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10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Parametrização de Superf́ıcies Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 3B Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Representação de Superf́ıcies Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Uma representação paramétrica de um superf́ıcie S no espaço é da forma ~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k Exemplo Determine uma representação paramétrica para o cilindro circular x2 + y2 = a2, −1 ≤ z ≤ 1 tem raio a, altura 2 e simetria em relação ao eixo z. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Exemplo Determine uma representação paramétrica para uma esfera x2 + y2 + z2 = 1. Exemplo Determine uma representação paramétrica para o cone circular z = √ x2 + y2, 0 ≤ z ≤ H. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Todos os vetores tangentes a todas as curvas de uma superf́ıcie S passando por um ponto P de S formam um plano, denominado plano tangente a S em P. Dizemos que o vetor perpendicular ao plano tangente é um vetor normal a S em P. Tal vetor é dado pelo produto vetorial entre ~ru e ~rv ~N = ~ru ×~rv 6= 0 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies O correspondente vetor normal unitário a S em P é ~n = ~N |~N| = ~ru ×~rv |~ru ×~rv | Se S for representada por g(x , y , z) = 0, temos ~n = grad g | grad g | Exemplo Determine o vetor normal unitário a esfera g(x , y , z) = x2 + y2 + z2 − a2 = 0. Exemplo Determine o vetor normal unitário do cone g(x , y , z) = −z + √ x2 + y2 = 0 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Exerćıcio Obtenha uma representação da forma g(x , y) ou g(x , y , z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u = cte e v = cte) das superf́ıcies e vetores ~N = ~ru ×~rv normais a elas. 1. Plano xy, ~r(u, v) = [u, v ] 2. Plano xy em coordenadas polares ~r(u, v) = [u cos v , u sen v ] 3. Cilindro eĺıptico ~r(u, v) = [a cos v , b sen v , u] 4. Parabolóide de revolução ~r(u, v) = [u cos v , u sen v , u2] 5. Cone ~r(u, v) = [au cos v , au sen v , cu] 6. Parabolóide hiperbólico ~r(u, v) = [2u cosh v , u senh v , u2] 7. Parabolóide eĺıptico ~r(u, v) = [3u cos v , 4u sen v , u2] 8. Helicóide ~r(u, v) = [u cos v , u sen v , v ] 9. Elipsóide ~r(u, v) = [2 cos v cos u, 3 cos v sen u, 4 sen v ] 10. Elipsóide ~r(u, v) = [a cos v cos u, b cos v sen u, c sen v ] Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Respostas: 1. Retas, ~N = ~k; 2. Ćırculos, retas, ~N = u~k 3. x2/a2 + y2/b2 = 1, elipses, retas, ~N = [−b cos v , a sen v , 0]; 4. x2 + y2 = z , ćırculos, parábolas, ~N = [−2u2 cos v , −2u2sinv , u] 5. az = c √ x2 + y2, ćırculos, retas, ~N = [−acu cos v , −acu sen v , a2u] 6. x2/4− y2 = z , hipérboles, parábolas, ~N = [−2u2 cosh v , 4u2 senh v , 2u] 7. x2/9 + y2/16 = z , elipses, parábolas, ~N = [−8u2 cos v , −6u2 sen v , 12u] 8. z = tg −1(y/x), hélices, retas horizontais, ~N = [ sen v , − cos v , u] 9. x2/4 + y2/9 + z2/16 = 1, elipses, ~N = [12 cos2 v cos u, 8 cos2 v sen u, 6 cos v sen v ] 10. x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1, elipses, ~N = [bc cos2 v cos u, ac cos2 v sen u, ab sen v cos v ] Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Exerćıcio Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal. 12. Plano 5x + y − 3z = 30 13. Plano 4x − 2y + 10z = 16 14. Esfera (x − 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 25 15. Esfera (x + 2)2 + y2 + (z − 2)2 = 1 16. Parabolóide eĺıptico z = 4x2 + y2 17. Cilindro parabólico z = 3y2 18. Cilindro hiperbólico 9x2 − 4y2 = 36 19. Cone eĺıptico z = √ 9x2 + y2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superf́ıcies Respostas: 12. ~r(u, v) = [3u, 3v , 5u + v − 10], ~N = [−15, −3, 9] 13. ~r(u, v) = [u; v ; 1,6− 0,4u + 0,2v ], ~N = [0,4; −0,2, 1] 14. ~r(u, v) = [1 + 5 cos v cos u, −2 + 5 cos v sen u, 5 sen v ], ~N = [25 cos2 v cos u, 25 cos2 v sen u, 25 cos v sen v ] 15. ~r(u, v) = [−2 + cos v cos u, cos v sen u, 2 + sen v ], ~N = [cos2 v cos u, cos2 v sen u, cos v sen v ] 16. ~r(u, v) = [u cos v , 2u sen v , 4u2], ~N = [−16u2 cos v , −8u2 sen v , 2u] 17. ~r(u, v) = [u, v , 3v2], ~N = [0, −6v , 1] 18. r(u, v) = [2 cosh u, 3 sinh u, v ], ~N = [3 cosh u, −2 sinh u, 0] 19. ~r(u, v) = [u cos v , 3u sen v , 3u], ~N = [−9u cos v , −3u sen v , 3u] Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 3B 10.5 - Parametrização de Superfícies
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