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08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 1/36 ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONALÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS RESOLUÇÃO SISTEMASRESOLUÇÃO SISTEMAS LINEARESLINEARES Autor: Dr. Ricardo Igarashi R e v i s o r : R a i m u n d o A l m e i d a I N I C I A R 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 2/36 introduçãoIntrodução Nesta unidade, reforçaremos o conteúdo do módulo II, apresentando a solução geométrica de sistemas lineares e . Esse conceito nos fornecerá uma visão espacial do signi�cado de um sistema linear. Posteriormente, trabalharemos a resolução de forma iterativa para sistemas lineares. Esse fato é de muita importância, pois, muitas vezes, sistemas lineares não são resolvidos de forma analítica, e dessa forma, teremos de usar métodos numéricos. Nesta unidade, apresentaremos o método de Jacobi e método de Gauss Seidel. Esses métodos usarão como base um “chute” inicial, e, após, serão usados métodos de recorrência, para a resolução do sistema. 2x2 3x3 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 3/36 Recordando: Dizemos que ( é solução de um sistema linear com equações quando ( é solução de cada uma das equações do sistema linear. Vamos ver um exemplo: Dado o sistema linear a seguir, mostre que é solução do sistema linear: Veri�cando: Como pudemos veri�car, o trio é solução do sistema linear, pois satisfez as três equações. Em estudos anteriores, vimos dois métodos de resolução de um sistema linear e , que foram a regra de Crammer e o método de Gauss-Jordam. Neste modulo, veremos a interpretação geométrica dos sistemas lineares e dois métodos iterativos, para a resolução do sistema. InterpretaçãoInterpretação Geométrica dosGeométrica dos Sistemas LinearesSistemas Lineares , , … , ) ∈ Rα1 α2 αn n , , … , )α1 α2 αn (2, − 1, 4) ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 2x + 3y + 5z = 21 3x − 1y + 4z = 23 −4x + 2y − 6z = −34 2. (2) + 3. (−1) + 5. (4) = 4 − 3 + 20 = 21 3. (2) − 1. (−1) + 4. (4) = 6 + 1 + 16 = 23 −4. (2) + 2. (−1) − 6. (4) = −8 − 2 − 24 = −34 (2, − 1, 4) 2x 3x3 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 4/36 Interpretação Geométrica de um Sistema Linear 2x2 Os pares ordenados de números reais que são solução de uma equação linear com duas incógnitas determinam, no grá�co, uma reta. A intersecção das retas das equações do sistema determina sua solução, se existir. Veja, a seguir, a representação geométrica dos três sistemas lineares e, analisando os grá�cos, classi�que como SI (Sistema Impossível) SPD (Sistema Possível e Indeterminado) ou SPI (Sistema Possível e Indeterminado). Para representar cada uma das retas no plano cartesiano, basta determinar pares ordenados que satisfaçam cada uma das equações: Na Figura 3.1, as retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado, que é a solução do sistema solar, e essa solução é indicada na intersecção das duas retas. Na Figura 3.2, as retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução do sistema linear (SI). { 3x − y = 10 → (4, 2) , (2, − 4) 2x + 5y = 1 → (−2, 1) , (3, −1) Figura 3.1 - Retas concorrentes Fonte: Elaborada pelo autor. { x − 2y = 5 → (1, −2) , (−1, −3) 2x − 4y = 2 → (1, 0) , (3, 1) 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 5/36 Veja a Figura 3.3: Na Figura 3.3, as retas coincidentes indicam que existem in�nitos pares ordenados, que são soluções do sistema linear (SPI). Figura 3.2 - Retas paralelas Fonte: Elaborada pelo autor. { 2x − 6y = 8 → (4, 0) , (1, −1) 3x − 9y = 12 → (4, 0) , (1, −1) Figura 3.3 - Retas coincidentes Fonte: Elaborada pelo autor. 