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CÁLCULO TÉCNICO 2 SENAI-RS – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL DEPARTAMENTO REGIONAL DO RIO GRANDE DO SUL CONSELHO REGIONAL Presidente Nato Francisco Renan O. Proença – Presidente do Sistema FIERGS Conselheiros Delegados das Atividades Industriais – FIERGS Titulares Suplentes Manfredo Frederico Koehler Deomedes Roque Talini Astor Milton Schmitt Arlindo Paludo Valayr Hélio Wosiack Pedro Antônio G. Leivas Leite Representantes do Ministério da Educação Titular Suplente Edelbert Krüger Aldo Antonello Rosito Representantes do Ministério do Trabalho e Emprego Titular Suplente Neusa Maria de Azevedo Elisete Ramos Diretor do Departemento Regional do SENAI-RS José Zortéa DIRETORIA REGIONAL DO SENAI-RS José Zortéa – Diretor Regional Paulo Fernando Presser – Diretor de Educação e Tecnologia Jorge Solidônio Serpa – Diretor Administrativo-Financeiro 3 SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL CÁLCULO TÉCNICO Porto Alegre 2004 4 Cálculo Técnico 2004, SENAI-RS Trabalho organizado por técnicos do Centro Tecnológico de Mecânica de Precisão Plínio Gilberto Kroeff, sob a coordenação, orientação e supervisão da Unidade de Negócios em Educação Profissional de Nível Básico e da Diretoria de Educação Tecnológica do Departamento Regional do SENAI-RS Coordenação Geral Paulo Fernando Presser DET Coordenação Técnica Jaures de Oliveira DET/UNEP Coordenação Local Boaz Ungaretti CETEMP Revisão técnica Boaz Ungaretti Maria Inês da Silveira Daudt Diretor/CETEMP Professora/CETEMP Digitação, formatação e revisão lingüística e gramatical Regina Maria Recktenwald consultora Normalização bibliográfica Nelson Oliveira da Silva Bibliotecário/CETEMP Produção gráfica CEP SENAI de Artes Gráficas Henrique d' Ávila Bertaso SENAI – Departamento Regional do Rio Grande do Sul Av. Assis Brasil, 8787 – Bairro Sarandi 91140-001 – Porto Alegre, RS Tel.: (51) 3347-8697 Fax: (51) 3347-8813 e-mail: unep@dr.rs.senai.br SENAI – Instituição mantida e administrada pela Indústria. A reprodução total ou parcial desta publicação por quaisquer meios, seja eletrônico, mecânico, fotocópia de gravação ou outros, somente será permitida com prévia autorização, por escrito, deste Departamento Regional. S 491c SENAI.RS. Cálculo Técnico. Porto Alegre: Unidade de Negócios em Educação Profissional / Diretoria de Educação e Tecnologia, SENAI, 2004. 145 p. il. 1. Matemática I. Título CDU - 51 5 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS............................................................................................................11 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................13 1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO .........................................................................................15 1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO.........................................................................15 1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA ...............................................................................17 1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO..................................17 1.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................18 2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS .......................................19 2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .............................................................................19 2.1.1 Propriedades fundamentais da adição ....................................................................19 2.1.2 Regra prática para efetuar a adição .........................................................................19 2.1.3 Como conferir uma soma .........................................................................................20 2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .....................................................................20 2.2.1 Regra prática para efetuar a subtração ...................................................................20 2.2.3 Como verificar se a subtração está certa ...............................................................21 2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS...............................................................21 2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação.........................................................22 2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação..........................................................22 2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa ..........................................................23 2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS.............................................................................24 2.4.1 Propriedades gerais da divisão................................................................................24 2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão ....................................................................25 2.4.3 Como verificar se a divisão está correta .................................................................27 3 NÚMEROS DECIMAIS .....................................................................................................31 3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS ..........................................................................31 3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................32 3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................................................32 3.3.1 Primeiro caso ............................................................................................................33 3.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................43 6 4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE.............................................................47 4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO ........................................................................................47 4.2 DIVISIBILIDADE.............................................................................................................47 4.2.1 Divisibilidade por 2 ...................................................................................................47 4.2.2 Divisibilidade por 3 ...................................................................................................47 4.2.3 Divisibilidade por 4 ...................................................................................................47 4.2.4 Divisibilidade por 5 ...................................................................................................47 4.2.5 Divisibilidade por 6 ...................................................................................................47 4.2.6 Divisibilidade por 9 ...................................................................................................48 4.2.7 Divisibilidade por 10..................................................................................................48 4.3 NÚMERO PRIMO...........................................................................................................48 4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................48 4.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................49 5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS .................................................................................................51 5.1 LEITURA DE FRAÇÕES................................................................................................51 5.2 TIPOS DE FRAÇÕES ....................................................................................................53 5.2.1 Fração própria ...........................................................................................................53 5.2.2 Fração imprópria .......................................................................................................535.2.3 Fração aparente (imprópria) .....................................................................................54 5.2.4 Número misto ............................................................................................................54 5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE- VERSA..........................................................................................................................54 5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES..........................................................................................54 5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES....................................................................................54 5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR .............................................55 5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES .....................................................................................56 5.7.