analise combinatoria apol 1

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Questão 1/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x3x3 no desenvolvimento de (x+3)5(x+3)5:
Nota: 0.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
	
	D
	90
O termo geral do desenvolvimento de (x+3)5(x+3)5 é dado por Tp+1=(5p)3px5−pTp+1=(5p)3px5−p com 0≤p≤5.0≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x3x3, devemos impor que 5−p=35−p=3, isto é, p=2p=2. Portanto, T3=(52)32x3=90x3.T3=(52)32x3=90x3.
	
	E
	100
Questão 2/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de anagramas da palavra PRÁTICO que iniciam com R e terminam com I.
Nota: 10.0
	
	A
	24
	
	B
	60
	
	C
	120
Você acertou!
Uma vez fixadas as letras R e I, devemos permutar as 5 letras restantes: P, A, T, C, O. Logo, teremos 5!=1205!=120 anagramas que iniciam com a letra R e terminam com a letra I.
	
	D
	360
	
	E
	720
Questão 3/10 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, analise as afirmativas: 
I. A segunda linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=1,n=1, isto é, (10)(10) e (11).(11).
II. A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 5, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. A sétima linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
A segunda linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (10)=1(10)=1 e (11)=1.(11)=1. Logo, a afirmativa I é correta. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1, (41)=4, (42)=6,(43)=4(40)=1, (41)=4, (42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é incorreta. Calculando os números binomiais com n=7,n=7, verificamos que a afirmativa III é correta.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 4/10 - Análise Combinatória
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R, a≠0.a∈R, a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 10.0
	
	A
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
Você acertou!
Para obtermos os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)4,(x+a)4, consideramos a quinta linha do triângulo de Pascal. Como o termo geral é Tp+1=(4p)apx4−p,Tp+1=(4p)apx4−p, concluímos que o desenvolvimento deste binômio é dado por x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.
	
	B
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 5/10 - Análise Combinatória
Os 45 funcionários de uma empresa multinacional falam inglês ou espanhol. Sabe-se que 40 funcionários sabem falar inglês e 25 sabem falar inglês e espanhol. Escolhendo-se aleatoriamente um funcionário, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e espanhol é 15.15. 
II. (   ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol 13.13.
III. (   ) A probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 1919. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V
	