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 6/36 praticarVamos Praticar Usando os conceitos apresentados até aqui, resolva o sistema linear 2x2 a seguir, usando o método da adição. Classi�que-os quanto ao número de soluções e veri�que a solução encontrada, fazendo a representação grá�ca do sistema linear. a) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das retas, cujas soluções gerais são: e . b) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das retas, cujas soluções gerais são: e . c) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das retas, cujas soluções gerais são: e . d) O sistema não admite solução. e) O sistema possui in�nitas soluções. { 3x − 2y = −12 5x + 6y = 8 x = −2 y = 3 3x − 2y = −12 5x + 6y = 8 x = 2 y = −3 3x − 2y = −12 5x + 6y = 8 x = 3 y = 1 3x − 2y = −12 5x + 6y = 8 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 7/36 Considerando um sistema linear com três equações e três incógnitas, geometricamente, cada uma das equações de�ne um plano. O termo ordenado pertence à intersecção entre os três planos. Existem oito possibilidades para as posições relativas dos três planos que vamos nomear de no espaço. 1ª possibilidade: os três planos coincidentes Nesse caso, todos os pontos de são solução do sistema; há, portanto, in�nitas soluções (SPI). Veja o exemplo a seguir: Nesse caso, analisando o plano formado pelas três equações, podemos usar qualquer uma das três equações para determinar uma solução genérica. Usaremos a equação 1. Algumas possíveis soluções para o sistema que representam um plano na �gura: InterpretaçãoInterpretação Geométrica de umGeométrica de um Sistema Linear 3x3Sistema Linear 3x3 (x, y, z) , e π1 π2 π3 P (x, y, z) π1 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y − z = 1 2x + 2y − 2z = 2 4x + 4y − 4z = 4 x + y − z = 1 z = x + y − 1Solução = (x, y, x + y − 1) (1, 1, 1) , (1, 2, 2) , (2, 5, 6) , 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 8/36 •2ª possibilidade: dois planos coincidem, e o terceiro é paralelo a eles Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI). Veja o exemplo a seguir, cuja solução é apresentada na Figura 3.5: 3ª possibilidade: dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta, como mostrado na Figura 3.5. Nesse caso, todos os pontos da reta formada pela intersecção dos três planos é solução do sistema linear (SPI). Como as duas primeiras equações formam o mesmo plano, analisaremos a primeira e a terceira equações, para determinar a equação da reta e uma solução genérica para o sistema. então Figura 3.4 - Plano formado pela 1ª equação Fonte: Elaborada pelo autor. ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y − z = 1 2x + 2y − 2z = 2 4x + 4y − 4z = 7 Figura 3.5 - Dois planos coincidentes e outro paralelo Fonte: Elaborada pelo autor. P (x, y, z) { ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y − z = 1 2x + 2y − 2z = 2 4x + 4y − z = 4 x + y − z = 1. (−4) 4x + 4y − z = 4 {−4x − 4y + 4z = −4 4x + 4y − z = 4 3z = 0 z = 0 4x + 4y = 4 y = 1 − x 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 9/36 Solução genérica Exemplos de solução do sistema , 4ª possibilidade: os três planos são paralelos Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI), como mostrado na Figura 3.7: Veja o exemplo: (x, 1 − x, z) (1, 0, 0) (2, − 1, 0) Figura 3.6 - Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta Fonte: Elaborada pelo autor. ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y − z = 1 2x + 2y − 2z = 3 4x + 4y − 4z = 7 Figura 3.7 - Três planos paralelos Fonte: Elaborada pelo autor. 