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................56 5.7.2 Frações de mesmo numerador ................................................................................57 5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes ..........................................57 5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................58 5.8.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................58 5.8.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................58 5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.........................................................................................58 5.9.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................58 5.9.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................59 5.10 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES ................................................................................59 5.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES...............................................................................................59 5.12 CONVERSÃO DE FRAÇÕES ......................................................................................60 5.12.1 Conversão de frações ordinárias em números decimais .....................................60 5.12.2 Conversão de números decimais em frações ordinárias ou números mistos ...60 7 6 REGRA DE TRÊS.............................................................................................................61 6.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES..........................................................................................61 6.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA............................................................................62 6.3 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA .........................................................................62 6.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................64 6.5 PORCENTAGEM...........................................................................................................65 6.5.1 Exercícios ..................................................................................................................67 7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO ...................................................................69 7.1 O METRO E SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS....................................................69 7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILÍMETRO..........................................71 7.3 TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS ...............................................................................73 7.4 POLEGADA ...................................................................................................................75 7.5 CONVERSÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS E VICE-VERSA.............................75 7.6 EXERCÍCIOS.................................................................................................................76 7.7 PAQUÍMETRO...............................................................................................................78 7.7.1 Princípio do Vernier de 0,1 mm ................................................................................78 7.7.2 Paquímetro – Sistema inglês ordinário ...................................................................80 7.7.3 Uso do Vernier (Nônio) .............................................................................................80 7.7.4 Exercícios ..................................................................................................................84 7.7.5 Exemplos de paquímetros ........................................................................................85 8 GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................87 8.1 POLÍGONO....................................................................................................................87 8.1.1 Polígono regular........................................................................................................87 8.1.2 Polígono irregular .....................................................................................................87 8.2 PERÍMETRO..................................................................................................................87 8.3 CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS ................................................................89 8.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE.............................91 8.5 MODO PRÁTICO DE CALCULAR ÁREAS ....................................................................94 8.5.1 Área do retângulo......................................................................................................94 8.5.2 Área do quadrado......................................................................................................95 8.5.3 Área do paralelogramo .............................................................................................97 8.5.4 Área do triângulo.......................................................................................................98 8.5.5 Área do trapézio ........................................................................................................99 8.5.6 Área do losango ........................................................................................................99 8.5.7 Área do círculo ........................................................................................................100 8.6.1 Exercícios ................................................................................................................102 8.7.1 Aplicação da tabela de constante ..........................................................................103 8.8 ÂNGULOS ...................................................................................................................104 8.8.1 Ângulos consecutivos ............................................................................................104 8 8.8.2 Ângulos adjacentes.................................................................................................105 8.8.3 Bissetriz ...................................................................................................................105 8.8.4 Ângulos opostos pelo vértice ................................................................................105 8.8.5 Ângulo reto ..............................................................................................................106 8.8.6 Ângulo agudo ..........................................................................................................106 8.8.7 Ângulo raso .............................................................................................................106 8.8.8 Ângulos complementares, suplementares e replementares................................107 8.8.9 Medidas de ângulos ................................................................................................107 8.8.10 Adição de ângulos.................................................................................................107 8.8.11 Subtração de ângulos ...........................................................................................108 8.9 TEOREMA DE PITÁGORAS........................................................................................109 8.9.1 Exercícios – Relação de Pitágoras.........................................................................110 9 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................................111 9.1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS) ...................................................111 9.1.1 Prismas ....................................................................................................................112 9.1.2 Pirâmides .................................................................................................................113 9.1.3 Cilindro, cone e esfera ............................................................................................114 9.2 CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .........................................115 9.2.1 Mudança de unidades de volume...........................................................................116 9.2.2 Cálculo de volumes.................................................................................................116 9.2.3 Formulário para o cálculo de volumes ..................................................................120 10 TRIGONOMETRIA........................................................................................................121 10.1 SENO DE UM ÂNGULO AGUDO...............................................................................122 10.1.1 Exercícios ..............................................................................................................123 10.2 CO-SENO DE UM ÂNGULO AGUDO ........................................................................124 10.2.1 Exercícios ..............................................................................................................125 