Espaços Vetoriais e suas Propriedades

Prévia do material em texto

13/11/2020 https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152
https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152 31/35
DICA DO PROFESSOR
A generalização do conceito de espaço vetorial para conjuntos diferentes do Rn traz vários
desafios que competem à organização, interpretação e argumentação sobre a validade (ou
não) das operações e propriedades que esses espaços obedecem.
Nesta Dica do Professor, veja como iden�ficar a definição de espaço vetorial em conjunto
associado a operações não intui�vas, notações u�lizadas nesse �po de problema e como
elas atuam nos elementos do conjunto.
Além disso, observe como definir um conjunto E, uma operação de soma e uma de
mul�plicação por número real sobre os vetores de E e analisar de que modo é possível
verificar a definição de espaço vetorial, assim como mostrar algumas estratégias para as
deduções e organizar o raciocínio do processo.
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
 
EXERCÍCIOS
1) Em um espaço vetorial E, dados u,v elementos de E e a número real, então, pela
definição, não é exigido que u,v,a sa�sfaçam: 
a) u + av = av + u.
b) a²u ∈ E.
c) uv ∈ E.
d) u + (-u) = 0v.
e) (a² - a)(u + v) ∈ E.


13/11/2020 https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152
https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152 32/35
2) Seja E o conjunto das matrizes 2 x 2 com coeficientes reais. Dados:
 quais condições não são válidas se admi�rmos em E a soma 
e a mul�plicação por número real 
 
a) u + v ∈ E.
b) av ∈ E.
c) u + v = v + u.
d) (a² - a)u ∈ E.
e) 1u = u.
3) P2 é o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 2 de
coeficientes reais com as operações naturais de soma de polinômios e mul�plicação por
13/11/2020 https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152
https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152 33/35
número real. Se u(x) = 2 - x + 3x² e v(x) = 1 - x², então podemos afirmar que p(x) = 8 - 2x +
2x² pertence a ger? Qual é a combinação linear que permite escrever a par�r de u e v?
a) p(x) pertence a ger e p = 2u + 4v.
b) p(x) pertence a ger e p = -2u + 4v.
c) p(x) pertence a ger e p = 2u - 4v.
d) p(x) pertence a ger e p = -2u - 4v.
e) p(x) não pertence a ger.
4) E é o espaço vetorial composto pelas funções reais con�nuas em R com as operações
naturais de soma de funções e mul�plicação por número real. Definindo por função
par uma função f ∈ E , tal que f(-x) = f(x) para todo x ∈ R, e F como o conjunto formado
pelas funções pares, iden�fique a afirmação correta.
a) f(x) = x² não ∉ F.
b) F não é fechado em relação à soma.
c) F não é fechado em relação à mul�plicação por número real.
d) f(x) = x³ ∉ F.
e) f(x) = cos(x) ∉ F.
5) Sendo E um espaço vetorial e F um subconjunto de E, assinale a afirmação correta. 
a) F não é subespaço de E se F = E ou se F = .
b) Se F é subespaço, então, 0 ∉ F.
c) F precisa ser fechado em relação às operações de E.
d) Se u, v pertencem à F, então, u + v ∉ E.
13/11/2020 https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152
https://sagahcm.sagah.com.br/sagahcm/sagah_ua_dinamica/impressao_ua/25811152 34/35
e) Se u, v ∈ F, então, não necessariamente u + v ∈ F.
NA PRÁTICA
No estudo dos movimentos oscilatórios, voltado a problemas envolvendo osciladores,
circuitos RLC e sistemas de molas, é importante modelar e pesquisar as soluções desses
problemas ao longo do tempo, como eles evoluem e suas caracterís�cas. Estas podem ser:
amplitude, frequência, comportamento assintó�co, entre outras.
Neste Na Prá�ca, veja exemplo de como modelar, resolver e analisar as soluções de
determinado sistema massa-mola, usando solução dada por subespaço gerado com base
em autofunções. 
 
 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do
professor:
Espaço das soluções de uma equação diferencial ordinária linear de ordem n 
No vídeo a seguir, o prof. Dr. Claudio Possani, da Univesp, relaciona a solução de uma EDOL
de ordem n com espaço vetorial formado pelas funções que são solução da equação
homogênea associada e mostra como calcular a solução geral a par�r dessas soluções
homogêneas. 
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
 
Espaço vetorial das soluções de equações diferenciais: modelo para a dinâmica do diabetes 
Não é exagero afirmar que os espaços vetoriais têm ampla aplicação nas ciências. Nesse link,
a mestra Ana Claudia Chinchio, sob orientação da Profª. Drª. Marta Cilene Gado� (IGCE -

