x,y) = 2x2y – 4y3, calcule ∂f
∂x
, ∂f
∂y
, ∂f
∂x
 (3,1), ∂f
∂y
 (3,1).
Resolução
∂f
∂x
 = 2 ⋅ 2x ⋅ y – 0 ∂f
∂x
 (3,1) = 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = 12
∂f
∂x
 = 4xy
∂f
∂y = 2x 
2 ⋅ 1 – 4 ⋅ 3y 2 
∂f
∂y (3,1) = 2 ⋅ 3
2 – 12 ⋅ 12
∂f 
∂y
 = 2x 2 – 12y 2 ∂f
∂y
 (3,1) = 2 ⋅ 9 – 12 ⋅ 1 = 18 – 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (x,y) = { 5xy2x + 3y0, se (x,y) = (0,0), se (x,y) ≠ (0,0) , calcule ∂f ∂x e ∂f∂y.
Eixo vertical no 
plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x, y0)
no plano x = x₀
Eixo horizontal 
no plano x = x₀
x₀
x
(x₀, y₀)
(x₀, y₀ + k)
z = f (x,y)
z
y
y₀
P(x₀, y₀, f (x₀, y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Resolução
Nos pontos (x,y) ≠ (0,0), podemos aplicar as regras de derivação. Assim, 
temos
∂f
∂x
5y · (2x + 3y) ‒ 5xy · 2
(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy
(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2
=
∂f
∂y
5x · (2x + 3y) ‒ 5xy · 3
(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2
=
Para calcularmos as derivadas de f na origem, usamos a definição de 
derivada parcial,
(0,0) = lim
h → 0
∂f
∂x
f (0 + h , 0 ) ‒ f (0,0)
h
= lim
h → 0
5h · 0 
2h
 h
‒ 0( (
( (
(0,0) = lim
h → 0
∂f
∂y
f (0,0 + h) ‒ f (0,0)
h( (
= lim
h → 0
5 · 0 · h 
3h
 h
‒ 0( (= 0.
= 0.
Assim, obtemos as derivadas parciais da função f com relação a x e com 
relação a y em todos os pontos (x,y) do domínio.
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A interpretação das derivadas parciais é análoga à interpretação da 
derivada simples. Sabemos que, para a função y = f (x), a derivada f ′ (x0) pode ser 
interpretada ou como a taxa de variação de y em relação a x no ponto x0 ou como a 
inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0.
Para interpretar as derivadas parciais, consideramosa função z = f (x,y) e 
as suas derivadas parciais no ponto (x0, y0). Vamos interpretar 
∂f
∂x
 (x0, y0): suponha 
que C1 é a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano y = y0 (o que equivale a 
considerar y como constante). Geometricamente, ∂f
∂x
 (x0, y0) pode ser interpretada 
como a inclinação da reta tangente à curva C1 no ponto (x0, y0) que se denota por 
∂f
∂x
 (x0, y0) = tg α.
Da mesma forma, supondo C2 a interseção da superfície z = f (x,y) com 
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante), interpretamos 
∂f
∂y
 (x0, y0),geometricamente, como a inclinação da reta tangente à curva C2 no ponto 
(x0, y0) que se denota por 
∂f
∂y
 (x0, y0) = tg b. Veja na Figura 28 a situação descrita 
anteriormente.
A derivada parcial 
∂f
∂x
 (x0, y0) também pode ser interpretada como a taxa de 
variação de z em relação a x ao longo da curva C1. E a derivada parcial 
∂f
∂y
 (x0, y0) 
também pode ser interpretada como a taxa de variação de z em relação a y ao longo 
da curva C2. Assim, estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou 
decresce) quando apenas uma variável está sendo alterada.
FIGURA 28 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.
php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul. 2011.
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Exemplo 10
A função T (x,y) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto 
de uma chapa. Encontre a razão de variação da temperatura em relação à distância 
percorrida ao longo da chapa na direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1, 2). 
Considere a temperatura medida em graus Celsius, e a distância em cm.
Resolução
∂T
∂x = 0 ‒ 2 ⋅ 2x = ‒ 4x 
∂T
∂x (1, 2) = ‒ 4 ⋅ 1 = ‒ 4°C / cm
Assim, podemos interpretar o valor ‒ 4°C / cm obtido na derivada em x da 
seguinte forma: a temperatura está diminuindo 4°C à medida que x aumenta uma 
unidade.
∂T
∂y = 0 ‒ 2 · 3y = ‒ 6y 
∂T
∂y (1, 2) = ‒ 6 · 2 = ‒ 12°C / cm
Assim, o valor ‒ 12°C / cm significa que a temperatura diminui 12°C à 
medida que y aumenta uma unidade.