10.3 TANGENTE DE UM ÂNGULO ...................................................................................126 10.3.1 Exercícios ..............................................................................................................126 10.4 CO-TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO ...............................................................127 10.4.1 Exercícios ..............................................................................................................127 10.5 APLICAÇÃO PRÁTICA ..............................................................................................128 10.5.1 Exercícios ..............................................................................................................128 11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE....................................................................135 11.1 DISTINÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME........................................................135 11.1.1 Transformação de medidas ..................................................................................135 11.2 MEDIDA DE MASSA..................................................................................................137 11.2.1 Unidade fundamental ............................................................................................137 11.2.2 Mudança de unidade .............................................................................................137 9 11.2.3 Exercícios ...............................................................................................................138 11.3 MASSA ESPECÍFICA ................................................................................................138 12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc ....................................................................................141 12.1 ROTAÇÕES...............................................................................................................141 12.2 DESIGNAÇÃO ...........................................................................................................142 12.3 TABELA .....................................................................................................................144 REFERÊNCIAS .................................................................................................................145 10 11 LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Polias ..................................................................................................................63 Figura 2 – Diâmetro de polias ..............................................................................................63 Figura 3 – Engrenagens de polias........................................................................................64 Figura 4 − Paquímetro .........................................................................................................78 Figura 5 − Escala .................................................................................................................78 Figura 6 − Nônio ..................................................................................................................79 Figura 7 – Escala nônio .......................................................................................................79 Figura 8 – Posição 0,1 ........................................................................................................79 Figura 9 – Posição 0,2 ........................................................................................................79 Figura 10 – Posição 0,3 .......................................................................................................79 Figura 11 – Sistema Inglês Ordinário ...................................................................................80 Figura 12 – Posição 1/16” ....................................................................................................80 Figura 13 - Posição 1/8” .......................................................................................................80 Figura 14 – Posição 5/8” ......................................................................................................80 Figura 15 - Nônio em polegadas ..........................................................................................80 Figura 16 - Nônio e escala em polegadas ............................................................................81 Figura 17 – Posição 1/128” ..................................................................................................81 Figura 18 – Posição 1/64” ....................................................................................................81 Figura 19 – Posição 3/128” ..................................................................................................81 Figura 20 - Posição 33/128” .................................................................................................82 Figura 21 - Posição 45/64” ...................................................................................................82 Figura 22 - Posição 49/128” .................................................................................................82 Figura 23 - Posição 37/64” ...................................................................................................83 Figura 24 - Posição 13/32” ...................................................................................................83 Figura 25 - Posição 1 39/128” .............................................................................................83 Figura 26 − Medição interna.................................................................................................85Figura 27 − Medição externa................................................................................................85 Figura 28 − Medição de profundidade..................................................................................85 Figura 29 − Paquímetro de profundidade .............................................................................85 Figura 30 – Paquímetro com bicos longos, para medição em posição profunda ..................85 Figura 31 − Paquímetro de altura.........................................................................................86 12 Figura 32 − Paquímetro de altura equipado com relógio comparador ..................................86 Figura 33 − Paquímetro de nônio duplo para medição da espessura de dente de engrenagem.......................................................................................................86 Figura 34 – Ângulo Ô .........................................................................................................104 Figura 35 – Ângulos consecutivos......................................................................................105 Figura 36 – Ângulos adjacentes .........................................................................................105 Figura 37 – Bissetriz...........................................................................................................105 Figura 38 – Ângulos opostos pelo vértice...........................................................................106 Figura 39 – Ângulo reto......................................................................................................106 Figura 40 – Ângulo agudo ..................................................................................................106 Figura 41 – Ângulo raso .....................................................................................................106 Figura 42 – Triângulo retângulo .........................................................................................109 Figura 43 − Quadrados dos catetos ...................................................................................109 Figura 44 − Retângulo e suas dimensões ..........................................................................111 Figura 45 − Retângulo e suas dimensões em posição alternada........................................111 Figura 46 − Figura geométrica ...........................................................................................112 Figura 47 − Prisma.............................................................................................................112 Figura 48 − Prismas retos ..................................................................................................113 Figura 49 − Pirâmide..........................................................................................................113 Figura 50 − Nomes das pirâmide........................................................................................114 Figura 51 − Cilindro............................................................................................................114 Figura 52 − Cone ...............................................................................................................114 Figura 53 − Esfera..............................................................................................................115 Figura 54 - Volumes...........................................................................................................115 Figura 55 – Litro .................................................................................................................136 13 INTRODUÇÃO Em grego mathema vem da raiz manthanein, que quer dizer aprendizagem. Este fascículo tem caráter instrumental. Serve como um conjunto de ferramentas e estratégias para serem aplicadas a diversas áreas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. Elaborado de forma concisa e clara, trata-se de valioso subsídio em sala de aula, que permite otimizar a gestão de tempo e o rendimento do grupo, transformando-se em ferramenta essencial para o desempenho do professor, assim como promover a preparação do aluno para que execute os cálculos matemáticos básicos necessários à interpretação e ao pleno desempenho na execução de projetos, operacionalização de máquinas, ferramentas e equipamentos para a confecção de produtos industriais. 