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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Parametrização de Superf́ıcies
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Francisco Beltrão
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 3B
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B
10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Representação de Superf́ıcies
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Uma representação paramétrica de um superf́ıcie S no espaço é
da forma
~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k
Exemplo
Determine uma representação paramétrica para o cilindro circular
x2 + y2 = a2, −1 ≤ z ≤ 1 tem raio a, altura 2 e simetria em
relação ao eixo z.
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Exemplo
Determine uma representação paramétrica para uma esfera
x2 + y2 + z2 = 1.
Exemplo
Determine uma representação paramétrica para o cone circular
z =
√
x2 + y2, 0 ≤ z ≤ H.
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Todos os vetores tangentes a todas as curvas de uma superf́ıcie S
passando por um ponto P de S formam um plano, denominado
plano tangente a S em P.
Dizemos que o vetor perpendicular ao plano tangente é um vetor
normal a S em P. Tal vetor é dado pelo produto vetorial entre ~ru
e ~rv
~N = ~ru ×~rv 6= 0
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
O correspondente vetor normal unitário a S em P é
~n =
~N
|~N|
=
~ru ×~rv
|~ru ×~rv |
Se S for representada por g(x , y , z) = 0, temos
~n =
grad g
| grad g |
Exemplo
Determine o vetor normal unitário a esfera
g(x , y , z) = x2 + y2 + z2 − a2 = 0.
Exemplo
Determine o vetor normal unitário do cone
g(x , y , z) = −z +
√
x2 + y2 = 0
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Exerćıcio
Obtenha uma representação da forma g(x , y) ou g(x , y , z),
encontrando as curvas paramétricas (curvas u = cte e v = cte)
das superf́ıcies e vetores ~N = ~ru ×~rv normais a elas.
1. Plano xy, ~r(u, v) = [u, v ]
2. Plano xy em coordenadas polares ~r(u, v) = [u cos v , u sen v ]
3. Cilindro eĺıptico ~r(u, v) = [a cos v , b sen v , u]
4. Parabolóide de revolução ~r(u, v) = [u cos v , u sen v , u2]
5. Cone ~r(u, v) = [au cos v , au sen v , cu]
6. Parabolóide hiperbólico ~r(u, v) = [2u cosh v , u senh v , u2]
7. Parabolóide eĺıptico ~r(u, v) = [3u cos v , 4u sen v , u2]
8. Helicóide ~r(u, v) = [u cos v , u sen v , v ]
9. Elipsóide ~r(u, v) = [2 cos v cos u, 3 cos v sen u, 4 sen v ]
10. Elipsóide ~r(u, v) = [a cos v cos u, b cos v sen u, c sen v ]
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Respostas:
1. Retas, ~N = ~k;
2. Ćırculos, retas, ~N = u~k
3. x2/a2 + y2/b2 = 1, elipses, retas, ~N = [−b cos v , a sen v , 0];
4. x2 + y2 = z , ćırculos, parábolas, ~N = [−2u2 cos v , −2u2sinv , u]
5. az = c
√
x2 + y2, ćırculos, retas, ~N = [−acu cos v , −acu sen v , a2u]
6. x2/4− y2 = z , hipérboles, parábolas,
~N = [−2u2 cosh v , 4u2 senh v , 2u]
7. x2/9 + y2/16 = z , elipses, parábolas,
~N = [−8u2 cos v , −6u2 sen v , 12u]
8. z = tg −1(y/x), hélices, retas horizontais, ~N = [ sen v , − cos v , u]
9. x2/4 + y2/9 + z2/16 = 1, elipses,
~N = [12 cos2 v cos u, 8 cos2 v sen u, 6 cos v sen v ]
10. x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1, elipses,
~N = [bc cos2 v cos u, ac cos2 v sen u, ab sen v cos v ]
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Exerćıcio
Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
12. Plano 5x + y − 3z = 30
13. Plano 4x − 2y + 10z = 16
14. Esfera (x − 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 25
15. Esfera (x + 2)2 + y2 + (z − 2)2 = 1
16. Parabolóide eĺıptico z = 4x2 + y2
17. Cilindro parabólico z = 3y2
18. Cilindro hiperbólico 9x2 − 4y2 = 36
19. Cone eĺıptico z =
√
9x2 + y2
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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies
Respostas:
12. ~r(u, v) = [3u, 3v , 5u + v − 10], ~N = [−15, −3, 9]
13. ~r(u, v) = [u; v ; 1,6− 0,4u + 0,2v ], ~N = [0,4; −0,2, 1]
14. ~r(u, v) = [1 + 5 cos v cos u, −2 + 5 cos v sen u, 5 sen v ],
~N = [25 cos2 v cos u, 25 cos2 v sen u, 25 cos v sen v ]
15. ~r(u, v) = [−2 + cos v cos u, cos v sen u, 2 + sen v ],
~N = [cos2 v cos u, cos2 v sen u, cos v sen v ]
16. ~r(u, v) = [u cos v , 2u sen v , 4u2],
~N = [−16u2 cos v , −8u2 sen v , 2u]
17. ~r(u, v) = [u, v , 3v2], ~N = [0, −6v , 1]
18. r(u, v) = [2 cosh u, 3 sinh u, v ], ~N = [3 cosh u, −2 sinh u, 0]
19. ~r(u, v) = [u cos v , 3u sen v , 3u],
~N = [−9u cos v , −3u sen v , 3u]
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