Exemplo 11
Suponha que D = √x 2 + y 2 é o comprimento da diagonal de um retângulo, 
cujos lados têm comprimentos x e y que são permitidos variar. Determine uma 
fórmula para a taxa de variação de D em relação a x, se x varia, com y considerado 
constante, e utilize esta fórmula para determinar a taxa de variação de D em relação 
a x no ponto x = 3 e y = 4.
Resolução
A fórmula para a taxa de variação de D em relação a x é
D = √x 2 + y 2 
 
D = (x 2 + y 2)½
∂D
∂x
 = 1
2
 (x 2 + y 2)-½ (2x)
∂D
∂x
 = 
√
x
x 2 + y 2
A taxa de variação instantânea de D em relação a x, no ponto (3, 4), é
∂D
∂x
 (3, 4) = 
√
3
32 + 42
 = 
3
5
Assim, D aumenta a uma taxa de 3
5
 de unidade para cada unidade de 
aumento de x no ponto (3, 4).
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZAÇÃO
Na seção anterior estudamos as derivadas parciais de funções de duas 
variáveis. Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de 
funções de n variáveis reais.
Definição 4.4.1 Seja f : A ⊆ Rn → R uma função de n variáveis, e seja x = (x1, x2,..., xn) 
∈ A. Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relação a xi por
∂
∂
+ −
→
f
xi h
i n (x) = 
f (x x h,..., x f (x
lim
,..., ) ,...,
0
1 1 xx
h
n ) , quando esse limite existir.
Definição 4.4.2 Seja f : A ⊂ Rn → R uma função de n variáveis e seja B ⊆ A o 
conjunto formado por todos os pontos x tais que 
∂f
∂xi
(x) existe. Definimos a função 
derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a xi como a função que a cada x ∈ B associa 
o número 
∂f
∂xi
(x) dado por ∂f
∂xi
(x) = lim
f (x1,..., xi + h,..., xn) ‒ f (x1,..., xi ,..., xn)
h( (h → 0 .
Exemplo 12
Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3.
Resolução
Ao derivar f em relação a x, lembre-se de considerar y e z como constantes
∂f
∂x
= y 2
Derivando f em relação a y, (agora considere x e z como constantes)
∂f
∂y
= 2xy 
E derivando f em relação a z, (considere x e y como constantes)
∂f
∂z
= ‒ 6z2
Exemplo 13
Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = yz In (xy).
Resolução
Observe primeiramente que a função é dada por um único termo e teremos 
que usar as regras do produto e do logaritmo natural.
54
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Derivando f em relação a x (considere y e z como constantes). Como a 
variável x aparece apenas no logaritmando, usaremos a regra do logaritmo natural.
∂f
∂x
= yz ∙ y
xy
= yz
x
Derivando f em relação a y (considere x e z como constantes).
Como a variável y aparece no fator que multiplica o logaritmo e também 
no logaritmando, então aplicaremos a regra do produto junto à regra do logaritmo 
natural.
∂f
∂y
= z In (xy) + yz · x
xy
= z In (xy) + z
E derivando f em relação a z (considere x e y como constantes), a variável z 
aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo, então aplicaremos a regra da 
derivada simples em z.
∂f
∂z
= y In (xy).
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais 
∂f
∂x
 e 
∂f
∂y
 são funções de x e y, e assim, elas mesmas 
podem ter derivadas parciais. Com isso, teremos outras quatro derivadas parciais, 
estas de segunda ordem de f, as quais são definidas por:
Exemplo 14
Sendo f (x,y) = y2 ex + 5y, calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f.
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resolução
∂f
∂x
= y2 ex
 ∂f
∂y
= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem, vamos derivar 
parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relação a x e a y. 
Fique atento(a) à notação!
Exemplo 15
Sendo f (x,y) = x2 cos y + y2 sen x, encontre as derivadas parciais de segunda 
ordem de f.
Resolução
56
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Exemplo 16
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (x,y) = x + 3y .
Resolução
Primeiro, devemos escrever a função na forma de potência.
f (x,y) = (x + 3y)½
Observe que devemos aplicar a regra da potência para a derivação 
(u α)′ = α uα−1 u′.