08/11/2020 Ead.brhttps://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 10/36 5ª possibilidade: dois planos são paralelos, e o outro os intersecta, formando duas retas, como mostrado na Figura 3.8. Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI). Veja o exemplo: 6ª possibilidade: os três planos são distintos e têm uma reta em comum, como mostrado na Figura 3.9: Nesse caso, todos os pontos da reta formada pela intersecção dos três planos são solução do sistema linear (SPI). A terceira equação é uma combinação entre a primeira e a segunda equações. Para veri�car, basta multiplicar a primeira equação por dois e somar com a segunda. Para determinar uma solução genérica, faremos combinações entre as duas primeiras equações: ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y − z = 1 2x + 2y − 2z = 3 4x + 4y − 4z = 4 Figura 3.8 - Dois planos são paralelos, e o outro os intersecta formando duas retas Fonte: Elaborada pelo autor. P (x, y, z) ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y + z = 1 2x − y + z = 5 4x + y + 3z = 7 { 3x + 2z = 6 z = x + y + z = 1 2x − y + z = 5 6 − 3x 2 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 11/36 Exemplos de solução do sistema 7ª possibilidade: os três planos se intersectam, dois a dois, formando três retas paralelas, como mostrado na Figura 3.10. Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI). Veja o exemplo: { { − x + 2y = −4 y =x + y + z = 1 2x − y + z = 5. (−1) x + y + z = 1 −2x + y − z = −5 x − 4 2 Solu o gen rica (x, , )a~ é x − 4 2 6 − 3x 2 (0, − 2, 3) (2, − 1, 0) Figura 3.9 - Três planos são distintos e têm uma reta em comum Fonte: Elaborada pelo autor. ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + y − 3z = 1 5x + 2y + z = 2 9x + 3y + 5z = 5 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 12/36 8ª possibilidade: os três planos têm um único ponto em comum, como mostrado na Figura 3.11. Nesse caso, o sistema é possível e determinado, pois existe um único ponto em comum aos três planos. Vamos ver um exemplo Solução Figura 3.10 - Três planos se intersectam, dois a dois, formando três retas paralelas Fonte: Elaborada pelo autor. ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + 2y − 3z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − z = 13 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + 2y − 3z = 4 − y + 10z = −3 − z = 0 z = 0, y = 3, x = −2 (−2, 3, 0) Figura 3.11 - Três planos têm um único ponto em comum Fonte: Elaborada pelo autor. 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 13/36 praticarVamos Praticar Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas: cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Dessa forma, os três planos acima que vamos designar como e são os planos de�nidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do referido sistema pertencem à intersecção desses planos. Usando esses conceitos, assinale a alternativa que corresponda à solução geométrica do seguinte sistema linear: a) Os três planos coincidem. Nesse caso, o sistema é indeterminado e qualquer ponto dos planos é uma solução do sistema. b) O sistema é impossível. Nesse caso, dois planos coincidem, e o terceiro plano é paralelo a eles. c) Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Nesse caso, o sistema é indeterminado, e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. d) Os três planos são paralelos. Nesse caso, o sistema é impossível.D. e) Os planos formados pelas duas primeiras equações são paralelos, e o plano formado pela terceira equação os intersecta segundo duas retas paralelas. Nesse caso, o sistema é impossível. ⎡ ⎣ ⎢ + + =a11x1 a12x2 a13x3 b1 + + =a21x1 a22x2 a23x3 b2 + + =a31x1 a32x2 a33x3 b3 , π1 π2 π3 ⎡ ⎣ ⎢ x + 2y − z = 3 2x + 4y − 2z = 4 3x + 6y − 3z = 5 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 14/36 Nesta seção, apresentaremos os métodos iterativos para a resolução de sistemas lineares. Faremos uma pequena introdução aos métodos iterativos e, após, apresentaremos os métodos de Gauss Jacobi e Gauss Seidel. Introdução dos Métodos Iterativos Os métodos iterativos consistem em transformar um sistema linear em que: matriz dos coe�cientes do sistema linear, matriz das variáveis, matriz dos termos constantes, Solução Em um sistema do tipo em que é matriz e matriz Observamos que é uma função de iteração dada na forma matricial. E, dessa forma, podemos iniciar o esquema iterativo. Partindo de (aproximação inicial) podemos construir a seguinte sequência: Métodos IterativosMétodos Iterativos Ax = b A = n x n x = n x 1 b = n x 1 x = Mx + c M n x n c n x 1 φ (x) = Mx + c x(0) 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 15/36 A próxima iteração é sempre calculada usando o valor da iteração anterior. Teste de Parada O processo iterativo é repetido até que a matriz solução do sistema linear seja su�cientemente próxima da matriz Medimos essa distância por Assim, dada uma precisão , a matriz será escolhida como resposta aproximada da solução exata do sistema linear se Podemos, também, efetuar o cálculo utilizando o teste do erro relativo: Método de Gauss – Jacobi A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear em um sistema é a seguinte: Vamos pegar um sistema genérico n x n Primeira Iteração x (1) = C.x(0) + g = φ(x (0)) freepik.com x(k) x(k−1) = −d(k) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (k) i x (k−1) i ∣ ∣ ε x(k) < εd(k) =d(k)r d(k) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (k) i ∣ ∣ Ax = b x = Mx + c 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 16/36 Inicialmente, temos de supor isolamos o da diagonal principal Para fazer os passos da iteração, usaremos o valor determinado no passo anterior e, portanto, teremos: Condição de Convergência Considere o sistema linear Vamos ver três critérios para analisar a convergência do sistema por método iterativo. Esses critérios estabelecem apenas condições su�cientes. 1. Critério da soma por linha Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência. ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ + + … + =a11x1 a12x2 a1nxn b1 + + … + =a21x1 a22x2 a2nxn b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + + … + =an1x1 an2x2 annxn bn A = x = b = ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ a11 a21 ⋮ an1 a12 a22 ⋮ an2 … a1n … a2n ⋮ … ⋮ ann ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ x1 x2 ⋮ xn ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ b1 b2 ⋮ bn ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥ ≠ 0 , i = 1, … , naii x ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = . ( − − − … − )x1 1a11 b1 a12x2 a13x3 a1nxn = . ( − − − … − )x2 1a22 b2 a21x1 a23x3 a2nxn ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = . ( − − − … − )xn 1ann bn an1x1 an2x2 an,n−1xn−1 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = . ( − − − … − )x1(k+1) 1a11 b1 a12x2 (k) a13x3 (k) a1nxn (k) = . ( − − − … − )x2(k+1) 1a22 b2 a21x1 (k) a23x3 (k) a2nxn (k) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = . ( − − − … − )xn (k+1) 1ann bn an1x1 (k) an2x2 (k) an,n−1xn−1 (k) ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ + + =a11x1 a12x2 a13x3 b1 + + =a21x1 a22x2 a23x3 b2 + + =a31x1 a32x2 a33x3 b3 ≥ + ≥ + ≥ + a11 a12 a13 a22 a21 a23 a33 a31 a32 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 17/36 2. Critério da soma por colunas Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência. 