Aplicações das equações diferenciais na engenharia claculo 3 pierre

Prévia do material em texto

Aplicações das equações diferenciais na engenharia
EDO 2º Ordem - Aplicação ao cálculo da flexão nas Vigas
Um dos problemas na engenharia civil nos quais se recorrem ás equações diferenciais para resolvê-lo é o da flexão nas vigas, tanto nas bi-apoiadas quanto nas engastadas. Essas vigas quando estão sobre a ação de cargas sofrem deformações, flexionando-se. A curva que se forma na viga é chamada de curva elástica e é dada pela fórmula: d^2y/dx2 = -M/EI ; onde E= módulo da elasticidade do material de que é feita a viga, I= momento de inércia da seção transversal da viga em relação ao eixo de simetria, M= momento fleto das forças em relação à seção transversal de abcissa x. o produto E.I é chamado de módulo de rigidez à flexão da viga.
A viga é engastada em uma das extremidades e a outra é submetida a uma carga Q. o momento fletor M é dado por : M= -Q(L-x), substituindo na fórmula acima temos: [ d^2y/dx2 = Q(L-x)/E.I ]
· dy/dx = (Q/E.I). S(L-x) dx {lembarndo que S= integral}
· dy/dx = (Q/E.I).(Lx- (x^2/2) + C1)
A constante C1 é nula pois a tangente à curva elástica, com x=0, é o próprio eixo x, ou seja, (dy/dx)=0.
Com isso fazemos uma nova integração: y= (Q/E.I).(Lx- (x^2/2))dx
= (Q/2E.I).(Lx^2- (x^3/3) + C2)
Podemos observar que para x=0 não há deformação, então y=o o que leva à C2= 0.
Ao tranportamos a seção transversal considerada para a extremidade onde a carga atua, adotando x=L, e então obtemos a flecha máxima: y(max)= (Q.L^3)/3E.I , ou seja, y(max) é a resposta para a nossa Equação Diferencial de segunda ordem na aplicação de vigas.
Referencias:
Matemática e Educação Matemática. EDO 2º Ordem - Aplicação de flexão nas Vigas. 19 de jun. de 2016. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=gMvU30a14jI . Acesso em 16 de setembro de 2020.