√
Exemplo 17
Dada a função f (x,y) = x3y + 4x2y3, calcule:
a) ∂
2f
∂y∂x
; b) ∂
2f
∂x2
 c) ∂
3f
∂x∂y∂x
 d) ∂
3f
∂y∂x2
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resolução
∂
∂ ∂
=
∂
∂
∂
∂






∂
∂ ∂
=
∂
∂
+( )
∂
∂ ∂
= +
2
2
2 3
2
2
3 8
3 24
f
y x y
f
x
f
y x y
x y xy
f
y x
x xyy2
∂
∂
= +
∂
∂
= +
f
x
x y xy
f
x
xy y
3 8
6 8
2 3
2
2
3
∂
∂
= +
∂
∂ ∂
= +
∂
∂ ∂ ∂
= +
f
x
x y xy
f
y x
x xy
f
x y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
2
2 2
3
2
∂
∂
= +
∂
∂
= +
∂
∂ ∂
= +
f
x
x y xy
f
x
xy y
f
y x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
2
3
3
2
2
Talvez você tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem 
∂2f
∂x∂y
 e ∂
2f
∂y∂x
 são iguais. Será que isto ocorre sempre?
Respondendo à pergunta. A igualdade entre as derivadas parciais mistas 
ocorre quando a função f (x,y) e suas derivadas parciais ∂
2f
∂x2
, ∂
2f
∂x∂y
, ∂
2f
∂y∂x
 e ∂
2f
∂y2
 forem 
todas contínuas, fato este que nem sempre ocorre.
Caro(a) acadêmico(a), mostre que 
∂
∂ ∂
( ) = ∂
∂ ∂
( ) =
2 2
0 0 0 0 0 1
f
x y
f
y x
, , , e considerando a 
função f x y
xy
x y
x y
x y
,
, , ,
, , ,
( ) = + ( )
≠ ( )
( ) =
3
2 2
0 0
0 0 0
 se 
 se (( )





UNIUNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
Este fato se repete para função de três variáveis, isto é, teremos a igualdade 
das seis derivadas parciais mistas 
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
= , 
∂2f
∂x∂z
∂2f
∂z∂x
= e 
∂2f
∂y∂z
∂2f
∂z∂y
= se f 
(x, y, z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem 
contínuas.
Verifique se, de fato, as derivadas mistas são iguais para a função f (x, y, z) = x y2z3 
+ 3 yz.
Teorema 4.5.1 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma função de 
duas variáveis, x e y , definida em bola aberta B, com derivadas parciais de segunda 
ordem contínuas em B. Então ∂
2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
(a, b) = (a, b) , para todo (a, b) ∈ B.
Como consequência do teorema, se a função z = f (x,y) tem todas as derivadas 
parciais contínuas em uma bola aberta, então a ordem da derivada não importa. Por 
exemplo:
A seguir, apresentaremos a biografia de dois grandes matemáticos: Johann 
Bernoulli e Leonhard Euler, que, entre outros, também contribuíram bastante para o 
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.
UNI
UNI
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli, irmão de Jacques Bernoulli, nasceu no dia 27 de julho 
na Basileia. Seus pais, Nicolaus e Margaretha Bernoulli, queriam que ele fosse 
comerciante ou médico. Johann pode ter sido influenciado quando criança pelo 
seu irmão Jacques, que já estava na carreira matemática.
Em 1682, com 15 anos de idade, trabalhou no comércio durante um ano, 
porém não gostou da atividade. Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia 
para estudar Medicina, apesar de ter sempre gostado de Matemática. Quatro anos 
depois seu irmão foi nomeado professor de Matemática na Universidade e, de 1687 
a 1690, Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o 
Cálculo. Na época, essas teorias não tinham sido compreendidas por nenhum outro 
matemático e os irmãos Bernoulli foram os primeiros a estudá-las. Os dois irmãos 
e Leibniz iniciaram uma série de artigos publicados na Acta Eruditorum, dando 
origem à difusão do Cálculo Leibniziano, tornando-o amplamente conhecido.
Em 1691, Johann foi à França, onde conheceu o marquês de L’Hospital. 
O marquês interessou-se pelo novo Cálculo e ofereceu um bom salário para que 
Johann lhe ensinasse. O acordo permitia ao marquês usar todo o conteúdo ensinado 
como o desejasse. A consequência disso foi a importante contribuição de Johann 
Bernoulli, conhecida como Regra de L’Hospital, publicada pelo marquês em seu 
primeiro livro sobre Cálculo, em 1696. No prefácio do livro, L’Hospital fez menção 
a Johann Bernoulli, mas não lhe atribuiu o famoso teorema. Só depois da morte 
do marquês, Johann contestou a autoria, porém havia perdido a credibilidade no 
assunto, devido às desavenças públicas, principalmente com seu irmão Jacques 
Bernoulli. Esse reconhecimento só aconteceu em 1922, quando encontraram uma 
cópia do curso na Basileia.