14 15 1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO Números naturais são todos os números inteiros e positivos do zero até o infinito (∞). 1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO Os objetos podem ser contados em grupos maiores ou menores, conforme a conveniência. Assim, contam-se ovos em dúzia, pentes em centos, grampos em grosas. Dúzias e centos passam a ser base de contagem. Quando se compram duas dúzias de ovos, deve-se receber duas vezes uma dúzia. Nem sempre é fácil avaliar um total quando não se tem com que compará-lo. O hábito de comparar as quantidades contadas nos dedos das mãos talvez tenha contribuído para que se estabelecesse o sistema decimal de numeração. No sistema decimal de numeração, a base de contagem é dez. Logo, são necessárias 10 unidades para formar uma dezena ( )10110 =× , dez dezenas para formar uma centena ( )1001010 =× e dez centenas para formar uma unidade de milhar ( )100010010 =× . O sistema decimal representa as quantidades usando a regra da posição decimal. Cada posição indica um tipo de grupo: unidade, dezenas, centenas, milhar etc., e cada algarismo indica a quantidade de grupos: { }∞= ,.....5,4,3,2,1N 1000 100 10 1 16 Um número com um algarismo: por exemplo, o algarismo 2, só tem uma posição: é a posição das unidades. As outras posições aparecem à esquerda da posição das unidades. Posição das unidades 2 Um número com dois algarismos – como 82 – tem duas posições: a das unidades e das dezenas, que fica logo à esquerda da posição das unidades. Isso indica que a dezena vale 10 vezes mais que a unidade. posição das dezenas posição das unidades 8 2 Um número com três algarismos – como 982 – tem três posições: a das unidades, a das dezenas e a das centenas. A posição das centenas fica logo à esquerda da posição das dezenas. Isso indica que a centena vale 10 vezes mais que a dezena. Posição das centenas posição das dezenas posição das unidades 9 8 2 Um número com quatro algarismos – como 1 982 – tem quatro posições: a das unidades, a das dezenas, a das centenas e a das unidades de milhar. Logo à esquerda da posição das centenas fica a posição das unidades de milhar. Isso indica que a unidade de milhar vale 10 vezes mais que a centena. Posição das unidades de milhar posição das centenas posição das dezenas posição das unidades 1 9 8 2 Cada posição representa um grupo que é 10 vezes maior que o grupo que fica na posição logo à direita. Por exemplo, a centena é 10 vezes maior do que a dezena. unidades de milhar centenas dezenas unidades A isso se chama regra da posição decimal. Ao utilizá-la, pode-se usar mais posições colocando novos algarismos para a esquerda; as posições representam grupos cada vez maiores. 17 No exemplo a seguir estão marcadas as posições do número 71 329 081 (setenta e um milhões, trezentos e vinte e nove mil e oitenta e um). 7 dezenas de milhão 1 unidade de milhão 3 centenas de milhar 2 dezenas de milhar 9 unidades de milhar 0 centenas 8 dezenas 1 unidade 7 1 3 2 9 0 8 1 campo do milhão campo do milhar campo da centena 1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA A decomposição de um número em classes de três algarismos é feita com um pequeno intervalo entre os algarismos que separam as classes. Não se deve usar sinais, como o ponto ou a vírgula. Vejam-se os exemplos: 85 307 → lê-se oitenta e cinco mil, trezentos e sete (unidades). 9 666 201 → lê-se nove milhões, seiscentos esessenta e seis mil e duzentos e um (unidades). 3 567 908 315 → lê-se três bilhões, quinhentos e sessenta e sete milhões, novecentos e oito mil e trezentos e quinze (unidades). 1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO Cada algarismo significativo de um número tem dois valores: o valor absoluto e o valor relativo. Valor absoluto é o que ele tem isoladamente do número a que pertence, e valor relativo é aquele que o algarismo recebe de acordo com o lugar que ocupa no número. Veja-se o exemplo: No número 4 602 tem-se que: valores relativos 2 – representa as unidades simples ............................................ 2 0 – representa as dezenas .......................................................... 00 6 - representa as centenas ......................................................... 600 4 – representa as unidades de milhar ........................................4 000 4 602 18 1.4 EXERCÍCIOS 1) Dizer quais os algarismos que representam as unidades simples, as dezenas e as centenas do número 453. Solução: em 453 tem-se: 3..... unidades .... simples .....3 5..... dezenas ....... ....... ...50 4..... centenas ...... ....... ..400 2) Quantas unidades, dezenas e centenas há em 726 unidades? Solução: em 726 há 7 centenas e 2 dezenas; e, como cada centena vale dez dezenas, o total de dezenas é 72. 7 x 100 = 700 → 7 centenas 70 x 10 = 700 → 70 dezenas 2 x 10 = 20.... → 2 dezenas 3) Qual é o valor relativo de 5 em cada um dos números: 12 502 e 36 715? Solução: em 12 502 tem-se 500 como valor relativo em 36 715 tem-se 5 como valor relativo 4) Quantas dezenas há em 850 unidades? E quantas centenas? 5) Observar o número 293 e dizer qual é o algarismo de maior valor absoluto e qual é o algarismo de maior valor relativo. 6) No número 3 472, quais são os algarismos das unidades simples, das dezenas e das centenas e das unidades de milhar? 7) Escrever o menor e o maior número formado por dois algarismos significativos diferentes. 8) Qual é o valor relativo de 8 em cada um dos números: 8 315 e 12 080? 19 2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS 2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Adição é a operação que permite reunir todas as unidades de diversos números em um só número. O resultado desta operação chama-se soma ou total, e os números que se somam, parcelas ou termos. Esta operação permite resolver todos os problemas práticos nos quais ocorre o ato de reunir ou juntar os objetos da mesma espécie ou as medidas de diversas grandezas referentes à mesma unidade. 2.1.1 Propriedades fundamentais da adição São duas as propriedades fundamentais: 2.1.1.1 Comutativa – A ordem das parcelas não altera a soma. Exemplos: 4 + 3 é igual a 3 + 4 (ambas valem 7) 6 + 8 + 1 = 8 + 6 + 1 = 1 + 8 + 6 (todas valem 15). 2.1.1.2 Associativa – A adição de vários números não se altera se algumas de suas parcelas forem substituídas por sua soma efetuada. Exemplo: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 ou 8 + 3 + 5 = 11 + 5 NOTA: Inversamente pode-se aplicar a propriedade dissociativa, isto é, substituir parcela por outras que a tenham por soma. Exemplo: 11 + 5 = (8 + 3) + 5 2.1.2 Regra prática para efetuar a adição Para somar diversos números naturais, escrevem-se uns embaixo dos outros, de modo que fiquem dispostos em colunas ou em algarismos da mesma ordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas... 20 Exemplo: Para somar 125 + 13 + 9, escreve-se da seguinte maneira: 125 + 13 9 Somam-se os algarismos da última coluna à direita, escreve-se embaixo dela o algarismo que representa as unidades simples da soma; as dezenas, caso existam, são somadas aos algarismos da coluna das dezenas. Procede-se da mesma forma até a última coluna à esquerda, quando se obtém o resultado total. No exemplo: 1 125 13 + 9 147 2.1.3 Como conferir uma soma Pode-se comparar o resultado de uma soma através da prova real, que é baseada na propriedade comutativa. Desse modo, pode-se refazer a operação depois de ter trocado a ordem das parcelas. Na prática, equivale a fazer a adição de baixo para cima. Se estiver correta, encontra-se o mesmo resultado. Exemplo: 1 024 89 20 132 20 132 + 89 + 1 024 21 245 21 245 2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Subtração é a operação que envolve ou representa a idéia de tirar, deduzir ou diminuir. O número do qual se tiram unidades é chamado minuendo; o que é tirado dele chama-se subtraendo, e o resultado é chamado resto ou diferença. A subtração só é possível quando o subtraendo é menor que o minuendo ou, no máximo, igual a ele. Se os termos forem iguais, o resultado será nulo. 2.2.1 Regra prática para efetuar a subtração Para efetuar a subtração de dois números escreve-se o subtraendo embaixo do minuendo, de modo que fiquem dispostos em colunas os algarismos de mesma ordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas e centenas embaixo de centenas. 