Aula 12 - Probabilidade

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Curso Matemática do Zero 
Professor Rodrigo Sacramento 
Matemática 
Probabilidade 
 Experimento aleatório 
São experimentos cujo resultado não é previamente conhecido. Repetidos 
em condições idênticas, tais experimentos podem apresentar resultados 
diferentes. Essa variabilidade deve-se ao acaso. 
Ex.1: 
a) Lançamento de dado. 
b) Loteria. 
c) Lançamento de moeda. 
 
 Espaço Amostral 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. 
Notação: U 
Ex.1: 
a) Dado: 
U: {1,2,3,4,5,6} 
b) Moeda: 
U: {cara, coroa} 
 
 Evento 
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 
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Ex.1: 
Dado 
U={1,2,3,4,5,6} 
a) Obtenção de números pares no dado. 
A={2,4,6} 
b) Obtenção de números ímpares no dado. 
B={1,3,5} 
 
 Evento complementar 
Notação: 𝐸𝑐(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟) 
Ex.1: 
Uma rifa compõe-se de 50 cupons, numerados de 1 a 50. Seja E o evento “o 
número sorteado é um quadrado perfeito”. Quantos elementos possui o evento 
complementar de E? 
 Resolução: 
De 1 a 50, os quadrados perfeitos são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49. Assim, n(E) = 7. 
O evento complementar de E é formado pelos números de 1 a 50 que estão 
relacionados acima. Assim, 𝑛(𝐸𝑐)=50 – 7 = 43. 
 
 Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis 
Consideremos, na maior parte dos exercícios, os espaços amostrais 
equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais tem a mesma probabilidade de 
ocorrer. 
Essa definição de probabilidade, é intuitiva, isto é, a probabilidade de ocorrer 
determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou número 
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de casos que nos interessam) e o número de casos possíveis (ou número total de 
casos).Assim: 
𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑈)
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
 Probabilidade da União de dois eventos 
p(AUB) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) 
 
Importante para o Enem: 
A e B são eventos independentes 
 
No dia a dia... 
Qual é a probabilidade de você ganhar na Mega-Sena? 
 
 
 
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 Exercícios Extras: 
1) Para formar uma senha bancária Milu vai escolher um número de cinco algarismos. 
Já decidiu os quatro primeiros, que correspondem ao ano de nascimento de sua mãe; 
1958. Se Milu escolher ao acaso o algarismo que falta, qual é a probabilidade de que 
seja formado um número com algarismos distintos? 
 
2) Em uma bandeja há dez pastéis, dos quais 3 são de carne , 3 são de queijo e 4 são 
de camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, 2 pastéis desta 
bandeja, a probabilidade de os dois pastéis retirados serem de camarão é : 
a) 3/25 b) 4/25 c) 2/15 d) 2/5 e) 4/5 
3) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação 
dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a 
probabilidade dele ser um número ímpar é: 
a) 1 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/4 e) 1/5 
4) Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. 
Considere uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. 
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas 
contenham suco como mesmo sabor equivale a: 
a) 9,1% b) 18,2% c) 27,3% d) 36,4% 
 
5) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são 
retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é: 
a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/4 
6) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, 
são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que 
ambas sejam brancas vale: 
a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 
7) Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores 
diferentes. Os halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é 
denominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos. Nas 
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figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito. 
Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um 
armazenamento perfeito equivale a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
5040
1 b) 
945
1 c) 
252
1 d) 
210
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8) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A com 10 lápis, dentre os quais 
3 estão apontados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.Um 
funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis 
B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. 
A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42 
 
9) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após outra. Qual a 
probabilidade de que a segunda seja um ás sabendo que a primeira é um ás? 
10) No lançamento de 4 moedas "honestas", a probabilidade de ocorrerem duas caras 
e duas coroas é: 
a) 1/16 b) 3/16 c) ¼ d) 3/8 e) 1/2 
11) Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo 100 
exemplares de Aedes aegypti, cada um deles contaminado com apenas um dos tipos 
de vírus, de acordo com a seguinte tabela: 
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Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a 
probabilidade de que pelo menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale 
a: 
 
a) 
8
81
 b) 
10
99
 c) 
11
100
 d) 
21
110
 
 
12) Numa turma com 8 homens e 2 mulheres, será feito um sorteio de 3 alunos. A 
probabilidade de que não sejam todos do mesmo sexo é:a) 3/10 b) 1/3 c) 2/5 d) 
1/2 e) 8/15 
Gabarito: 
1) 60% 2)C 3)C 4) C 5) C 6) A 7) B 8)B 9) 3/11 10)D 11) D 12) E 
 Na prática do Enem: 
 
1) (Enem 2012) Em um jogo ha duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada 
urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. 
 
 
Uma jogada consiste em: 
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da 
urna 2; 
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2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a 
com as que lá estão; 
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 
4º) se a cor da ultima bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. 
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de 
ganhar? 
a) Azul. b) Amarela. c) Branca. d) Verde. e) Vermelha. 
 
2) (Enem 2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A 
e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este 
gráfico: 
 
A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os 
compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham 
feito suas compras em fevereiro de 2012? 
 
3) (Enem 2013) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores.A figura 
apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas 
e as claras não foram 
vendidas. 
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A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação 
ao total de cadeiras desse mesmo setor é: 
 
a) 17/70 b) 17/53 c) 53/70 d) 53/17 e) 70/17 
 
Gabarito: 
1)E 2) A 3) A