	B
	V, F, V
	
	C
	V, V, F
	
	D
	V, F, F
	
	E
	F, V, V
Você acertou!
Dos 45 funcionários, 25 destes falam inglês e espanhol. Assim, a probabilidade do funcionário escolhido falar os dois idiomas é 2545=59.2545=59. Logo, a afirmativa I é falsa. Ao todo, 40−25=1540−25=15 funcionários falam inglês e não falam espanhol. Logo, a probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol é 1545=131545=13. Com isso, a afirmativa II é verdadeira. Notamos que 45−40=545−40=5 funcionários sabem falar espanhol e não sabem falar inglês. Daí, a probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 545=19545=19 e a afirmativa III é verdadeira.
Questão 6/10 - Análise Combinatória
Três moedas são lançadas simultaneamente. A respeito desse experimento aleatório, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral associado a esse experimento é formado por 6 eventos elementares. 
II. A probabilidade de obter exatamente duas caras é 38.38.
III.  A probabilidade de obter pelo menos duas caras é 12.12. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Você acertou!
Indicamos "cara" por KK e "coroa" por CC. O espaço amostral é então Ω={(CCC),(CCK),(CKC),(CKK),(KCC),(KCK),(KKC),(KKK)}.Ω={(CCC),(CCK),(CKC),(CKK),(KCC),(KCK),(KKC),(KKK)}.Com isso, o espaço amostral é formado por 8 eventos elementares e a afirmativa I é falsa. Se AA indica o evento de "obter duas caras", teremos A={(KKC),(KCK),(CKK)}.A={(KKC),(KCK),(CKK)}. Logo, a probabilidade de obter exatamente duas caras é P(A)=#A#Ω=38.P(A)=#A#Ω=38. Assim, a afirmativa II é correta. Se BB denota o evento  "obter pelo menos duas caras", teremos B={(KKC),(KCK),(CKK),(KKK)}.B={(KKC),(KCK),(CKK),(KKK)}. Portanto, P(B)=#B#Ω=48=12P(B)=#B#Ω=48=12 e a afirmativa III é correta.
Questão 7/10 - Análise Combinatória
O jogo da Mega-Sena contém 60 números (cada um chamado de dezena), que são 01,02,03,...,59,60.01,02,03,...,59,60. O resultado de um sorteio é composto de 6 dezenas, sorteadas entre as 60 dezenas. Com base neste jogo, analise as afirmativas:
I. Ao todo, existem 606606 resultados possíveis.
II. O número de resultados possíveis contendo o número 7 é C59,5C59,5. 
III. O número de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números ímpares é C60,4×C60,2C60,4×C60,2.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
O número de resultados possíveis é dado por C60,6≠606C60,6≠606. Logo, a afirmativa I é incorreta. Para que o número 7 figure em um resultado possível, devemos escolher 5 dezenas num conjunto de 59 dezenas. Isso pode ser feito de C59,5C59,5 maneiras. Assim, a afirmativa II é correta. Ao todo, temos 30 números pares e 30 números ímpares. Com isso, o número de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números ímpares é C30,4×C30,2C30,4×C30,2, o que mostra que a afirmativa III é incorreta.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 8/10 - Análise Combinatória
Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Com base nesse experimento aleatório, analise as afirmativas:
I.  O espaço amostral associado a este experimento é formado por 120 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que o número escolhido seja par é 2525.
III. A probabilidade de que o número escolhido seja ímpar é 2525. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, podemos formar A5,4=5×4×3×2=120A5,4=5×4×3×2=120 números de 4 algarismos distintos. Logo, a afirmativa I é correta. Considere AA o evento "o número escolhido é par". A quantidade de números que terminam com o algarismo 2 é 4×3×2×1=244×3×2×1=24. Do mesmo modo, existem 24 números que terminam com o algarismo 4. Logo, #A=2×24=48#A=2×24=48 e a probabilidade do número escolhido ser par é P(A)=48120=25P(A)=48120=25. Com isso, a afirmativa II é correta. Seja BB o evento "o número escolhido é ímpar". Usando o mesmo argumento descrito acima, garantimos que #B=3×24=72#B=3×24=72. Portanto, P(B)=72120=35P(B)=72120=35 e a afirmativa III é incorreta.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 9/10 - Análise Combinatória
Dada uma palavra qualquer, chamamos de anagrama qualquer palavra obtida permutando-se as letras da palavra original. Com base nessa noção, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas da palavra TEORIA é igual a 720. 
II. O número de anagramas da palavra TEORIA que começam com a letra T e terminamcom a letra A é igual a 24. 
III. O número de anagramas da palavra TEORIA que começam com uma vogal é igual a 360. 
Assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	Apenas a afirmativa I está correta.
	
	B
	Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
Você acertou!
Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. Logo, a palavra TEORIA possui 6!=7206!=720 anagramas e afirmativa I é correta. Fixadas as letras T, A, teremos que permutar somente as letras E, O, R, I. Com isso, o número de anagramas contendo a primeira letra T e a última letra A é 4!=244!=24. A afirmativa II também é correta. Passamos para a afirmativa III. Fixada uma vogal como primeira letra do anagrama, temos 5!=1205!=120 maneiras de dispor as demais 5 letras neste anagrama. Como são 4 vogais, teremos 4×5!=4804×5!=480 anagramas que iniciam com uma vogal. Com isso, a afirmativa III é incorreta.
	
	C
	Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
	
	D
	Apenas a afirmativa II está correta.
	
	E
	Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
Questão 10/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5:
Nota: 10.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5 é dado por Tp+1=(5p)2px5−pTp+1=(5p)2px5−p com 0≤p≤50≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x2x2, devemos impor que 5−p=25−p=2, isto é, p=3p=3. Portanto, T4=(53)23x2=80x2.T4=(53)23x2=80x2.
	
	D
	90
	
	E
	100