21 Exemplo: 8 563 – 928 8 563 – 928 resultado: 7 635 2.2.3 Como verificar se a subtração está certa Quando se faz uma subtração pode-se tirar a prova, isto é, pode-se verificar se a subtração está correta. Para isso, soma-se o subtraendo com o resto ou diferença. Exemplo: 8 563 7 635 – 928 + 928 7 635 8 563 A subtração está certa, porque o número 8 563 – obtido como resultado na adição – coincide com o minuendo da subtração, que também é 8 563. 2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Multiplicar é somar parcelas iguais. Exemplo: 4 + 4 + 4 = 12 4 x 3 = 12 ⇒ que se lê: quatro multiplicado por três ou quatro vezes três. Nesta adição, a parcela (4) que se repete é chamada multiplicando; o número de vezes (3) que a parcela aparece é chamado multiplicador, e o resultado (12) chama- se produto. Desse modo, tem-se a seguinte definição: Multiplicação é a operação que permite somar um número chamado multiplicando tantas vezes como parcela quantas forem as unidades do outro número, chamado multiplicador. A multiplicação é indicada por um X colocado entre os dois números chamados fatores. Costuma-se, também, indicar a multiplicação de dois números por um ponto colocado entre os fatores. Exemplo: 1234 =× OBSERVAÇÕES: 1.ª Quando o multiplicando ou o multiplicador for 0, o produto será nulo. Exemplo: 050 =× ⇒ porque 000000 =++++ 2.ª Quando o multiplicando for 1, o produto será igual ao multiplicador. Exemplo: 441 =× ⇒ porque 41111 =+++ 22 3.ª Ao multiplicar um número natural por 2, obtém-se o dobro desse número; por 3, o triplo; por 4, o quádruplo etc. Exemplos: 5 x 2 = 10 5 + 5 = 10 5 x 3 = 15 5 + 5 + 5 = 15 5 x 4 = 20 5 + 5 + 5 + 5 = 20 2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação São duas as propriedades fundamentais: 2.3.1.1 Comutativa – A ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo: 4 x 3 é igual a 3 x 4 (ambas iguais a 12). 2.3.1.2 Distributiva em relação à soma e à diferença indicada – Para multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma de suas parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. Exemplos: (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 (7 – 4) x 5 = 7 x 5 - 4 x 5 Esta propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos. 2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação Mostram-se duas regras: 1.ª A multiplicação de dois números naturais de um só algarismo é feita de memória. Os resultados dessas multiplicações encontram-se na tábua de multiplicação de Pitágoras. Como exemplo, veja-se como saber o resultado da multiplicação 7 x 8: 1 2 3 4 5 6 7 8 9X 1 1 2 3 4 5 6 7 89 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 23 Procura-se o número 8 na primeira coluna vertical e acompanha-se a linha do 8 na horizontal; depois busca-se o número 7 na primeira linha horizontal e acompanha-se a coluna do 7 na vertical. Onde as duas linhas se encontram, acha-se o resultado. Solução: 7 x 8 = 56 2.ª A multiplicação de um número natural qualquer por outro de um só algarismo é feita multiplicando-se o valor absoluto do multiplicador por cada um dos algarismos do multiplicando, a partir da direita. De cada produto parcial escreve-se o algarismo das unidades, enquanto as dezenas se juntam ao produto parcial sucessivo. O último produto obtido é escrito por completo. Exemplo: 8329 x 7 1º) 6379 =× 2º) 1472 =× 3º) 2173 =× 4º) 5678 =× 2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa 2.3.3.1 Prova real – É feita refazendo-se a operação depois de trocada a ordem dos fatores. Pela propriedade comutativa, deve-se encontrar o mesmo resultado se a operação estiver certa. Exemplo: 236 25 X 25 x 236 1180 150 472 75 5 900 50 . 5 900 2.3.3.2 Também é possível fazer a prova dividindo o produto da multiplicação (5 900) pelo multiplicador (25). Para que o cálculo esteja correto, deve-se obter como resultado o multiplicando (236). 20 6+ 23 2+ 58 2+ 58303 7 8329 622 × 24 Exemplo: 5 900 25 50 0 236 090 75 0 150 150 000 2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Divisão é a operação que permite verificar quantas vezes um número está contido em outro. O maior número (o que contém) chama-se dividendo; o menor (o que está contido), divisor; o número de vezes que o dividendo contém o divisor é chamado quociente. Se o divisor está contido exatamente um certo número de vezes no dividendo, a divisão é exata; caso contrário, é aproximada. Chama-se resto a diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente. A divisão é indicada pelos sinais : ou ÷ que se lêem “dividido por”. Exemplo: – divisão exata 15 é o dividendo 15 : 3 = 5 onde 3 é o divisor 5 é o quociente. – divisão aproximada 17 3 onde 17 é o dividendo 15 5 3 é o divisor 02 5 é o quociente 2 é o resto. 2.4.1 Propriedades gerais da divisão 1.ª Um número dividido por si mesmo resulta como quociente a unidade. Exemplo: 188 =÷ porque 818 =× 2.ª Um número dividido pela unidade resulta como quociente o próprio número. Exemplo: 155 =÷ porque 515 =× 25 3.ª Zero dividido por qualquer outro número resulta como quociente zero. Exemplo: 070 =÷ porque 070 =× 4.ª Não tem sentido a divisão quando o divisor é zero. Assim, por exemplo, =÷ 07 ? (impossível), pois não existe número algum que, multiplicado por 0, dê 7. Quando um número é dividido por 2 costuma-se dizer que se tomou sua metade; por 3, sua terça parte; por 4, sua quarta parte etc. Para as divisões exatas vale, também, a propriedade distributiva, isto é: ( ) 31232431224 ÷+÷=÷+ ( ) 31232431224 ÷−÷=÷− Do estudo feito, observa-se que: a) O resto de uma divisão aproximada é sempre menor que o divisor. Exemplo: 39 5 10 7 35 0 7 7 1 04 3 b) O resto de uma divisão exata é zero. Exemplo: 24 8 24 0 3 00 2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão 1.ª Lembrando da tábua de multiplicação de Pitágoras, pode-se fazer de memória as divisões em que o divisor tem um só algarismo e o quociente é menor que 10. Assim, por exemplo, na divisão de 30 por 4 o quociente é 7 e o resto é 2, porque 30 = 7 x 4 + 2 2.ª Para dividir um número qualquer por outro, separa-se no dividendo, a partir da esquerda, um número que tenha o divisor no mínimo uma vez e no máximo nove vezes. A parte separada é o primeiro dividendo parcial. Exemplo: 5 639 15 Divide-se o número que foi separado no dividendo (56) pelo divisor (15), obtendo o primeiro algarismo do quociente (3). 5 639 15 3 26 A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (3) pelo divisor (15) e subtrai-se o produto do primeiro dividendo parcial (56), tendo como resultado o resto parcial (11). 5 639 15 45 0 3 11 Divide-se o segundo dividendo parcial (113) pelo divisor (15) e encontra-se o segundo algarismo do quociente (7). 5 639 15 45 0 37 113 A seguir multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (7) pelo divisor (15) e subtrai-se o produto (105) do segundo dividendo parcial (113), tendo como resultado o resto parcial (8). 5 639 15 45 0 37 113 105 008 À direita do resto obtido (8) baixa-se o algarismo seguinte do dividendo (9); obtém-se, assim, o terceiro dividendo (89), que é o último desta divisão. 5 639 15 45 0 37 113 105 0 0089 Divide-se o terceiro dividendo (89) pelo divisor (15) e encontra-se o terceiro algarismo do quociente (5). 5 639 15 45 0 375 113 105 0 0089 A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (5) pelo divisor (15) e subtrai-se o produto do terceiro dividendo (89). 27 5 639 15 45 0 375 113 105 0 0089 75 14 Está terminada a divisão. Obteve-se como resultado do cálculo 375 e como resto, 14. 2.4.3 Como verificar se a divisão está correta Faz-se a prova real. A prova real da divisão é feita multiplicando-se o quociente (375) pelo divisor (15) e somando este produto com o resto (14). Se a operação estiver correta, deve-se encontrar o dividendo (5 639). 5 639 15 45 0 375 113 x 15 105 0 5 625 0089 + 14 75 5 639 14 2.4.4 Divisão de números naturais com zeros no final dos números Para facilitar a divisão de números naturais com zeros no final dos números, deve-se cortar o mesmo número de zeros no dividendo e no divisor e fazer a divisão normalmente, como já aprendido. Exemplos: 1 680 40 6 000 80 16 0 42 56 0 75 008 040 8 0 40 0 0 00 2.5 POTÊNCIA Chama-se potência de um número o produto cujos fatores são todos iguais a ele. Exemplo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 Representação: 35 = 243 → lê-se três elevado à quinta potência. - o número 3 é denominado base; - o número 5, expoente ou grau; - o número 243, produto de todos os fatores repetidos, é a potência. 28 2.5.1 Regras práticas de potenciação 1.ª Para multiplicar potências semelhantes (com mesmos expoentes) multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente. Exemplos: 34 x 44 = 124 82 x 42 = 322 2.ª Para dividir potências semelhantes dividem-se as bases e conserva-se o expoente. Exemplos: 83 ÷ 23 = 43 42 ÷ 22 = 22 3.ª Para multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes e conserva-se a base. Exemplos: 32 x 33 x 34 = 32+3+4 = 39 73 x 74 = 73+4 = 77 4.ª Para dividir potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Exemplos: 37 ÷ 34 = 37-4 = 33 54 ÷ 53 = 54-3 = 51 5.