3. Critério de Sassenfeld Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência.Se uma das condições não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência. Exemplo: mostre que, mesmo permutando a ordem das equações, o critério da soma por linhas e por colunas não garante a convergência do sistema, mas o critério de Sassenfeld satisfaz a condição de convergência. Vamos permutar as equações, para tentar deixar os maiores valores de cada equação na posição Critério da soma por linha não satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car: Critério da soma por colunas não satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car: O critério de Sassenfeld satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car: 1. Determine a solução do sistema linear a seguir, com : ≥ + ≥ + ≥ +a11 a21 a31 a22 a12 a32 a33 a13 a23 = + < 1 = . + < 1 = . + . < 1β1 ∣ ∣∣ a12 a11 ∣ ∣∣ ∣ ∣∣ a13 a11 ∣ ∣∣ β2 ∣ ∣∣ a21 a22 ∣ ∣∣ β1 ∣ ∣∣ a23 a22 ∣ ∣∣ β3 ∣ ∣ ∣ a31 a33 ∣ ∣ ∣ β1 ∣ ∣ ∣ a32 a33 ∣ ∣ ∣ β2 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 3 + 3 − 5 = 2 x1 x2 x3 10 + 3 + 2 = −20x1 x2 x3 2 + 5 − 3 = 10 x1 x2 x3 , , a11 a22 a33 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 10 + 3 + 2 = −20 x1 x2 x3 2 + 5 − 3 = 10 x1 x2 x3 3 + 3 − 5 = 2 x1 x2 x3 10 > 3 + 2 (v) 5 > 2 + 3 (f) 5 > 3 + 3 (f) 10 > 2 + 3 (v) 5 > 3 + 3 (f) 5 > 3 + 2 (f) = + = < 1 = . + = < 1 β1 ∣ ∣ ∣ 3 10 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 10 ∣ ∣ ∣ 1 2 β2 ∣ ∣ ∣ 2 5 ∣ ∣ ∣ 1 2 ∣ ∣ ∣ −3 5 ∣ ∣ ∣ 4 5 = . + . = < 1β3 ∣ ∣ ∣ 3 −5 ∣ ∣ ∣ 1 2 ∣ ∣ ∣ 3 −5 ∣ ∣ ∣ 4 5 39 50 ε < 0, 05 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 18/36 Inicialmente, veri�caremos as condições de convergência: O sistema atende à condição da soma por linha. Inicialmente, devemos isolar na primeira equação, na segunda equação e na terceira equação. Se adotarmos como solução inicial teremos: Para pularmos essa primeira iteração, podemos sempre adotar a solução inicial como sendo: Prosseguindo vamos fazer a segunda iteração ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 10 + 2 + = 7x1 x2 x3 + 5 + = −8x1 x2 x3 2 + 3 + 10 = 6x1 x2 x3 10 > 2 + 1 5 > 1 + 1 10 > 2 + 3 x1 x2 x3 = . (7 − 2 − ) x1 1 10 x2 x3 = . (−8 − − )x2 1 5 x1 x3 = . (6 − 2 − 3 ) x3 1 10 x1 x2 = ,x(0) ⎡ ⎣ ⎢ 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎥ = . (7 − 2.0 − 0) = 0, 7 x1(1) 1 10 = . (−8 − 0 − 0) = − 1, 6x2(1) 1 5 = . (6 − 2.0 − 0) = 0, 6 x3(1) 1 10 =x(1) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 7 −1, 6 0, 6 ⎤ ⎦ ⎥ = = = = = = = x(0) bi aii x (0) 1 b1 a11 7 10 x (0) 2 b2 a22 −8 5 x (0) 3 b3 a33 6 10 = . (7 − 2. (−1, 6) − 0, 6) = 0, 96x1(2) 1 10 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 19/36 Teremos de fazer mais uma iteração: Teremos de fazer mais uma iteração: = . (−8 − 0, 7 − 0, 6) = − 1, 86x2(2) 1 5 = . (6 − 2.0, 7 − 3. (−1, 6)) = 0, 94x3(2) 1 10 = = − = x(1) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 7 −1, 6 0, 6 ⎤ ⎦ ⎥ x(2) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 96 −1, 86 0, 94 ⎤ ⎦ ⎥ ∣∣x(2) x(1) ∣∣ ⎡ ⎣ ⎢ 0, 26 0, 26 0, 34 ⎤ ⎦ ⎥ = = ≅0, 1827 > 0, 05d(2)r d(2) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (2) i ∣ ∣ 0, 34 1, 86 = . (7 − 2. (−1, 86) − 0, 94) = 0, 978 x1 (3) 1 10 = . (−8 − 0, 96 − 0, 94) = − 1, 98x2(3) 1 5 = . (6 − 2.0, 96 − 3. (−1, 86)) = 0, 966x3(3) 1 10 = = − = x(2) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 96 −1, 86 0, 94 ⎤ ⎦ ⎥ x(3) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 978 −1, 98 0, 966 ⎤ ⎦ ⎥ ∣∣x(3) x(2) ∣∣ ⎡ ⎣ ⎢ 0, 018 0, 12 0, 026 ⎤ ⎦ ⎥ = = ≅0, 06O6 > 0, 05d(3)r d(3) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (3) i ∣ ∣ 0, 12 1, 98 = . (7 − 2. (−1, 98) − 0, 966) = 0, 9994 x1(4) 1 10 = . (−8 − 0, 978 − 0, 966) = − 1, 9888 x2(4) 1 5 = . (6 − 2.0, 978 − 3. (−1, 98)) = 0, 9984 x3(4) 1 10 = = − = x(3) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 978 −1, 98 0, 966 ⎤ ⎦ ⎥ x(4) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9994 −1, 9888 0, 9984 ⎤ ⎦ ⎥ ∣∣x(4) x(3) ∣∣ ⎡ ⎣ ⎢ 0, 0214 0, 0088 0, 0324 ⎤ ⎦ ⎥ = = ≅0, 01629 < 0, 05d(4)r d(4) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (4) i ∣ ∣ 0, 0324 1, 9888 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 20/36 Portanto, a solução aproximada do sistema linear é . praticarVamos Praticar Vimos que um dos métodos de resolução de sistemas lineares são os métodos iterativos. Nessa metodologia, devemos escolher valores iniciais para fazer a convergência do cálculo iterativo. Também, devemos levar em conta a convergência do sistema linear. Pelo critério de linhas, assinale a alternativa que indica o intervalo de k, para que exista a convergência do sistema apresentado: a) . b) . c) . d) . e) . x = ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9994 −1, 9888 0, 9984 ⎤ ⎦ ⎥ ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ k + 3 + = 1x1 x2 x3 k + 6 = 2x1 x2 + 6 + 8 = 3x1 x2 x3 1 < k < 3 2 < k < 4 3 < k < 7 4 < k < 6 8 < k < 10 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 21/36 Inicialmente, o método de Gauss-Seidel é exatamente igual ao método de Gauss-Jacobi, ou seja, o processo iterativo consiste em sendo uma aproximação inicial, calcular até atingir uma resposta em que o erro relativo seja menor do que o erro estipulado. A diferença no processo iterativo de Gauss-Seidel consiste em usar valores já conhecidos de , portanto, no momento de se calcular usamos todos os valores que já foram calculados e os valores restantes. Vamos pegar como exemplo o mesmo problema proposto anteriormente e resolvido pelo método de Gauss-Jacobi. Exemplo: determine a solução do sistema linear a seguir, com Inicialmente, devemos isolar na primeira equação, na segunda equação e na terceira equação. Método de Gauss-Método de Gauss- SeidelSeidel x(0) , , … , x(1) x(2) x(k) x(k) x (k+1) j , … , x (k+1) 1 x (k+1) j−1 , … , x(k)j+1 x (k) n ε < 0, 05 : ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 10 + 2 + = 7x1 x2 x3 + 5 + = −8x1 x2 x3 2 + 3 + 10 = 6x1 x2 x3 x1 x2 x3 = . (7 − 2 − ) x1 1 10 x2 x3 = . (−8 − − )x2 1 5 x1 x3 = . (6 − 2 − 3 ) x3 1 10 x1 x2 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 22/36 Se adotarmos como solução inicial teremos: Agora vem a diferença no método de Gauss-Seidel, pois para calcular já usaremos o já encontrado no passo anterior. Para calcular o , vamos utilizar os valores já calculados acima e . Portanto, essa é a diferença do método de Gauss-Seidel: os valores que já foram calculados são usados na própria iteração. Vamos fazer mais uma iteração: Teremos de fazer mais uma iteração: = ,x(0) ⎡ ⎣ ⎢ 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎥ = . (7 − 2.0 − 0) = 0, 7 x1(1) 1 10 x2 (1), = 0, 7,x1(1) = . (−8 − 0, 7 − 0) = − 1, 74x2 (1) 1 5 x3 (1) = 0, 7x1(1) = − 1, 74x2(1) = . (6 − 2.0, 7 − 3. (−1, 74)) = 0, 982 x3 (1) 1 10 =x(1) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 7 −1, 74 0, 982 ⎤ ⎦ ⎥ = . (7 − 2. (−1, 74) − 0, 982) = 0, 9498x1(2) 1 10 = . (−8 − 0, 9498 − 0, 982) = − 1, 98636x2(2) 1 5 = . (6 − 2.0, 9498 − 3. (−1, 98636)) = 1x3(2) 1 10 = = − = x(1) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 7 −1, 74 0, 982 ⎤ ⎦ ⎥ x(2) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9498 −1, 98636 1, 005948 ⎤ ⎦ ⎥ ∣∣x(2) x(1) ∣∣ ⎡ ⎣ ⎢ 0, 2498 0, 24636 0, 023948 ⎤ ⎦ ⎥ = = ≅0, 1258 > 0, 05d(2)r