60
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
A determinação da equação da catenária foi o primeiro problema importante 
resolvido por Johann Bernoulli, em 1691. Esse problema existia há mais de 50 
anos e Galileo, em 1636, sugerira uma solução. Em 1646, Huygens provou que 
a solução de Galileo era falsa, mas também não conseguiu resolver o problema. 
A catenária é a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente 
por dois pontos. O problema era determinar sua equação. Utilizando o Cálculo 
Leibniziano, Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso 
público do novo Cálculo.
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx. Para Bernoulli, 
a integração era a operação inversa da diferenciação. Tal concepção permaneceu 
até a época de Cauchy.
Johann teve três filhos: Nicolaus (1695-1726), Daniel (1700-1782) e Johann 
(1710-1790). Todos eles foram matemáticos e Daniel produziu um trabalho sobre 
Hidrodinâmica conhecido como Princípio de Bernoulli.
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Cálculo, porém 
escreveu sobre a isócrona, sólidos de resistência mínima, trajetórias, problemas 
isoperimétricos, conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que, após 
a morte de seu irmão em 1705, foi chamado para ocupar a cadeira dele na 
Universidade de Basileia.
Johann Bernoulli morreu no dia 1º de janeiro de 1748, na Basileia.
FONTE: E-CÁLCULO. Mapa da história: Leibniz. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/
bernoulli1.htm>. Acesso em: 10 jun. 2008.
EULER, LEONHARD (1707-1783)
TÓPICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia, Suíça, Leonhard Euler foi a figura matemática 
dominante do seu século e o matemático mais prolífico de que se tem notícia. Era 
também astrônomo, físico, engenheiro e químico. Foi o primeiro cientista a dar 
importância ao conceito de função, estabelecendo desse modo uma base sólida 
para o desenvolvimento do cálculo e de outras áreas da matemática. A coleção 
completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais 
de 80 volumes. Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analítica, da 
trigonometria, do cálculo e da teoria dos números. 
Ainda jovem, Euler demonstrou um futuro promissor como matemático, 
apesar de seu pai preferir que estudasse teologia. Felizmente, Johann Bernoulli 
convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemática. 
Graduou-se pela Universidade da Basileia, defendendo uma tese em que 
comparava o trabalho de Descartes ao de Newton. Euler conseguiu uma posição 
em São Petersburgo e durante alguns anos foi médico na Marinha russa. Em 1733 
tornou-se professor de Matemática na Academia de Ciências de São Petersburgo. 
Em 1736 publicou a obra Mechanica, em dois volumes, na qual aplicou 
sistematicamente o cálculo à matemática de uma massa e incorporou muitas 
equações diferenciais novas à mecânica. Em 1738 ele perdeu a vista direita. Em 
1741 conseguiu uma posição como diretor matemático da Academia de Ciências 
de Berlim. Lá desenvolveu alguns trabalhos, como a tradução e a melhoria de 
Principles of Gunnery, de Robin; a publicação de Scienia navalis em 1749 e Letters 
to a german princess, de 1768 a 1772; e o ensino de Lagrange por correspondência. 
Em 1766, Euler retornou à Rússia a convite de Catarina, a Grande. Em 1771, 
perdeu a visão no olho esquerdo, ficando completamente cego. Seu trabalho foi 
do cálculo e da análise à medida que publicou sua trilogia, Introductio in analysin 
infinitorum, Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis. Esses 
trabalhos, que perfaziam um total de seis volumes, fizeram da função uma parte 
central do cálculo e tratavam de álgebra, trigonometria, geometria analítica e 
teoria dos números. Por meio desses tratados, Euler influenciou grandemente o 
ensino da matemática. Diz-se que todos os livros didáticos de cálculo desde 1748 
são essencialmente cópias de Euler ou cópias de cópias dele. Algumas de suas 
contribuições para as equações diferenciais são as seguintes: a redução da ordem, 
o fator integrante, coeficientes indeterminados, a teoria das equações lineares de 
segunda ordem e soluções das séries de potências. Ele também incorporou o 
cálculo vetor e as equações diferenciais em seus trabalhos.
Euler deu à geometria analítica moderna e à trigonometria o que o livro 
Elements, de Euclides, deu à geometria, e a tendência resultante de apresentar 
a matemática e a física em termos matemáticos prosseguiu desde então. Euler 
enriqueceu a matemática com muitos conceitos técnicos e notações ainda em uso 
nos dias de hoje. Ele deu ordem ao caos da notação matemática. Estabeleceu a 
maior parte da notação que utilizamos hoje (seno, co-seno, e, "pi", "i", sigma, f 
para função). A contribuição de Euler para a teoria dos números

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