ª Para elevar uma potência a outra potência multiplicam-se os expoentes. Exemplos: (22)5 = 210 (33)4 = 312 6.ª Para elevar uma fração a uma potência elevam-se os dois termos a essa potência. Exemplos: 7.ª Qualquer número diferente de zero, elevado a um expoente negativo, é igual ao inverso do mesmo número, com expoente positivo. Exemplo: 8 1 2 12 3 3 == − OBSERVAÇÕES: a) 18 = 1 (um) 1 elevado qualquer expoente será sempre 1. b) 21 = 2 qualquer número elevado a expoente 1 não se altera. c) 70 = 1 qualquer número elevado a expoente zero será sempre 1. 35 333 5 3 = 292.5.2 Exercícios 1. Calcular as potências: 2. Calcular o quadrado de 133. 3. Calcular o quadrado de 125. 4. Calcular o cubo de 3. 5. Calcular o cubo de 9. 6. Calcular a diferença entre o cubo de 6 e o quadrado de 7. 7. Calcular o produto da diferença entre o quadrado de 11 e o quadrado de 9 por 15. 8. Calcular a divisão do cubo de 8 pelo quadrado de 4. 9. Calcular as seguintes expressões: 82 + 33 + 52 + 122 + 112 + 73 = 132 - 92 + 152 - 202 + 63 + 42 = = = =÷ =× = = = = − 2 2 35 42 2 1 0 2 4 )8 40 )7 33 )6 22 )5 7 )4 175 )3 5 )2 7 )1 ( ) ( ) = = =× =÷ = = = = − 3 3 3 3 2 2 2 2 4 1 )16 5 3 )15 42 )14 26 )13 1000 )12 100 )11 8 )10 2 )9 30 10. Controle mensal da produção de uma indústria de ferramentas segundo a capacidade horária de fabricação das máquinas, por setor. Calcular as unidades fabricadas. Especificação do produto Setor Produção horária Horas trabalhadas Unidades fabricadas chaves de boca ¾” alicate bico redondo martelo modelo 00/20 chave Allen brocas ½” alargadores 3/8” chave de fenda 4x¼” A B C D E A D 14 500 324 867 285 620 255 117 35 25 40 38 27 18 29 Total das unidades fabricadas O quadro abaixo representa a produção mensal de uma máquina. Sabendo que a empresa trabalha 21 dias por mês, à razão de 8 horas por dia, calcular o número de peças fabricadas. a) durante 1 dia de trabalho b) durante 1 hora de trabalho. Especificação do produto Produção mensal Produção diária Produção horária peça 7-04 peça 185/B peça 04-12 peça BC-7 peça KL-24 peça 35-12 peça ZY peça 400.02 672 840 1 344 2 016 2 520 1 512 7 392 1 008 31 3 NÚMEROS DECIMAIS Decimal é o número que tem uma parte (inteira) à esquerda da vírgula e outra parte, a decimal, à direita. Exemplo: 3,125. Os algarismos à esquerda da vírgula representam o número de unidades inteiras, e os números à direita da vírgula representam, sucessivamente, décimos, centésimos, milésimos etc. dessa unidade. O grupo de algarismos à esquerda da vírgula denomina-se parte inteira; o da direita, parte decimal. 3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS Exemplos de leitura dos números decimais: trezentos e quatorze centésimos sete mil, quatrocentos e oitenta e cinco milésimos duzentos e cinco centésimos dois mil e cinco milésimos. Na outra forma de leitura, é necessário conhecer os décimos, centésimos e milésimos, e também as posições decimais. Lê-se primeiramente o número que representa a parte inteira, seguido do nome unidades, e depois a parte decimal, dando a designação da unidade representada pelo último algarismo da direita. Se a parte inteira for nula, lê- se somente a parte decimal. São exemplos: ⇒623,15 15 inteiros e 623 milésimos ⇒72,2 2 inteiros e 72 centésimos ⇒8543,3 3 inteiros e 8 543 décimos de milésimos ⇒01856,0 1 856 centésimos de milésimos ⇒02,0 2 centésimos ⇒001,0 1 milésimo →= 100 31414,3 →= 1000 7485485,7 →= 100 20505,2 →= 1000 2005005,2 32 O quadro a seguir apresenta as posições decimais do número 4,918463. in te iro s dé ci m os ce nt és im os m ilé si m os dé ci m os d e m ilé si m o ce nt és im os de m ilé si m o m ili on és im o quatro inteiros, novecentos e dezoito mil e quatrocentos e sessenta e três milionésimos 4, 9 1 8 4 6 3 Se for necessário escrever um número decimal que tenha partes ainda menores que o milionésimo, pode-se usar posições cada vez mais para a direita. 3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Compor é formar um número juntando seus grupos. Exemplos: Qual é o número que contém 3 dezenas, 2 unidades, 8 décimos, 4 centésimos e 5 milésimos? O número decimal formado é: 32,845 Qual é o número que contém 4 unidades, 6 décimos, 2 centésimos e 3 milésimos? O número decimal formado é: 4,623 Por outro lado, decompor um número decimal é dar o valor de cada algarismo dele. Exemplos: 43,265 – A posição dos algarismos indica que esse número é formado por: 4 dezenas, 3 unidades, 2 décimos, 6 centésimos e 5 milésimos. 21,874 – Ele é formado por: 2 dezenas, 1 unidade, 8 décimos, 7 centésimos e 4 milésimos. 3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Comparar números decimais consiste em descobrir qual é o maior. Quando dois números decimais têm as unidades inteiras diferentes, é muito fácil saber qual é o maior. Neste caso, o maior é aquele que tem a parte antes da vírgula, inteira, maior. 33 Exemplos: Qual é o maior: 2,31 ou 1,52? Logo se vê que 2,31 é maior que 1,52, porque 2 é maior que 1. Do mesmo modo, o número 11,03 é maior que 9,12 porque 11 é maior que 9 e o número 12,5 é maior que 10,628 porque 12 é maior que 10. Mostra-se agora como descobrir o número decimal que é maior quando as unidades inteiras são iguais. 3.3.1 Primeiro caso Observando os números 3,15 e 3,12, verifica-se que têm unidades inteiras iguais antes da vírgula, e também a mesma quantidade de posições depois da vírgula. Os dois números têm duas posições decimais depois da vírgula. Neste caso, é só comparar: é maior o número que tem a parte decimal maior. Assim, 3,15 é maior que 3,12, porque 15 é maior que 12. 3.3.2 Segundo caso Observando agora os números 6,15 e 6,7, vê-se que têm unidades inteiras iguais e partes decimais com quantidade diferente de posições depois da vírgula. O primeiro tem dois algarismos depois da vírgula, e o segundo só tem um. Neste caso, para saber qual é o maior, iguala-se a quantidade de casas decimais colocando zeros no número que tiver menos casas. Assim: 6,15 e 6,70. Em seguida, vê-se qual dos dois tem a parte decimal maior. No exemplo, 6,7 é maior que 6,15 porque: – as partes inteiras são iguais (6 e 6); – ao igualar o número de casas vê-se que 70 é maior que 15. Em outro exemplo: 8,3 é maior que 8,125 porque: – as partes inteiras são iguais (8 e 8); – ao igualar o número de casas da parte decimal colocando zeros deixam-se os dois números com três casas: 8,300 e 8,125; – vê-se que 300 é maior que 125. 3.4 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS DECIMAIS 3.4.1 Adição de números decimais Para somar um número decimal deve-se escrever os números de maneira que as vírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a soma exatamente como se faz com os números naturais. Depois, para completar a soma, coloca-se a vírgula no resultado. 34 Exemplo: Efetuar a soma: 5,135 + 103,61 + 237,402= 346,147 5,135 103,61 + 237,402 346,147 A vírgula do resultado da soma deve ficar abaixo das demais vírgulas. Às vezes torna-se necessário somar números inteiros (números sem vírgulas) com números decimais (números com vírgula). Neste caso, para a montagem da conta considera-se que há uma vírgula logo após o número inteiro. Exemplo: Efetuar a soma: 8,23 + 13= 21,23 8,23 + 13,00 21,23 Observe-se que a vírgula que se considera existir no número 13 ficou embaixo da vírgula do número decimal. 3.4.1.1 Soma de medidas – Para somar medidas, o procedimento é o mesmo utilizado para efetuar adições ou subtrações de números naturais e números decimais. As medidas a ser somadas precisam estar na mesa unidade. Exemplo: Para somar 3,2 m + 25,1 m 3,2 m a unidade de medida é o metro + 25,1 m a unidade de medida é o metro 28,3 m a unidade de medida é o metro 3.4.2 Subtração de números decimais Para subtrair um número decimal, deve-se escrever os números de maneiraque as vírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se a subtração exatamente como é feito com números naturais. Depois, para completar a subtração, é necessário colocar a vírgula no resultado. Exemplo: Efetuar a seguinte subtração: 228,943 - 117,540 228,943 – 117,540 111,403 A vírgula do resultado da subtração deve ficar abaixo das demais vírgulas. Às vezes precisa-se subtrair números inteiros (números sem vírgula) de números decimais (números com vírgula), ou subtrair números decimais (números com vírgulas) de números inteiros (números sem vírgula). 35 Exemplos: 9,453 5 - 7 - - 3,22 Para facilitar a operação, coloca-se a vírgula no número natural e preenchem-se as posições vazias com zeros. 9,453 5,00 - 7.000- - 3,22 Depois, efetua-se a operação: 9,453 5,00 - 7.000- - 3,22 2,453 1,78 3.4.3 Multiplicação de números decimais 3.4.3.1 Multiplicação de números decimais por números naturais – Inicialmente, faz- se a multiplicação como nos números naturais. 12,6 x 4 504 Agora só falta pôr a vírgula no resultado. Dos números que foram multiplicados, um possui uma casa decimal (12,6, isto é, um algarismo depois da vírgula). Neste caso, o resultado ficará com uma casa decimal, uma casa após a vírgula: 12, 6 este fator tem uma posição decimal x 40 50, 4 o produto ou resultado tem uma posição decimal Quando se multiplica um número decimal que tem duas posições decimais por um número natural, o resultado também fica com duas posições decimais, isto é, dois algarismos depois da vírgula. Exemplo: 2, 14 este fator tem duas posições decimais x 2 0 4, 28 o produto ou resultado tem duas posições decimais. 