d(2) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (2) i ∣ ∣ 0, 2498 1, 98636 =x(2) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9498 −1, 98636 1, 005948 ⎤ ⎦ ⎥ 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 23/36 Portanto, a solução aproximada do sistema linear é Para concluir, o método de Gauss-Seidel e o método de Gauss-Jacobi são algoritmos utilizados para determinar soluções aproximadas para um sistema linear tão próximas quanto for desejado. O método de Gauss-Seidel foi criado para convergir mais rapidamente, pois na própria iteração já utiliza os valores calculados. Isso acontece com a grande maioria dos sistemas, mas não sempre. = . (7 − 2. (−1, 98636) − 1, 005948) = 0, 9966772 x1(3) 1 10 = . (−8 − 0, 9966772 − 1, 005948) = − 2, 000525x2(3) 1 5 = . (6 − 2.0, 9966772 − 3. (0, 9966772)) = 1, 0008221x3(3) 1 10 = = − = x(2) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9498 −1, 98636 1, 005948 ⎤ ⎦ ⎥ x(3) ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9966772 −2, 000525 1, 0008221 ⎤ ⎦ ⎥ ∣∣x(3) x(2) ∣∣ ⎡ ⎣ ⎢ 0, 0468772 0, 014165 0, 0051259 ⎤ ⎦ ⎥ = = ≅0, 023 < 0, 05d(2)r d(2) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x (2) i ∣ ∣ 0, 0468772 2, 000525 x = ⎡ ⎣ ⎢ 0, 9966772 −2, 000525 1, 0008221 ⎤ ⎦ ⎥ saibamaisSaiba mais Os métodos iterativos são vastamente investigados na área de computação para a veri�cação de qual método pode ser mais e�ciente do ponto de vista computacional. Para ter um entendimento melhor, você pode ler o artigo “Paralelização e comparação de métodos iterativos na solução de sistemas lineares grandes e esparsos”. Fonte: Adaptado de Barroso (1987). ACESSAR http://www.forscience.ifmg.edu.br/forscience/index.php/forscience/article/view/18 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 24/36 Vamos ver mais um exemplo de resolução do sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. Exemplo: veri�que a convergência e, caso seja satisfeita, obtenha a solução pelo método de Gauss- Seidel com erro absoluto inferior a . Critério da soma por linha não satisfaz. Critério da soma por colunas não satisfaz. Critério de Sassenfeld: Critério de Sassenfeld é satisfeito, pois O sistema converge: reflitaRe�ita Tente aplicar essa técnica de método iterativo para resolver os sistemas lineares do bloco 2. Veja se encontra as mesmas soluções com os outros métodos diretos e re�ita sobre a resolução. 10−3 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 5x + y + z = 5 3x + 4y + z = 6 3x + 3y + 6z = 0 5 > 1 + 1 4 > 3 + 1 (f) 5 > 3 + 3 (f) = + = 0, 4 < 1 = .0, 4 + = 0, 55 < 1 β1 ∣ ∣ ∣ 1 5 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 5 ∣ ∣ ∣ β2 ∣ ∣ ∣ 3 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 4 ∣ ∣ ∣ = .0, 4 + .0, 55 = 0, 475 < 1β3 ∣ ∣ ∣ 3 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 6 ∣ ∣ ∣ < 1 < 1 < 1β1 β2 β3 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 25/36 E assim sucessivamente, até que o erro absoluto seja menor do que . Lembrando que o erro absoluto é calculado por . Vamos, agora, utilizar o Excel para resolver o problema proposto. Inicialmente, devemos escrever o sistema linear da seguinte forma: Agora, passemos ao Excel: 1° passo – criar a tabela a seguir no Excel, em que é o chute inicial: = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ x = . (5 − y − z) 1 5 y = . (6 − 3x − z) 1 4 z = . (−3x − 3y) 1 6 x̄(0) ⎡ ⎣ ⎢ 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ = . (5 − 0 − 0) = 1 x(1) 15 = . (6 − 3.1 − 0) = 0, 75 y(1) 14 = . (−3.1 − 3.0, 75) = −0, 875 z(1) 16 x̄(1) ⎡ ⎣ ⎢ 1 0, 75 −0, 875 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ = . (5 − 0, 75 − (−0, 875)) = 1, 025 x(2) 15 = . (6 − 3.1, 025 − (−0, 875)) = 0, 95 y(2) 14 = . (−3.1, 025 − 3.0, 95) = −0, 9875 z(2) 16 x̄ (2) ⎡ ⎣ ⎢ 1, 025 0, 95 −0, 9875 ⎤ ⎦ ⎥ 10−3 −x̄(k) x̄(k−1) = . (5 − − )x(k+1) 15 y k zk = . (6 − 3 − )y (k+1) 14 x (k+1) zk = . (−3 − 3 )z(k+1) 16 x (k+1) y (k+1) k = 0 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 26/36 Figura 3.15 - Digitar Fonte: Elaborado pelo autor. = . (−3 − 3 )z(k+1) 16 x (k+1) y(k+1) 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 27/36 Aqui, já podemos veri�car a primeira iteração e comparar com o resultado obtido acima: Figura 3.16 - Primeira iteração Fonte: Elaborada pelo autor. = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ = . (5 − 0 − 0) = 1 x(1) 15 = . (6 − 3.1 − 0) = 0, 75 y(1) 14 = . (−3.1 − 3.0, 75) = −0, 875 z(1) 16 x̄(1) ⎡ ⎣ ⎢ 1 0, 75 −0, 875 ⎤ ⎦ ⎥ 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 28/36 Na sexta linha, já é possível obter a resposta com um erro absoluto menor do que , como proposto no exercício. praticarVamos Praticar Resolva o sistema linear a seguir no Excel, usando o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com erro absoluto , determinando o número de iterações para cada método. a) Gauss-Jacobi = 10 ; Gauss-Seidel= 9 b) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 9 c) Gauss-Jacobi = 13 ; Gauss-Seidel= 7 d) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 7 e) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 8 10−3 ε < 10−4 = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ 7x + 3y + 2z + w = 13, 5 2x + 10y + 3z − 2w = −24, 5 x − y + 11z − 3w = 16 −x + 2y − 3z + 8w = 3 x̄(0) ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ 0 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 29/36 indicações Material Complementar F I L M E O jogo da imitação Ano: 2015 Comentário: Filme que conta a história de Alan Turing, um cientista que ajudou a decifrar os códigos que os alemães usam para se comunicarem com os submarinos. O mais interessante é como ele programava o computador, para tentar decifrar esses códigos. Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer, disponível. T R A I L E R 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 30/36 L I V R O Guia Mangá. Álgebra Linear Shin Takahashi Editora: Novatec ISBN: 8575222937 Comentário: Uma maneira divertida para aprender álgebra. Basicamente, nesse mangá, um personagem que conhece Matemática tem de ensinar álgebra para uma menina. Se ele conseguir fazer isso, poderá entrar para o clube de caratê. 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 31/36 conclusão Conclusão Neste capítulo, aprendemos a resolver e a interpretar as soluções de sistemas lineares 2x2 e 3x3. Lembrando que no sistema 2x2 teremos duas retas e no sistema 3x3, três planos. Também, apresentamos o método de resolução do sistema linear pelo método iterativo. Nesses métodos, temos de começar com um “chute” inicial e, depois, fazemos as iterações, até a convergência. Vimos dois métodos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Veri�camos que o método de Gauss-Seidel é mais rápido de convergir do que o de Gauss-Jacobi. referências Referências Bibliográ�cas BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. DORNELLES FILHO, A. A. Fundamentos de cálculo numérico. Porto Alegre: Editora Bookman, 2016. 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 32/36 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 33/36 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 34/36 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 35/36 08/11/2020 Ead.br https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 36/36
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