36 Quando se multiplica um número decimal que tem três posições decimais por um número natural, o resultado também fica com três posições decimais, isto é, três algarismos depois da vírgula. Exemplo: 2, 314 este fator tem três posições decimais x 5 0 11, 570 o produto ou resultado tem três posições decimais. Da mesma maneira, ao multiplicar um número decimal com quatro casas decimais por um número natural, o resultado terá quatro casas decimais, e assim por diante. 3.4.3.2 Multiplicação de números decimais por números decimais – Também neste caso, a única diferença entre a multiplicação com números naturais e a multiplicação com números decimais é a vírgula. Exemplo: 2,7 uma casa decimal Serão somadas as casas decimais e contadas x 1,4 0 uma casa decimal no resultado, da direita para a esquerda. 108 + 27 3,78 duas casas decimais − − , 7 2 casas ,78 duas casas após a vírgula − − , 4 Outros exemplos: 13,58 duas casas decimais x 3,6 0 uma casa decimal 8148 +4074 0 48,888 três casas decimais Neste exemplo, o resultado ficou com três casas decimais, porque os dois fatores juntos têm três casas decimais após a vírgula. 14,59 duas casas decimais x 1,25 0 duas casas decimais 7295 2918 + 1459 0 18,2375 quatro casas decimais Neste exemplo, o resultado ficou com quatro casas decimais porque os dois fatores juntos têm quatro casas decimais. 37 3.4.4 Divisão de números decimais A divisão é o processo inverso da multiplicação. Assim, nesta operação, ao invés de somar, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo do número de posições decimais do divisor. Exemplo: 4 , 9 5 0 ÷ 2, 7 5 = 1 , 8 três duas uma posições posições posição decimais decimais decimal 3.4.4.1 Divisões cujo dividendo tem maior número de posições decimais que o divisor 1.º exemplo: 3,22 ÷ 2,3 = Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem naturais. 3,22 2,3 322 230 método de igualar as casas decimais - 2 3 0 1,4 ou 230 1,...... 0 92 092 - 92 para continuar, coloca-se um zero ao lado do 92. 00 920 230 920 ...,4 000 Resultado: 1,4 Para colocar a vírgula no quociente, contam-se as casas decimais do dividendo e subtrai-se do número de casas decimais do divisor. 3,22 ÷ 2,3 = 2 – 1 = 1 Nesta divisão, o quociente terá 1 casa decimal, ou seja: 1,4. 2.º exemplo: 12,744 ÷ 5,4 12,744 5,4 - 10 8 0 2,36 01 94 - 1 62 0 324 - 324 000 38 O dividendo tem três posições decimais, e o divisor tem uma posição decimal. Como 3 - 1 = 2, o quociente terá duas posições decimais. Assim: 12,744 ÷ 5,4 = 2,36 3 - 1 = 2 3.º exemplo: Tendo-se uma divisão cujo dividendo tem uma ou mais posições decimais e o divisor é número natural que não tem posições decimais, ou seja, zero posições decimais. Inicialmente faz-se a divisão como segue: 83,7 ÷ 27 = 3,1 83,7 27 - 81 0 3,1 02 7 - 2 7 0 0 Para colocar a vírgula, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo, que é um, do número de posições decimais do divisor, que é zero. Então: 1 – 0 = 1 83,7 ÷ 27 = 3,1 1 - 0 = 1 4.º exemplo: 116,55 ÷ 63 = 116,55 63 - 63 0 1,85 53 5 - 50 4 0 03 15 - 3 15 0 00 Para colocar a vírgula, tem-se duas posições decimais no dividendo menos zero posições decimais no divisor: 116,55 ÷ 63 = 1,85 2 - 0 = 2 39 3.4.4.2 Divisões cujo dividendo e divisor têm o mesmo número de posições decimais 1.º exemplo: 46,8 ÷ 7,8 Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem naturais. 46,8 7,8 - 46 80 6 00 0 O dividendo tem uma posição decimal. O divisor também tem uma posição decimal. 46,8 ÷ 7,8 = 6 1 - 1 = 0 O quociente é um número sem posições decimais. 2.º exemplo: 8,16 ÷ 0,68 = 12 8,16 0,68 - 6 8 0 12 1 36 - 1 36 0 0 00 O quociente é um número que tem apenas unidades inteiras, sem partes decimais, porque o dividendo e o divisor têm o mesmo número de posições decimais. 3.4.4.3 Divisões cujo dividendo tem menor número de posições decimais que o divisor 1.º exemplo: 53,9 ÷ 3,85 = O dividendo tem uma posição decimal; o divisor tem duas posições decimais. Pode-se calcular zeros à direita de um número decimal depois da vírgula, sem mudar seu valor. Se for colocado um zero no dividendo, ficam duas posições decimais, tanto no dividendo como no divisor: 53,90 ÷ 3,85 = 40 Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossem naturais. 53,90 3,85 - 38 5 0 14 15 40 - 15 40 0 00 00 O quociente é um número sem posição decimal, porque: 53,90 ÷ 3,85 = 14 2 – 2 = 0 2.º exemplo: 59,5 ÷ 2,125 = 28 59,500 2,125 - 42 50 0 28 17 000 - 17 000 0 00 000 O quociente é um número sem posição, porque: 59,500 ÷ 2,125 = 28 3 – 3 = 0 3.º exemplo: Quando o dividendo tem somente unidades inteiras, pode-se colocar vírgula no dividendo e acrescentar zeros: 202 ÷ 50,5 = 202,0 50,5 - 202 0 0 4 000 0 O quociente é um número sem posição decimal, porque: 41 202,0 ÷ 50,5 = 4 1 – 1 = 0 3.4.4.4 Divisões com aproximação – Já foi visto que, para determinar as posições decimais do quociente de uma divisão, basta contar as posições decimais do dividendo e do divisor e subtrair uma da outra. 1.º exemplo: 3,3 ÷ 1,2 = 2 3,3 1,2 – 2,40 2 0 9 O quociente é um número sem posições decimais, e sobra o resto9. 2.º exemplo: 3,30 ÷ 1,2 = 2,7 3,30 1,2 - 2 4 0 2,7 0 90 84 0 06 O quociente possui uma casa decimal, e sobra resto 6. 3.º exemplo: 3,300 ÷ 1,2 = 2,75 3,300 1,2 - 2 4 0 2,75 0 90 - 84 0 060 - 60 00 O quociente possui duas posições decimais. Sabe-se que é possível colocar zeros à direita de um número decimal depois da vírgula sem mudar seu valor. Então, 3,3 = 3,30 = 3,300 42 O dividendo e o divisor são os mesmos nas divisões anteriores, 3,3 ÷ 1,2 = 2 3,30 ÷ 1,2 = 2,7 3,300 ÷ 1,2 = 2,75 mas o quociente é diferente em cada exemplo. Isso significa que, quanto mais zeros forem colocados no dividendo, mais posições decimais terá o quociente. Ao continuar a conta – colocando zeros no dividendo – está-se fazendo uma aproximação. 4.º exemplo: 1,5 ÷ 0,8 = 1 Esta é uma conta sem aproximação decimal. 1,5 0,8 – 8 0 1 0 7 5.º exemplo: 1,50 ÷ 0,8 = 1,8 Esta é uma conta com aproximação de décimos, porque o quociente ficou com uma posição decimal. 1,50 0,8 - 8 0 1,8 0 70 - 64 0 aproximação de décimos Se for desejado, pode-se continuar a conta anterior até a casa dos centésimos, milésimos..., desde que se continue a dispor de resto. Basta, para isso, ir acrescentando zeros no dividendo. 1,500 0,8 1,5000 0,8 - 8 0 1,87 - 8 0 1,875 0 70 0 70 - 64 0 aproximação de centésimos - 64 0 aproximação de milésimos 060 060 - 56 - 56 0 04 040 40 00 43 3.4.4.5 Divisões com números decimais por 10, 100, 1 000 etc. – Para dividir um número decimal por 10, 100, 1 000... deve-se deslocar a vírgula para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros do algarismo divisor. Na falta de casas decimais no número que está sendo dividido, é preciso completar com zero a posição decimal que está faltando. 1.º exemplo: Para dividir um número por 10, desloca-se a vírgula uma casa para a esquerda: 375,12 ÷ 10 = 37,512 289,75 ÷ 10 = 28,975 0,32 ÷ 10 = 0,032 2.º exemplo: Para dividir um número por 100, desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda: 843,2 ÷ 100 = 8,432 43,8 ÷ 100 = 0,438 0,2 ÷ 100 = 0,002 3.º exemplo: Para dividir um número por 1 000, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda: 1 042,4 ÷ 1 000 = 1,0424 9 651,3 ÷ 1 000 = 9,6516 74,8 ÷ 1 000 = 0,0748 3.5 EXERCÍCIOS Calcular os comprimentos “C” indicados nas seguintes peças: A B 44 C D E F G 45 H Achar a profundidade de corte “P” necessária para dar forma quadrada ao eixo representado abaixo. Qual é a espessura da parede “E” da tubulação da figura a seguir? 46 Calcular o diâmetro “Ø” e a dimensão “X” da figura. Calcular o comprimento C da figura. Calcular na figura abaixo: a) C = b) Os espaços entre os pontos do intervalo 1 e 2. ∅ 47 4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE 4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Um número é múltiplo de outro quando sua divisão por ele é exata. Assim, 21 é múltiplo de 7 e de 3, pois 21 ÷ 7 = 3 21 ÷ 3 = 7 4.2 DIVISIBILIDADE 4.2.1 Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando o último algarismo (de suas unidades) é 0, 2, 4, 6 ou 8. Isto é: divisíveis por 2 são todos os números pares. 4.2.2 Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplo: o número 37 212 é divisível por 3 porque 3 + 7 + 2 + 1 + 2 = 15, que é múltiplo de 3. 4.2.3 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4. Exemplos: os números 316, 7 620 e 156 732 são divisíveis por 4. 4.2.4 Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: 220, 785, 250, 135, 170 e 485. 4.2.5 Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 282, 180, 2 334, 192 e 72. 48 4.2.6 Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 9. Exemplo: o número 1 836 é divisível por 9 porque 1 + 8 + 3 + 6 = 18, que é divisível por 9. 4.2.7 Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0. Exemplos: 20, 50, 100, 2 000. 4.3 NÚMERO PRIMO Um número é primo quando é divisível só por si e pela unidade (1). Exemplos: a) 3 ÷ 3 = 1 b) 17 ÷ 17 = 1 c) 29 ÷ 29 = 1 3 ÷ 1 = 3 17 ÷ 1 = 17 29 ÷ 1 = 1 4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Mínimo múltiplo comum – MMC de dois ou mais números é o menor número diferente de zero que é divisível por todos eles ao mesmo tempo. Na prática, escrevem-se os números em linha horizontal, dividem-se todos pelos fatores primos comuns e, separadamente, pelos não-comuns, até obter quocientes iguais à unidade. Exemplo: esta é a disposição de dados para extrair o MMC dos números 36, 90 e 120: o MMC é o produto de todos os divisores, à direita do traço vertical. Isto é: MMC (36, 90, 120) = 23 x 32 x 5 =360 8 x 9 x 5 =360 36 – 90 -120 2 18 – 45 - 60 2 09 – 45 - 30 2 09 – 45 - 15 3 03 – 15 - 05 3 01 - 05 - 05 5 01 - 01- 01 49 4.5 EXERCÍCIOS 1 Calcular o MMC dos números: a) 220, 110 e 50 b) 25, 15 e 90 c) 400, 1 200 e 1 500 d) 45, 60 e 75 e) 680 e 920 f) 750 e 370 g) 6, 12, 24 e 18 h) 8, 24, 18 e 16 2 Decompor os números 168, 180 e 300 em seus fatores primos, determinando o MMC entre esses números. 3 Escrever à direita de 36 um algarismo tal que o número formado seja divisível por 3. 4. Qual é o menor número que se deve somar a 453 para torná-lo divisível por 9? 50 51 5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS Para representar uma ou mais partes do inteiro são necessários dois números: o primeiro indica o número de partes que foram tomadas do inteiro, e é chamado numerador; o segundo, diferente de zero, indica em quantas partes, de mesma forma e tamanho, foi dividido o inteiro, e chama-se denominador. Exemplo: . numerador denominador O inteiro foi dividido em quatro partes iguais e foi tomada somente uma parte. A parte tomada representa um quarto do todo. desenhar figura 0 ( )avosdezesseiscinco 16 5 = (( (((999 O inteiro foi dividido em dezesseis partes iguais e foram tomadas somente cinco partes. 5.1 LEITURA DE FRAÇÕES Para ler uma fração, diz-se primeiro o numerador e depois o denominador. Mas não basta dizer os dois números, um depois do outro: conforme o denominador, lê-se a fração de modo diferente. Exemplos: 4 1 = 52 Denominador lê-se Exemplo 2 3 4 5 6 7 8 9 meio, meios terço, terços quarto, quartos quinto, quintos sexto, sextos sétimo, sétimos oitavo, oitavos nono, nonos 1 0 2 1 0 2 0 3 3 1 0 3 0 4 4 1 0 4 0 5 5 1 0 5 0 6 6 1 0 6 0 7 7 1 0 7 0 8 8 1 0 8 0 9 9 Além desses denominadores, as frações podem ter qualquer outro denominador, diferente de zero. Para ler frações com denominador 10, 100 e 1 000: - quando o denominador é 10, diz-se décimo ou décimos: 1 0 lê-se um décimo 10 3 0 lê-se três décimos 10 - quando o denominador é 100, diz-se centésimo ou centésimos: 1 0 lê-se um centésimo 100 3 0 lê-se três centésimos 10027 0 lê-se vinte e sete centésimos 100 53 - quando o denominador é 1 000, diz-se milésimo ou milésimos: 1 0 lê-se um milésimo 1000 27 0 lê-se vinte e sete milésimos 1 000 53 0 lê-se cinqüenta e três milésimos 1 000 Se o denominador é um número maior que 10 e diferente de 100, 1 000..., lê-se o número que representa o denominador seguido da palavra avos: 3 0 lê-se três onze avos 11 6 0 lê-se seis quinze avos 15 1 0 lê-se um vinte avos 20 4 0 lê-se quatro cento e um avos 101 5.2 TIPOS DE FRAÇÕES 5.2.1 Fração própria O numerador é menor que o denominador. 5.2.2 Fração imprópria O numerador é maior que o denominador. Suponha-se um círculo dividido em seis partes. Cada parte corresponde a um sexto do círculo. Na figura a seguir, o número de partes corresponde a nove sextos: 3 2 = 4 3 = numerador menor denominador maior 6 3 6 6 + 6 9 = numerador maior denominador menor 54 24 8 = 5.2.3 Fração aparente (imprópria) O numerador é igual ou múltiplo do denominador. Representam números inteiros que se obtêm dividindo o numerador pelo denominador. → inteiros → inteiros 5.2.4 Número misto É a soma de um número inteiro, diferente de zero, com uma fração própria. Exemplo: 5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE- VERSA Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplica-se o denominador pelo inteiro e adiciona-se o numerador, mantendo o mesmo denominador. Exemplos: Para fazer a operação inversa – transformar a fração imprópria em número misto –, o quociente será o inteiro, o resto será o numerador e o denominador será o mesmo. Exemplos: a) 9 | 4 → b) 14 | 3 → 8 2 12 4 1 02 5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES Multiplicando ou dividindo ambos os termos de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se uma fração de mesmo valor que a anterior. Exemplos: a) b) 5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Com base no princípio anterior, sempre que os termos de uma fração admitem divisores comuns, diferentes de 1, pode-se simplificá-la (torná-la irredutível). a) 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2 0÷ 2 = 1 0 32 ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2 5 3 15 = 8 32 8 32 =+ 4 9 4 124 4 12 =+×= 3 14 3 243 3 24 =+×= 4 124 9 = 3 243 14 = [ ]2415853324153385 ⇔⇒÷÷=× [ ]604512955604555129 ⇔⇒÷÷=× 55 Fração irredutível b) 30 ÷ 2 = 15 0÷ 3 = 5 0 42 ÷ 2 = 21 ÷ 3 = 7 5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR Reduzir é transformar as frações dadas em frações equivalentes de mesmo denominador. Para isso, é necessário observar os seguintes passos: 1º Determinar o MMC dos denominadores das frações. O resultado é o novo denominador.[ Exemplo: 3 ; 1 0 ; 2 0 MMC (4, 3, 5) 4 3 5 4 – 3 – 5 2 2 – 3 – 5 2 1 – 3 – 5 3 2 x 2 x 3 x 5 = 60 1 – 1 – 5 5 1 – 1 – 1 novo denominador 2º Dividir o MMC encontrado pelos denominadores das frações dadas. a) → 4 3 60 ÷ 4 = 15 b) → 3 1 60 ÷ 3 = 20 c) → 5 2 60 ÷ 5 = 12 3º Multiplicar o quociente de cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto é o novo numerador. a) b) 0 c) Então: 60 45 154 153 = × × 60 20 203 201 = × × 60 24 125 122 = × × 60 24, 60 20, 60 45 5 2, 3 1, 4 3 = 56 Resumo: MMC (4, 3, 5) = 60 3 1 0 2 0 4 3 5 3 x 15 = 45 1 x 20 = 20 2 x 12 = 24 60 ÷ 4 = 15 60 ÷ 3 = 20 60 ÷ 5 = 12 45 0 20 0 24 0 60 60 60 5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES Na comparação de frações, usam-se sinais próprios para indicar maior que e menor que. São os sinais > e <, respectivamente. Por esta razão, ao invés de escrever 3 0é maior que 3 , pode-se escrever. 4 8 Ao invés de escrever 3 0é menor que 3 , pode-se escrever . 8 4 5.7.1 Frações de mesmo denominador Quando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem maior numerador. Para comparar as frações que têm o mesmo denominador, observem-se as figuras a seguir: Nas duas figuras, a unidade está dividida em 5 partes iguais, mas na fração tomam-se mais partes que na fração . Então 0 é maior que , e escreve-se Ou : é menor que , e escreve-se 0 8 3 4 3 >⇒ 4 3 8 3 <⇒ 5 3 5 2 5 2 5 3 >→ 5 3 5 2 <→5 2 5 2 5 3 5 3 5 3 5 2 5 3 5 2 57 16 4 16 3 5.7.2 Frações de mesmo numerador Quando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo numerador, a maior é aquela que tem o menor denominador. Nas duas frações toma-se o mesmo número de partes (3), mas a fração 0indica que a mesma unidade foi dividida em mais partes e elas são menores. Então, é maior que , e escreve-se . Ou: é menor que , e escreve-se . 5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes Quando se comparam duas ou mais frações que têm numeradores e denominadores diferentes, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador antes de comparar. Para reduzir e 0 ao mesmo denominador: 4 – 16 2 2 – 8 2 1 – 4 2 1 – 2 2 1 – 1 MMC (4, 16) = 16 → 162222 =××× Reduzindo as frações ao mesmo denominador, encontram-se frações equivalentes: 16 4 4 1 = e 16 3 só pode ser igual a 16 3 Agora pode-se comparar as equivalentes: e . Já se sabe que, se as duas frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem o maior numerador. tem maior numerador que 8 3 4 3 >→ 8 3 4 3 8 3 <→ 16 4 16 3 4 3 8 3 4 3 8 3 4 3 8 3 4 1 16 4 58 Então: Pode-se escrever : 16 3 16 4 > . Então: . 5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES 5.8.1 Frações de mesmo denominador Deve-se manter o denominador e somar os numeradores. 5.8.2 Frações de denominadores diferentes Deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador; em seguida, conservando o mesmo denominador, somam-se os numeradores. mmc ( 5 e 3) =15 assim 5.8.3 Transformação de números naturais e números mistos em frações impróprias Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se os números naturais e os números mistos em frações impróprias; uma vez realizada a operação, simplificam-se ou extraem-se os inteiros. mmc (1, 3, 5) = 15 5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 5.9.1 Frações de mesmo denominador Deve-se manter o denominador e subtrair os numeradores. ↓↓ ⇒=++ 6 8 6 5 6 1 6 2 3 113 4 6 8 == →+ 3 2 5 4 15 7115 22 15 1012 3 2 5 4 == + =+ ⇒++ 5 4 3 125 15 2815 122 15 123575 5 4 3 7 1 5 == ++ =++ 4 1 8 2 8 5 8 7 ==− 16 3 4 1 > 59 5.9.2 Frações de denominadores diferentes Deve-se reduzir as frações o mesmo denominador e, em seguida, aplicar a regra anterior. mmc (8, 5) = 40 OBSERVAÇÃO: Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-se os números naturais em frações impróprias e, uma vez realizada a operação, simplifica-se ou extraem-se os inteiros.
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